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CÁLCULO NUMÉRICO 
Aula 10 – Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias 
de 1a ordem - continuação. 
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CÁLCULO NUMÉRICO 
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA 
 Equações diferenciais de 1a ordem 
- continuação 
 Método de Runge- Kutta (Euler 
modificado) 
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CÁLCULO NUMÉRICO 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 
 
Uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) é uma equação da 
forma F(x, y(x), y’(x), y’’(x), ..., y(n)(x)) = 0 envolvendo uma 
função incógnita y = y(x) e suas derivadas. A variável x é 
independente enquanto y é dependente. O símbolo y(k) 
denota a derivada de ordem k da função y = y(x). 
 
Exemplos: 
 
 
 
0.2
2
2
 x
dt
xd

)(6'.3'' xsenyyy 
)(6'.3)''( 3 xtgyyy 
0),(),(  dyyxNdxyxM
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MÉTODO DE RUNGE-KUTTA 
 
• O método de Runge-Kutta pode ser entendido como um 
aperfeiçoamento do método de Euler, com uma melhor 
estimativa da derivada da função; 
 
• No método de Euler a estimativa do valor de yn+1 é 
realizado com o valor de yn e com a derivada no ponto xn; 
 
• No método de Runge-Kutta, busca-se uma melhor 
estimativa da derivada com a avaliação da função em mais 
pontos no intervalo [xn , xn+1 ]. 
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MÉTODO DE RUNGE-KUTTA 
• O método de Euler é o método de Runge-Kutta de 1ª ordem; 
• No método de Runge-Kutta de 2ª ordem, o valor da 
estimativa de yn+1 é encontrado com o valor de yn e com uma 
estimativa da derivada em um ponto mais próximo de xn+1, 
em xn + h/2 ; 
• A ideia básica é aproveitar as qualidades dos métodos da 
série de Taylor e ao mesmo tempo eliminar seu maior defeito 
que é o cálculo de derivadas de f(x, y) - torna os métodos de 
série de Taylor computacionalmente ineficientes. 
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MÉTODO DE EULER 
• É um método de passo 1, isto é, para determinar y n+1 
precisamos de apenas yn; 
• Não é necessário o cálculo de qualquer derivada de f(x,y); 
• É um método de série de Taylor de 1ª ordem: 
• Calcula f(x,y) em vários pontos. 
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MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE ORDEM p 
• É um método de passo 1, isto é, para determinar y n+1 
precisamos de apenas yn; 
• Após expandir f(x,y) por Taylor para função de duas 
variáveis em torno de (xn,yn) sua expressão coincide com a do 
método de série de Taylor de mesma ordem; 
• Não é necessário o cálculo de qualquer derivada de f(x,y); 
• Calcula f(x,y) em vários pontos. 
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MÉTODO DE RUNGE-KUTTA 
• Como é um aperfeiçoamento do método de Euler devemos 
ter que y’ = f (x, y) e y(x0) = y0; 
• Esse método consiste em se fazer mudanças no método de 
Euler para se conseguir um método baseado na série de 
aylor de 2ª ordem, de tal forma que elimine o cálculo de 
derivadas de 2ª ordem; 
 
))],(.
2
,
2
(.[1 nnnnnn yxf
h
y
h
xfhyy 
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EXEMPLO 1 – Resolva o problema de valor inicial 
 
 
 
 Usando o método de Euler modificado encontre y1 e y2 
 
 
 
 
 
Onde: 
• h = 0,1 
• x0 = 0 e y0 = 0 
• f(x0,y0)= 0 
 
 





0)0(
´ 2
y
yxy
))],(.
2
,
2
(.[
))],(.
2
,
2
(.[
000001
1
yxf
h
y
h
xfhyy
yxf
h
y
h
xfhyy nnnnnn


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EXEMPLO 1 – continuação 
 
 
 
 
 
 
 
005,0
05,01,0
)]0;05,0([1,0
))]0,0(.05,00;05,00(.[1,00
))]0,0(.1,0;1,0()0,0(.[
2
1,0
0
1
1
1
1
1





y
xy
fxy
ffy
fffy
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EXEMPLO 1 – continuação 
 
X1 = 0 + 0,1 = 0,1 e y1=0,005 
 
 
 
 
 
 
 
0190025,0
]140002499,0.[1,0005,0
)]0999875,0;15,0(.[1,0005,0
)]0999975,0.05,005,0;15,0(.[1,0005,0
))]005,0;1,0(.05,0005,0;05,01,0(.[1,0005,0
))],(.
2
,
2
(.[
2
2
2
2
2
111112






y
y
fy
fy
ffy
yxf
h
y
h
xfhyy
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EXEMPLO 2 – Resolver o problema de valor inicial 
 
 
 
Determinar y(1) 
a)Euler 
 
X0 = 0 ; y0= 1.000 e h = 0,5 (LEMBRANDO: xn+1= xn + h) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 





1000)0(
04,0´
y
yy
),(.1 nnnn yxfhyy 
1020
405,01000
)1000;0(.5,01000
),(.
1
1
1
0001




y
xy
fy
yxfhyy
4,1040
8,405,01000
)1020;5,0(.5,01020
),(.
2
2
2
1112




y
xy
fy
yxfhyy
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EXEMPLO 2 – continuação 
b) Euler modificado 
 
 
 
X0 = 0 ; y0= 1.000 e h = 0,5 (LEMBRANDO: xn+1= xn + h) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2,1020
2,201000
]1010;25,0(.[5,01000
)]40.25,01000;25,0(.[5,01000
))]1000,0(.25,01000;25,00(.[5,01000
))],(.
2
,
2
(.[
1
1
1
1
1
000001






y
y
fy
fy
ffy
yxf
h
y
h
xfhyy
))],(.
2
,
2
(.[1 nnnnnn yxf
h
y
h
xfhyy 
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EXEMPLO 2 – continuação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
808,1040
]4,1030;75,0(.[5,02,1020
]4,1030;75,0(.[5,02,1020
)]2,102,1020;75,0(.[5,02,1020
))]2,1020;5,0(.25,02,1020;25,05,0(.[5,02,1020
))],(.
2
,
2
(.[
2
2
2
2
2
111112






y
fy
fy
fy
ffy
yxf
h
y
h
xfhyy
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EXEMPLO 2 – continuação 
Solução exata: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para x = 1, temos: 
 
• y = 1000.e 0,04  y = 1040,810 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xey
x
y
xy
KKxy
dx
y
dy
dx
y
dy
y
dx
dy
04,0.1000
04,0
1000
ln04,01000lnln
ln1000lnln.04,0ln
.04,0.04,0.04,0



 
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RESUMINDO 
Nesta aula vocês estudaram: 
 Equações diferenciais de 1a ordem 
 Runge- Kutta (Euler modificado)