Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
SEÇÃO 16.3 O TEOREMA FUNDAMENTAL DAS INTEGRAIS DE LINHA 3 1. ∂ ∂y (2x − 3y) = −3 = ∂ ∂x (2y − 3x ) e o domínio de F é R2, que é aberto e simplesmente conexo, então F é conservativo. Assim, existe f tal que ∇f = F, ou seja, fx (x, y) = 2x - 3y e fy (x, y) = 2y - 3x. Mas fx (x, y) = 2x - 3y implica f (x, y) = x2 - 3yx + g (y) e a diferenciação de ambos os lados desta equação em relação a y fornece fy (x, y) = -3x + g′ (y). Logo, 2y - 3x = -3x + g′ (y), então g′ (y) = 2y e g (y) = y2 + K, onde K é uma constante. Assim, f (x, y) = x2 - 3xy + y2 + K é uma potencial para F. 2. ∂ ∂y 3x 2 − 4y = −4, ∂ ∂x 4y2 − 2x = −2, e não são iguais, então F não é conservativo. 3. ∂ ∂y x 2 + y = 1, ∂ ∂x x 2 = 2x e não são iguais, então F não é conservativo. 4. ∂ ∂y x 2 + y = 1 = ∂ ∂x y2 + x e o domínio de F é R2, que é aberto e simplesmente conexo. Logo, F é conservativo, de modo que existe f tal que ∇f = F. Então fx (x, y) = x2 + y implica f (x, y) = 1 3 x 3 + xy + g (y) e a diferenciação de ambos os lados em relação a y fornece f y (x, y) = x + g (y). Mas f y(x, y) = y2 + x, então g (y) = y2 ou g (y) = 13 y 3 + K . Logo, uma potencial para F é f (x, y) = 13 x 3 + xy + 13 y 3 + K. 5. ∂ ∂y 1+ 4x 3y3 = 12x 3y2 = ∂ ∂x 3x 4y2 e o domínio de F é R2, que é aberto e simplesmente conexo. Logo, F é conservativo, de modo que existe f tal que ∇f = F. Então fx (x, y) = 1 + 4x3y3 implica f (x, y) = x + x4y3 + g (y) e fy (x, y) = 3x4y3 + g′ (y). Mas fy (x, y) = 3x4y2 implica g(y) = K. Logo, uma potencial para F é f (x, y) = x + x4y3 + K. 6. ∂ ∂y (y cos x − cos y) = cos x + sen y = ∂ ∂x (sen x + x seny) e o domínio de F é R2, que é aberto e simplesmente conexo. Logo, F é conservativo, de modo que existe f tal que ∇f = F. Então fx (x, y) = y cos x - cos y implica f (x, y) = y sen x - x cos y + g(y) e fy (x, y) = sen x + x sen y + g′ (y). Mas fy (x, y) = sen x + x sen y, então g(y) = K. Logo, f (x, y) = y sen x - x cos y + K é uma potencial para F. 7. ∂ ∂y e2x + x sen y = x cos y , ∂ ∂x x 2 cos y = 2x cos y , então F não é conservativo. 8. ∂ ∂y yexy + 4x 3y = exy (yx + 1)+ 4x 3 = ∂ ∂x xe xy + x 4 e o domínio de F é R2. Logo, F é conservativo, de modo que existe f tal que ∇f = F. Então fx (x, y) = yexy + 4x3y implica f (x, y) = exy + x 4y + g (y) e f y (x, y) = xe yx + x 4 + g (y). Mas f y (x, y) = xe xy + x 4 de modo que g (y) = K e f (x, y) = exy + x 4y + K é , uma potencial para F.. 9. ∂ ∂y x + y2 = 2y = ∂ ∂x 2xy + y2 e o domínio de F é R2. Logo, F é conservativo, de modo que existe f tal que ∇f = F. Então fx (x, y) = x + y2 implica f (x, y) = x 2 / 2 + xy 2 + g (y) e f y (x, y) = 2xy + g (y). Mas f y (x, y) = 2xy + y2 de modo que g (y) = y2 ou g (y) = 13 y 3 + K. Então f (x, y) = 12 x 2 + xy 2 + 13 y 3 + K é uma potencial para F. , 10. (a) f x (x, y) = x implica f (x, y) = 12 x 2 + g (y) e f y (x, y) = g (y). Mas f y (x, y) = y, de modo que g (y) = 12 y 2+ K e f (x, y) = 12 x 2 + 12 y 2 + K (ou considere K = 0) (b) C F · dr = f (3 , 9) − f (−1, 1) = 44 11. (a) f x (x, y) = y implica f (x, y) = xy + g (y) e f y (x, y) = x + g (y). Mas f y (x, y) = x, de modo que f (x, y) = xy (considerando K = 0). (b) C F · dr = f (2 , 8) − f (1, 0) = 16 12. (a) f x (x, y) = 2xy 3 implica f (x, y) = x 2y3 + g (y) e de modo que f y (x, y) = 3x 2y2 + g (y). Mas f y (x, y) = 3x 2y2 f (x, y) = x 2y3 (considerando K = 0). (b) Uma vez que r (0) = 0, 1 e r pi2 = 1, 1 4 pi 2 + 4 , , C F·dr = f 1, 1 4 pi 2 + 4 −f (0 , 1) = 164 pi 2 + 4 3 . 13. (a) f x (x, y) = e2y implica f (x, y) = xe 2y + g (y) e f y (x, y) = 2xe 2y + g (y). Mas f y (x, y) = 1+ 2xe 2y de modo que g (y) = 1 e g (y) = y (considerando K = 0). Portanto, f (x, y) = xe 2y + y . (b) Uma vez que r (0) = 0, 1 e r (1) = e, 2 , C F · dr = f (e, 2)− f (0 , 1) = ( e) e 4 + 2−1 = e5 + 1. , 16.3 SOLUÇÕES Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp 4 SEÇÃO 16.3 O TEOREMA FUNDAMENTAL DAS INTEGRAIS DE LINHA 14. (a) f x (x, y, z ) = y implica f (x, y, z ) = xy + g (y, z ) e f y (x, y, z ) = x + ∂g/∂y . Mas f y (x, y, z ) = x + z de modo que ∂g/∂y = z e g (y, z ) = yz + h (z ). , Portanto f (x, y, z ) = xy + yz + h (z ) e f z (x, y, z ) = y + h (z ). Mas f z (x, y, z ) = y modo que , de h (z ) = 0 ou h (z ) = K. Logo, f (x, y, z ) = xy + yz (considerando K = 0). (b) C F · dr = f (8 , 3,−1) − f (2, 1, 4) = 21 − 6 = 15 15. (a) f x (x, y, z ) = 2xy 3 z 4 implica f (x, y, z ) = x 2y3 z 4 + g (y, z ) e f y (x, y, z ) = 3x 2y2 z 4 + gy (y, z ). Mas f y (x, y, z ) = 3x 2y2 z 4 , então gy (y, z ) = h (z ), e, também, f (x, y, z ) = x 2y3 z 4 + h (z ), implica f z (x, y, z ) = 4x 2y3 z 3 + h (z ). Mas f z (x, y, z ) = 4x 2y3 z 3 , então h (z ) = 0. Logo, f (x, y, z ) = x 2y3 z 4 . (b) r (0) = 0, 0, 0 e r (2) = 2, 4, 8 então C F · dr = f (2 , 4, 8) − f (0, 0, 0) = 2 2 · 43 · 84 = 220 . 16. (a) f x (x, y, z ) = 2xz + sen y implica f (x, y, z ) = x 2 z + x sen y + g (y, z ) e f y (x, y, z ) = x cos y + gy (y, z ). Mas f y (x, y, z ) = x cos y, de modo que gy (y, z ) = 0 e , f (x, y, z ) = x 2 z + x sen y + h (z ). Logo f z (x, y, z ) = x 2 + h (z ). Mas f z (x, y, z ) = x2 de modo que h (z ) = 0 e f (x, y, z ) = x 2 z + x sen y (considerando K = 0). (b) r (0) = 1, 0, 0 , r (2pi) = 1, 0, 2pi . Logo C F · dr = f (1 , 0, 2pi) − f (1, 0, 0) = 2pi. 17. (a) fx (x, y, z) = 4xez implica f (x, y, z) = 2x2ez + g (y, z) e fy (x, y, z) = gy (y, z). Mas fy (x, y, z) = cos y, de modo que gy (y, z) = cos y ou g (y, z) = sen y + h (z). Portanto, f (x, y, z) = 2x2ez + sen y + h (z), e fz (x, y, z) = 2x2ez + h’(z). Mas fz (x, y, z) = 2x2ez, de modo que h’(z) = 0 e f (x, y, z) = 2x2ez + sen y (considerando K = 0). (b) r (0) = 0, 0, 0 , r (1) = 1, 1, 1 , de modo que C F · dr = f (1 , 1, 1) − f (0 , 0, 0) = 2e + sen1. 18. Aqui, F(x, y) = (2x sen y) i + (x2 cos y - 3y2) j. Então f (x, y) = x2 sen y - y3 é uma função potencial para F, ou seja, ∇f = F, de modo que F é conservativo e, portanto, sua integral de linha é independente da trajetória. Logo, C 2x sen y dx + x 2 cos y − 3y2 dy = C F · dr = f (5 , 1) − f (−1, 0) = 25 sen1 − 1 19. Aqui F(x, y) = (2y2 - 12x3y3) i + (4xy - 9x4y2) j. Então f (x, y) = 2xy2 - 3x4y3 é a função potencial para F, ou seja, ∇f = F. Logo, F é conservativo e sua integral de linha é independente da trajetória. C 2y 2 − 12x 3y3 dx + 4xy − 9x 4y2 dy = C F · dr = f (3, 2) − f (1, 1) = −1920 − (−1) = −1919 20. F (x, y) = x 2y3 i + x 3y2 j, W = C F · dr. Uma vez que ∂ ∂y x 2y3 = 3x 2y2 = ∂ ∂x x 3y2 , existe a função f tal que ∇f = F . Na verdade, f x = x 2y3 ⇒ f (x, y) = 13 x 3y3 + g (y) ⇒ f y = x 3y2 + g (y) ⇒ g (y) = 0, então podemos tomar f (x, y) = 13 x 3y3 . Logo W = C F ·dr = f (2, 1)− f (0 , 0) = 1 3 2 3 13 −0 = 83 .
Compartilhar