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Seção 16_3_S

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SEÇÃO 16.3 O TEOREMA FUNDAMENTAL DAS INTEGRAIS DE LINHA  3
 1. 
∂
∂y
(2x − 3y) = −3 = ∂
∂x
(2y − 3x ) e o domínio de F 
 é R2, que é aberto e simplesmente conexo, então F é 
conservativo. Assim, existe f tal que ∇f = F, ou seja, 
fx (x, y) = 2x - 3y e fy (x, y) = 2y - 3x. Mas 
fx (x, y) = 2x - 3y implica f (x, y) = x2 - 3yx + g (y) 
e a diferenciação de ambos os lados desta equação em relação 
a y fornece fy (x, y) = -3x + g′ (y). Logo, 
2y - 3x = -3x + g′ (y), então g′ (y) = 2y e 
g (y) = y2 + K, onde K é uma constante. Assim, 
f (x, y) = x2 - 3xy + y2 + K é uma potencial para F.
 2. 
∂
∂y
3x 2 − 4y = −4, ∂
∂x
4y2 − 2x = −2, e não são 
 iguais, então F não é conservativo.
 3. ∂
∂y
x 2 + y = 1, ∂
∂x
x 2 = 2x e não são iguais, então F
 não é conservativo.
 4. 
∂
∂y
x 2 + y = 1 = ∂
∂x
y2 + x e o domínio de F é 
 R2, que é aberto e simplesmente conexo. Logo, F é 
conservativo, de modo que existe f tal que ∇f = F. Então 
fx (x, y) = x2 + y implica f (x, y) =
1
3 x
3 + xy + g (y) 
e a diferenciação de ambos os lados em relação a y fornece 
 
f y (x, y) = x + g (y). Mas f y(x, y) = y2 + x, então
g (y) = y2 ou g (y) = 13 y
3 + K . Logo, uma potencial
para F é f (x, y) = 13 x
3 + xy + 13 y
3 + K.
 5. 
∂
∂y
1+ 4x 3y3 = 12x 3y2 = ∂
∂x
3x 4y2 e o domínio 
 de F é R2, que é aberto e simplesmente conexo. Logo, F é 
conservativo, de modo que existe f tal que ∇f = F. Então 
fx (x, y) = 1 + 4x3y3 implica f (x, y) = x + x4y3 + g (y) e 
fy (x, y) = 3x4y3 + g′ (y). Mas fy (x, y) = 3x4y2 
implica g(y) = K. Logo, uma potencial para F é 
f (x, y) = x + x4y3 + K.
 6. ∂
∂y
(y cos x − cos y) = cos x + sen y
=
∂
∂x
(sen x + x seny)
 e o domínio de F é R2, que é aberto e simplesmente conexo. 
Logo, F é conservativo, de modo que existe f tal que ∇f = F. 
Então fx (x, y) = y cos x - cos y 
implica f (x, y) = y sen x - x cos y + g(y) e 
fy (x, y) = sen x + x sen y + g′ (y). Mas 
fy (x, y) = sen x + x sen y, então g(y) = K. Logo, 
f (x, y) = y sen x - x cos y + K é uma potencial para F.
 7. 
∂
∂y
e2x + x sen y = x cos y , ∂
∂x
x 2 cos y = 2x cos y ,
 então F não é conservativo.
 8. 
∂
∂y
yexy + 4x 3y = exy (yx + 1)+ 4x 3
=
∂
∂x
xe xy + x 4
 e o domínio de F é R2. Logo, F é conservativo, de modo 
que existe f tal que ∇f = F. Então fx (x, y) = yexy + 4x3y 
 
implica f (x, y) = exy + x 4y + g (y) e
f y (x, y) = xe yx + x 4 + g (y). Mas f y (x, y) = xe xy + x 4
de modo que g (y) = K e f (x, y) = exy + x 4y + K é
,
uma potencial para F..
 9. ∂
∂y
x + y2 = 2y = ∂
∂x
2xy + y2 e o domínio de F é R2. 
 Logo, F é conservativo, de modo que existe f 
tal que ∇f = F. Então fx (x, y) = x + y2 
 
implica f (x, y) = x 2 / 2 + xy 2 + g (y) e
f y (x, y) = 2xy + g (y). Mas f y (x, y) = 2xy + y2
de modo que g (y) = y2 ou g (y) = 13 y
3 + K. Então
f (x, y) = 12 x
2 + xy 2 + 13 y
3 + K é uma potencial para F.
,
 10. (a) f x (x, y) = x implica f (x, y) = 12 x
2 + g (y) e
f y (x, y) = g (y). Mas f y (x, y) = y, de modo que
g (y) = 12 y
2+ K e f (x, y) = 12 x
2 + 12 y
2 + K (ou
considere K = 0)
(b) C F · dr = f (3 , 9) − f (−1, 1) = 44
 11. (a) f x (x, y) = y implica f (x, y) = xy + g (y) e
f y (x, y) = x + g (y). Mas f y (x, y) = x, de
modo que f (x, y) = xy (considerando K = 0).
(b) C F · dr = f (2 , 8) − f (1, 0) = 16
 12. (a) f x (x, y) = 2xy 3 implica f (x, y) = x 2y3 + g (y) e
de modo que
f y (x, y) = 3x 2y2 + g (y). Mas f y (x, y) = 3x 2y2
f (x, y) = x 2y3 (considerando K = 0).
(b) Uma vez que r (0) = 0, 1 e r pi2 = 1,
1
4 pi
2 + 4 ,
,
C F·dr = f 1,
1
4 pi
2 + 4 −f (0 , 1) = 164 pi
2 + 4 3 .
 13. (a) f x (x, y) = e2y implica f (x, y) = xe 2y + g (y) e
f y (x, y) = 2xe 2y + g (y). Mas f y (x, y) = 1+ 2xe 2y
de modo que g (y) = 1 e g (y) = y (considerando
K = 0). Portanto, f (x, y) = xe 2y + y .
(b) Uma vez que r (0) = 0, 1 e r (1) = e, 2 ,
C F · dr = f (e, 2)− f (0 , 1) = ( e) e
4 + 2−1 = e5 + 1.
,
16.3 SOLUÇÕES Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
4  SEÇÃO 16.3 O TEOREMA FUNDAMENTAL DAS INTEGRAIS DE LINHA
 14. (a) f x (x, y, z ) = y implica f (x, y, z ) = xy + g (y, z ) e
f y (x, y, z ) = x + ∂g/∂y . Mas f y (x, y, z ) = x + z
de modo que ∂g/∂y = z e g (y, z ) = yz + h (z ).
,
Portanto f (x, y, z ) = xy + yz + h (z ) e
f z (x, y, z ) = y + h (z ). Mas f z (x, y, z ) = y
modo que
, de
h (z ) = 0 ou h (z ) = K. Logo,
f (x, y, z ) = xy + yz (considerando K = 0).
(b) C F · dr = f (8 , 3,−1) − f (2, 1, 4) = 21 − 6 = 15
 15. (a) f x (x, y, z ) = 2xy 3 z 4 implica
f (x, y, z ) = x 2y3 z 4 + g (y, z ) e
f y (x, y, z ) = 3x 2y2 z 4 + gy (y, z ). Mas
f y (x, y, z ) = 3x 2y2 z 4 , então gy (y, z ) = h (z ),
e, também, f (x, y, z ) = x 2y3 z 4 + h (z ),
implica f z (x, y, z ) = 4x 2y3 z 3 + h (z ). Mas
f z (x, y, z ) = 4x 2y3 z 3 , então h (z ) = 0.
Logo, f (x, y, z ) = x 2y3 z 4 .
(b) r (0) = 0, 0, 0 e r (2) = 2, 4, 8 então
C F · dr = f (2 , 4, 8) − f (0, 0, 0) = 2
2 · 43 · 84 = 220 .
 16. (a) f x (x, y, z ) = 2xz + sen y implica
f (x, y, z ) = x 2 z + x sen y + g (y, z ) e
f y (x, y, z ) = x cos y + gy (y, z ). Mas
f y (x, y, z ) = x cos y, de modo que gy (y, z ) = 0 e
,
f (x, y, z ) = x 2 z + x sen y + h (z ). Logo
f z (x, y, z ) = x 2 + h (z ). Mas f z (x, y, z ) = x2
de modo que h (z ) = 0 e f (x, y, z ) = x 2 z + x sen y
(considerando K = 0).
(b) r (0) = 1, 0, 0 , r (2pi) = 1, 0, 2pi . Logo
C F · dr = f (1 , 0, 2pi) − f (1, 0, 0) = 2pi.
 
 17. (a) fx (x, y, z) = 4xez implica 
f (x, y, z) = 2x2ez + g (y, z) e 
fy (x, y, z) = gy (y, z). Mas fy (x, y, z) = cos y, de modo que 
gy (y, z) = cos y ou g (y, z) = sen y + h (z). Portanto, 
f (x, y, z) = 2x2ez + sen y + h (z), e 
fz (x, y, z) = 2x2ez + h’(z). Mas fz (x, y, z) = 2x2ez, de 
modo que h’(z) = 0 e f (x, y, z) = 2x2ez + sen y 
(considerando K = 0).
 
(b) r (0) = 0, 0, 0 , r (1) = 1, 1, 1 , de modo que
C F · dr = f (1 , 1, 1) − f (0 , 0, 0) = 2e + sen1.
 18. Aqui, F(x, y) = (2x sen y) i + (x2 cos y - 3y2) j. 
Então f (x, y) = x2 sen y - y3 é uma função potencial para F, 
ou seja, ∇f = F, de modo que F é conservativo e, 
portanto, sua integral de linha é independente da trajetória. 
Logo, 
 
C 2x sen y dx + x
2 cos y − 3y2 dy = C F · dr
= f (5 , 1) − f (−1, 0) = 25 sen1 − 1
 19. Aqui F(x, y) = (2y2 - 12x3y3) i + (4xy - 9x4y2) j. 
Então f (x, y) = 2xy2 - 3x4y3 é a função potencial para F, 
ou seja, ∇f = F. Logo, F é conservativo e sua integral de 
linha é independente da trajetória.
 
C 2y
2 − 12x 3y3 dx + 4xy − 9x 4y2 dy = C F · dr
= f (3, 2) − f (1, 1) = −1920 − (−1) = −1919
 20. F (x, y) = x 2y3 i + x 3y2 j, W = C F · dr. Uma vez que
∂
∂y
x 2y3 = 3x 2y2 = ∂
∂x
x 3y2 , existe a função f
tal que ∇f = F . Na verdade, f x = x 2y3 ⇒
f (x, y) = 13 x
3y3 + g (y) ⇒ f y = x 3y2 + g (y) ⇒
g (y) = 0, então podemos tomar f (x, y) = 13 x
3y3 . Logo
W = C F ·dr = f (2, 1)− f (0 , 0) =
1
3 2
3 13 −0 = 83 .

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