Questao_resolvida_II

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MONITORIA 
ÁLGEBRA LINEAR II - IC239 15/01/13 
 
 
 
Questão 
Determine a equação do plano que passa pelo ponto Q(0,1,3) e é ortogonal a reta “r” 
de equação paramétrica: 
 
x= 2 +1t 
y= 4 -1t 
z= -1 + 5t 
 
Resolução 
 
Primeiramente, com as equações paramétricas, podemos coletar uma informação 
muito importante: as coordenadas de seu vetor direção “d” (1,-1,5) 
 
x= 2 +1t 
y= 4 -1t 
z= -1 + 5t 
 
 
A partir daí, fica de melhor visualização fazermos um esboço da situação. 
 
 
Bom, precisamos encontrar 
minimamente 2 vetores ortogonais 
a d, dos infinitos claramente 
existentes. 
 
“Para dois vetores serem 
ortogonais, seus produtos internos 
devem ser nulos.” 
Portanto, podemos escolher 
vetores os quais formem produto 
interno nulo com o nosso vetor d. 
 
ex.: (0,5,1) . (1,-1,5) = 0 
(1,1,0) . (1,-1,5) = 0 
(5,0,-1). (1,-1,5) = 0 
 
o vetor nulo é sim ortogonal a qualquer vetor, entretanto não nos agregará 
nenhuma informação conveniente. 
 
Tomamos (0,5,1) e (1,1,0); como d2 e d3, respectivamente. 
 
Por que precisamos destes 2 vetores ortogonais a d? 
Porque nos servirão como vetores de direção para o plano, 
lembrando que todo plano precisa de no mínimo 2 vetores direção. 
 
Também precisamos do ponto Q(0,1,3) 
 
 Montando as equações paramétricas do plano π: 
 
 π: x=0 + 0t + 1s 
 y=1 + 5t + 1s 
 z=3 + 1t + 0s 
 
ou melhorandoD 
 
 π: x=s (1) 
 y=1 + 5t + 1s (2) 
 z=3 + 1t (3) 
 
 
 
Agora uma brincadeira opcional. 
Que tal passarmos pra forma cartesiana? 
 
multiplicamos a eq(3) por 5, a eq(2) por (-1), e somamos todas as eq, membro a 
membro. Teremos: 
 
x – y + 5z = s -1 -5t –s +15 + 5t 
 
ou 
 
x – y + 5z = 14 
 
Se quiser conferir, só substituir as coordenadas de Q(0,1,3) no plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se houver algum erro, peço por gentileza que me avisem, que dentro do possível eu tento consertar. 
 
 
João Maurício Maia de Oliveira 
Graduando Engenharia Química 
Monitor de Álgebra Linear II - UFRRJ 
maia.ufrrj@gmail.com