Algebra Linear - Estacio - Aula 3 rev.01

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Álgebra Linear 
 
Aula 3 – 25/03/14 
Professora: Carla Pinheiro Moreira 
 
 
1) Matrizes: 
 
Sejam m e n inteiros positivos. Chama-se matriz m×n (sobre R) 
qualquer lista ordenada de m-n números reais, dispostos em m linhas 
e n colunas. Os números que constituem uma matriz são chamados de 
termos da matriz. 
 
Uma matriz A, m×n, pode ser denotada como se segue: 
 
 
 
 
Ou, simplesmente, A=(𝑎𝑖𝑗), onde 1<𝑖<𝑚 e 1<𝑗<𝑛. Notamos que os 
índices i e j indicam a posição que o termo ocupa na matriz. O termo 
𝑎𝑖𝑗 está na i-ésima linha e na j-ésima coluna. 
 
Seja A=( 𝑎𝑖𝑗 ) uma matriz n×n. Chama-se diagonal principal, ou 
simplesmente diagonal da matriz A, a lista ordenada (𝑎11, 𝑎22, ..., 𝑎𝑛𝑛). 
Chama-se diagonal secundária da matriz A, a lista ordenada (𝑎1𝑛, 
𝑎2(𝑛−1), 𝑎𝑛1). A soma dos índices dos termos da diagonal secundária é 
sempre igual a n+1. 
 
• Igualdade de Matrizes: 
 
Sendo A=(𝑎𝑖𝑗), e B=(𝑏𝑖𝑗), matrizes, A e B são iguais, se e somente se, 𝑎𝑖𝑗=𝑏𝑖𝑗 
para quaisquer valores de i e de j. 
 
• Tipos de Matrizes: 
 
Chama-se matriz linha toda matriz 1×𝑛, ou seja, toda matriz constituída de 
uma só linha. 
Chama-se matriz coluna toda matriz 𝑚×1, ou seja, toda matriz constituída de 
uma só coluna. 
Chama-se matriz nula aquela cujos termos são todos nulos. 
Uma matriz 𝑚×𝑛 chama-se quadrada se 𝑚=𝑛. 
Uma matriz quadrada 𝐴=(𝑎𝑖𝑗 ) chama-se triangular superior se todos os 
termos que ficam abaixo da diagonal principal são iguais a zero, ou seja, 𝑎𝑖𝑗 = 
0 sempre que 𝑖>𝑗. 
Uma matriz quadrada 𝐴=(𝑎𝑖𝑗 ) chama-se triangular inferior se todos os 
termos que ficam acima da diagonal principal são iguais a zero, ou seja, 𝑎𝑖𝑗 = 
0 sempre que 𝑖<𝑗. 
Uma matriz quadrada 𝐴=(𝑎𝑖𝑗) chama-se diagonal se todos os termos 
fora da diagonal principal são iguais a zero, ou seja, 𝑎𝑖𝑗 = 0 sempre que 
𝑖 ≠ 𝑗. 
 
Chama-se matriz identidade 𝑛×𝑛 a matriz diagonal 𝑛×𝑛 cujos termos 
da diagonal principal são todos iguais a 1. Ela é denotada por 𝐼𝑛 ou 
simplesmente por I. 
 
Uma matriz quadrada 𝐴 =(𝑎𝑖𝑗) chama-se simétrica se 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 para 
quaisquer que sejam i e j, isto é, se os termos simetricamente situados 
em relação à diagonal principal são iguais. 
 
Exemplo: 
 
 
Uma matriz quadrada 𝐴=(𝑎𝑖𝑗) chama-se anti-simétrica se 𝑎𝑖𝑗 = −𝑎𝑗𝑖 
para quaisquer que sejam i e j, ou seja, se os termos simetricamente 
situados em relação à diagonal principal são números reais simétricos 
e os termos da diagonal são todos nulos. 
 
 
 
 
Exemplo de matriz quadrada nula: 
 
 
 
• Operações com matrizes: 
 
a) Adição de Matrizes: