Unidade_1_Movimento_Harmonico_Simples

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3/8/2011
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Movimento Harmônico SimplesMovimento Harmônico Simples
Física 2 (Ondulatória)
Professor Leônidas Melo
Conteúdo
1.1. Movimento de uma partícula ligada a uma mola: 
freqüência, período e amplitude;
1.2. Representação matemática do MHS;
1.3. Considerações sobre energia no MHS;
1.4. Pêndulo Simples;
1.5. Outros exemplos de sistemas que executam MHS;
1.6. Oscilação Amortecida; 
1.7. Oscilações forçadas e ressonância;
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Introdução
Por que estudar MHS?
Física 2 (Ondulatória): Movimento Harmônicos Simples 
Para entender melhor o comportamento de
sistemas oscilantes (vibratórios).
http://www.youtube.com/watch?v=fQJry_tQL4E
Veja os vídeos demonstrativos
http://www.youtube.com/watch?v=jh_9KzCBcP0
http://www.youtube.com/watch?v=3CMlXyV2XnE&feature=related
Ressonância Aeroelástica - Efeito Flutter
Helicóptero em ressonância
http://www.youtube.com/watch?v=fa-MD773ZAQ&feature=related
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A0-A
1.1 Movimento de uma partícula ligada a uma moloa
Física 2 (Ondulatória): Movimento Harmônicos Simples 
Lei de Hooke (Força Elástica)
“Quando uma partícula está sob efeito de um força
restauradora linear, o movimento que ela realiza é um
tipo especial de movimento oscilatório chamado
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES “
“Um sistema realizando movimento harmônico simples 
é chamando OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES” 
Usando a Segunda Lei de Newton temos:
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Força Restauradora→−= xkFe
x
m
k
axkamFe −=→−==
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1.2. Representação matemática do MHS
Lembrando que: temos:
Se definirmos a razão 
Solução da eq. diferencial:
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m
k
=
2ω x
dt
xd 2
2
2
ω−=
Sendo x(t) é uma função periódica, com período T, temos: 
Período, freqüência e amplitude.
.
2
ω
pi
=TPortanto, 
.
2
1
pi
ω
==
T
f
Definimos a freqüência, f , como o número de vezes que o 
movimento se repete no tempo: 
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Física 2 (Ondulatória): Movimento Harmônicos Simples 
A amplitude, A, é o valor máximo do deslocamento da partícula.
)cos()( φω += tAtx
Aa
Av
tAta
tAsentv
tAtx
máx
máx
2
2 )cos()(
)()(
)cos()(
ω
ω
φωω
φωω
φω
=
=
+−=
+−=
+=
Dada a função da posição x(t) temos
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Exemplo 1:
Um bloco com uma massa de 200g é conectado a uma
mola horizontal leve cuja constante de força é 5,00 N/m e
está livre para oscilar sobre uma superfície horizontal,
sem atrito.
(a)Se o bloco for deslocado 5,00 cm de sua posição de
equilíbrio e liberado do repouso, encontre o período se
seu movimento.
(b)Determine a velocidade máxima e a aceleração
máxima do corpo.
(c)Expresse a posição, a velocidade e a aceleração deste
corpo em função do tempo, supondo que φ=0.
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Exemplo 2
Uma partícula oscila em movimento harmônico simples no eixo x .
Sua posição varia com o tempo de acordo com a equação
x(t) = (4,00m) cos(πt + π/4)
Onde t está em segundos.
(a)Determine a amplitude, a freqüência e o período do
movimento.
(b)Calcule a velocidade e aceleração em qualquer tempo t.
(c)Qual a posição e a velocidade da partícula para o tempo t=0?
(d)Determine a posição, a velocidade e a aceleração para t = 1s.
(e) Determine a velocidade máxima e aceleração máxima da
partícula.
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1.3. Considerações sobre energia do MHS
Energia Cinética (Ec)
Energia Potencial Elástica (Ep)
Energia Total (ET = EC + EP)
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)(sen
2
1
2
1 2222 φωω +== tAmmvEC
)(cos
2
1
2
1 2222 φωω +== tAkkxEP
2
2
1
kAET =
Exemplo 3. Mostre que:
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22 xAv −= ω
PCT EEE +=Solução:
222
2
1
2
1
2
1
kxmvkA += 222 kxkAmv −=
)( 222 xA
m
k
v −=
2ω=
m
k
)( 22 xAv −= ω
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1.4. O pêndulo Simples
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g
l
T pi2=Período:
Exemplo 4.
Um homem entra em uma torre alta e precisa saber a sua 
altura. Ele observa que um pêndulo longo se estende do teto 
até quase o chão e o seu período é de 12s. 
(a)Qual é a altura da torre? 
(b)Se pêndulo descrito neste exemplo for levado à Lua, ode 
a aceleração da gravidade é 1,67 m/s2 , qual seria seu 
período lá?
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1.5. Outros exemplos de sistemas que executam MHS
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1.6. Oscilações Amortecidas
Atrito → Movimento amortecido
Força Resistiva :
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Física 2 (Ondulatória): Movimento Harmônicos Simples 
Na condição (força resistiva pequena)
Solução:
onde
Oscilador subamortecido: “Quando a força resistiva é
pequena, o caráter oscilatório é preservado, mas a
amplitude da vibração decresce no tempo”
Oscilador hamônico subamortecido: 
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Física 2 (Ondulatória): Movimento Harmônicos Simples 
onde
Oscilador subamortecido: “Quando a força resistiva é
pequena, o caráter oscilatório é preservado, mas a
amplitude da vibração decresce no tempo”
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1.7. Oscilações Forçadas e Ressonância
)()( 0 tsenFtFExt ω=
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Solução: 
A amplitude do movimento depende da freqüência da força externa
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Quando a freqüência da força externa é igual a freqüência
natural do sistema ocorre a ressonância. Nesta situação o
sistema oscila com a máxima amplitude possível.
Veja vídeo sobre a Ponte de Tacoma/USA
http://www.youtube.com/watch?v=3mclp9QmCGs
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Exercícios:
1)Para um oscilador harmônico amortecido,
considere m = 250g, k = 85N/m e b = 70 g/s.
a)Qual o período do movimento? [Resp. 0,34 s]
b)Calcule o tempo necessário para que a amplitude
das oscilações se reduza à metade do seu valor
inicial. [Resp. 5s]
c)Calcule o tempo necessário para que a energia
mecânica do sistema se reduza à metade do seu
valor inicial. [Resp. 2,5s]