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ESTADO PLANO DE TENSÕES ( Circulo de Mohr)

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CENTRO UNIVERSITÁRIO MAURÍCIO DE NASSAU 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
TATIANE MARIA DA SILVA 
 
 
 
 
 
ESTADO PLANO DE 
TENSÕES 
 ( Circulo de Mohr) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RECIFE – PE, 08 de NOVEMBRO de 2014. 
 2 
CENTRO UNIVERSITÁRIO MAURÍCIO DE NASSAU 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIAS 
CURSO DE BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tatiane Maria da Silva – Mat. 01066614 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RECIFE – PE, 08 de NOVEMBRO de 2014. 
Relatório apresentado a Profº. Augusto 
Rodrigues, titular da disciplina de 
Resistência, referente a pesquisa que 
objetiva a composição de nota 
avaliatória da respectiva disciplina. 
 3 
SUMÁRIO 
 
 
INTRODUÇÃO ...................................................................................................................... 4 
ESTADO PLANO DE TENSÕES....................................................................................... 5 
Estado plano de tensão em superfície curvas............................................................ 6 
Estado plano de deformação........................................................................................... 6 
Transformação da tensão em estado plano de tensão e estado 
plano de deformação .................................................................................................. 7 
CÍRCULO DE MOHR ................................................................................................... 10 
Convenção de Sinais ................................................................................................ 12 
Construção do Círculo de Mohr.......................................................................... 12 
Tensões num Elemento Inclinado ..................................................................... 13 
Tensões Principais ..................................................................................................... 13 
Tensões Cisalhantes Máximas ............................................................................ 14 
Comentários Gerais ......................................................................................................... 14 
EXERCÍCIO ......................................................................................................................... 15 
RESPOSTA ......................................................................................................................... 15 
Conclusão ........................................................................................................................... 18 
Referências Bibliográficas ............................................................................................. 19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
INTRODUÇÃO 
 
O presente trabalho vem expor como se da o uso do círculo de Mohr, para o 
nosso entendimento na engenharia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
ESTADO PLANO DE TENSÕES 
 
Na mecânica de meios contínuos, diz-se que um material está sob o Estado 
Plano de Tensão quando o vector de tensão normal a uma superfície particular é 
zero. Quando esta situação ocorre sobre um elemento de estrutura inteiro, no caso 
de placas finas, a análise de tensões simplifica-se, já que o estado de tensão pode 
ser representado por um tensor de dimensão 2 (apresentável através de uma 
matriz de 2 × 2 em vez de uma matriz 3 × 3). 
O estado plano de tensão ocorre tipicamente em placas finas que são sujeitas 
apenas a forças de carga paralelas a elas. Em algumas situações, uma placa com 
uma pequena curva pode ser assumida como tendo estado plano de tensão para 
propósitos de análise de tensões. No caso de um cilindro com paredes finas 
ocupado por um fluido sob pressão. As componentes de tensão perpendiculares à 
placa são negligenciáveis quando comparadas com aquelas que são paralelas à 
mesma. 
Em outras situações, contudo, a tensão de flexão de uma placa fina não pode 
ser desprezada. A análise pode ser simplificada através do uso de um domínio 
bidimensional, mas o tensor de estado plano de tensão para cada ponto deve ser 
complementado com os termos de flexão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 estado plano de tensão num espaço contínuo 
 
 Definição matemática 
A tensão em qualquer ponto do material está em estado plano de tensão se 
uma das três tensões principais (os valores próprios do tensor das tensões de 
Cauchy) é zero, isto é, o tensor de tensões no sistema de coordenadas 
cartesiano é, 
 
 11 0 0 x 0 0 
σ = 0 22 0 = 0 y 0 
 0 0 0 0 0 0 
Mais genericamente, se se escolhem as duas primeiras coordenadas 
arbitrariamente mas perpendiculares à direcção de tensão zero, o tensor de 
tensões terá a forma, 
 6 
 
 11 12 0 x xy 0 
σ = 21 22 0 = yx y 0 
 0 0 0 0 0 0 
e poderá portanto ser representada em forma de matriz 2 × 2, 
 
 σ = 11 12 = x xy 
 21 22 yx y 
 
A. Estado Plano de Tensão em superfícies curvas 
 
Em alguns casos, o modelo de estado plano de tensão pode ser usado na 
análise de superfícies ligeiramente curvas. Por exemplo, considere-se um cilindro 
de paredes finas sujeito a uma força de compressão axial distribuída 
uniformemente ao longo do seu aro, estando este ocupado por um fluido 
pressurizado. A pressão interna gerará uma tensão cilíndrica na parede, uma 
tensão de tracção normal directamente perpendicular ao eixo do cilindro e 
tangencial à sua superfície. O cilindro pode ser conceptualmente desenrolado e 
analisado como uma placa rectangular fina sujeita a uma tensão de tracção numa 
direcção e a uma tensão de compressão na outra direcção, ambas paralelas à 
placa. 
 
B. Estado Plano de Deformação 
 
Se uma dimensão é muito grande comparada com as outras, a tensão 
principal na direção da dimensão mais longa é desprezada e pode ser considerada 
zero, cedendo à condição de estado plano de deformação. Neste caso, apesar de 
todas as tensões principais não serem zero, a tensão principal na direcção da 
dimensão mais longa pode ser ignorada para os cálculos. Logo, isto permite uma 
análise bidimensional das tensões, como é o caso da análise de barragens na 
seção de corte carregada pelas reservas. 
 
 
 
 
 
estado plano de tensão num espaço contínuo 
 
 7 
 
O tensor de deformações correspondente é, 
 
 E11 E12 0 
Eij = E21 E22 0 
 0 0 E33 
 
 
Transformação da tensão em estado plano de tensão e estado 
plano de deformação 
 
Um ponto P num meio contínuo sob um estado plano de tensão, com as 
componentes de tensão (x , y , xy ) e todas as outras componentes de tensão 
iguais a zero. A partir do equilíbrio estático de um elemento material infinitesimal 
em P, a tensão normal σn e a tensão de corte n em qualquer plano perpendicular 
ao plano x-y que passe através de P com um vector unitário n fazendo um ângulo θ 
com a horizontal, ou seja, cosθ, é a direção cosenona direcção x, são fornecidos 
por, 
 
 n = 1/2 (x + y ) + 1/2 (x - y ) cos2θ+ xysen2θ 
 
 n = -1/2 (x - y ) sen2θ + xycos2θ 
 
 
 
 
 
 
 
 
estado plano da tensão num ponto do meio contínuo sob condições de estado plano de tensão 
As equações indicam que numa condição de estado plano de tensão ou 
estado plano de deformação, podem-se determinar as componentes da tensão 
num ponto em todas as direcções, ou seja, como uma função de θ, se souber as 
componentes de tensão (x, y, xy ) em quaisquer duas direções perpendiculares 
 8 
nesse ponto. A unidade de área de um elemento infinitesimal numa direção 
paralela ao plano y-z . 
As direções principais, ou seja, a orientação dos planos onde as componentes 
de tensão de corte são zero, podem ser obtidas pela aplicação da equação anterior 
para a tensão de corte n igual a zero. Então, 
 
 n = -1/2 (x - y ) sen2θ + xycos2θ=0 
 
 tan2θP = 2xy 
 x - y 
 
 
 
 
 
 
 
 
componentes da tensão num plano que passa através de um ponto do meio contínuo sob 
condições de estado plano de tensão 
 
Esta equação define dois valores θP os quais estão separados por 90° em ângulo. 
O mesmo resultado pode ser obtido por encontrar o ângulo θ que faça com que a 
tensão normal σn seja máxima, ou seja, d n = 0. 
 dθ 
As tensões principais σ1 e σ2, ou as tensões normais máximas e 
mínimas máx e mín, respectivamente, podem então ser obtidas pela substituição 
de ambos os valores de θP na equação anterior para n. Isto pode ser atingido pelo 
rearranjo das equações para n e n, primeiro transpondo o primeiro termo na 
primeira equação elevar ao quadrado ambos as margens de cada equação, 
somando-as depois. Logo: 
 
 
[ σn – 1/2( σx + σy)]² + n² = [ 1/2(x + y)]² + xy² 
 
 (n - avg)² + n² = R² 
 
 R = √ [1/2(x - y)]² + n² e med = 1/2(x + y) 
 
 9 
é a equação de um círculo de raio R centrado num ponto de coordenadas [med, 0], 
denominado Círculo de Mohr. Conhecendo-o para as tensões principais e a 
tensão de corte n = 0, obtém-se esta equação, 
 
 1 = máx = 1/2(x + y) + √ [1/2(x - y)]² + xy² 
 2 = mín = 1/2(x + y) - √ [1/2(x - y)]² + xy² 
 
 
 
 
 
 
 
 
transformação das tensões em duas dimensões, mostrando os planos de ação das tensões 
principais, e as tensões de corte máximas e mínimas. 
Quando xy = 0 o elemento infinitesimal estão orientado na direção das 
tensões principais, pelo que as tensões que atuam no elemento retangular são as 
tensões principais, x = 1 e y = 2. Então a tensão normal n e a tensão de 
corte n como uma função das tensões principais podem ser determinados através 
da aplicação de xy = 0. 
 
 n= 1/2(1 + 2 ) + 1/2(1 – 2 )cos2θ, 
 
 n = - 1/2 (1 – 2 )sen2θ 
A tensão de corte máxima máx ocorre quando sen2θ = 1, ou seja, θ = 45°. 
 máx = 1/2 (1 – 2 )sen2θ 
A tensão de corte mínima mín ocorre quando sen2θ = -1, ou seja, θ = 135°. 
 mín = - 1/2 (1 – 2 ) 
 
 
 
 
 
 
 10 
CÍRCULO DE MOHR 
 
 O Círculo de Mohr é uma forma gráfica de resolver um estado de tensões. 
Para que seja possível o uso do Círculo de Mohr, é necessário que cada plano seja 
representado por um ponto em um sistema de coordenadas (; ), como mostra na 
figura. 
 
 
 
 
 
plano representado pelas tensões que nele atuam no sistema ; . 
 É possível notar que: 
 
a. Os planos das tensões principais são representados por pontos que se 
encontram no eixo , já que neles a tensão de cisalhamento é igual a zero. 
 
b. As tensões de cisalhamento, máxima e mínima, são representadas por 
pontos que são simétricos em relação ao eixo . Lembrar que nestes planos 
ocorre a mesma tensão normal e que as tensões de cisalhamento são iguais 
e de sinais opostos. 
 
 
 
 
 
planos das tensões de cisalhamento, máxima e mínima. 
c. A tensão normal que atua nos planos das tensões de cisalhamento, máxima 
e mínima, é igual à média aritmética das tensões principais. 
 
d. Planos perpendiculares entre si são representados por pontos que à mesma 
distância do eixo, porém em lados opostos. A tensão normal média dos dois 
planos é igual à tensão média das tensões principais 
 
 
 
 
 
plano representado pelas tensões que nele atuam no sistema ; . 
 11 
 
e. A figura geométrica que satisfaz a todas estas condições simultaneamente é 
um círculo. A este círculo se dá o nome de Círculo de Mohr. 
 
 
 
 
 
 
círculo de Mohr 
De acordo com o exposto, é possível traçar o Círculo do Mohr para qualquer 
estado duplo. Deve observar: 
 
1. Os planos perpendiculares entre si são representados por pontos 
diametralmente opostos. 
2. O centro do Círculo de Mohr se encontra no eixo . 
3. A 1 se determina interseção entre o eixo e o lado direito do círculo. 
4. A 2 se determina interseção entre o eixo e o lado esquerdo do círculo. 
5. As máx e mín, são determinadas pelas tangentes horizontais ao círculo. 
6. Conhecidas as tensões em dois planos perpendiculares entre si, o centro do 
círculo de Mohr se encontra na média entre as tensões normais que atuam 
nestes planos. 
7. Conhecidas as tensões em dois planos perpendiculares entre si, o raio do 
círculo de Mohr pode ser determinado pela hipotenusa do triângulo 
hachurado. 
 
 
 
 
 
 
 
determinação do raio do círculo de Mohr 
8. A tensão principal máxima pode ser determinada pela soma entre o raio do 
círculo e a tensão normal média dos planos perpendiculares entre si. 
9. A tensão principal mínima pode ser determinada pela diferença entre o raio do 
círculo e a tensão normal média dos planos perpendiculares entre si. 
10. O ângulo entre um plano do estado duplo e o plano onde atua 1, pode ser 
determinado por: 
 
 
 
 12 
 
 
 
 
 
determinação do ângulo entre dois planos no círculo de Mohr 
O ângulo Ω é o ângulo entre o plano A e o plano de 1. Na mesma figura o 
ângulo  é o ângulo entre o plano B e o plano de 1. 
 
1. Convenção de Sinais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Construção do Círculo de Mohr 
 
I. Localizar centro do circulo C ( = med e  = 0); 
II. Localizar ponto A ( = x e τ = xy); 
III. Localizar ponto B ( = y e τ = -xy); 
IV. Desenhar linha AB (diametro do circulo) 
V. Usando C como centro, desenhar o Circulo de Mohr atraves dos pontos A e B. 
VI. Linhas AC e CB sao os raios do circulo de Mohr; 
VII. Linha AC e a hipotenusa de um triangulo reto de lados (x - y)/2 e xy); 
VIII. Logo, AC = R: 
 
 
 
Tensão de cisalhamento horárias 
 
Tensão de cisalhamento anti-horárias 
 
 13 
3. Tensões num Elemento Inclinado 
 
I. x’ , x’ e x’y’ podem ser calculadas usando o circulo de Mohr (θ conhecido); 
II. No desenho ao lado, o ponto A equivale a θ = 0 (ponto de referencia para medição 
III. dos ângulos); 
IV. No circulo de Mohr, os ângulos medidos são 2θ; 
V. Girando-se 2θ a reta AC localiza-se o ponto D (θ = θ). 
VI. No circulo de Mohr os pontos A e B estão separados por 180°; 
VII. Nas faces correspondentes dos elementos, os pontos A e B estão separados por 
90°; 
VIII. Ja os pontos D e D’, distantes no circulo de Mohr do ponto A de distancias 2θ e 
IX. (180° + 2θ), estão distantesde A no elemento θ e (90° + θ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Tensões Principais 
 
I. No circulo de Mohr os pontos P1 e P2 representam os valores máximos e 
mínimos das tensões normais; 
II. Para o ponto P1 o angulo em relação ao ponto de referencia (ponto A) e 2θ 
P1; 
III. Da geometria do circulo e possível concluir que: 
 
 1 = OC + CP1 = x + y + R 
 2 
 
 2 = OC - CP1 = x + y - R 
 2 
 
 cos2θP1 = x - y sen2θP1 = xy 
 2R R 
 
 
 14 
5. Tensões Cisalhantes Máximas 
 
I. Os pontos S1 e S2 representam os valores de cisalhamento máximos e 
mínimos; 
II. Os pontos S1 e S2 estão distantes a ângulos 2θ = 90° dos pontos P1 e P2 ; 
 
 θs = θP ± 45° 
 
III. As tensões cisalhantes máximas são numericamente iguais ao raio do circulo: 
 
 
 máx = R = √ x - y + (xy)² 
 2 
 
 
IV. As tensões normais no plano de cisalhamento máximo são: 
 
 méd = x + y 
 2 
 
 
6. Comentários Gerais 
 
A. Cículo de Mohr para casos de tensão uni-axial: 
 
 
 
 
 
 
 
B. Cículo de Mohr para casos de cisalhamento puro: 
 
 
 
 
 
 
 15 
EXERCÍCIO 
 
1) Para o elemento em estado plano de tensões indicado 
abaixo, determine: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) O plano e a intensidade das tensões principais; 
(b) As c omponentes de tensão do elemento se ele for girado 30º no sentido anti 
horário. 
 
RESPOSTA 
x = 100 MPa y = 60 MPa xy = -48 MPa 
(a) O plano e a intensidade das tensões principais; 
 
Ponto C 
abscissa: méd = x + y méd = 100 + 60 méd = 80 MPa 
 2 2 
ordenada: xy = 0 
Cálculo do Raio do Círculo de Mohr 
 
R = CX = √ (CF)² + (FX)² 
 
CF = x + méd = 100 – 80 = 20MPa 
 
Fx = 48MPa 
 
R = √ (20)² + (48)² R = 52 MPa 
 
 
 
 
 16 
 
 CF = 20MPa 
 
 FX = 48MPa 
 
 tg2θP1 = FX = 48 = 2,4 
 CF 20 
 
 tgθP1 = -2 ± √ (2)² - (4 x 2,4 x -2,4) 
(2 x 2,4) 
 
tgθP1 = -2 ± 5,2 θP1 = 33,7° 
a. 4,8 
máx = OA = OC + CA min = OB = OC - BC 
máx = méd + R = 80 + 52 min = méd - R = 80 – 52 
máx = 132MPa min = 28MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 17 
 
(b) As componentes de tensão do elemento se ele for girado 30º no sentido anti 
- horário. 
 
 
Ø = 180° - 2θ - 2θP1 Ø = 180° - 60 – 67,4° Ø = 52,6° 
 
x’ = OK = OC - KC x’ = méd - RcosØ 
x’ = 80 – 52cos52,6° x’ = 48,4MPa 
 
 
y’ = OL = OC + CL y’ = méd + RcosØ 
y’ = 80 + 52cos52,6° y’ = 111,6MPa 
 
 
x’y’ = KX’ = RsenØ = 52sen52,6° x’ = 41,3MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 18 
CONCLUSÃO 
 
Vimos que o Círculo de Mohr é fundamental na formação dos Engenheiros 
Civis e Mecânicos. Disciplinas que devem ser ensinadas após a Resistência dos 
Materiais, tais como Elementos de Máquinas e Teoria das Estruturas, entre tantas 
outras. Podemos observar que para podermos chegar ao uso do círculo de Mohr, 
se faz necessário antes, entender como funciona o estado plano de tensões, pois 
todo o estudo vem de acordo com as tensões geradas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 19 
Referências Bibliográficas 
 
http://www.fat.uerj.br/intranet/disciplinas/Resistencia%20dos%20Materiais%20X/NE
W/6_Circulo%20de%20Mohr.pdf 
 
http://www.petmec.uff.br/sites/default/files/downloads/V%20Circulo%20de%20Mohr
%20Tensoes.pdf 
 
http://webserver2.tecgraf.puc-rio.br/etools/mohr/ 
 
http://home.ufam.edu.br/ivaldo/Aulas/Geologia%20Estrutural/ApostilaEstrutural%20
Tens%C3%B5es%20e%20Ciclo%20de%20Mohr%20UNICAMP.pdf 
 
http://www.fem.unicamp.br/~assump/Projetos/2010/g9.pdf

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