Provas Anteriores - Prof. Marcio Adames - P2

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Segunda prova de Ca´lculo 3
Justifique seus ca´lculos escrevendo quando os Teoremas necessa´rios se apli-
cam.
1) (Peso 1,5) Calcule a se´rie de Taylor centrada em 5 da func¸a˜o f(x) = 1
x
e determine
seu raio de convergeˆncia.
2) (Peso 1,5) Escreva o polinoˆmio de Taylor de ordem 3 centrado em 1 para aproximar
f(x) = lnx. Estime o erro para 0, 5 ≤ x ≤ 1, 5.
3) (Peso 1,0) Determine o raio de convergeˆncia e o intervalo de convergeˆncia da se´rie
∞∑
n=1
(−3)n(x− 2)n
n
4) (Peso 1,0) Utilize as equac¸o˜es de Cauchy-Riemann para determinar se a func¸a˜o
f(z) = senx cosh y + i cosxsenhy da varia´vel complexa z = x + iy e´ anal´ıtica. Se ela for
anal´ıtica calcule sua derivada.
5) (Peso 1,0) Calcule a integral de f(z) = z2 ao longo do arco mais curto da circun-
fereˆncia centrada na origem ligando 3 a` 3i.
6) (Peso 1,5) Seja C o losaˆngo de ve´rtices ±10 e ±3i. Calcule∮
C
z cosh z
z2 − 16dz.
7) (Peso 1,5) Calcule ∮
|z+1|=2
senh(2z2)
(3z + 1)2
dz.
8) (Peso 1,0) Calcule ∮
|z−1|=1
ln(z + 1)
z2 + 7
dz.