ap2 métodos deterministicos 1

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ME´TODOS DETERMINI´STICOS - AP2 - 2011.2
Questa˜o 1 (4 pontos). Considere as func¸o˜es f(x) = 4
3
(x+ 1) e g(x) = −3x+ 9.
a) Esboce o gra´fico das func¸o˜es f e g em um mesmo plano cartesiano.
b) Represente no plano euclidiano o conjunto
C = {(x, y) ∈ R2|0 ≤ y ≤ f(x)} ∩ {(x, y) ∈ R2|0 ≤ y ≤ g(x)}
c) Marque no plano euclidiano o ponto P = (1, 1). Encontre o ponto Q = (x, y) do
conjunto C que esta´ mais distante do ponto P . Indique quais suas coordenadas carte-
sianas.
d) Qual a distaˆncia de Q a P ?
Soluc¸a˜o: Na figura a seguir encontramos os gra´ficos das func¸o˜es f e g. O conjunto C e´
representado pelo triaˆngulo hachurado. Tambe´m esta˜o marcados os pontos P e Q.
1
Para encontrar as coordenadas do ponto Q devemos observar que este ponto se situa na
intersec¸a˜o dos gra´ficos de f e g. Logo este ponto deve ser a soluc¸a˜o do sistema

y =
4
3
(x+ 1)
y = −3x+ 9
Resolvendo o sistema, obtemos:
−3x+ 9 = 4
3
(x+ 1)⇔ −9x+ 27 = 4x+ 4⇔ 23 = 13x⇔ x = 23/13
. Da´ı, y = −3x + 9 = −69
13
+ 9 = 117−69
13
= 48
13
. Logo as coordenadas cartesianas do ponto Q
sa˜o (23/13, 48/13).
2
A distaˆncia de P a Q e´ dada por:√(
23
13
− 1
)2
+
(
48
13
− 1
)2
=
√(
10
13
)2
+
(
35
13
)2
=
=
√
100
132
+
1225
132
=
√
1325
13
Questa˜o 2 (2 ponto). Encontre o conjunto das respostas das inequac¸o˜es
a) |10x− 4| < 2
b) (x− 3)2 < 2x− 3
Soluc¸a˜o: a) |10x− 4| < 2⇔ −2 < 10x− 4 < 2⇔ 2 < 10x < 6⇔ 0.2 < x < 0.6. Logo o
conjunto soluc¸a˜o e´ S = (0.2, 0.6)
b) (x− 3)2 < 2x− 3⇔ x2 − 6x+ 9 < 2x− 3⇔ x2 − 8x+12 < 0. Encontrando as ra´ızes
de x2 − 8x+ 12 por Bhaskara, temos ∆ = 64− 48 = 16, isto e´, x = 6 ou x = 2. Ale´m disso,
observando o coeficiente do termo de maior grau, vemos que o gra´fico de x2− 8x+12 e´ uma
para´bola com concavidade voltada para cima. Logo x2 − 8x+ 12 < 0⇔ x ∈ (2, 6), isto e´, o
conjunto soluc¸a˜o e´ o intervalo (2, 6).
Questa˜o 3 (4 pontos). Considere a func¸a˜o h(x) = ax2 + bx + c. Sabendo que h(0) = 2,
h(1) = −1 e h(2) = −6, resolva os itens a seguir:
a) Encontre a lei da func¸a˜o h (determine os valores dos paraˆmetros a, b e c).
b) Encontre as ra´ızes de h.
c) Encontre o ponto V = (x, y) que corresponde ao ve´rtice da para´bola correspondente ao
gra´fico de h.
d) Esboce o gra´fico de h.
3
Soluc¸a˜o:
a) h(0) = c = 2, logo c = 2
h(1) = a+ b+ 2 = −1. Logo a+ b = −3.
h(2) = 4a+ 2b+ 2 = −6. Logo 4a+ 2b = −8, isto e´, 2a+ b = −4.
Resolvendo o sistema que obtivemos, conclu´ımos que a = −1 e b = −2.
Logo h(x) = −x2 − 2x+ 2.
b) Vamos usar Bhaskara. ∆ = 4 + 8 = 12. Logo as ra´ızes sa˜o dadas por x = −1 +√3 e
x = −1−√3
c) Para achar o valor de x no ve´rtice, vamos encontrar a me´dia das ra´ızes. Esta me´dia e´
igual a -1. Para achar o valor de y no ve´rtice, basta encontrarmos h(−1) = −1 + 2 + 2 = 3.
Logo, V = (−1, 3).
d)
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