Unidade_2_Teoria_Cinetica

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14/10/2011
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Física II - OndulatóriaFísica II - Ondulatória
Prof. Leônidas Melo
Unidade 3:Temperatura e Teoria Cinética dos Gases
Subunidade 2. Teoria Cinética do Gases
Unidade 3:Temperatura e Teoria Cinética dos Gases
Subunidade 2. Teoria Cinética do Gases
Tópicos
1) Número de Avogrado
2) Equação do gás ideal
3) Teoria Cinética dos Gases
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O Número de Avogrado:
“Um mol é a quantidade de qualquer substância que contém
tantas entidades elementares quanto as existentes numa amostra
de 12g de carbono-12”
“Entidades” → Usualmente átomos ou moléculas.
A quantidade de átomos ou moléculas existentes em um mol é
conhecida como Número de Avogrado:
NA=6,02 x 1023 mol-1
Número de mols:
� O número de mols contido numa amostra de uma
substância é:
AvogradodeNúmero
amostranamoléculasdenúmero
n =
ou:
molecularmassa
amostradamassa
n =
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Exemplos
1) Determine:
a) o número de moléculas contidas em 4,5 mol de
moléculas de H2O. [Resp. 2,709x1024 moléculas]
b) O número de mols contidos em 1,5x1023 moléculas de
CO2 . [Resp. 0,25 mol]
c) o número de moléculas contidas em 3,6 g de dióxido
de nitrogênio. [Resp. 4,68x10-22 moléculas]
O Gás Ideal
“Um gás ideal é um conjunto de átomos ou moléculas que se
movem aleatoriamente, não exercendo nenhuma força de
longo alcance um sobre o outro, e ocupa uma fração
insignificante do volume do recipiente que o contém.
Lei do Gás Ideal
(Equação de Clapeyron)
nRTpV =
p → Pressão
V → Volume do recipiente
n → Número de mols
R → Constante Universal dos Gases
T → Temperatura (em Kelvin)
A pressão, o volume e a temperatura caracterizam o estado do
gás ideal. Estas variáveis, assim como outras que veremos
adiante, são chamadas variáveis de estado do sistema.
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No sistema Internacional de Unidades (SI)
Exercício: Qual o volume ocupado por um mol de um gás ideal
nas seguintes condições: p=1atm, T=0 °C (273,15 K) ?
Resposta: 22,4 litros
R = 8,315 J/(mol.K)
ou R = 0,0821 ℓ.atm/(mol.K)
Podemos expressar a Lei dos Gás Ideal em função do número
total de moléculas (N):
TNKpVRT
N
N
nRTpV B
A
=→==
KJ
N
R
K
A
B /10.38,1
23−
== KB : Constante de Boltzmann
Exercícios:
1) Coloca-se hélio puro gasoso em um tanque que contém um
pistão móvel. O volume, a pressão e a temperatura iniciais do gás
são 15,0.10-3 m3, 200 Kpa e 300 K. Encontre a temperatura final do
gás se o volume for diminuído para 12,0.10-3m3 e a pressão
aumentada para 350KPa. [Resp. 420K]
2) Um gás ideal ocupa um volume de 100 cm3 a 20,0 °C e 100 Pa.
Encontre o número de mols e de moléculas do gás.
[Resp. 4,0.10-6 mol e 2,47.1018 moléculas]
3) Um gás ideal é mantido em um recipiente de volume constante.
Inicialmente, sua temperatura é de 10,0 °C e sua pressão é 2,5 atm.
Qual será sua pressão quando sua temperatura for 80 °C?
[Resp; 3,12 atm].
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Interpretação molecular da pressão de um gás ideal
Sejam n mols de um gás ideal confinado numa caixa cúbica de
volume V com as paredes mantidas a temperatura T. Qual é a
relação entre a pressão P exercida pelo gás sobre as paredes com a
velocidade das moléculas?
Para resolver este problema, considere a definição de um gás ideal,
juntamente com as seguintes hipóteses:
� A moléculas da caixa se movem com velocidades variadas e em
todas as direções;
� As moléculas chocam-se elasticamente, entre si e com as
paredes. Ignoremos (por enquanto) as colisões das moléculas entre
si e consideremos as colisões das moléculas com as paredes;
�As moléculas são todas idênticas;
A velocidade de uma molécula (i) é dada
por:
zvjvivv iziyixi ˆ
ˆˆ ++=
Após colidir com a parede (A) a mudança
do momento será:
y
x
z
L
L
L
m
v
A
ixixix mvmvmv 2)()( −=−−
O tempo entre sucessivas colisões da
molécula com a parede A é ∆t=2L/vix e a
transferência de momento nesta face (∆pi)
por unidade de tempo será:
L
mv
vL
mv
t
p ix
ix
ixi
2
/2
2
==
∆
∆
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Da Segunda Lei de Newton temos:
L
mv
vL
mv
dt
dp
F ix
ix
ixi
i
2
/
===
Somando a contribuição de todas as N moléculas encontramos:
...))((
...
...
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
21
+++=
+++
=+++=
xxx
xxx
N
vvv
L
m
F
L
mvmvmv
FFFF
Vamos agora calcular o termo dentro do segundo parênteses.
A definição de valor médio de uma variável x num conjunto de N
amostras é:
Nxxxxx N /)...( 321 ++++=
Considerando componente x velocidade vix de N moléculas, o valor
médio do quadrado da velocidade é:
)...(.
/)...(
22
3
2
2
2
1
2
22
3
2
2
2
1
2
xNxxxx
xNxxxx
vvvvvN
Nvvvvv
++++=⇒
++++=
Substituindo a expressão acima na equação de F encontramos a força
exercida pelo gás sobre a face A:
2
xv
L
Nm
F =
A pressão exercida pelo gás sobre a face A é:
22
2.
xx v
V
Nm
v
LL
Nm
A
F
p ===
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Para qualquer molécula, 2222 zyx vvvv ++=
Como existem muitas moléculas e elas se movem aleatoriamente
em todas as direções os valores médios das suas velocidades são
todas iguais, de modo que: 3/222222 vvvvvv xzyx =⇒++=
Ou seja,
2
3
v
V
nM
p =
N.m é a massa total do gás e pode ser expresso como o produto
número de mols n pelo massa molar M do gás. Portanto:
2
xv
V
nM
p =
A raiz quadrada de é que conhecida como a velocidade média
quadrática das moléculas e representada como: .mqv
2v
Em resumo:
2
3
v
V
nM
p =
onde, no (SI):
→ Pressão (Pa);
→ Número de mols (mol)
→ Massa Molar (Kg/mol)
→ Volume (m3)
→ Velocidade média quadrática ao quadrado (m/s)2v
V
M
n
p
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Interpretação molecular da temperatura
)
3
1
(
3
22 vmNpVv
V
nM
p =⇒=
Vamos comparar a expressão da pressão obtida anteriormente com
a Equação de Clapeyron (lembrando que nM=Nm).
)( TkNpV B=
TkEvmvmTk BCB
2
3
2
1
3
1 22
==⇒=
Ou seja, a energia translacional média por molécula é .
Isto equivale dizer que a temperatura de um sistema é uma medida
da energia cinética média das moléculas.
TkB
2
3
2
2
1
2
1
xB vmTk =
22 3 xvv =
Teorema da eqüipartição da energia
Como
“A energia de um sistema em equilíbrio térmico está igualmente
dividida entre todos os graus de liberdade.”
22
2
1
2
1
e
2
1
2
1
zByB vmTkvmTk ==De forma similar:
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Cálculo da Energia Cinética e da Velocidade Média Quadrática
A
BC
N
RT
TkE
2
3
2
3
==
M
RT
m
Tk
vv Bmq
332
===
Energia Interna Eint
nRT
N
RT
NENE
A
C
2
3
2
3
int ===
Num gás ideal, a energia interna depende somente da temperatura
Exercícios
1) O gás oxigênio (O2) tem uma massa molecular de
aproximadamente 32,0 g/mol, enquanto que o gás hidrogênio (H2)
tem uma massa molecular de aproximadamente 2,0 g/mol. (a)
Calcule a velocidade média quadrática de uma molécula de
oxigênio quando a temperatura é de 27 °C. (b) Calcule a
velocidade média quadrática de uma molécula na mesma
temperatura. [Resp. (a) 484 m/s (b) 1,93x10-3m/s]
2) Um mol de argônio encontra-se confinado em um recipiente de
1,0 litro a uma pressão de 10 atm. Qual é a velocidade média
quadrática dos átomos de argônio? [Resp. 280 m/s]
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3) (a) Calcule a energia cinética média e a energia interna de 1 mol
de gás oxigênio na temperatura 27 °C (b) Faça o mesmo cálculo
para 1 mol de gás hidrogênio na mesma temperatura. Comente os
resultados levando em conta o exercício 1.
[Resp. (a) Ec = 6,21x10-21 J ; Eint = 3741,75 J b) mesmo de a)]
4) (a) Encontre a velocidade média quadrática de uma molécula de
nitrogênio a 20 °C. (b) A que temperaturasa velocidade média
quadrática será o dobro e a metade desse valor?
[Resp. (a) 517,68 m/s; (b) -198 °C e 931 °C]