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CÁLCULO NUMÉRICO 
Aula 5 – Sistema de Equações lineares 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
CÁLCULO NUMÉRICO 
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA 
 Métodos diretos e iterativos para a 
resolução de sistemas lineares: 
 Método de Gauss Jordan; 
 Método da Gauss Jacobi. 
 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
CÁLCULO NUMÉRICO 
MÉTODO DE GAUSS - JORDAN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Um dos métodos utilizados na resolução de sistemas 
lineares é o de Gauss-Jordan; 
• Consiste em gerar uma matriz diagonal (elementos que não 
pertencem à diagonal principal, iguais a zero); 
• Operações elementares serão efetuadas com as linhas / 
colunas; 
• Não é iterativo e sim um método direto pois conduz à 
solução exata a menos de erros de arredondamento, 
introduzidos pela máquina, após um número finito de passos. 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
CÁLCULO NUMÉRICO 
ESCALONAMENTO DE SISTEMAS LINEARES 








923
432
7
zyx
zyx
zyx








41.0.0
2.01.0
1.0.01
zyx
zyx
zyx












9213
4132
7111










4100
2010
1001
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
CÁLCULO NUMÉRICO 
ESCALONAMENTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• A primeira linha deve manter apenas o “x”, a segunda linha 
apenas o “y” e a terceira linha apenas o “z”; 
• Para eliminarmos o “2x” da segunda linha podemos 
multiplicar a primeira linha por (-2): 
 
 
 
 
 
 
 
 





432
7
zyx
zyx
 
103.0
432
14222








zyx
zyx
zyx
Nova segunda linha 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
CÁLCULO NUMÉRICO 
ESCALONAMENTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Para eliminarmos o “3x” da terceira linha podemos 
multiplicar a primeira linha por (-3): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 





923
7
zyx
zyx  
124.0
923
21333








zyx
zyx
zyx
Nova terceira linha 
124.0  zyx
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
CÁLCULO NUMÉRICO 
ESCALONAMENTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Sistema com as modificações: 
 
• Com operações semelhantes eliminamos: 
 “y” e “z” da primeira linha; 
 “z” da segunda linha; 
 “y” da terceira linha. 
 
REPOSTA: 
x =1 , y = 2 e z = 4 
 








124.0
103.0
7
zyx
zyx
zyx








41.0.0
2.01.0
1.0.01
zyx
zyx
zyx
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
CÁLCULO NUMÉRICO 
MÉTODO DE GAUSS - JACOBI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Considere um sistema linear com “n” equações e “n” 
incógnitas; 
• Método iterativo que consiste em uma solução inicial (x(0), 
y(0), z(0)...) que será substituída na expressão de recorrência 
e testada segundo um critério de parada; 
• Fórmula de recorrência: 
 
 
11
)(
1
)(
313
)(
2121)1(
1
......(
a
xaxaxab
x
k
nn
kk
k 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
CÁLCULO NUMÉRICO 
MÉTODO DE GAUSS - JACOBI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Critério de parada: 
 O número de iterações; 
 Erro relativo 
 
• Teste de convergência do método: se o sistema linear 
satisfaz o critério das linhas então o método de Gauss-Jacobi 
converge. 







)1(
1
)()1(
1)1(
max
max
k
ini
k
i
k
inik
x
xx
M
kk
kj
j
kj
k
a
a
a




1
1max 1   knk a
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
CÁLCULO NUMÉRICO 
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Avalie a convergência do método de Gauss-Jacobi para o 
sistema linear abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
• Como amáximo = 0,5 < 1, há convergência. 








61032
85
7210
321
321
321
xxx
xxx
xxx
3,0
10
12
1 

a 4,0
5
11
2 

a 5,0
10
32
3 

a
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
CÁLCULO NUMÉRICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Início (ALGORITMO CONVERGÊNCIA) 
 max 0 
 Para i = 1 até n faça 
 Soma 0 
 Para j = 1 até n faça 
 Se i  j 
 Soma Soma + aij  
 Fim se 
 Fim para 
 Soma Soma /aii  
 Se max < soma 
 max Soma 
 Fim para 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
CÁLCULO NUMÉRICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(ALGORITMO GAUSS JACOBI) 
Início 
 convergência 
 cont  0 
 Repetir 
 cont  cont + 1; 
 num 0; 
 den 0 
 Para i = 1 até n faça 
 yi  0 
 Para j = 1 até n faça 
 Se i  j então 
 yi  yi + aij * yj 
 Fim para 
 yi  (bi - yj )/aij 
 Se num <  yi - xi  então 
 num   yi - xi  
 Se den <  yi então 
 den   yi 
Fim Para 
x  y 
Até (num/den < e ) 
Fim-Se 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
CÁLCULO NUMÉRICO 
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Resolva o sistema linear pelo método de Gauss-Jacobi com 
precisão de 0,01. 
 
 
 
• Convergência: 
 
• Convergência após mudança de linhas: 
 
 
• Como amáximo = 0,40 < 1, há convergência. 
 

















185
168
76
185
76
168
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
9
1
18
1 

a
33,0
6
11
1 

a
25,0
8
11
2 

a 40,0
5
11
3 

a
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
CÁLCULO NUMÉRICO 
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Fórmulas de recorrência: 
 
• Valores iniciais: x(0) = 0; y(0) = 0; z(0) = 0; 
 
• Iterações: 
 
 Primeira: 
 
 
 
5
18
;
8
16
;
6
7 yx
z
zx
y
zy
x






6000,3
5
0018
0000,2
8
0016
1667,1
6
007
)1(
)1(
)1(









z
y
x
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
CÁLCULO NUMÉRICO 
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Segunda: 
 
 
 
 
 Terceira: 
 
 
 
9667,2
5
21667,118
3042,2
8
6,31667,116
9,0
6
6,327
)2(
)2(
)2(









z
y
x
9592,2
5
3042,29,018
2583,2
8
9667,29,016
0562,1
6
96667,23042,27
)3(
)3(
)3(









z
y
x
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
CÁLCULO NUMÉRICO 
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Quarta: 
 
 
 
 
 Quinta: 
 
 
 
9371,2
5
2583,20562,118
2379,2
8
9592,20562,116
0498,1
6
9592,22583,27
)4(
)4(
)4(









z
y
x
9425,2
5
2379,20498,118
2359,2
8
9371,20498,116
0501,1
6
9371,22379,27
)5(
)5(
)5(








z
y
x
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
CÁLCULO NUMÉRICO 
RESUMINDO 
Nesta aula vocês estudaram: 
 A resolução de sistemas lineares: 
 Método direto; 
 Método Iterativo. 
 Algoritmo do método de Gauss-Jacobi.