Seção 16_1_S

Prévia do material em texto

SEÇÃO 16.1 CAMPOS VETORIAIS  3
 1. F(x, y) = x i + y j. 
O comprimento do vetor 
x i + y j é a distância de 
(0, 0) a (x, y). Cada vetor 
aponta para longe da 
origem.
 2. F(x, y) = x i - y j. 
O comprimento do 
vetor x i - y j é a 
distância de (0, 0) a 
(x, y). Para cada (x, y), 
F(x, y) termina no eixo 
x no ponto (2x, 0).
 3. F(x, y) = y i + j. 
O comprimento do vetor 
y i + j é y2 + 1 . 
Vetores são tangentes 
a parábolas abertas em 
relação ao eixo x.
 4. F(x, y) = -x i + 2y j. 
O comprimento do vetor 
−x i + 2y j é x 2 + 4y2 . 
F(x, y) termina no eixo y no 
ponto (0, 3y).
 5. F(x, y, z) = j + k. 
O comprimento de 
F(x, y, z) é 2. O gráfico está 
mostrado no plano yz porque, 
em planos paralelos x = a, 
o gráfico é idêntico a este.
 6. F(x, y) = 〈2x - 3y, 2x + 3y〉 corresponde ao gráfico III, uma 
vez que quando há movimentação para a direita (de modo que 
x aumenta e y é constante), tanto os componentes x como y 
dos vetores aumentam, e quando há movimentação ascendente 
(de modo que y aumenta e x é constante), os componentes x 
diminuem, enquanto os componentes y aumentam.
 7. F(x, y) = 〈sen x, sen y〉 corresponde ao gráfico II, uma vez 
que o campo vetorial é o mesmo em cada quadrado da forma 
 [2npi, 2 (n + 1) pi] × [2mpi, 2 (m + 1) pi], m, n 
 quaisquer inteiros.
 8. F(x, y) = 〈ln (1 + x2 + y2), x〉 corresponde ao gráfico I, uma 
vez que ln(1 + x2 + y2) é sempre positivo, então todos os 
vetores apontam para a direita.
 9. ∇f (x, y) = fx (x, y) i + fy (x, y) j
 = (5x4 - 8xy3) i - (12x2y2) j
 10. ∇f (x, y) = fx (x, y) i + fy (x, y) j
 = 2cos(2x + 3y) i + 3cos (2x + 3y) j
 11. ∇f (x, y) = 〈 fx, fy〉 = 〈3e3x cos 4y,-4e3x sen 4y〉
 12. ∇f (x, y, z) = 〈 fx, fy, fz〉 = 〈 yz, xz, xy〉
 13. ∇f (x, y, z) = 〈 fx, fy, fz〉 = 〈 y2, 2xy - z3, -3yz2〉
 14. ∇f (x, y, z) = 〈 fx, fy, fz〉
  
= ln (y − z ) , x
y − z
,− x
y − z
 15. f (x, y) = x 2 − 12 y
2 , ∇f (x, y) = 2x i - y j. O comprimento 
de ∇f (x, y) é 4x 2 + y2 , e ∇f (x, y) termina no eixo x no 
ponto (3x, 0).
 
 16. f (x, y) = ln x 2 + y2 = 12 ln x
2 + y2 ⇒
∇f = 12∇ ln x
2 + y2
=
x
x 2 + y2
i + y
x 2 + y2
j = x i + y j
x 2 + y2
 O comprimento de ∇ f diminui conforme x e/ou y aumenta e 
todos os vetores “fluem” para longe da origem.
 
16.1 SOLUÇÕES Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp