Funções Vetoriais - Exercícios.

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Faculdade Esta´cio do Recife
CA´LCULO DIFERENCIAL
E INTEGRAL II
Prof. Se´rgio Barreto
1◦ L I S T A D E E X E R C I´ C I O S - F U N C¸ O˜ E S V E T O R I A I S
1. Encontre o domı´nio de cada func¸a˜o vetorial abaixo:
(a) f(t) = et ·~i+ 1
t
·~j + 1(
t+ 1
)3 · ~z
(b) f(t) = et ·~i+√t ·~j + Cos(t) · ~k
2. A posic¸a˜o de uma part´ıcula no plano xy, no tempo t, e´ dada por x(t) = et, y(t) = tet.
(a) Escrever a func¸a˜o vetorial f(t) que descreve o movimento desta part´ıcula.
(b) Onde se encontrara´ a part´ıcula em t = 0 e em t = 2.
3. Uma part´ıcula se desloca no espac¸o. Em cada instante t o seu vetor posic¸a˜o e´ dado por
f(t) = t ·~i+ 1
t− 2 ·
~j + ~k
(a) Determinar a posic¸a˜o da part´ıcula no instante t = 0 e t = 1.
(b) Quando t se aproxima de 2, o que ocorre com a posic¸a˜o da part´ıcula?
4. Seja f(t) = t ·~i+ 2t2 ·~j + 3t3 · ~k e g(t) = 2t ·~i+~j − 3t2 · ~k. Calcular:
(a) f(t) + g(t)
(b) f(t) • g(t)
(c) f(t)× g(t)
(d) (t+ 1) · f(t)
1
5. Calcular os seguintes limites de func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel.
(a) lim
t→pi
[
Cos(t) ·~i+ t2 ·~j − 5 · ~k
]
(b) lim
t→2
[
t3 + 4t2 + 4t
(t+ 2)(t− 3) ·
~i+~j
]
(c) lim
t→2
(
t ·~i− 3 ·~j + t2 · ~k
)
;
6. Determine se a func¸a˜o vetorial f(t) e´ cont´ınua em t0 = 0. Explique seu racioc´ınio.
(a) f(t) = 3Sen(t) ·~i− 2t ·~j;
(b) f(t) = t2 ·~i+ 1
t
·~j + t · ~k;
(c) f(t) = et ·~i+ Csc(t) · ~k;
(d) f(t) = 5 ·~i−√3t+ 1 ·~j + e2t · ~k.
7. Obtenha as derivadas de primeira de segunda ordens de cada func¸a˜o vetorial abaixo:
(a) f(t) = 4 ·~i− Cos(t) ·~j;
(b) f(t) = t ·~i+ t2 ·~j;
(c) f(t) = t3 ·~i+ t2 ·~j − 3 · ~k;
(d) f(t) = 2Sen(t) ·~i+ 3Cos(t) ·~j;
(e) f(t) = Sec(t) ·~i+ Tg(t) ·~j;
(f) f(t) = 2Sen(t) ·~i+~j + 2Cos(t) · ~k;
(g) f(t) = Cos(t) ·~i+ Sen(t) ·~j + t · ~k;
8. A func¸a˜o que descreve o movimento de uma part´ıcula no plano xy, no tempo t, e´ dada por
s(t) = et ·~i+ tet ·~j.
(a) Encontre a func¸a˜o velocidade v(t) =
ds
dt
.
(b) Encontre a func¸a˜o acelerac¸a˜o a(t) =
d2s
dt2
.
(c) Encontre o valor da velocidade para t = 3 seg.
(d) Encontre o valor da acelerac¸a˜o para t = 1 seg.
2
9. Considere a func¸a˜o vetorial f(t) = Sen
(
5t
) ·~i+ Cos(5t) ·~j +√11t · ~k. Determine:
(a) A expressa˜o do vetor tangente unita´rio;
(b) A posic¸a˜o do vetor tangente unita´rio para t =
pi
4
.
Dados: Sen
(
pi
4
)
= Cos
(
pi
4
)
=
√
2
2
10. Calcule a integral indefinida:
(a)
∫ (
3 ·~i+ 4t ·~j
)
dt;
(b)
∫ (
tSen(t) ·~i+~j
)
dt;
(c)
∫ (
Sen(t) ·~i− Cos(t) ·~j
)
dt;
(d)
∫ (
t.et ·~i+ ln(t) ·~j
)
dt;
(e)
∫ (
t2 ·~i− 2t ·~j + 1
t
· ~k
)
dt;
(f)
∫ (
e−t ·~i+ et ·~j + 3t2 · ~k
)
dt.
11. Calcule a integral definida:
(a)
∫ pi
2
0
(
Cos(2t) ·~i+ Sen(2t) ·~j
)
dt;
(b)
∫ 1
0
(
t2 ·~i+ t3 ·~j
)
dt;
(c)
∫ 2
1
(
Sen(t) ·~i− Cos(t) ·~j
)
dt;
(d)
∫ 3
−3
(
(3− t) 32 ·~i+ (3 + t) 32 ·~j + ~k
)
dt;
(e)
∫ 9
1
(
t
1
2 ·~i− t− 12 ·~j
)
dt;
(f)
∫ 1
0
(
e2t ·~i+ e−t ·~j + t · ~k
)
dt.
3