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CÁLCULO NUMÉRICO 
Aula 6 – Aproximação de funções 
APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA 
 Aproximação de funções: 
 Interpolação Polinomial: 
 Método de Lagrange; 
 Método de Newton. 
 Ajuste de funções. 
 
APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Consiste em determinar uma função (polinomial, neste 
caso) que se ajuste a uma série de pontos dados. 
 
 
 
 
 
• Polinômio interpolador – (n+1) pontos geram um único 
polinômio de grau menor ou igual a n. 
-40 
-20 
0 
20 
40 
60 
80 
-8 -6 -4 -2 0 2 4 
6 pontos 
polinômio de grau 3 
APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
MÉTODO DE LAGRANGE 
 
• (n+1) PONTOS / POLINÔMIO ÚNICO ( n); 
 



n
i
ii xfxLxP
0
)().()(
))...().()...().((
))...().()...().((
)(
1110
1110
niiiiiii
nii
i
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xL





)().(..)().()().()( 1100 nn xfxLxfxLxfxLxP 
APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
EXEMPLO1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Considere o seguinte conjunto de pontos: 
 
 
• Pontos: x0 = 0, x1 = 1 e x2 = 2; f(x0) = -2; f(x1) = 4 e f(x2) = 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xi 0 1 2 
f(xi) -2 4 12 
2
23
)20).(10(
)2).(1(
)(
2
0





xxxx
xL
xx
xx
xL 2
)21).(01(
)2).(0(
)( 21 



2)12).(02(
)1).(0(
)(
2
2
xxxx
xL





APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
CONTINUAÇÃO EXEMPLO 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)().()().()().()( 221100 xfxLxfxLxfxLxP 
)12.(
2
)4.(2)2.(
2
23
)(
2
2
2 xx
xx
xx
xP




25)(
668.423)(
2
222


xxxP
xxxxxxxP
APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
MÉTODO DE NEWTON 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• (n+1) PONTOS / POLINÔMIO ÚNICO ( n); 
• OPERADOR DIFERENÇAS DIVIDIDAS 
 
 
 
•Para n = 2 
 
 
 
 
 
 
],...,,,[).)...().((...
],,[).).((],[).(][)(
210110
210101000
nn
n
xxxxfxxxxxx
xxxfxxxxxxfxxxfxP


],,[).).((],[).(][)( 2101010002 xxxfxxxxxxfxxxfxP 
0
1210321
210
],...,,[],...,,,[
],...,,,[
xx
xxxxfxxxxf
xxxxf
n
nn
n


 
(diferença dividida ordem n) 
APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
MÉTODO DE NEWTON - CONTINUAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)(][ 00 xfxf 
01
01
10
)()(
],[
xx
xfxf
xxf



02
1021
210
],[],[
],,[
xx
xxfxxf
xxxf



03
210321
3210
],,[],,[
],,,[
xx
xxxfxxxf
xxxxf



(ordem 0) 
(ordem 1) 
(ordem 2) 
(ordem 3) 
APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
EXEMPLO 2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Considere o seguinte conjunto de pontos: 
 
 
• Pontos: x0 = 0, x1 = 1 e x2 = 2; f(x0) = -2; f(x1) = 4 e f(x2) = 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
xi 0 1 2 
f(xi) -2 4 12 
],,[).).((],[).(][)( 2101010002 xxxfxxxxxxfxxxfxP 
2)0()(][ 00  fxfxf
6
1
)2(4
01
)0()1()()(
],[
01
01
10 








ff
xx
xfxf
xxf
APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
EXEMPLO 2 - CONTINUAÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
]1,0[]2,1[
02
]1,0[]2,1[],[],[
],,[
02
1021
210
ffff
xx
xxfxxf
xxxf








6
1
)2(4
01
)0()1()()(
],[
01
01
10 








ff
xx
xfxf
xxf
8
1
124
21
)2()1()()(
],[
21
21
21 









ff
xx
xfxf
xxf
1
2
68
2
]1,0[]2,1[
],,[ 210 




ff
xxxf
APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
EXEMPLO 2 - CONTINUAÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
],,[).).((],[).(][)( 2101010002 xxxfxxxxxxfxxxfxP 
25)(
62)(
1).1.(6.2)(
]2,1,0[).1).(0(]1,0[).0(]0[)(
2
2
2
2
2
2




xxxP
xxxxP
xxxxP
fxxfxfxP
APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
AJUSTE DE FUNÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Nem sempre a interpolação é aconselhável. 
 Quando se quer aproximar um valor da função fora do 
intervalo de tabelamento (extrapolação); 
 Quando os valores são medidas experimentais com 
erros. Neste caso a função deve passar pela barra de 
erros e não pelos pontos. 
 Temos que ajustar estas funções tabeladas por uma função 
que seja uma “boa aproximação” e que permita 
extrapolações com alguma margem de segurança. 
 
 
APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
AJUSTE DE FUNÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Caso discreto: 
 Dados “k” pontos distintos no plano (x1,y1); (x2,y2); 
(x3,y3) ...;(xk,yk) num intervalo [a,b]. Devemos escolher 
funções lineares ou não g1(x), g2(x)...gk(x), e constantes 
a1, a2 ,..., ak tais que a função  (x) = a1. g1(x) + a2. g2(x) 
+ ...+ ak. gk(x) se aproxime de y = f(x); 
 Este modelo é dito linear pois os coeficientes a 
determinar a1, a2 ,..., ak aparecem linearmente. 
APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
AJUSTE DE FUNÇÕES – CASO DISCRETO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 
5 
10 
15 
20 
25 
30 
35 
-2 -1 0 1 2 3 4 5 
0 
5 
10 
15 
20 
25 
30 
35 
-2 -1 0 1 2 3 4 5 
Diagrama de dispersão sugere uma função polinomial do 20 grau 
 
 
APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
AJUSTE DE FUNÇÕES – CASO DISCRETO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-10 
-5 
0 
5 
10 
15 
20 
-2 0 2 4 6 8 
-10 
-5 
0 
5 
10 
15 
20 
-2 0 2 4 6 8 
f(x) (x) 
APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
AJUSTE DE FUNÇÕES – MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Função (x) = a1.g1(x) + a2.g2(x) + a3.g3(x) + ...+ ak.gk(x) 
• Determinar (x) que mais se aproxime de f(x), ou seja, 
determinar os “ais” 
• Desvio: [f(xi) – (xi)]
2 para i = 1, 2, ...k 
• 
 
 
• F mínima  para cada ai . Sistema linear com k 
incógnitas e k equações. A solução leva aos valores de a1, a2, 
..., ak. 
0


ia
F



k
i
kkin xgaxgaxgaxfaaaF
1
2
221121 )](....)(.)(.)([),...,,(
APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
EXEMPLO 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Sejam os pontos abaixo de um experimento. 
 
 
• Gráfico de dispersão sugere parábola que passa pela origem; 
• (x) = a1.g(x), onde g(x) = x
2. 
 
 
 
 
0 
0,5 
1 
1,5 
2 
2,5 
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 
APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
EXEMPLO 3 - CONTINUAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



9
1
2
11 )](.)([)(
i
ii xgaxfaF
0)()].(.)([
9
1
1 
i
iii xgxgaxf
0)()].(.)([.20
9
1
1 



i
iii
i
xgxgaxf
a
F
  

)().()().(.0)]().(.)().([ 1
9
1
1 xgxfxgxgaxgxgaxgxf iiii
i
iii




9
1
9
1
1
)().(
)().(
i
ii
i
ii
xgxgxgxf
a
APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
EXEMPLO 3 - CONTINUAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 







 
9
1
4
9
1
2
19
1
9
1
1
).(
)().(
)().(
i
i
i
ii
i
ii
i
ii
x
xxf
a
xgxg
xgxf
a
2
9
1
4
9
1
2
1 .02,2)(02,2
606,1
238,3
).(
xx
x
xxf
a
i
i
i
ii




 
APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
RESUMINDO 
Nesta aula vocês estudaram: 
 Aproximação de funções: 
 Interpolação Polinomial: 
 Método de Lagrange; 
 Método de Newton. 
 Ajuste de funções.