AD1 GP 2 2017 GabaritoN

Prévia do material em texto

Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Plana – AD1 – Gabarito – 2017.2
Questa˜o 1: [1,5 pts]
a, 2a, b, 2b e x representam as medidas em graus
dos aˆngulos assinalados na figura.
Determine o valor de x. Justifique suas respostas.
Soluc¸a˜o: Denomine A, B, C, D, E e F os ve´rtices,
conforme figura. No ΔABC, pelo Teorema de Tales, a + x + b = 180◦ (1)
Do aˆngulo oposto pelo ve´rtice, m(BÊD) = m(CÊF ) = 2b (2)
Do aˆngulo externo a ΔBED, vem x = 2a + 2b (3)
Substituindo (3) em (1), temos que
3a + 3b = 180◦ ⇒ a + b = 60◦
Logo x = 2(a + b) = 2 ∙ 60◦ = 120◦.
Outra soluc¸a˜o:
Do aˆngulo externo a ΔABC, m(EB̂D) = m(CB̂D) = a + b.
Da´ı, no ΔEBD, 2a + 2b + a + b = 180◦ ⇒ a + b = 60◦
Logo no ΔABC, a + x + b = 180◦ ⇒ x = 180◦ − (a + b) ⇒ x = 180◦ − 60◦ = 120◦.
Questa˜o 2: [1,5 pts] Dois aˆngulos internos de um pol´ıgono convexo medem 130◦ cada um e os
demais aˆngulos internos medem 128◦ cada um. Determine o nu´mero de lados desse pol´ıgono.
Justifique suas respostas.
Soluc¸a˜o:
Considerando os dados do enunciado, os aˆngulos internos do pol´ıgono de n lados podem ser represen-
tados da seguinte forma: Ai1 = 130
◦, Ai2 = 130
◦ e os demais aˆngulos : Ain = 128
◦, n 6= 1 e n 6= 2.
Ai1 + Ai2 + Ai3 + ∙ ∙ ∙+ Ain = 180◦(n− 2)
130◦ + 130◦ + 128◦(n− 2) = 180◦(n− 2)
260◦ + 128◦n− 256◦ = 180◦n− 360◦ ⇒ 128◦n + 4 = 180◦n− 360◦
52◦n = 364◦ ⇒ n = 7
Geometria Plana – Gabarito AD1 2
Questa˜o 3: [2,0 pts] Considere o triaˆngulo equila´tero de lado
√
3 cm. Unindo-se os ponto me´dios
de seus lados obtemos quatro novos triaˆngulos.
(a) [1,4] Mostre que os quatro novos triaˆngulos sa˜o congruentes.
(b) [0,6] Calcule o per´ımetro desses quatro triaˆngulos. Justifique.
Soluc¸a˜o:
Seja o triaˆngulo equila´tero ABC de lado
√
3 cm.
Seja M, N e P os pontos me´dios dos lados AB, BC e AC,
respectivamente, m(Â) = m(B̂) = m(Ĉ) = 60◦.
a) Ligando os pontos M, N e P obtemos os quatro triaˆngulos que
sa˜o congruentes ΔAPM ≡ ΔBMN ≡ ΔCPN ≡ ΔMNP ,
pelo crite´rio LAL, logo
AP = MN = AM = MB = PM = NB = CP = CN = PN =
√
3
2
b) O per´ımetro dos quatro novos triaˆngulos ΔAPM , ΔBMN, ΔCPN e ΔMNP , sa˜o iguais,
pois sa˜o triaˆngulos congruentes, e cuja medida e´ 3
√
3
2
cm, pois no ΔAPM ,
AP + PM + MA =
√
3
2
+
√
3
2
+
√
3
2
=
3
√
3
2
cm.
Questa˜o 4: [2,0 pts] Na figura a seguir as retas r e s sa˜o perpendiculares e as retas m e n sa˜o
paralelas. Determine a medida do aˆngulo α, em graus. Justifique suas respostas.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Geometria Plana – Gabarito AD1 3
Soluc¸a˜o:
Considere na figura dada os ve´rtices A, B, C, D e E.
Temos que m(BÂE) = 90◦.
m(BÊA) = 20◦, aˆngulo oposto
pelo ve´rtice.
α = m(AB̂E) = m(BĈD),
aˆngulos correspondentes, onde m//n.
Logo no ΔABE,
α + 20◦ = 90◦ ⇒ α = 70◦.
Questa˜o 5: [3,0 pts]
(i) [0,6] Defina aˆngulos opostos pelo ve´rtice e mostre que dois aˆngulos opostos pelo ve´rtice sa˜o
congruentes.
(ii) Defina:
a) aˆngulo reto,
b) aˆngulos complementares,
c) duas retas perpendiculares,
d) aˆngulos correspondentes,
e) aˆngulos correspondentes congruentes,
f) bissetriz de um aˆngulo,
g) bissetriz de um triaˆngulo,
h) mediana de um triaˆngulo.
Soluc¸a˜o: As definic¸o˜es sa˜o do material dida´tico da disciplina.
(i) Definic¸a˜o:
Dois aˆngulos sa˜o denominados opostos pelo ve´rtice,
se os lados de um sa˜o as semirretas opostas dos lados do outro.
Na figura, os aˆngulos AÔB e A′ÔB′ sa˜o opostos pelo ve´rtice.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Geometria Plana – Gabarito AD1 4
Prova do teorema:
Dois aˆngulos opostos pelo ve´rtice sa˜o congruentes.
Seja AÔB e A’ÔB’ dois aˆngulos opostos pelo ve´rtice.
Denominamos m(AÔB) = X e m(A’ÔB’) = Y.
Temos que:
m(AÔA’) = 180 ⇒ m(BÔA’) = 180− X (1)
m(BÔB’) = 180 ⇒ m(BÔA’) = 180− Y (2)
De (1) e (2) vem:
180− X = 180− Y ⇒ X = Y
Logo, AÔB = A’ÔB’.
(ii)
(a) Aˆngulo reto e´ um aˆngulo cuja medida e´ 90◦. Na figura AÔB e´ reto, o s´ımbolo ¡ representa um
aˆngulo reto.
(b) Dois aˆngulos sa˜o complementares se a soma de suas medidas e´ igual a 90◦.
(c) Duas retas sa˜o perpendiculares se sa˜o concorrentes e formam aˆngulos adjacentes suplemen-
tares congruentes. Na figura a seguir, r e s sa˜o perpendiculares.
a) b) c)
(d) Definic¸a˜o: Duas retas r e s de um mesmo plano interceptados pela transversal t formam oito
aˆngulos. Os seguintes pares de aˆngulos, um com ve´rtice em A e o outro em B, conforme figura, sa˜o
denominados aˆngulos correspondentes:

1ˆ e 5ˆ
4ˆ e 8ˆ
2ˆ e 6ˆ
3ˆ e 7ˆ
(e) Propriedade: Uma reta transversal a duas retas paralelas formam aˆngulos que obedecem a`s
relac¸o˜es seguintes:
1o Os aˆngulos correspondentes e os aˆngulos alternos sa˜o congruentes.
2o Os aˆngulos colaterais sa˜o suplementares.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Geometria Plana – Gabarito AD1 5
Seja t uma transversal as retas paralelas r e s,
ou seja, e r ‖ s.
Temos os seguintes aˆngulos correspondentes congruentes:
a = e, b = f, c = g e d = h.
(f) Bissetriz de um aˆngulo: e´ a semirreta interior ao aˆngulo, que determina com os seus lados,
dois aˆngulos adjacentes e congruentes. Na figura, a semirreta
−→
OC e´ bissetriz do aˆngulo AÔB.
(g) Bissetriz de um triaˆngulo e´ o segmento da bissetriz de um aˆngulo interno que tem por extremi-
dades o ve´rtice desse aˆngulo e o ponto de encontro com o lado oposto.Na figura, AN e´ uma bissetriz
do triulo ABC.
(h) Mediana de um triulo e´ o segmento que une um ve´rtice ao ponto me´dio do lado oposto. Na
figura, AM e´ uma mediana do triulo ABC.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ