Lista integrais de linha e teorema de Green

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Questões de Integrais de Linha e Teorema de Green
1. Calcule a massa de um pedaço de arame cuja forma é descrita pela curva
�!
 (t) =
D
6t2; 4
p
2t3; 3t4
E
; 0 � t � 1:
e a densidade é �(x; y; z) = 6 + jxj : Resp.: 84:
2. Calcule o comprimento da curva
�!
 (t) =
�
t2
2
; t3;
p
2t2
�
; 0 � t � 1:
Resp.: 2
p
2� 1:
3. Calcule a área da parte do plano x + y = 1 que está no primeiro octante e é limitada acima
pelo parabolóide z = x2 + y2: Resp.
2
p
2
3
:
4. Calcule a área da superfície do cilindro x2 + y2 = 1 que está acima do plano xy e abaixo do
plano x+ y + z = 1: Resp.:
3�
2
+ 2:
5. Considere o campo vetorial
�!
F = hy;�x; ezi e a curva C; interseção do parabolóide z =
4� x2 � y2 com o plano z = 4� x: Calcule a integral
Z
C
�!
F � d�!r : Resp.:��
2
:
6. Calcule a integral Z
C
(ey � xex � x5ex)dx+ (x+ y5)eydy
em que C é a parte da cuva y = x200 que liga o ponto (0; 0) ao ponto (1; 1) : Resp.: e� 1:
7. Calcule a integral Z
C
(1 + ln x+ ey)dx+ (xey + sen3(y))dy
em que C é segmento de reta que liga o ponto (1; 0) ao ponto (e; �) : Resp.: e+ e�+1 +
1
3
:
8. Calcule o trabalho realizado pelo campo
�!
F (x; y) = x(x2 + y2)
�!
i + y(x2 + y2)
�!
j para mover
uma partícula ao longo da curva dada por
9x2 + 4y2 = 36; x � 0;
do ponto (2; 0) até o ponto (0; 3) : Resp.:
65
4
:
,
9. Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo
�!
F (x; y) = �3y5�!i + 5y2x3�!j
para mover uma partícula ao longo da circunferência
x2 + y2 = 4;
partindo do ponto (2; 0) e retornando a este ponto apenas uma vez. Resp.: 160�:
10. Calcule a integral Z
C
(ex + 2xy)dx+ (x2 + cos�y)dy
em que C é a parte da parábola y = x2 de (�1; 1) até (1; 1) : Resp.: e1 � e�1:
11. Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo
�!
F (x; y) =
�
x4 � 3y4��!i + y(1 + 4x3)�!j
para mover uma partícula ao longo do quarto de círculo
x2 + y2 = 1 com x � 0 e y � 0;
do ponto (1; 0) até o ponto (0; 1) : Resp.:
27
10
:
12. Utilizando o Teorema de Green calcule o trabalho realizado pelo campo
�!
F (x; y) = � 3y
5
x2 + y2
�!
i +
5y2x3
x2 + y2
�!
j :
para mover uma partícula ao longo da circunferência
x2 + y2 = 1;
partindo do ponto (1; 0) e retornando a este ponto apenas uma vez (no sentido anti-horário).
Resp.:
5�
2
:
13. Aplicando o Teorema de Green, calcule a integralZ
C
y
4x2 + y2
dx� x
4x2 + y2
dy;
em que C é o círculo x2 + y2 = 4 orientado no sentido anti-horário. Resp.: ��: