Seção 15_8_S

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SEÇÃO 15.8 INTEGRAIS TRIPLAS EM COORDENADAS CILÍNDRICAS  7
 1. 
x = 3 cos pi2 = 0,
y = 3sen pi2 = 3 e z = 1,
então o ponto é (0, 3, 1) em
coordenadas retangulares.
 2. 
x = 2 cos pi4 = 1,
y = 2 sen pi4 = 1, z = 2,
então o ponto é 1, 1, 2 em
coordenadas retangulares.
 3. r2 = (-1)2 + (0)2 = 1, então r = 1; z = 0; tg T = 0, 
então θ = 0 ou p. Mas x = -1, então θ = p e o ponto 
é (1, p, 0).
 4. r2 = 12 + 12 = 2 ou r = 2, tg θ = 11 , então
θ = pi4 e z = 1. Assim, em coordenadas
cilíndricas, o ponto é 2, pi4 , 1 .
 5. r2 = 4, então r = 2, tg θ = 1
3
, logo θ = pi
6
e z = 4.
Assim, em coordenadas esféricas, o ponto é 2, pi6 , 4 .
 6. r2 = 4, então r = 2; tg θ = 2 − 2 = −1 e o ponto
− 2, 2 está no segundo quadrante do plano xy, logo
θ = 3pi4 ; z = 0. O ponto é 2,
3pi
4 , 0 .
 7. r = 4 + 42 = 4 2; z = 4; tg θ = 44 , então θ =
pi
4 ou
θ = 5pi4 , mas x é negativo e y é positivo, então θ =
pi
4 e o
ponto é 4 2, pi4 , 4 .
 8. r = 1+ 3 = 2; tg θ = −
3
1
, então θ = 2pi3 ou θ =
5pi
3 ,
mas x é negativo e y é positivo, então θ = 2pi3 e o ponto é
2, 2pi3 , 2 .
 9. r2 = x2 + y2, então r2 + z2 = 16.
 10. r2 - z2 = 16
 11. r cos θ + 2r sen θ + 3z = 6
 12. r2 = 2z
 13. A região de integração é dada em 
 coordenadas cilíndricas por 
 E = (r, θ, z ) | 0 ≤ θ ≤ 2pi, 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 4 − r
2 .
 Isso representa a região sólida limitada acima por 
 z = 4- r2 = 4- x2 - y2, um paraboloide, e abaixo, 
 pelo plano xy. 
 
 
2pi
0
2
0
4− r 2
0 r dz dr dθ =
2pi
0
2
0 4r − r
3 dr dθ
= 2pi0 2r
2 − 14 r
4 r =2
r =0 dθ =
2pi
0 (8 − 4) dθ = 4θ]
2pi
0 = 8pi
 14. A região de integração é dada em coordenadas cilíndricas por
 E = (r, θ, z ) | 0 ≤ θ ≤ pi2 , 1 ≤ r ≤ 3, r ≤ z ≤ 3 .
 Isso representa o sólido no primeiro octante entre 
os cilindros r = 1 e r = 3 e limitado abaixo por 
z = r = x 2 + y2 , um cone, e acima pelo plano z = 3.
 
3
1
pi/2
0
3
r r dz dθ dr =
3
1
pi/2
0 3r − r
2 dθ dr
= 31
pi
2 3r − r
2 dr = pi2
3
2 r
2 − 13 r
3 3
1
= pi2
27
2 −
27
3 −
3
2 +
1
3 =
5pi
3
 15. Ε x
2 + y2 dV = 2− 1
2pi
0
2
0 r
2 r dr dθ dz
= (3) (2pi) 14 r
4 2
0 = 24pi
 16. Ε x 2 + y2 dV =
2pi
0
3
0
9− r2
0 r
2 dz dr dθ
= 2pi 30 9r
2 − r4 dr = 2pi 81 − 2435 =
324 pi
5
 17. Em coordenadas cilíndricas E é limitada pelos 
 cilindros r = 1 e r = 2, pelo plano z = x + 2 = r cos θ + 2 
 e pelo plano xy, então E é dada por 
 
{(r, θ, z ) | 0 ≤ θ ≤ 2pi, 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ z ≤ r cos θ + 2}.
Assim
Ε y dV =
2pi
0
2
1
2+ r cos θ
0 (r sen θ) r dz dr dθ
= 2pi0
2
1 r
2 sen θ [z ]z =2+ r cos θz =0 dr dθ
= 2pi0
2
1 2r
2 + r 3 cos θ sen θ dr dθ
= 2pi0
2
3 r
3 + 14 r
4 cos θ r =2r =1 sen θ dθ
= 2pi0
14
3 +
15
4 cos θ sen θ dθ
= − 143 cos θ −
15
8 cos
2 θ 2pi0 = 0
15.8 SOLUÇÕES Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
8  SEÇÃO 15.8 INTEGRAIS TRIPLAS EM COORDENADAS CILÍNDRICAS
 18. Em coordenadas cilíndricas E é limitada pelos cilindros
r = 1 e pelos planos z = 0, z = y = r sen θ com
y ≥ 0 ⇒ 0 ≤ θ ≤ pi, então E é dada por
{(r, θ, z ) | 0 ≤ θ ≤ pi, 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ z ≤ r sen θ}. Assim
Ε xz dV =
pi
0
1
0
r sen θ
0 r
2 z cos θ dz dr dθ
= pi0
1
0
1
2 z
2 z = r sen θ
z =0 r
2 cos θ dr dθ
= 12
pi
0
1
0 r
4 sen2 θ cos θ dr dθ
= 12
pi
0
1
5 r
5 r =1
r =0 sen
2 θ cos θ dθ
= 110
pi
0 sen
2 θ cos θ dθ = 130 sen
3 θ pi0 = 0