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Capítulo 2

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Universidade Veiga de Almeida - UVA 
Fenômenos de Transporte
Prof. Rodolfo 1
Fenômenos de 
Transporte
Estática dos Fluidos
Fenômenos de Transporte
 Fluidos e Pressão:
 Pa tocisalhamen de tensão 
A
F
S
Uma tensão de cisalhamento ocorre quando um esforço não uniaxial é 
aplicado a um corpo. Esta força deve ser aplicada sempre ao longo de duas 
direções paralelas à superfície do corpo e em sentidos opostos.
Define-se um FLUIDO como qualquer substância que possua uma 
resistência desprezível ou nula a uma tensão de cisalhamento.
Universidade Veiga de Almeida - UVA 
Fenômenos de Transporte
Prof. Rodolfo 2
Fenômenos de Transporte
 Fluidos e Pressão:
• Um FLUIDO não resiste a uma tensão de cisalhamento;
• A intensidade da força e o intervalo de tempo da atuação dessa 
força de cisalhamento são parâmetros que devem ser considerados 
no modelo de estudo;
• Um FLUIDO não obedece à Lei de Hooke.
Fenômenos de Transporte
 Fluidos e Pressão:


cos 0cos 0
 0 0
 0 0
shshZ
svsvY
ttttX
FdFdFdFdF
senFdFdsenFdFdF
FdFdFdFdF









Para uma situação de equilíbrio:
Universidade Veiga de Almeida - UVA 
Fenômenos de Transporte
Prof. Rodolfo 3
Fenômenos de Transporte
 Fluidos e Pressão:


cossh
sv
tt
FdFd
senFdFd
FdFd






Aplicando as definições de tensão 
de compressão e de tensão de 
cisalhamento:
s
s
s
s
h
h
h
s
s
s
s
v
v
v
t
t
t
dA
Fd
dA
Fd
dA
Fd
dA
Fd
sendA
senFd
dA
Fd
dA
Fd













cos
cos
CONCLUSÃO: As tensões 
exercidas sobre os lados do 
elemento infinitesimal de fluido 
analisado são as mesmas 
independentemente da 
orientação de suas superfícies.
Fenômenos de Transporte
 Fluidos e Pressão:
Esta tensão de compressão isotrópica é chamada de PRESSÃO e enunciada 
como PRINCÍPIO DE PASCAL: “A pressão é transmitida uniformemente em 
todas as direções”:
dA
dF =p
Há várias unidades de pressão:
Bar: 1 bar = 105 Pa;
Atmosfera: 1 atm = 1,013 bar = 1,013 x 105 Pa;
Torr: 1 torr = 133 Pa (unidade utilizada na tecnologia do vácuo);
Engenharia: 1 lb/pol2 = 6,89 x 103 Pa;
Engenharia: 1 kg/cm2 = 9,8 x 104 Pa.
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Fenômenos de Transporte
Prof. Rodolfo 4
Fenômenos de Transporte
 Fluidos e Pressão:
Como calcular a pressão num ponto 
arbitrário de um fluido?
No ponto P2 a pressão é função de 
duas fontes:
1- Fonte externa: pressão atmosférica;
2- Fonte interna: o peso do fluido acima 
de P2
int2
ppp extP 
Fenômenos de Transporte
 Fluidos e Pressão:
Como calcular a pressão num ponto 
arbitrário de um fluido?
Se a fonte interna está ligada ao peso do fluido acima do ponto de cálculo, 
ela está ligada à massa desse fluido.
Definindo a DENSIDADE (MASSA ESPECÍFICA): 


 3m
kg 
V
m

A fonte interna será calculada por:
hAgFVgFmgF   intintint 
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Fenômenos de Transporte
Prof. Rodolfo 5
Fenômenos de Transporte
 Fluidos e Pressão:
Como calcular a pressão num ponto 
arbitrário de um fluido?
No ponto P2 a pressão é função de 
duas fontes:
1- Fonte externa: pressão atmosférica;
2- Fonte interna: o peso do fluido acima 
de P2
gh
A
Fp
A
hAg
A
Fp
ppp
ext
P
ext
P
extP





2
2
2 int
Fenômenos de Transporte
 Fluidos e Pressão:
Em geral, a massa específica de uma substância depende da pressão. 
Se a pressão aumentar, o volume da amostra irá diminuir. Logo a 
massa específica irá aumentar.
Existem duas classes distintas de fluidos. Na primeira, chamada de 
LÍQUIDOS, o volume diminuirá cerca de 1% para um aumento de duas 
vezes da pressão. Na segunda, chamada de GASES, o volume será 
reduzido para cerca da metade para o mesmo aumento da pressão.
CONCLUSÃO: diz-se que os líquidos são INCOMPRESSÍVEIS e os 
gases são COMPRESSÍVEIS.
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Fenômenos de Transporte
Prof. Rodolfo 6
Fenômenos de Transporte
 Fluidos e Pressão:
Exercício 6 - Um tanque contém mercúrio com uma profundidade de 0,30 m, e 
é coberto por uma camada de 1,2 m de profundidade de água. A massa 
específica da água é 1,0 x 10-3 kg/cm3, e a do mercúrio é 13,6 x 10-3 kg/cm3. 
Calcular a pressão exercida pela dupla camada de líquidos no fundo do 
tanque.
Exercício 7 - Explicar por que a pressão em um barômetro é dada em 
milímetros de mercúrio (mmHg), ou seja, em termos de uma altura.
Exercício 8 - A leitura barométrica é de 760 mmHg. Determinar a pressão em 
Pascal.
Fenômenos de Transporte
 Lei de Boyle:
Experiência realizada pelo 
físico anglo-irlandês 
Robert Boyle
constante 
ou
1


pV
V
p
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Fenômenos de Transporte
Prof. Rodolfo 7
Fenômenos de Transporte
 Módulo de Elasticidade Volumétrica e Compressibilidade:
De acordo com a Lei de Boyle e de forma análoga à definição do Módulo de 
Young, define-se MÓDULO DE ELASTICIDADE VOLUMÉTRICA 
ISOTÉRMICA como:
constante ra temperatupara 
limite caso no ou,
dV
dpVB
V
pV
V
V
pB







Representa uma medida da resistência de um material à 
compressão.
Fenômenos de Transporte
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Fenômenos de Transporte
Prof. Rodolfo 8
Fenômenos de Transporte
 Módulo de Elasticidade Volumétrica e Compressibilidade:
Para os gases, o MÓDULO DE ELASTICIDADE VOLUMÉTRICA 
ISOTÉRMICA é definido a partir da Lei de Boyle:
constante ra temperatupara 
:Então
 Se
1
)(
:será volumee pressão entre relaçãoA 
1
2
2
2
1
pB
V
cB
V
cVB
dV
dpVB
V
cVccV
dV
d
dV
dp
V
cp













Representa uma medida da resistência de um material à 
compressão.
Para o gás, o módulo de 
elasticidade volumétrica é 
exatamente igual à pressão
Fenômenos de Transporte
 Módulo de Elasticidade Volumétrica e Compressibilidade:
Comparando os MÓDULOS DE ELASTICIDADE VOLUMÉTRICA 
ISOTÉRMICA:
Sólidos e Líquidos
Gases
dV
dpVB 
pB 
Relações que melhor explicam a incompressibilidade dos líquidos 
e a compressibilidade dos gases.
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Fenômenos de Transporte
Prof. Rodolfo 9
Fenômenos de Transporte
 Módulo de Elasticidade Volumétrica e Compressibilidade:
É frequente a conveniência do termo SUSCETIBILIDADE à compressão 
do que à RESISTÊNCIA à compressão. 
Define-se COMPRESSIBILIDADE:
Representa uma medida da facilidade de um material ser 
comprimido.
dp
dV
V
k
B
k
1
1


Fenômenos de Transporte
 Atrito Viscoso; Fluxo Lamelar e Fluxo Turbulento:
Quando um corpo sólido se move através de um fluido ou quando um 
fluido escoa sobre um corpo, observa-se o que é chamado de FORÇA 
DE ARRASTAMENTO ou ATRITO VISCOSO.
A força depende das dimensões e forma do corpo, da sua velocidade 
relativamente ao fluido, da sua densidade e VISCOSIDADE.
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Fenômenos de Transporte
Prof. Rodolfo 10
Fenômenos de Transporte
 Atrito Viscoso; Fluxo Lamelar e Fluxo Turbulento:
Quando corpos relativamente pequenos se movem através de um fluido 
com uma velocidade relativamente baixa, a intensidade da força de 
arrastamento depende da velocidade do fluido.
FLUXO 
LAMELAR
Fenômenos de Transporte
 Atrito Viscoso; Fluxo Lamelar eFluxo Turbulento:
Quando a velocidade aumenta, ou quando a seção transversal do corpo 
é grande, atinge-se um ponto onde o fluxo de fluido se torna instável, 
tornando-se desordenado ou TURBULENTO.
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Fenômenos de Transporte
Prof. Rodolfo 11
Fenômenos de Transporte
 Atrito Viscoso; Fluxo Lamelar e Fluxo Turbulento:
Entendendo o processo do ATRITO VISCOSO quando o escoamento é 
LAMELAR...
Fenômenos de Transporte
 Atrito Viscoso; Fluxo Lamelar e Fluxo Turbulento:
Entendendo o processo do ATRITO VISCOSO quando o escoamento é 
LAMELAR...
Universidade Veiga de Almeida - UVA 
Fenômenos de Transporte
Prof. Rodolfo 12
Fenômenos de Transporte
 Atrito Viscoso; Fluxo Lamelar e Fluxo Turbulento:
Entendendo o processo do ATRITO VISCOSO...
d
yvyv 0)( 
Fenômenos de Transporte
 Atrito Viscoso; Fluxo Lamelar e Fluxo Turbulento:
d
v
A
F
S
0 
Entendendo o processo do ATRITO VISCOSO quando o escoamento é 
LAMELAR...
Verifica-se, experimentalmente, que a tensão de cisalhamento aplicada 
pelas placas ao fluido é diretamente proporcional à velocidade relativa 
das placas e é inversamente proporcional à distância entre elas:
ᶯ é o coeficiente de VISCOSIDADE










 sPa
v
ds
s
m
m
m
N 2
0


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Fenômenos de Transporte
 Atrito Viscoso; Fluxo Lamelar e Fluxo Turbulento:
Fenômenos de Transporte
 Atrito Viscoso; Fluxo Lamelar e Fluxo Turbulento:
Para esclarecer o limite entre o fluxo lamelar e o fluxo turbulento, define-
se o NUMERO DE REYNOLDS:
de. viscosidade ecoeficient 
altura); e largura o,compriment
seu do média uma é avião um para tubo,do diâmetro o é tubodo dentro
água para diâmetro, o é esfera (para sistema do típicadimensão 
fluido; do específica massa 
:Onde
 0








d
dvR
As transições de um tipo de fluxo para outro num mesmo sistema 
com dada geometria são tipificadas por certo valor chamado de 
NÚMERO CRÍTICO DE REYNOLDS para dada transição.
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Fenômenos de Transporte
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Fenômenos de Transporte
 Atrito Viscoso; Fluxo Lamelar e Fluxo Turbulento:
Fenômenos de Transporte
 Teorema de Arquimedes:
“Um corpo imerso, parcial ou totalmente, num fluido em equilíbrio 
hidrostático sofre a ação de uma força de direção vertical e sentido de 
baixo para cima, com ponto de aplicação no centro de gravidade do 
volume de fluido deslocado, cuja intensidade é igual ao peso do 
volume de fluido deslocado”. 
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Fenômenos de Transporte
Prof. Rodolfo 15
Fenômenos de Transporte
 Teorema de Arquimedes:
Para que o corpo flutue, total ou parcialmente, há necessidade da 
condição de equilíbrio:
VV
mggm
PE
fdf
fd
 


 
|||| 

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 Teorema de Stevin:
“A diferença de pressão entre dois pontos de um líquido homogêneo 
em equilíbrio é dada pela pressão hidrostática da coluna líquida entre 
os dois pontos”.
AatmA
BatmB
gHpP
gHpP




HgPP
HHgPP
AB
ABAB



 )(
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Prof. Rodolfo 16
Fenômenos de Transporte
 Princípio de Pascal – Prensa Hidráulica:
“Qualquer variação de pressão ocorrida num ponto de um fluido em 
equilíbrio transmite-se integralmente a todos os pontos desse fluido”.
2
2
1
1
A
F
A
FP


1212 FnFnAA


Conclusão:
Se
Fenômenos de Transporte
 Princípio de Pascal – Prensa Hidráulica:
“Qualquer variação de pressão ocorrida num ponto de um fluido em 
equilíbrio transmite-se integralmente a todos os pontos desse fluido”.
2211 AHAH 
Como o volume de fluido que se 
desloca nos dois recipientes é o 
mesmo:
Conclusão:
a proporcionalidade entre 
áreas e alturas é inversa.

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