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CENTRO UNIVERSITÁRIO MAURÍCIO DE NASSAU DEPARTAMENTO DE ENGENHARIAS TATIANE MARIA DA SILVA ESTADO PLANO DE TENSÕES ( Circulo de Mohr) RECIFE – PE, 08 de NOVEMBRO de 2014. 2 CENTRO UNIVERSITÁRIO MAURÍCIO DE NASSAU DEPARTAMENTO DE ENGENHARIAS CURSO DE BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL Tatiane Maria da Silva – Mat. 01066614 RECIFE – PE, 08 de NOVEMBRO de 2014. Relatório apresentado a Profº. Augusto Rodrigues, titular da disciplina de Resistência, referente a pesquisa que objetiva a composição de nota avaliatória da respectiva disciplina. 3 SUMÁRIO INTRODUÇÃO ...................................................................................................................... 4 ESTADO PLANO DE TENSÕES....................................................................................... 5 Estado plano de tensão em superfície curvas............................................................ 6 Estado plano de deformação........................................................................................... 6 Transformação da tensão em estado plano de tensão e estado plano de deformação .................................................................................................. 7 CÍRCULO DE MOHR ................................................................................................... 10 Convenção de Sinais ................................................................................................ 12 Construção do Círculo de Mohr.......................................................................... 12 Tensões num Elemento Inclinado ..................................................................... 13 Tensões Principais ..................................................................................................... 13 Tensões Cisalhantes Máximas ............................................................................ 14 Comentários Gerais ......................................................................................................... 14 EXERCÍCIO ......................................................................................................................... 15 RESPOSTA ......................................................................................................................... 15 Conclusão ........................................................................................................................... 18 Referências Bibliográficas ............................................................................................. 19 4 INTRODUÇÃO O presente trabalho vem expor como se da o uso do círculo de Mohr, para o nosso entendimento na engenharia. 5 ESTADO PLANO DE TENSÕES Na mecânica de meios contínuos, diz-se que um material está sob o Estado Plano de Tensão quando o vector de tensão normal a uma superfície particular é zero. Quando esta situação ocorre sobre um elemento de estrutura inteiro, no caso de placas finas, a análise de tensões simplifica-se, já que o estado de tensão pode ser representado por um tensor de dimensão 2 (apresentável através de uma matriz de 2 × 2 em vez de uma matriz 3 × 3). O estado plano de tensão ocorre tipicamente em placas finas que são sujeitas apenas a forças de carga paralelas a elas. Em algumas situações, uma placa com uma pequena curva pode ser assumida como tendo estado plano de tensão para propósitos de análise de tensões. No caso de um cilindro com paredes finas ocupado por um fluido sob pressão. As componentes de tensão perpendiculares à placa são negligenciáveis quando comparadas com aquelas que são paralelas à mesma. Em outras situações, contudo, a tensão de flexão de uma placa fina não pode ser desprezada. A análise pode ser simplificada através do uso de um domínio bidimensional, mas o tensor de estado plano de tensão para cada ponto deve ser complementado com os termos de flexão estado plano de tensão num espaço contínuo Definição matemática A tensão em qualquer ponto do material está em estado plano de tensão se uma das três tensões principais (os valores próprios do tensor das tensões de Cauchy) é zero, isto é, o tensor de tensões no sistema de coordenadas cartesiano é, 11 0 0 x 0 0 σ = 0 22 0 = 0 y 0 0 0 0 0 0 0 Mais genericamente, se se escolhem as duas primeiras coordenadas arbitrariamente mas perpendiculares à direcção de tensão zero, o tensor de tensões terá a forma, 6 11 12 0 x xy 0 σ = 21 22 0 = yx y 0 0 0 0 0 0 0 e poderá portanto ser representada em forma de matriz 2 × 2, σ = 11 12 = x xy 21 22 yx y A. Estado Plano de Tensão em superfícies curvas Em alguns casos, o modelo de estado plano de tensão pode ser usado na análise de superfícies ligeiramente curvas. Por exemplo, considere-se um cilindro de paredes finas sujeito a uma força de compressão axial distribuída uniformemente ao longo do seu aro, estando este ocupado por um fluido pressurizado. A pressão interna gerará uma tensão cilíndrica na parede, uma tensão de tracção normal directamente perpendicular ao eixo do cilindro e tangencial à sua superfície. O cilindro pode ser conceptualmente desenrolado e analisado como uma placa rectangular fina sujeita a uma tensão de tracção numa direcção e a uma tensão de compressão na outra direcção, ambas paralelas à placa. B. Estado Plano de Deformação Se uma dimensão é muito grande comparada com as outras, a tensão principal na direção da dimensão mais longa é desprezada e pode ser considerada zero, cedendo à condição de estado plano de deformação. Neste caso, apesar de todas as tensões principais não serem zero, a tensão principal na direcção da dimensão mais longa pode ser ignorada para os cálculos. Logo, isto permite uma análise bidimensional das tensões, como é o caso da análise de barragens na seção de corte carregada pelas reservas. estado plano de tensão num espaço contínuo 7 O tensor de deformações correspondente é, E11 E12 0 Eij = E21 E22 0 0 0 E33 Transformação da tensão em estado plano de tensão e estado plano de deformação Um ponto P num meio contínuo sob um estado plano de tensão, com as componentes de tensão (x , y , xy ) e todas as outras componentes de tensão iguais a zero. A partir do equilíbrio estático de um elemento material infinitesimal em P, a tensão normal σn e a tensão de corte n em qualquer plano perpendicular ao plano x-y que passe através de P com um vector unitário n fazendo um ângulo θ com a horizontal, ou seja, cosθ, é a direção cosenona direcção x, são fornecidos por, n = 1/2 (x + y ) + 1/2 (x - y ) cos2θ+ xysen2θ n = -1/2 (x - y ) sen2θ + xycos2θ estado plano da tensão num ponto do meio contínuo sob condições de estado plano de tensão As equações indicam que numa condição de estado plano de tensão ou estado plano de deformação, podem-se determinar as componentes da tensão num ponto em todas as direcções, ou seja, como uma função de θ, se souber as componentes de tensão (x, y, xy ) em quaisquer duas direções perpendiculares 8 nesse ponto. A unidade de área de um elemento infinitesimal numa direção paralela ao plano y-z . As direções principais, ou seja, a orientação dos planos onde as componentes de tensão de corte são zero, podem ser obtidas pela aplicação da equação anterior para a tensão de corte n igual a zero. Então, n = -1/2 (x - y ) sen2θ + xycos2θ=0 tan2θP = 2xy x - y componentes da tensão num plano que passa através de um ponto do meio contínuo sob condições de estado plano de tensão Esta equação define dois valores θP os quais estão separados por 90° em ângulo. O mesmo resultado pode ser obtido por encontrar o ângulo θ que faça com que a tensão normal σn seja máxima, ou seja, d n = 0. dθ As tensões principais σ1 e σ2, ou as tensões normais máximas e mínimas máx e mín, respectivamente, podem então ser obtidas pela substituição de ambos os valores de θP na equação anterior para n. Isto pode ser atingido pelo rearranjo das equações para n e n, primeiro transpondo o primeiro termo na primeira equação elevar ao quadrado ambos as margens de cada equação, somando-as depois. Logo: [ σn – 1/2( σx + σy)]² + n² = [ 1/2(x + y)]² + xy² (n - avg)² + n² = R² R = √ [1/2(x - y)]² + n² e med = 1/2(x + y) 9 é a equação de um círculo de raio R centrado num ponto de coordenadas [med, 0], denominado Círculo de Mohr. Conhecendo-o para as tensões principais e a tensão de corte n = 0, obtém-se esta equação, 1 = máx = 1/2(x + y) + √ [1/2(x - y)]² + xy² 2 = mín = 1/2(x + y) - √ [1/2(x - y)]² + xy² transformação das tensões em duas dimensões, mostrando os planos de ação das tensões principais, e as tensões de corte máximas e mínimas. Quando xy = 0 o elemento infinitesimal estão orientado na direção das tensões principais, pelo que as tensões que atuam no elemento retangular são as tensões principais, x = 1 e y = 2. Então a tensão normal n e a tensão de corte n como uma função das tensões principais podem ser determinados através da aplicação de xy = 0. n= 1/2(1 + 2 ) + 1/2(1 – 2 )cos2θ, n = - 1/2 (1 – 2 )sen2θ A tensão de corte máxima máx ocorre quando sen2θ = 1, ou seja, θ = 45°. máx = 1/2 (1 – 2 )sen2θ A tensão de corte mínima mín ocorre quando sen2θ = -1, ou seja, θ = 135°. mín = - 1/2 (1 – 2 ) 10 CÍRCULO DE MOHR O Círculo de Mohr é uma forma gráfica de resolver um estado de tensões. Para que seja possível o uso do Círculo de Mohr, é necessário que cada plano seja representado por um ponto em um sistema de coordenadas (; ), como mostra na figura. plano representado pelas tensões que nele atuam no sistema ; . É possível notar que: a. Os planos das tensões principais são representados por pontos que se encontram no eixo , já que neles a tensão de cisalhamento é igual a zero. b. As tensões de cisalhamento, máxima e mínima, são representadas por pontos que são simétricos em relação ao eixo . Lembrar que nestes planos ocorre a mesma tensão normal e que as tensões de cisalhamento são iguais e de sinais opostos. planos das tensões de cisalhamento, máxima e mínima. c. A tensão normal que atua nos planos das tensões de cisalhamento, máxima e mínima, é igual à média aritmética das tensões principais. d. Planos perpendiculares entre si são representados por pontos que à mesma distância do eixo, porém em lados opostos. A tensão normal média dos dois planos é igual à tensão média das tensões principais plano representado pelas tensões que nele atuam no sistema ; . 11 e. A figura geométrica que satisfaz a todas estas condições simultaneamente é um círculo. A este círculo se dá o nome de Círculo de Mohr. círculo de Mohr De acordo com o exposto, é possível traçar o Círculo do Mohr para qualquer estado duplo. Deve observar: 1. Os planos perpendiculares entre si são representados por pontos diametralmente opostos. 2. O centro do Círculo de Mohr se encontra no eixo . 3. A 1 se determina interseção entre o eixo e o lado direito do círculo. 4. A 2 se determina interseção entre o eixo e o lado esquerdo do círculo. 5. As máx e mín, são determinadas pelas tangentes horizontais ao círculo. 6. Conhecidas as tensões em dois planos perpendiculares entre si, o centro do círculo de Mohr se encontra na média entre as tensões normais que atuam nestes planos. 7. Conhecidas as tensões em dois planos perpendiculares entre si, o raio do círculo de Mohr pode ser determinado pela hipotenusa do triângulo hachurado. determinação do raio do círculo de Mohr 8. A tensão principal máxima pode ser determinada pela soma entre o raio do círculo e a tensão normal média dos planos perpendiculares entre si. 9. A tensão principal mínima pode ser determinada pela diferença entre o raio do círculo e a tensão normal média dos planos perpendiculares entre si. 10. O ângulo entre um plano do estado duplo e o plano onde atua 1, pode ser determinado por: 12 determinação do ângulo entre dois planos no círculo de Mohr O ângulo Ω é o ângulo entre o plano A e o plano de 1. Na mesma figura o ângulo é o ângulo entre o plano B e o plano de 1. 1. Convenção de Sinais 2. Construção do Círculo de Mohr I. Localizar centro do circulo C ( = med e = 0); II. Localizar ponto A ( = x e τ = xy); III. Localizar ponto B ( = y e τ = -xy); IV. Desenhar linha AB (diametro do circulo) V. Usando C como centro, desenhar o Circulo de Mohr atraves dos pontos A e B. VI. Linhas AC e CB sao os raios do circulo de Mohr; VII. Linha AC e a hipotenusa de um triangulo reto de lados (x - y)/2 e xy); VIII. Logo, AC = R: Tensão de cisalhamento horárias Tensão de cisalhamento anti-horárias 13 3. Tensões num Elemento Inclinado I. x’ , x’ e x’y’ podem ser calculadas usando o circulo de Mohr (θ conhecido); II. No desenho ao lado, o ponto A equivale a θ = 0 (ponto de referencia para medição III. dos ângulos); IV. No circulo de Mohr, os ângulos medidos são 2θ; V. Girando-se 2θ a reta AC localiza-se o ponto D (θ = θ). VI. No circulo de Mohr os pontos A e B estão separados por 180°; VII. Nas faces correspondentes dos elementos, os pontos A e B estão separados por 90°; VIII. Ja os pontos D e D’, distantes no circulo de Mohr do ponto A de distancias 2θ e IX. (180° + 2θ), estão distantesde A no elemento θ e (90° + θ). 4. Tensões Principais I. No circulo de Mohr os pontos P1 e P2 representam os valores máximos e mínimos das tensões normais; II. Para o ponto P1 o angulo em relação ao ponto de referencia (ponto A) e 2θ P1; III. Da geometria do circulo e possível concluir que: 1 = OC + CP1 = x + y + R 2 2 = OC - CP1 = x + y - R 2 cos2θP1 = x - y sen2θP1 = xy 2R R 14 5. Tensões Cisalhantes Máximas I. Os pontos S1 e S2 representam os valores de cisalhamento máximos e mínimos; II. Os pontos S1 e S2 estão distantes a ângulos 2θ = 90° dos pontos P1 e P2 ; θs = θP ± 45° III. As tensões cisalhantes máximas são numericamente iguais ao raio do circulo: máx = R = √ x - y + (xy)² 2 IV. As tensões normais no plano de cisalhamento máximo são: méd = x + y 2 6. Comentários Gerais A. Cículo de Mohr para casos de tensão uni-axial: B. Cículo de Mohr para casos de cisalhamento puro: 15 EXERCÍCIO 1) Para o elemento em estado plano de tensões indicado abaixo, determine: (a) O plano e a intensidade das tensões principais; (b) As c omponentes de tensão do elemento se ele for girado 30º no sentido anti horário. RESPOSTA x = 100 MPa y = 60 MPa xy = -48 MPa (a) O plano e a intensidade das tensões principais; Ponto C abscissa: méd = x + y méd = 100 + 60 méd = 80 MPa 2 2 ordenada: xy = 0 Cálculo do Raio do Círculo de Mohr R = CX = √ (CF)² + (FX)² CF = x + méd = 100 – 80 = 20MPa Fx = 48MPa R = √ (20)² + (48)² R = 52 MPa 16 CF = 20MPa FX = 48MPa tg2θP1 = FX = 48 = 2,4 CF 20 tgθP1 = -2 ± √ (2)² - (4 x 2,4 x -2,4) (2 x 2,4) tgθP1 = -2 ± 5,2 θP1 = 33,7° a. 4,8 máx = OA = OC + CA min = OB = OC - BC máx = méd + R = 80 + 52 min = méd - R = 80 – 52 máx = 132MPa min = 28MPa 17 (b) As componentes de tensão do elemento se ele for girado 30º no sentido anti - horário. Ø = 180° - 2θ - 2θP1 Ø = 180° - 60 – 67,4° Ø = 52,6° x’ = OK = OC - KC x’ = méd - RcosØ x’ = 80 – 52cos52,6° x’ = 48,4MPa y’ = OL = OC + CL y’ = méd + RcosØ y’ = 80 + 52cos52,6° y’ = 111,6MPa x’y’ = KX’ = RsenØ = 52sen52,6° x’ = 41,3MPa 18 CONCLUSÃO Vimos que o Círculo de Mohr é fundamental na formação dos Engenheiros Civis e Mecânicos. Disciplinas que devem ser ensinadas após a Resistência dos Materiais, tais como Elementos de Máquinas e Teoria das Estruturas, entre tantas outras. Podemos observar que para podermos chegar ao uso do círculo de Mohr, se faz necessário antes, entender como funciona o estado plano de tensões, pois todo o estudo vem de acordo com as tensões geradas. 19 Referências Bibliográficas http://www.fat.uerj.br/intranet/disciplinas/Resistencia%20dos%20Materiais%20X/NE W/6_Circulo%20de%20Mohr.pdf http://www.petmec.uff.br/sites/default/files/downloads/V%20Circulo%20de%20Mohr %20Tensoes.pdf http://webserver2.tecgraf.puc-rio.br/etools/mohr/ http://home.ufam.edu.br/ivaldo/Aulas/Geologia%20Estrutural/ApostilaEstrutural%20 Tens%C3%B5es%20e%20Ciclo%20de%20Mohr%20UNICAMP.pdf http://www.fem.unicamp.br/~assump/Projetos/2010/g9.pdf
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