Revisão AV2 com Gabarito - Cálculo Numérico

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Faculdade Estácio do Recife
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Cálculo Numérico – [Professora: Flávia Araújo] 
Exercício de Revisão – AV2
Capítulo 1: Aritmética de ponto flutuante
Escreva os números abaixo na notação ponto flutuante. 
0.000000123 
25 
52342034342 
1200 
Sobre a aritmética de ponto flutuante, responda:
Transforme os números 153727 e 0,00032456 para o formato ponto flutuante. 
Armazene os números do item a nas máquinas digitais que operam com as seguintes aritméticas de ponto flutuante: F(4,10,-8,8) e F(4;10,-2,2). Considere que as maquinas fazem truncamento. 
Quais seriam os números máximos e mínimos que podem ser representados nas duas máquinas do item b.
Capítulo 2: Teoria dos erros
Calcule o erro absoluto (EA), erro relativo (ER) e o erro percentual (ER%) envolvidos nos seguintes cálculos numéricos abaixo onde o valor preciso da solução e dado por 
 e o valor aproximado é dado por 
.
= 0,0020 e 
 =0,0021 
= 530000 e 
 =529400 
= 1.56x10-2 e 
 =0.172 x 10-1 
= 2x1012 e 
 =1.872 x 1012 
Dentre os conceitos apresentados nas alternativas a seguir, assinale aquela que NÃO pode ser enquadrada como fator de geração de erros:
Uso de dados de tabelas.
Uso de dados provenientes de medição: sistemáticos (falhas de construção ou regulagem de equipamentos) ou fortuitos (variações de temperatura, pressão).
Uso de rotinas inadequadas de cálculo.
Uso de dados matemáticos inexatos, provenientes da própria natureza dos números.
Execução de expressão analítica em diferentes instantes de tempo.
 Capítulo 3: Métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais
No cálculo numérico podemos alcançar a solução para determinado problema utilizando os métodos iterativos ou os métodos diretos. Uma diferença entre estes métodos: 
não há diferença em relação s respostas encontradas.
o método iterativo apresenta resposta exata enquanto o método direto não. 
os métodos iterativos são mais simples pois não precisamos de um valor inicial para o problema. 
o método direto apresenta resposta exata enquanto o método iterativo pode não conseguir.
no método direto o número de iterações é um fator limitante. 
Uma bola é arremessada para cima com velocidade v0=30 m/s a partir de uma altura x0=5 m em um local onde a aceleração da gravidade é g=-9.81 m/s2. Sabendo que: 
Calcule utilizando o método da secante as 2 primeiras iterações para o valor do tempo gasto para bola atingir o solo (h(t)=0) adotando como chutes iniciais t0= 5 e t1= 7. 
Quantas iterações deveríamos fazer para encontrar a resposta do item a (raiz da função h(t)) com uma precisão de cálculo de ε =10-9 utilizando o método da bisseção e os valores 5 e 7 como sendo o intervalo inicial?
Como que uma máquina digital sabe que ela tem que parar de fazer uma determinada conta num processo iterativo? 
Seja a função 
 e sua raiz ξ no intervalo [0,0.5]. Tomando xo=0.25 encontre o valor da raiz com uma precisão de ε = 10-1, usando:
o MPF com ϕ(x) =0,5e0,5x 
o método de Newton-Raphson encontre a fórmula iterativa para a determinação de raízes reais da equação f(x) = 0.
Para utilizarmos o método do ponto fixo (MPF) ou método iterativo linear (MIL) devemos trabalhar como uma f(x) contínua em um intervalo [a,b] que contenha uma raiz de f(x). O método inicia-se reescrevendo a função f(x) como, 
. Essa forma de escrever f(x) é bastante útil. No ponto x que corresponde à raiz de f(x), isto é, f(x) = 0, teremos que:
Considere a função 
. A raiz desta função é um valor de x tal que 
. Se desejarmos encontrar a raiz pelo MIL, indique uma possível função equivalente, também chamada de função de iteração.
Associe cada um dos gráficos ao método numérico de raízes (zeros) de funções reais correspondente:
A B C
D E
Capítulo 4: Integração numérica 
Calcule o valor numérico das integrais abaixo utilizando a regra do retângulo e a regra do trapézio com quatro subintervalos.
Seja a integral 
i
Calcule numericamente o valor da integral e o erro pela regra do trapézio repetida com 7 subdivisões.
Quantas subdivisões devemos fazer para que o erro seja menor do que 10-7? 
Capítulo 5: Equações Diferenciais Ordinárias
Considere a equação diferencial ordinária 
 com a condição de valor inicial y(1)=1, e, o intervalo dividido em três pontos igualmente espaçados, e, aplicando o método de Euler, determine o valor aproximado de y(2).
Encontre a solução da equação diferencial ordinária 
 com a condição de valor inicial y(2)=3, e, dividindo o intervalo em quatro partes, e, aplicando o método de Euler, determine o valor aproximado de y(3) para a equação dada.
�
GABARITO:
a) 0,124.10-6		b) 0,25.102		c) 0, 52342034342.1011		d) 0,12.104
 
a) 0,153727.106 e 0,32456.10-3
b) 0,1537.106 e underflow
c) F(4,10,-8,8) = Máx: 0,9999.108 e Mín: 0,1000.10-8
 F(4,10,-2,2) = Máx: 0,9999.102 e Mín: 0,1000.10-2
 
a) EA=0,0001; ER=0,05; ER%=5%
b) EA=600; ER=0,0011; ER%=0,11%
c) EA=0,0016; ER=0,00001; ER%=0,001%
d) EA=0,128; ER=6,4.1010; ER%=6,4.1012%
E
D
a) 2ª iteração: x=5,9148 		b) 31 iterações
Através do critério de parada também chamado de critério de convergência.
a) 3ª iteração: x=0,6967		b) 
1-C; 2-E; 3-D; 4-B; 5-A
a) R(h4)=15,2949	e I(TR)=18,03075		b) R(h4)=1,658 e I(TR)=1,6667
a) I(TR)=|-604,5756| 			b) n=743891 subdivisões
y2=y(2)=5,5
y4=y(3)=1260,922
 
	
�
�
Bisseção ( )
Posição Falsa ( )
Ponto Fixo ( )
Newton-Raphson ( )
Secante ( )
�
�
� EMBED Equation.3 ���
_1464210233.unknown
_1464216377.unknown
_1465637785.unknown
_1465637934.unknown
_1465637976.unknown
_1465636872.unknown
_1465636920.unknown
_1464210476.unknown
_1464214071.unknown
_1464216270.unknown
_1464210459.unknown
_1464209373.unknown
_1464210147.unknown
_1464209352.unknown
_1464209308.unknown
_1464209332.unknown