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Diagonalização - Algebra Linear

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MMóódduulloo 1111 –– DDiiaaggoonnaalliizzaaççããoo 
 
11 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
MÓDULO 11 –DIAGONALIZAÇÃO 
 
 Este texto tem como principal objetivo o estudo da diagonalização de transformações 
lineares, em outras palavras, determinar, se possível, uma base em que a matriz de uma 
transformação seja diagonal. 
 
1. Diagonalização 
Teorema 01: Seja T um operador linear do n tal que 
   T x Ax T x 
. As seguintes informações 
são equivalentes: 
 
a) O operador T (ou a matriz A) é diagonalizável se, e somente se, existe uma matriz P 
inversível tal que 1P AP D  , uma matriz diagonal. 
b) O operador T (ou a matriz A) possui n autovetores linearmente independentes. 
 
Demonstração: Para demonstrar a equivalência entre as afirmações a) e b) tem-se que mostrar: 
a b
. 
1. 
a b
 
Por hipótese sabe-se que o operador T é diagonalizável, então existe uma matriz invertível 
 
 
 
 
 
 
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
p p p
p p p
P
p p p
 
tal que 1P AP D  é diagonal sendo 



 
 
 
  
 
  
1
2
0 0
0 0
0 0 n
D
 
Pode-se dizer que se 1P AP D  então AP PD , ou seja 
   
   
   
    
    
          
    
        
1 1 11 2 12 111 12 1
2 1 21 2 22 221 22 2
1 2 1 1 2 2
0 0
0 0
0 0
n nn
n nn
n n nn n n n n nn
p p pp p p
p p pp p p
AP
p p p p p p
 
 
MMóódduulloo 1111 –– DDiiaaggoonnaalliizzaaççããoo 
 
22 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
Sejam as colunas de P denotadas por 
1 2 np , p , , p
 então as sucessivas colunas de 
AP
 são: 
  1 1 2 2 n np , p , , p
. Por outro lado, pode-se escreve as colunas sucessivas de 
AP
 por 
1 2 nA p ,A p , ,A p .
 
Assim tem-se que     1 1 1 2 2 2 n n nAp p ,Ap p , ,Ap p . (1) 
Como P é invertível, suas colunas formam um conjunto de vetores linearmente 
independentes e de (1) pode-se concluir que 
  1 2 n, , ,
 são autovalores de A e 
1 2 np , p , , p
 são 
seus respectivos autovetores, desta forma tem-se que o operador T (ou a matriz A) possui n 
autovetores linearmente independentes. 
 
2. 
b a
 
Por hipótese sabe-se que o operador T (ou a matriz A) possui n autovetores linearmente 
independentes 
1 2 np , p , , p
 com respectivos autovalores 
  1 2 n, , ,
 e seja 
 
 
 
 
 
 
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
p p p
p p p
P
p p p
 
a matriz cujas colunas são os autovetores 
1 2 np , p , , p
. Assim, pode-se dizer que as colunas 
sucessivas do produto 
AP
 são 
1 2 nA p ,A p , ,A p
 . 
Mas     1 1 1 2 2 2 n n nAp p ,Ap p , ,Ap p , então: 
   
   
   
    
    
           
    
       
1 11 2 12 1 111 12 1
1 21 2 22 2 221 22 2
1 21 1 2 2
0 0
0 0
0 0
n n n
n n n
n n nnn n n nn n
p p p p p p
p p p p p p
AP PD
p p pp p p
. (2) 
Logo de (2) tem-se que 
AP PD
 o que implica que  1P AP D , sendo P invertível e D 
diagonal. Deste modo o operador T (ou a matriz A) é diagonalizável que conclui a demonstração. 
 
Exemplo 01: Encontre a matriz P que diagonaliza 
0 0 2
1 2 1
1 0 3
A
 
 
 
  
. 
MMóódduulloo 1111 –– DDiiaaggoonnaalliizzaaççããoo 
 
33 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 Primeiramente, é preciso determinar os autovalores de A. A partir de 
 det 0A I 
, tem-se 
                    22 3 2 1 2 0
. Logo, os autovalores são 
1 2 2  
 e 
3 1 
. Os 
autoespaços associados a estes autovalores são determinados a seguir: 
 
        
1 2 1 2
2 ger 1 0 1 0 1 0 ger
,
S N A I , , , , , p , p     
 
      
3 3
ger 2 1 1 gerS N A I , , p     
 
 
 Logo, a matriz A possui um conjunto de três autovetores l.i. e, portanto, é diagonalizável por 
 
 1 2 3
1 0 2
0 1 1
1 0 1
P p p p
  
  
 
  
, e então 
1
2 0 0
0 2 0
0 0 1
P AP D
 
  
 
  
. 
 
Exemplo 02: A matriz 
1 0 0
1 2 0
3 5 2
A
 
 
 
  
 é diagonalizável? 
 
 A partir de 
 det 0A I 
 tem-se 
  
2
1 2 0   
. Logo, os autovalores são 
1 1 
 e 
  2 3 2
. Os autoespaços associados são: 
 
 
1
1 1
ger 1
8 8
S N A I , ,
  
     
  
 e 
        2 3 2 ger 0 0 1S N A I , ,
. 
 
 A matriz A só possui dois autovetores l.i., sendo que o número necessário para o processo de 
diagonalização é, neste caso, três. Assim, A não é diagonalizável. 
 
 
A questão principal sobre a diagonalização são as dimensões dos autoespaços. Do Teorema 
01, conclui-se que a soma destas dimensões deve totalizar n para que o operador T seja 
diagonalizável. 
A matriz do Exemplo 01 é diagonalizável porque as dimensões de seus autoespaços somam 
três (que é a dimensão do espaço em que atua o operador linear que possui A como matriz canônica), 
enquanto que a matriz do Exemplo 02 não é diagonalizável porque a soma das dimensões de seus 
autoespaços é dois (em outras palavras, não é possível construir uma base do 3 formada por 
autovetores de A). 
Pode ser provado que se 
0
 é um autovalor de A, então a dimensão do autoespaço associado a 
0
 não pode exceder o número de vezes que 
 0 
 aparece como fator do polinômio característico 
de A. No Exemplo 01, tem-se 
    
2
1 2p     
. Assim, o autoespaço associado a 
1 
 é no 
MMóódduulloo 1111 –– DDiiaaggoonnaalliizzaaççããoo 
 
44 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
máximo (e portanto exatamente) unidimensional; o autoespaço associado a 
2 
 é no máximo 
bidimensional. No caso do exemplo apresentado, tal autoespaço é exatamente bidimensional, 
resultando na diagonalizabilidade de A. Por outro lado, no Exemplo 02, tem-se 
    
2
1 2p     
 
e o autoespaço associado a 
2 
 (que tem, no máximo, dimensão dois) é unidimensional, o que 
impede a diagonalizabilidade de A. A seguir, estes comentários são formalizados. 
 
Definição 01: Se 
0
 é um autovalor de uma matriz A 
 n n
, então a dimensão do autoespaço a ele 
associado é chamada de multiplicidade geométrica de 
0
. O número de vezes em que 
 0 
 
aparece como fator de do polinômio característico de A é chamado de multiplicidade algébrica do 
autovalor 
0
. 
 
Teorema 02: Se A é uma matriz quadrada, então: 
a) Para cada autovalor de A a multiplicidade geométrica é menor ou igual a multiplicidade 
algébrica. 
b) A é diagonalizável se, e somente se, para cada autovalor a multiplicidade geométrica é 
igual à multiplicidade algébrica. 
 
 Outros fatos importantes são reportados nos teoremas a seguir. 
 
Teorema 03: Se 
1 2 kv ,v , ,v
 são autovetores de A associados a autovalores distintos 
1 2 k, , ,  
, 
então 
 1 2 kv ,v , ,v
 é um conjunto linearmente independente. 
 
Teorema 04: Se uma matriz A 
 n n
 tem n autovalores distintos, então A é diagonalizável. 
 
 Outro uso importante da diagonalização é o cálculo de potências de matrizes. Se A 
 n n
 é 
diagonalizável, então existe P inversível tal que 1P AP D  , diagonal. Assim: 
2
1 1 1 1 2 2P AP P AP P AP P A P D     
, 
 
3
1 1 3 3P AP P A P D  
, ... , 
 1 1
k
k kP AP P A P D  
. 
 
 A partir de 
 1 1
k
k kP AP P A P D  
, conclui-se que 1k kA PD P . Isto torna o cálculo de kA 
uma tarefa bem mais simples, pois se 
 1diag nD , , 
, então 
 1diagk k knD , , 
. 
 
 
 
 
 
 
MMóódduulloo 1111 –– DDiiaaggoonnaalliizzaaççããoo 
 
55 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
2. Processo de Gram-Schmidt 
 
2.1 Bases ortogonais e ortonormais 
É fato conhecido que todo espaço vetorial admite infinitas bases, porém todas elas possuindo 
o mesmo número de vetores geradores linearmente independentes. Dentre todas as bases possíveis, 
será que existem bases especiais que possam trazer vantagens sobre as demais? A resposta é sim. 
Esta classe de bases é denominada ortonormal (englobando as bases ortogonais) e sua 
principal característica é a preservação do produto interno (produto escalar) usual em conjunto com 
as noções de ângulo e norma. 
De fato, em bases não ortonormais ou ortogonais, o produto interno não assume a forma 
usual e, portanto, as expressões que governam a métrica do respectivo espaço vetorial (ângulos e 
comprimentos) são mais complexas do que aquelas vistas em nosso curso. Para definir o conceito de 
base ortonormal, é preciso antes estabelecer a definição de bases ortogonais. 
 
Definição 02: Seja V um espaço vetorial com dimensão n. O conjunto de vetores 
 1 2 nB v ,v , ,v
 é 
uma base ortogonal de V se e somente se: 
 
 i) B é base de V; 
 ii) 
0Ti jv v , i j  
, ou seja, 
i jv v , i j  
 (
1i, j ,...,n
). 
 
 A condição ii, implicitamente, assume as noções de ortogonalidade impostas pelo produto 
interno (escalar) usual expresso na relação 
0Ti jv v 
. 
 
Exemplo 03: O conjunto 
 1 2 3B v ,v ,v
, formado por 
 1 1 0 1v , ,
, 
 2 0 2 0v , ,
 e 
 3 2 0 2v , , 
, é 
uma base ortogonal do 3 , pois B é base (verifique) e também: 
 
 
   1 2 1 2 1 21 0 1 0 2 0 0
Tv v v v , , , , v v      
 
 
   1 3 1 3 1 31 0 1 2 0 2 0
Tv v v v , , , , v v       
 
 
   2 3 2 3 2 30 2 0 2 0 2 0
Tv v v v , , , , v v       
. 
 
 A Figura 01, ao lado, ilustra o conjunto B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 01 
 
 
 
  
y 
x 
z 
2v 
3v 
1v 
2
2 
2
2
MMóódduulloo 1111 –– DDiiaaggoonnaalliizzaaççããoo 
 
66 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
Definição 03: Seja V um espaço vetorial com dimensão n. O conjunto 
 1 2 nB v ,v ,...,v
 é uma base 
ortonormal de V se e somente se: 
 
i) 
B
 é uma base ortogonal de V; 
ii) 
1Ti i iv v v 
 para 
1i ,...,n
. 
 
Exemplo 04: A base canônica do 3 , 
        1 2 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1B e ,e ,e , , , , , , , , 
 é uma base 
ortonormal, pois 
1 2 1 3 2 3 0
T T Te e e e e e  
 e 
1 2 3 1e e e  
. De forma geral, a base canônica 
        1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1nB e ,e , ,e , , , , , , , , , , , , 
 do n é uma base ortonormal. 
 
 
Deve-se notar que a construção de uma base ortonormal 
 1 2 nB v ,v ,...,v
 de um espaço 
vetorial a partir de uma base ortogonal 
 1 2 nB v ,v ,...,v
 conhecida é um procedimento 
relativamente simples: basta determinar os versores de cada vetor que constitui a base B e reuni-los 
em 
B
, ou seja: 
1ii
i
v
v , i ,...,n
v
 
 (1) 
 
Exemplo 05: Utilizando a base 
 1 2 3B v ,v ,v
 do 3 fornecida no Exemplo 03, pode-se construir 
uma base ortonormal 
 1 2 3B v ,v ,v
 fazendo: 
 
     1 21 2
1 2
1 1
1 0 1 0 2 0 0 1 0
22
v v
v , , , v , , , ,
v v
      
 
 
e 
   33
3
1 1
2 0 2 1 0 1
2 2 2
v
v , , , ,
v
     
 
 
 
As definições 02 e 03 permitem apresentar o conceito de matrizes ortogonais1 de uma forma 
bastante compacta, como visto a seguir. 
 
2.2 Matrizes ortogonais 
 
Definição 04: Uma matriz ortogonal é uma matriz 
n nP 
 com entradas reais tal que suas colunas (ou 
linhas) constituem uma base ortonormal para o n . 
 
 
1
 As matrizes ortogonais executam papel importante na Álgebra Linear, possuindo diversas aplicações na 
resolução de problemas que envolvam mudança de base, como será visto a seguir. 
 
MMóódduulloo 1111 –– DDiiaaggoonnaalliizzaaççããoo 
 
77 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
Exemplo 06: A matriz canônica A do operador T de rotação anti-horária por um ângulo  no 2 é 
ortogonal. De fato: 
   1 2
cos sen
sen cos
A T c c
 
 
 
    
 
, em que: 
 
i) 
 1 2B c ,c
 é base do 2 , pois 
  2v x, y  
 é tal que 
 
   2 2 2 2cos sen cos senv v , v x y , x y           e    2 2 1 1 Bv,Ox v x y ,    . 
 
 ii) Os vetores c1 e c2 são tais que 
 
   1 2 1 2
2 2
1 2 1 1 2 2
cos sen sen cos sen cos sen cos 0
sen cos 1T T
c c , , c c
c c c c c c
       
 
         

     
 
 
 
 Matrizes ortogonais possuem características interessantes. Uma delas é o fato de que são 
sempre inversíveis (por quê?) e o cálculo de suas inversas é muito simples, como visto a seguir. 
Seja 
 1n n nP p p 
 uma matriz com entradas reais. As colunas de P formarão um 
conjunto ortonormal (e, portanto, P será ortogonal) se e somente se 
 
1
1 quando 
0 quando 
T T T T
i j
ij
, i j
P P p p P P I P P
, i j


         
 (2) 
 
Deve-se notar que vale 
T TP P I PP I  
. Logo, as colunas de P serão ortonormais se, e 
somente se, suas linhas também formarem um conjunto ortonormal. É por essa razão que a 
Definição 02 também pode ser enunciada em termos de colunas ou linhas ortonormais. 
Outra propriedade importante consiste no fato de que a multiplicação de um vetor x por uma 
matriz ortogonal P não altera a norma do vetor. Apenas a direção de x pode ser alterada, pois: 
 
 
2 2T T T T n
I
Px Px Px x P P x x x x , x

     
 (3) 
 
Por outro lado, se a equação (3) é válida, então P deve necessariamente ser ortogonal. Ou seja, 
é necessário mostrar que, se 
Px x
, então P é ortogonal. Para tanto, deve-se provar que se 
 1 i nP p p p
, então: 
 
a) 
1 1Ti i ip p p  
; b) 
0Ti k i kp p , i k p p    
. 
 
 
 
 
MMóódduulloo 1111 –– DDiiaaggoonnaalliizzaaççããoo 
 
88 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
Para demonstrar a, sejam e1, ... , en os vetores da base canônica do n . Então: 
 
 1
0
0
1
0
0
i i n iPe p p p p
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 (4) 
 
Se 
ix e
, a partir da hipótese de que 
Px x
, tem-se 
 
eq.4
1i i iPx Pe e p   
 
(5) 
 
Por fim, para demonstrar b, seja 
j kx e e 
. Assim: 
 j kPx P e e  
. Usando o fato de que 
Px x
, tem-se: 
 
2 2
2j k j kP e e e e    
. (6) 
 
Por outro lado, a partir de (4): 
 
 j k j k j kP e e Pe Pe p p     
 (7) 
 
A partir de (6) e (7) é possível escrever: 
 
 
2 2 2 2
11
2 2 2 2T Tj k j k j j k k j kP e e p p p p p p p p

         
 
 
2 0Tj k j kp p p p   
 (8) 
 
 Portanto, a partir das conclusões em a e b, tem-se que P é ortogonal. 
 
Exemplo 07: Seja T o operador de rotação anti-horária no 2 por um ângulo . Pode-se provar que T 
é injetor e sobrejetor (verifique!). Logo, T é bijetor e existe o operador inverso 1T  . 
Por sua vez, este operador inverso caracteriza uma rotação horária no 2 (por quê?). De 
maneira equivalente, é possível afirmar que 1T  realiza uma rotação horária por um ângulo  . 
Assim: 
 
     
   
   
1 1
cos sen cos sen
sen cos sen cos
TA T T A A
                             
, 
 
demonstrando, novamente, que 
 A T
 é uma matriz ortogonal. 
 
MMóódduulloo 1111 –– DDiiaaggoonnaalliizzaaççããoo 
 
99 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
Exemplo 08: Note que: 
i) A matriz identidade In é ortogonal. 
ii) Todas as matrizes de permutação (oriundas do produto de matrizes de permutação 
elementares) são ortogonais. 
iii) A matriz 
1 2 1 3 1 6
1 2 1 3 1 6
0 1 3 2 6
P
 
 
   
 
  
 
 
é ortogonal, uma vez que T TP P PP I  , ou, equivalentemente, porque suas colunas (e linhas) 
constituem um conjunto (base) ortonormal do 3 . 
 
 
Em resumo, as seguintes afirmações são equivalentes acerca de matrizes ortogonais 
n nP 
: 
 
 P possui colunas ortonormais;  P possui linhas ortonormais; 
 1 TP P  ;  
nPx x , x  
. 
 
Observação: Em geral, um operador linear T (com matriz canônica 
 T A
) que atua sobre um 
espaço vetorial V de tal forma que 
 T x Ax x 
 é chamado de isometria em V. 
A partir dos conceitos vistos até o momento, é um tanto quanto intuitivo compreender que 
todas as isometrias do n são representadas por matrizes ortogonais. 
Assim, os operadores lineares de reflexão e rotação no 2 e 3 (e de forma mais abrangente, 
suas extensões para o n ) são isometrias, uma vez que preservam o comprimento. No entanto, os 
operadores de projeção não são isometrias. 
 
2.3 Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt 
 
O objetivo desta seção é investigar a solução do seguinte problema: 
 
Se 
 1 1 2 nB u ,u ,...,u
 é uma base do n , como construir uma base 
 2 1 2 nB v ,v ,...,v
 ortogonal a 
partir dos vetores da base 
1B
? 
 
Um método para resolver esse problema é o chamado Processo de Ortogonalização de Gram-
Schmidt. Este processo é descrito a seguir para o espaço vetorial 3 . 
 
MMóódduulloo 1111 –– DDiiaaggoonnaalliizzaaççããoo 
 
1100 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
Seja 
 1 1 2 3B u ,u ,u
 uma base qualquer do 3 . O algoritmo de Gram-Schmidt busca a 
determinação da base ortogonal 
 2 1 2 3B v ,v ,v
e consiste dos passos: 
 
 
Passo i) 
1 1v u
; 
 
Passo ii)
12 2 2v
v u proj u 
; 
 
 Justificativa de ii: Lembrando que 
 
2b
a b
proj a b
b


, 
 
é simples verificar que os vetores 
1v
 e 
2v
 são, de fato, ortogonais: 
 
21 2 1 2
1 2 1 2 1 1 2 12 2
1 1
0
v u v u
v v v u v v u v
v v
  
         
 
 
 (vide figura abaixo). 
 
 
 
 
 
 
 
Passo iii) 
1 23 3 3 3v v
v u proj u proj u  
. 
 
 Justificativa de iii: É necessário verificar que 
1 3v v
. Assim: 
 
 1 3 2 3 2 31 3 1 3 1 2 1 3 1 3 2 12 2 2
1 2 2
0
v u v u v u
v v v u v v v u v u v v
v v v
   
             
 
 
 (vide figura abaixo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto 
 
1 1 22 1 2 2 3 3 3v v v
B u ,u proj u ,u proj u proj u   
 é uma base ortogonal. 
 
12 2 2v
v u proj u  
1 1v u 
2u 
1 2v
proj u 
1 23 3 3 3v v
v u proj u proj u   
3u 
2v 
1v 
1 23 3v v
proj u proj u 
De maneira análoga, verifica-se que: 
2 3 2 30v v v v   
. 
 
MMóódduulloo 1111 –– DDiiaaggoonnaalliizzaaççããoo 
 
1111 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
Exemplo 09: Deseja-se construir uma base ortogonal 
 2 1 2 3B v ,v ,v
 para o 3 a partir da base 
 1 1 2 3B u ,u ,u
 formada pelos vetores 
 1 1 1 1u , ,
, 
 2 1 1 0u , , 
 e 
 3 1 2 1u , ,
. Para tanto, 
utiliza-se o processo de Gram-Schmidt: 
 
Passo i) 
 1 1 1 1 1v u , , 
; 
Passo ii) 
     
12 2 2
0
1 1 0 1 1 1 1 1 0
3
vv u proj u , , , , , ,       
; 
Passo iii) 
     
1 23 3 3 3
4 1
1 2 1 1 1 1 1 1 0
3 2
v vv u proj u proj u , , , , , ,         
 
 
 
4 4 4 1 1 1 1 1
1 2 1 0
3 3 3 2 2 6 6 3
, , , , , , , ,
     
          
     
 
 
 Portanto 
   2
1 1 1
1 1 1 1 1 0
6 6 3
B , , , , , , , ,
  
    
  
. 
 
 
Exemplo 10: Para construir uma base ortonormal 
 2 1 2 3B v ,v ,v
 a partir da base 
2B
 do exemplo 
anterior, basta calcular os versores de cada um dos vetores da base 
2B
: 
 
 11
1
1
1 1 1
3
v
v , ,
v
  
 ; 
 22
2
1
1 1 0
2
v
v , ,
v
   
 ; 
 33
3
1 1 1 1 1
1 1 2
1 6 6 3 66
6
v
v , , , ,
v
 
       
 
 
 
Portanto 
     2
1 1 1
1 1 1 1 1 0 1 1 2
3 2 6
B , , , , , , , ,
 
      
 
. 
 
 
A generalização do processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para o n é simples. Seja 
 1 1 2 nB u ,u , ,u
 uma base qualquer do espaço n . A determinação da base ortogonal 
 2 1 2 nB v ,v , ,v
e consiste dos passos: 
 
 
 
Passo 1: 
1 1v u
; Passo 2: 
12 2 2v
v u proj u 
; ... 
Passo n:
1 2 1nn n v n v n v n
v u proj u proj u proj u

    
; 
 
 Após a execução desses n passos, a construção de uma base ortonormal 
 3 1 2 nB w ,w , ,w
 
é realizada a partir de 
1 2ii
i
v
w , i , , ,n
v
 
. 
 
 
 
 
MMóódduulloo 1111 –– DDiiaaggoonnaalliizzaaççããoo 
 
1122 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
3. Diagonalização ortogonal 
 
 A definição e o teorema a seguir estabelecem sob que condições se pode aplicar um processo 
de diagonalização com o emprego de matrizes ortogonais. 
 
Definição 05: Seja A 
 n n
. Diz-se que A é ortogonalmente diagonalizável se existir uma matriz P 
ortogonal tal que 1 TP AP P AP D   é uma matriz diagonal. 
 
Teorema 05: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então as seguintes afirmações são 
equivalentes: 
 a) A é ortogonalmente diagonalizável. 
 b) A possui um conjunto ortonormal de n autovetores. 
 c) A é simétrica. 
 
O objetivo desta seção é construir um procedimento para diagonalizar ortogonalmente uma 
matriz simétrica. Para tanto, é necessário utilizar o resultado a seguir. 
 
Teorema 06: Se A é uma matriz simétrica, então: 
 a) Os autovalores de A são todos reais. 
 b) Autovetores de autoespaços diferentes são ortogonais. 
 
O procedimento para diagonalizar ortogonalmente uma matriz simétrica A é composto por 
três passos, a saber: 
Passo 1: Determinar uma base para cada autoespaço de A. 
Passo 2: Aplicar o Processo de Gram-Schmidt a cada uma destas bases para obter uma base 
ortonormal de cada autoespaço. 
Passo 3: Construir a matriz P cujas colunas são os vetoresde base no passo 2; esta matriz 
diagonaliza A ortogonalmente. 
 
Exemplo 11: Encontre uma matriz ortogonal P que diagonaliza 
4 2 2
2 4 2
2 2 4
A
 
 
 
  
. 
 
 Os autovalores de A são 
1 2 2, 
 e 
3 8 
. Para o autoespaço associado a 
1 2 2, 
, tem-se: 
 
        
1 2 1 2
2 ger 1 1 0 1 0 1 ger
,
S N A I , , , , , u ,u      
. 
 
 
MMóódduulloo 1111 –– DDiiaaggoonnaalliizzaaççããoo 
 
1133 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 Aplicando o processo de Gram-Schmidt ao conjunto 
 1 2u ,u
, obtém-se: 
 
1
1 1
0
2 2
v , ,
 
  
 
, 
2
1 1 2
6 6 6
v , ,
 
   
 
 e 
 
1 2 1 2
ger
,
S v ,v 
. 
 
 O autoespaço associado a 
3 8 
 é 
      
3 3
8 ger 1,1,1 gerS N A I u    
. Aplicando o 
Processo de Gram-Schmidt a 
 3u
, obtém-se: 
 
3
1 1 1
3 3 3
v , ,
 
  
 
 e 
 
3 3
gerS v 
. 
 
 Desta maneira, 
 1 2 3
1 1 1
2 6 3
1 1 1
2 6 3
2 1
0
6 3
P v v v
 
  
 
 
   
 
 
 
 
 e 
2 0 0
0 2 0
0 0 8
TD P AP
 
  
 
  
. 
 
4. Exercícios propostos: 
E01. a) Verifique que multiplicidade algébrica é igual à geométrica para todo autovalor de 
 
4 3 3
0 1 0
6 6 5
A
   
  
 
  
. 
 
Resposta: Os autovalores de A são 
   1 2 1
 e 
 3 2
. Os autoespaços associados são: 
 
    
1 2
ger 1 0 1 1 2 1
,
S , , , , ,    
 e 
  
3
ger 1 0 2S , ,  
 
 
respectivamente. Portanto as multiplicidades algébrica e geométrica são iguais para ambos os 
autovalores. Logo, A é diagonalizável. 
b) Determine a matriz Q que diagonaliza A. Resposta: 
1 1 1
0 2 0
1 1 2
Q
  
 
 
   
. 
E02. 
2 
 é um autovalor de 
3 2 1
0 2 0
2 3 0
A
 
 
 
   
. 
 
Determine a multiplicidade algébrica e geométrica de 

. A partir desses resultados, você pode 
concluir algo sobre a possibilidade de que A seja diagonalizável? 
 
Resposta: A multiplicidade algébrica de 
2 
 é igual a 2 e a respectiva multiplicidade geométrica 
é igual a 1 [
  2 ger 1 0 1S , ,  
]. Logo, A não é diagonalizável. 
MMóódduulloo 1111 –– DDiiaaggoonnaalliizzaaççããoo 
 
1144 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
E03. Determine 
lim n
n
A

 para 
7 5 1 5
1 1 2
A
 
   
. 
 
Resposta: 
5 2
lim
10 4
n
n
A

 
    
. 
 
E04. Se os autovalores de A são 1, 1 e 2, quais das seguintes alternativas são verdadeiras? 
Justifique suas respostas. 
 
a) A é inversível. b) A é diagonalizável. c) A não é diagonalizável. 
 
Resposta: a) V , b) F e c) F. 
 
 
 
E05. Seja T o operador linear 
   7 15 6 12T x,y x y, x y   
. Determine uma base B tal que 
 
 
2 0
0 3B
T
 
  
 
 e determine Q para que 
   1
B
T Q T Q
. 
 
Resposta: 
      5 3 3 2B , , ,
. 
 
 
E06. Diagonalize 
8 6
12 10
A
  
  
 
 se possível, caso contrário explique a razão. 
 
 
Resposta: 
1 1
2 0 8 6
0 4 12 10
D P AP P P 
     
     
   
, com 
 
  
 
1 1
1 2
P
. 
 
E07. Suponha que os únicos autovetores de A sejam múltiplos de vetor 
 1 0 0
T
x 
, quais das 
seguintes alternativas são verdadeiras? Justifique suas respostas. 
 
a) A não é inversível. b) A possui um autovalor repetido. c) A não é diagonalizável. 
 
Resposta: a) F , b) F e c) V. 
 
E08. Quais dos seguintes conjuntos de vetores são ortogonais? 
 
a) 
    0 1 2 0, , ,
 b) 
    1 2 1 2 1 2 1 2, , ,
 c) 
    1 2 1 2 1 2 1 2, , , 
 
 
Resposta: a) e b). 
 
 
MMóódduulloo 1111 –– DDiiaaggoonnaalliizzaaççããoo 
 
1155 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
E09. Quais dos conjuntos de vetores do exercício anterior são ortonormais? 
 
Resposta: b). 
 
E10. Seja o subespaço 
         4ger 1 0 2 0 0 1 0 1 2 1 4 1 1 1 2 1S , , , , , , , , , , , , , , ,       
. 
 
a) Determine uma base 
1B
 para S. Qual é a dimensão de S? 
 
Resposta: 
    1 1,0, 2,0 , 0,1,0, 1B   
, 
dim 2S
. 
 
b) Construa uma base ortonormal 
2B
 para o subespaço 
S
. 
 
Resposta: 
   2
1 1
2,0,1,0 , 0,1,0,1
5 2
B
 
  
 
, 
dim 2 S
. 
 
c) Construa a base 
1 2B B B 
 para o 4 . Sabendo-se que 
 
2
1 3
B
v ,
, quais as coordenadas 
de v na base B? Justifique a sua resposta. 
Resposta: 
       
1 1
1,0, 2,0 , 0,1,0, 1 , 2,0,1,0 , 0,1,0,1
5 2
 
   
 
B
 e 
 0,0,1,3
B
v 
 
 
E11. Utilize o processo de Gram-Schmidt para a determinação de uma base ortonormal para o 
subespaço gerado pelos vetores linearmente independentes 
 
1
1
0
0
1
x
 
 
 
 
 
 
 ; 
2
1
2
0
1
x
 
 
 
 
 
 
 ; 
3
3
1
1
1
x
 
 
 
 
 
 
. 
Resposta: 
     
1 1
1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
2 3
B , , , , , , , , , , ,
 
  
 
. 
 
E12. Utilize o processo de Gram-Schmidt para construir bases ortonormais para os quatro 
subespaços fundamentais associados à matriz 
 
1 2 3 1
2 4 6 2
3 6 9 3
A
  
   
 
   
. 
Respostas: Base para o espaço-coluna: 
   
1
1 2 3
14
C A
B , ,
 
  
 
. 
Base para o espaço-linha: 
   
1
1 2 3 1
15
TC A
B , , ,
 
   
 
. 
Base para o espaço-nulo: 
   
1 5 3 6 210 1 1 3
2 1 0 0 1 0 1
14 5 5 14 14 7 145
N A
B , , , , , , , , , , ,
     
      
     
. 
 
MMóódduulloo 1111 –– DDiiaaggoonnaalliizzaaççããoo 
 
1166 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
Base para o espaço-nulo à esquerda: 
   
1 5 3 6
2 1 0 1
14 5 55
TN A
B , , , , ,
   
     
   
. 
 
E13. Explique o que ocorre quando o processo de Gram-Schmidt é aplicado a um conjunto 
ortonormal de vetores. 
Resposta: O conjunto ortonormal se mantém inalterado. 
 
E14. Explique o que ocorre quando o processo de Gram-Schmidt é aplicado a um conjunto de vetores 
linearmente dependentes. 
Resposta: Nesta situação, ao menos um dos n vetores pertencentes ao conjunto 
 1 2 nu ,u , ,u
 é 
combinação linear dos demais. Sem qualquer perda de generalidade, admita que 
2u
 é este vetor. 
Assim: 
2 1 1 3 3 n nu u u u     
. Aplicando o Processo de Gram-Schmidt, tem-se: 
 
1 1v u
; 
 
   
1 1 1 12 2 2 1 1 3 3 1 1 3 3
proj proj proj projv n n v v n v nv u u u u u u u u                
 
1 11 1 3 3 1 1 3 3
proj projn n v n v nu u u u u u              
 
 3 3 3 1 3 1 12
1
1
n n n nu u v u v u v
v
           
 
 
 3 3 3 3 1 12
1
1
n n n nu u u u v v
v
          
 
 
 
2
1
3 3 3 32
1
0n n n n
v
u u u u
v
         
. 
Ou seja, o vetor(es) que é(são) combinação(ções) linear(es) dos demais se anula(m) após a aplicaçãodo Processo de Gram-Schmidt. 
 
E15. Determine uma matriz P que diagonaliza ortogonalmente as matrizes simétricas: 
6 2
2 3
A
 
  
 
 
2 1 1
1 2 1
1 1 2
B
  
 
  
 
   
 
3 1 0 0
1 3 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
C
 
 
 
 
 
 
. 
Resposta: 
2 11
1 25
AP
 
  
 
, 
1 1 1
3 6 2
1 2
0
3 6
1 1 1
3 6 2
BP
 
 
 
 
  
 
 
 
 
, 
1 1
0 0
2 2
1 1
0 0
2 2
1 0 0 0
0 1 0 0
BP
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
MMóódduulloo 1111 –– DDiiaaggoonnaalliizzaaççããoo 
 
1177 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
APÊNDICE 01: Matrizes Semelhantes e Subepaços Invariantes 
 
Matrizes Semelhantes 
O conceito de matrizes semelhantes está intimamente ligado à transformação de 
similaridade2 a partir da qual se determina a matriz de coordenadas de um operador linear com 
respeito a uma base B arbitrária. Este problema foi estudado anteriormente e é revisitado a seguir. 
 
Determinação da matriz de coordenadas de um operador linear (ou mudança de coordenadas): Seja 
V um espaço vetorial n-dimensional em que são escolhidas, arbitrariamente, duas bases distintas B 
e F. Seja 
T : V V
 um operador linear em que 
 
B
T
 designa a matriz de coordenadas de T com 
respeito à base B (base velha). A matriz de coordenadas 
 
F
T
 do operador T com respeito à base F 
(base nova) é construída a partir de uma transformação de similaridade que obedece à seguinte 
estratégia: 
 
F
v
         1FB FBF F B FFT v T v P T P v
    
 
F
T
FBP
   FBB Fv P v
1
BF FBP P

   1FB FBF BT P T P

Conclusão: 
B
T
     FBB FBT v T P v   
 
 
 Na expressão 
   1FB FBF BT P T P

, 
FBP
 representa a matriz de mudança da base F para a 
base B. Esta relação especial entre as matrizes de coordenadas 
 
B
T
 e 
 
F
T
 motivam a seguinte 
definição. 
 
Definição 01: As matrizes A e B de ordem n são ditas matrizes semelhantes (ou similares) quando 
existe uma matriz não singular (inversível) P tal que 1P AP B  . Denota-se A B para designar 
que A é semelhante a B. 
 
Com base na definição de matrizes semelhantes, a expressão 
   1FB FBF BT P T P

 revela que 
qualquer par de matrizes de coordenadas de um determinado operador linear deve ser composto por 
matrizes semelhantes. Mas, por outro lado, pode-se afirmar que qualquer par de matrizes 
semelhantes pode ser associado à matrizes de coordenadas de um mesmo operador linear? 
 
2
 Um operador linear 
n n n n
f :
 
 definido por 
  1f A P AP
 é chamado de transformação de similaridade. 
 
MMóódduulloo 1111 –– DDiiaaggoonnaalliizzaaççããoo 
 
1188 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 A resposta é sim. Para demonstrar este fato, sejam 1P AP B  , com 
 1 nP p p
, e 
 T v Av
 o operador linear do espaço vetorial n-dimensional V. Por hipótese, A representa a matriz 
de coordenadas de T na base canônica C, ou seja, 
 
C
T A
. Se 
 1 nC p , , p 
 é uma base de V que 
consiste das colunas de P, então 
   1 1
C C
T P T P P AP B 

  
 (com P designando a matriz de 
mudança da base 
C
 para a base C). Assim, 
     C CT A T B 
 e as matrizes A e B são ambas 
matrizes de coordenadas que representam o mesmo operador linear. 
 
Exemplo 01: Seja 
1 2
1 3
A
 
   
. Deseja-se construir uma matriz B, semelhante à matriz A. 
 
A definição de matrizes semelhantes não impõe restrição alguma sobre a matriz P, exceção 
ao fato de que P deve ser inversível. Do exposto anteriormente, conclui-se que é possível associar às 
colunas de P os vetores de uma base arbitrária do 2 . Assim, seja 
    1 21 2 1 1F f , , f ,   
 uma 
base do 2 . Então: 
 
 
1
1
1 2
1 1 1 1 1 2 1 1 10 3 5 3 1 2
2 1 2 1 1 3 2 1 5 3 2 3 1 3
P f f B P AP A

                                            
. 
  
 
A discussão anterior reforça a conclusão de que a representação matricial de um operador 
linear depende da escolha de uma base para o respectivo espaço vetorial em que atua o operador. 
Torna-se importante estudar as propriedades dos operadores lineares que são independentes da 
escolha de base. Em resumo, devem-se investigar as propriedades das matrizes de coordenadas que 
sejam invariantes à transformações de similaridade ou, de forma abreviada, similaridade-
invariantes. O teorema a seguir reúne essas propriedades. 
 
Teorema 01: Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n com 
A B
. Então: 
 a) 
   det detA B
; 
 b) 
   tr trA B
; 
 c) 
   pos posA B
; 
 d) 
   det detA I B I   
, ou seja, A e B possuem os mesmos autovalores. 
 
Demonstração: Se 
A B
, então existe uma matriz não singular P tal que 1P AP B  . Então: 
 
               1 1 1det det det det det det det detB P AP P A P P P A     
 
 
     
1
det det det
det
P A A
P
 
, 
 
MMóódduulloo 1111 –– DDiiaaggoonnaalliizzaaççããoo 
 
1199 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
o que demonstra (a). Para demonstrar (b), é necessário utilizar o fato de que 
   tr trXY YX
 
sempre que estes produtos sejam definidos (prove!). Assim: 
 
       1 1tr tr tr trB P AP APP A   
. 
 
 A demonstração de (c) utiliza a relação 
      pos min pos posXY X , Y
, sempre que o 
produto XY seja definido. Assim: 
 
          1 1pos pos min pos pos posB P AP P , A , P  
. 
 
 Mas P é inversível. Logo 
 pos P n
 e 
   pos posB A
. De forma análoga, a partir de 
1A PBP
, tem-se 
   pos posA B
. Consequentemente, 
   pos posB A
. Finalmente, para 
demonstrar (d), faz-se: 
 
        1 1 1 1det det det detB I P AP I P AP P IP P A I P              
       1det det det detP A I P A I    
. 
 
 
 Resumindo: Se 
 
S
A T
 e 
 
S
B T


 são matrizes de coordenadas do operador linear T com 
respeito às bases S e 
S
, então 
A B
 e o determinante, o traço, o posto e os autovalores de uma 
representação matricial de T são propriedades intrínsecas à T. Em outras palavras, são 
propriedades similaridade-invariantes. Caso qualquer uma das condições do Teorema 01 não seja 
satisfeita, A não será semelhante a B e, consequentemente, A e B não representam o mesmo 
operador linear. 
 Sendo 
      1 21 2 1det 1
n n n n
n np A I c c c c                o polinômio característico 
de A, então (prova-se que): 
   
1
1 2 1tr 1
n
nA c        
 [o traço de uma matriz é a soma de 
seus autovalores] e 
  1 2det n nA c   
 [o determinante de uma matriz é o produto de seus 
autovalores]. 
 Os conceitos discutidos até aqui permitem a construção dos teoremas a seguir, cujas 
demonstrações são deixadas como um exercício ao leitor. 
 
Teorema 02: Sejam as matrizes A e B tais que 
A B
. Então, A é inversível se, e somente se, B é 
inversível. 
 
Teorema 03: Uma matriz quadrada de ordem n é inversível se, e somente se, todos os seus n 
autovalores foremnão-nulos. 
 
MMóódduulloo 1111 –– DDiiaaggoonnaalliizzaaççããoo 
 
2200 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
Exemplo 02: Deseja-se verificar se as matrizes 
0 0
0 0
A
 
  
 
 e 
1 1
1 1
B
 
   
 são semelhantes. 
 
Como 
   pos 0 pos 1A B  
, permite concluir que A e B não são semelhantes, embora 
também se verifique que 
   tr tr 0A B 
, 
   det det 0A B 
 e os autovalores de A e B são os 
mesmo. De fato, uma vez que A é uma matriz diagonal, tem-se 
1 2 0A A  
 e para a matriz B, 
  2det B I  
. Logo, 
1 2 0B B  
 e o par (A,B) compartilha os mesmos autovalores. 
 
 
Exemplo 03: Deseja-se verificar se as matrizes 
1 2
0 1
A
 
   
 e 
1 0
2 1
B
 
    
 são semelhantes. 
 É simples verificar que: 
   det det 1A B  
, 
   tr tr 0A B 
, 
   pos 2 posA B 
 e 
      det 1 1 detA I B I        . Mas estes fatos não permitem afirmar que A B (deve-se 
notar que o Teorema 01 afirma que se 
A B
 então ... e não o contrário!). Para tanto, é preciso 
investigar se existe uma matriz inversível P tal que 1P AP B  ou, equivalentemente, AP PB . 
No presente caso, tem-se: 
 
1 2 1 0 2 2 2
0 1 2 1 2
a b a b a c b d a b b
AP PB
c d c d c d c d c
              
                                
. 
 
 Da relação anterior, tem-se 
b c 
 e 
d c
 (verifique!). Então: 
 
1 2
1 0 0 1
0 0 1 1
a c
P a c a M c M
c c
      
             
     
. 
 
Conclui-se que existe P e que não é única! Mas é preciso garantir a existência da inversa. De 
fato, P é determinada por todas as combinações lineares das matrizes M1 e M2 com a e c sujeitos à 
restrição 
  2det 0P ac c  
. Assim, é preciso que 
  0c a c  
, ou seja, 
0c 
 e 
a c 
. 
 
Subepaços Invariantes 
Seja um operador linear T que atua em um espaço vetorial V. Seja 
V 
 um subconjunto de V. O 
conjunto 
    T T x |x  
 é constituído de todas as imagens possíveis dos vetores de 

 obtidas 
pela aplicação de T. Deve-se notar que 
   ImT V T
. 
 Quando 

 é um subespaço de V, tem-se que 
 T 
 é também um subespaço de V (por quê?). 
No entanto, de forma geral, 
 T 
 não guarda nenhuma relação com 

. Porém, em alguns casos 
especiais, observa-se que 
 T  
. Isto motiva a seguinte definição: 
 
MMóódduulloo 1111 –– DDiiaaggoonnaalliizzaaççããoo 
 
2211 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
Definição 02: Seja um operador T que atua no espaço vetorial V. Um subespaço 
V 
 é dito um 
subespaço T-invariante sempre que 
 T  
. Nesta situação, a atuação de T é restrita aos vetores 
de 

. Assim, o operador restrito será denotado por 
/T 
. 
 
 A figura a seguir ilustra o conceito de subespaço T-invariante. 
 
V V  Im T T V
 T V

 Im /T 
 /T  
 /T  
 
 
 
Exemplo 04: Sejam 
4 4 4
2 2 5
1 2 5
A
 
    
 
  
, 
1
1
1
1
x
 
 
 
  
 e 
2
1
2
1
x
 
 
 
  
. 
 
 Deseja-se mostrar que 
 1 2ger x ,x 
 é um subespaço A-invariante. Para tanto, deve-se 
observar que, utilizando a base 
 1 2B x ,x 
 para 

, tem-se: 
 
1 1 2
4
3
1 3
1
2 B
Ax x x

 
            
 e 
2 1 2
0
1
3
1
2 B
Ax x x

 
        
   
. 
 
Assim, a imagem de qualquer 
1 2x x x    
 está contida em 

 uma vez que: 
 
         1 2 1 2 1 2 1 2 1 23 3Ax A x x Ax Ax x x x x x x                       . 
 
A equação anterior descreve completamente a ação do operador A restrito a 

. Logo: 
 
     1 23/A x x x        
 para todo 
1 2x x x    
. 
 
 Uma vez que 
 1 1 23/A x x x  
 e 
 2 1 2/A x x x  
, é possível determinar a matriz de 
coordenadas do operador 
/A 
 com relação à base 
B
: 
 
   1 2
3 1
1 1
/ / /B B B
A A x A x
    
                    
. 
 
 Por exemplo, se 
 4 2
B
x ,

 
, então: 
MMóódduulloo 1111 –– DDiiaaggoonnaalliizzaaççããoo 
 
2222 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
  1 2
1 1 16
3 1 4 10
10 6 10 1 6 2 2
1 1 2 6
1 1 4
/ / BB
B B
C
A x A x x x  
 
     
                                                      
. 
 
 Isto é equivalente a aplicar o operador A ao vetor 
   1 24 2 4 2 6 0 2B Cx , x x , ,     
: 
 
 
4 4 4 6 16
2 2 5 0 2
1 2 5 2 4
A x Ax
     
           
     
           
. 
 
 
 A importância dos subespaços invariantes à aplicação de um operador linear T reside no fato 
de que tais subespaços produzem representações matriciais (matrizes de coordenadas) simplificadas 
para o operador T. Para compreender como isto ocorre, admita que 

 é um subespaço T-invariante 
e que 
 1 2 rB x ,x , ,x 
 é uma base para 

. Além disso, seja 
 1 2 1 2r qB x ,x , ,x , y , y , , y
 uma 
base para o espaço vetorial V em que atua o operador T. A matriz de coordenadas de T com respeito 
à base B é expressa por: 
 
         1 1r qB B B B BT T x T x T y T y
                 
. (1) 
 
Como consequência do fato de que 

 é um 
subespaço T-invariante, cada 
 jT x
 está contido em 

. Assim, apenas os r primeiros vetores da base B são 
necessários para representar cada 
 jT x
. Logo, para 
1 2j , , ,r
, tem-se: 
 
1
r
j ij i
i
T x x


 e 
 
1
0
0
j
rj
j
B
T x


 
 
 
 
     
 
 
 
  
. 
(2) 
 
 O espaço 
 1 2ger qy , y , , y 
 pode não ser T-invariante. Logo, todos os vetores da base B 
podem ser necessários para representar cada um dos 
 jT y
. Consequentemente, para 
1 2j , , ,q
, 
é possível escrever: 
 
1 1
qr
j ij i ij i
i i
T y x y 
 
  
 e 
 
1
1
j
rj
j
B
j
qj
T y




 
 
 
 
     
 
 
 
  
. (3) 
 
 Utilizando as equações (2) e (3) na equação (1), tem-se a representação triangular superior 
(em blocos) para a matriz de coordenadas de T com respeito à base B: 
 
MMóódduulloo 1111 –– DDiiaaggoonnaalliizzaaççããoo 
 
2233 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
11 1 11 1
1 1
11 1
1
0 0
0 0
r q
r rr r rq
B
q
q qq
T
   
   
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
  
. (4) 
 As expressões 
  1
r
j ij ii
T x x


 na equação (2) implicam em que  
1
2
j
j
/ j
B
rj
T x





 
 
   
   
 
  
. Então: 
11 12 1
21 22 2
1 2
r
r
/ B
r r rr
T 
  
  
  
 
 
      
 
 
. 
 
 Consequentemente é possível escrever a matriz de coordenadas expressa em (4) soba forma: 
 
 
0
/ r qB
B
q q
T B
T
C

 

    
 
 
. (5) 
 
 Em resumo: a equação (5) revela que uma representação matricial do operador linear T pode 
ser expressa na forma bloco triangular sempre que existir um subespaço T-invariante. 
 
Exemplo 05: Sejam 
4 4 4
2 2 5
1 2 5
A
 
    
 
  
, 
1
1
1
1
x
 
 
 
  
 e 
2
1
2
1
x
 
 
 
  
 [vide Exemplo 04]. 
 
O subespaço 
  31 2ger x ,x  
 é A-invariante (fato demonstrado no Exemplo 04). Sejam 
as bases 
 1 2B x ,x 
 e 
  1 2 1 0 0 1B x ,x , y , , 
 para o subespaço 

 e para o 3 , respectivamente 
(o vetor y1 foi escolhido de forma arbitrária, submetido a restrição 
1y 
). 
 A matriz de mudança de base da base B para a base canônica do 3 é expressa por 
 
     1 2 1
1 1 0
1 2 0
1 1 1
C C C
M x x y
 
      
   
, então 
 
2 11
1 1
3 1 1
1 1 3
0 0 0 3
/ B
B
A B
A M AM
C

 

           
  
    
. 
 
 
Exemplo 06: Sejam  
1 1 1 1
0 5 16 22
0 3 10 14
4 8 12 14
T
    
   
 
 
 
 
, 
1
2
1
0
0
q
 
 
 
 
 
 
 e 
2
1
2
1
0
q
 
 
 
 
 
 
. 
 
 
MMóódduulloo 1111 –– DDiiaaggoonnaalliizzaaççããoo 
 
2244 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 O subespaço 
 1 2ger q ,q 
 é T-invariante. Para verificar este fato, basta determinar 
 
   1 1 1 2
1
5
3
3
0
T q T q q q
 
 
    
 
 
 
 e    2 2 1 2
0
6
2 4
4
0
T q T q q q
 
 
    
 
 
 
. 
 
 As expressões anteriores garantem que, para quaisquer  e , as imagens 
 
     1 2 1 22 3 4T q q q q           . 
 
 Portanto, ao construir uma base 
 1 2 3 4B q ,q ,q ,q
 para o 4 , é possível determinar uma 
matriz não singular 
 1 2 3 4Q q q q q
 tal que a matriz de coordenadas de T com relação à base B 
possua a forma bloco triangular: 
 
  1
0 0
0 0
B
T Q TQ
    
    
  
  
 
  
. 
 
Considerando 
3
1
0
0
0
q
 
 
 
 
 
 
 e 
4
0
0
0
1
q
 
 
 
 
 
 
, então  1 2 3 4
2 1 1 0
1 2 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
Q q q q q
 
 
  
 
 
 
. 
 
 Uma vez que as duas primeiras colunas de Q geram um espaço invariante a T, tem-se: 
 
 
  1
1 2 0 6
3 4 0 14
0 0 1 3
0 0 4 14
B
T Q TQ
 
 
  
  
 
 
, com 
 1 2
1 2
3 4
/ q ,q
T 
 
     
 
. 
 
 
 Retornando ao cenário exposto nas equações de (1) a (5), observa-se que quanto maior o 
número de subespaços invariantes disponíveis, mais simples serão as representações matriciais (ou 
matrizes de coordenadas) de um operador linear. 
Por exemplo, caso o subespaço 
 1 2ger qy , y , , y 
 [vide equação (3)] seja também T-
invariante, então 
 jT y 
 para cada 
1 2j , , ,q
. Ou seja, apenas os q últimos vetores da base 
 1 2 1 2r qB x ,x , ,x , y , y , , y
 serão necessários para representar os vetores 
 jT y
 na equação (3). 
] 
MMóódduulloo 1111 –– DDiiaaggoonnaalliizzaaççããoo 
 
2255 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
Consequentemente, todos os coeficientes 
ij
 serão nulos e a matriz de coordenadas de T com 
relação a base B assumirá a forma bloco diagonal 
 
 
 
00
0 0
/r r B
B
q q / B
TA
T
C T




 
        
    
. (6) 
 
 
Exemplo 07: Sejam 
1 1 1 1
0 5 16 22
0 3 10 14
4 8 12 14
T
    
   
 
 
 
 
, 
1
2
1
0
0
q
 
 
 
 
 
 
 e 
2
1
2
1
0
q
 
 
 
 
 
 
 [vide Exemplo 06]. 
 
 Existem infinitas extensões do conjunto 
 1 2q ,q
 que formam bases do 4 . A extensão 
utilizada no Exemplo 06 é apenas uma delas. Outra extensão possível é expressa por 
 
3
0
1
2
1
q
 
 
 
 
 
 
 e 
4
0
0
1
1
q
 
 
 
 
 
 
, de forma que 
 3 4ger q ,q 
 é T-invariante (verifique!). 
 
 A partir de  1 2 3 4
2 1 0 0
1 2 1 0
0 1 2 1
0 0 1 1
Q q q q q
 
  
  
  
 
 
, tem-se: 
 
  1
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 0 0 1 2 0 0
1 2 2 2 0 5 16 22 1 2 1 0 3 4 0 0
1 2 3 3 0 3 10 14 0 1 2 1 0 0 5 6
1 2 3 4 4 8 12 14 0 0 1 1 0 0 7 8
B
T Q TQ
           
           
         
        
       
       
, com 
 
 
 1 2
1 2
3 4
/ q ,q
T 
 
    
 
 e 
  3 4
5 6
7 8
/ q ,q
T 
 
 
 
. 
 
 
 A noção expressa pela equação (6) pode ser generalizada de forma bastante simples. De fato, 
seja 
B B B B     
 uma base do espaço vetorial V construída pela união das k bases 
B
, 
B
, 
..., 
B
 dos subespaços T-invariantes 

, 

, ..., 

 de dimensões r1, r2, ..., rk, respectivamente. Se 
1 2dim kV n r r r    
, a matriz de coordenadas do operador linear T com respeito à base B 
assumirá a forma bloco diagonal 
 
 
 
 
MMóódduulloo 1111 –– DDiiaaggoonnaalliizzaaççããoo 
 
2266 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
 
 
 
1 1
2 2
0 00 0
0 0 0 0
0 0 0 0k k
/ Br r
r r / B
B
r r
/ B
TA
B T
T
C T





 


      
   
    
   
   
     
. (7) 
 
Exemplo 08: Deseja-se determinar todos os subespaços do 2 que são invariantes sobre a aplicação 
do operador linear 
 
0 1
2 3
T
 
   
. 
 
 O subespaço trivial 
 0
 é o único subespaço invariante de dimensão zero e 2 é o único 
subespaço invariante bidimensional. O problema então se resume a determinar todos os subespaços 
invariantes unidimensionais – retas que passam pela origem. Se 

 é um subespaço unidimensional 
gerado por 
0x 
 tal que 
 T  
, então: 
 
     existe um escalar tal que T x T x T x x     . 
 
 Assim, os espaços invariantes unidimensionais são os auto-espaços associados ao operador T. 
Tem-se então: 
 
  
11 1
1 ger 1 1S v ,    
 e 
  
22 2
2 ger 1 2S v ,    
. 
 
Observação interessante: Seja 
      1 2 1 1 1 2B v ,v , , , 
 uma base do espaço vetorial 2 formada 
pelos autovetores do operador linear T. A matriz de coordenadas de T na base B é expressa por meio 
da transformação de similaridade 
 
   
 
 
1
2
11
2
0 0 1 0
0 0 20
/S
B
/S
T
T Q T Q
T





 
   
       
     
 
, em que 
 1 2
1 1
1 2
Q v v
 
   
 
. 
 
 
A base B (base construída com os autovetores de T) propicia, neste caso, a construção de uma 
representação matricial diagonal para o operador linear T. E mais, os elementos da diagonal são os 
autovalores do operador T. Esta é a forma mais simples possível para a matriz de coordenadas. 
Nesta situação,diz-se que a matriz 
 T
 (ou o operador T) é diagonalizável pela 
transformação de similaridade 
 1Q T Q
. 
 
MMóódduulloo 1111 –– DDiiaaggoonnaalliizzaaççããoo 
 
2277 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
A principal conclusão do estudo de Matrizes Semelhantes e Subespaços Invariantes, diz 
respeito à construção de uma matriz de coordenadas bloco diagonal para a representação de um 
operador linear T (em um espaço vetorial V n-dimensional) em uma base B. 
Essa base é formada pela união das k bases 
B
, 
B
, ..., 
B
 dos subespaços T-invariantes 

, 

, ..., 

 de dimensões r1, r2, ..., rk, (
1 2dim kV n r r r    
), respectivamente. 
A matriz de coordenadas do operador linear T com respeito à base B assumirá a forma bloco 
diagonal: 
 
 
 
1 1
2 2
0 00 0
0 0 0 0
0 0 0 0k k
/ Br r
r r / B
B
r r
/ B
TA
B T
T
C T





 


      
   
    
   
   
     
. 
 
Surge uma questão: Como determinar os k subespaços T-invariantes? 
O Exemplo 08 sugere que os autoespaços do operador linear T são excelentes candidatos. De fato, se 
 1dim i
k
i
S n 
, uma base B para o espaço vetorial V pode ser expressa por 
1 2 kS S S
B B B B     
 e então3: 
 
 
1
1
2
2
0 0
0 0
0 0
S
S
k
S
k
/S
B
/S
B
B
/S
B
T
T
T
T






  
  
 
  
  
 
 
  
  
 
. 
 
Cada uma das bases dos autoespaços é da forma 
 1 2i iS rB v ,v , ,v 
. Logo: 
 
 
       1 2 1 2i ii S S S SS Si i i iS i ii
/S r i i i i i irB B B BB BB
T T v T v T v v v v                             
 
 
 
0 0
0 0
diag
0 0
i i
i i
i
i
i r r
i r r






 
 
  
 
 
 
. 
 
Assim, a matriz do operador T na base B, de ordem 
 i ir r 
, será uma matriz diagonal: 
 
 
3
 Prova-se que a união de todos os autovetores de um operador linear é um conjunto linearmente independente. 
 
MMóódduulloo 1111 –– DDiiaaggoonnaalliizzaaççããoo 
 
2288 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
 
1
1
1
2
2
2
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
B
k
k
k
T









 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
Nesta situação, diz-se que a matriz 
 T
 (ou o operador T) é diagonalizável pela 
transformação de similaridade 
 1Q T Q
, em que Q tem em suas colunas os n autovetores 
linearmente independentes de T. Conclusão: se o operador linear T (que atua em um espaço vetorial 
n-dimensional) possui n autovetores linearmente independentes, então 
 T
 é diagonalizável. 
Mas, o contrário também é verdadeiro? Ou seja, se 
 T
 é diagonalizável, então existem n 
autovetores l.i. para o operador T? A resposta é sim. De fato, se 
 T
 é diagonalizável, então existe 
uma matriz 
 1 2 nQ q q q
 inversível tal que 
 
     1 1 2diag n BQ T Q D T     
, com 
 1 2 nB q ,q , ,q
. 
 
Pode-se escrever 
 T Q QD
 e, notando-se que 
       1 2 nT Q T q T q T q   
: 
 
           1 2 1 2 1 2 1 1 2 2diagn n n n nT q T q T q q q q q q q          . 
 
Assim, 
 i i iT q q
, indicando que 
i
 é um autovalor de T associado ao autovetor 
iq
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 linhasr
 
2 linhasr
 
1 linhasr
 
linhaskr
 
1 colunasr
 
2 colunasr
 
colunaskr
 
MMóódduulloo 1111 –– DDiiaaggoonnaalliizzaaççããoo 
 
2299 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
APÊNDICE 02: Procedimento para completar bases de um espaço vetorial 
 
Problema: Seja 
 1 2r rS v ,v , ,v
 é um subconjunto linearmente independente de um espaço 
vetorial n-dimensional V, com 
r n
. De que forma é possível determinar vetores 
 1 2r r nv ,v , ,v
 
pertencentes a V para que o conjunto 
 1 2 1 2n r r r nS v ,v , ,v ,v ,v , ,v 
 seja uma base de V? 
 
1ª Solução: 
r n
 significa que 
 ger rS V
 e, portanto, existe um vetor 
1rv V 
 tal que 
 1 gerr rv S 
. Desta forma, o conjunto 
 1 1r r rS S v  
 é um subconjunto independente de V que 
contém 
1r 
 vetores. É possível repetir este processo e gerar subconjuntos independentes 
2rS 
, 
3rS 
, ..., e então chegar a um subconjunto linearmente independente 
nS V
, com n vetores, que 
constitui uma base para V. 
 
2ª Solução: A primeira solução mostra que é possível completar o conjunto 
 1 2r rS v ,v , ,v
 com 
n r
 vetores e formar uma base 
 1 2 1 2n r r r nS v ,v , ,v ,v ,v , ,v 
 de V. Mas este argumento não é 
de muita valia para a determinação dos vetores 
1 2r r nv ,v , ,v 
 que completam a base. O método a 
seguir facilita a tarefa. 
 
 Seja 
 1 2 nB b ,b , ,b
 uma base qualquer para V. Construa a matriz 
 
 1 2 1 2r nA v v v b b b
. 
 
 Claramente, 
 C A V
 (as últimas n colunas de A formam uma base para V). Deve-se notar 
também que 
 1 2 rv ,v , ,v
 são colunas pivô de A, uma vez que nenhum deles é combinação linear 
de seus precedentes (
 1 2 rv ,v , ,v
 é um conjunto linearmente independente). Portanto, as 
n r
 
colunas pivô remanescentes devem ser um subconjunto de 
 1 2 nb ,b , ,b
. Sejam 
1 2 n rj j j
b ,b , ,b

 
estes vetores. 
 
O conjunto completo de colunas pivô de A, e uma base para V, é 
 
 
1 21 2 n rr j j j
B v ,v , ,v ,b ,b ,b


. 
 
 Por exemplo, para estender o conjunto independente 
    1 21 0 1 2 0 0 1 2S s , , , ,s , , ,   
 à 
uma base do 4 , construa a matriz 
 1 2 1 2 3 4A s s e e e e
, em que 
 1 2 3 4e ,e ,e ,e
 é a base 
canônica do 4 , e determine 
 rrefR A
: 
 
 
 
 
 
MMóódduulloo 1111 –– DDiiaaggoonnaalliizzaaççããoo 
 
3300 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
 1 2 3 4 5 6
1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 2
1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
2 2 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 2
A R r r r r r r
   
   
      
   
   
   
. 
 
 A inspeção de R revela que 
 1 2 4 5r ,r ,r ,r
 são as colunas pivô de R e, consequentemente, 
 1 2 2 3B s ,s ,e ,e
 é uma base para o 4 que contém S. 
 
Exercícios Propostos referentes aos apêndices: 
 
E01. Mostre que os pares de matrizes A e B a seguir são semelhantes e determine uma matriz M tal 
que 1B M AM . 
 
a) 
1 0 0 1
1 0 0 1
A ; B
   
    
   
. Resposta: 
A B
, pois 
AM MB
 – com 
 
  
 
0 b
M
b d d
, 
b d
 e 
 0b
. 
 
b) 
1 1 1 1
1 1 1 1
A ; B
   
       
. Resposta: 
A B
, pois 
AM MB
 – com 
 
  
  
a b
M
b a
, 
0a,b 
. 
 
c) 
1 2 4 3
3 4 2 1
A ; B
   
    
   
. Resposta: 
A B
, pois 
AM MB
 – com 
2 3d b
M
c c b
 
   
. 
 
E02. Mostre que, se B for inversível, então BA é semelhante a AB.Resposta: Se 
BA AB
, então existe uma matriz P inversível tal que 1AB P BAP . Basta fazer 
P B
 para obter 1AB B BAB AB . 
 
E03. Se 
 x N A
, mostre que 
 1 1M x N M AM 
. 
 
Resposta: Tem-se: 
  1 1 0M AM Mx M Ax  
, pois 
 x N A
. Logo, 
 1 1M x N M AM 
. 
 
E04. Quais das matrizes 
1A
 a 
6A
 são semelhantes? Verifique seus autovalores. 
 
1 2 3 4 5 6
1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1
0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1
A ; A ; A ; A ; A ; A
           
                
           
. 
 
Resposta: Analisando os autovalores A3 e A4, A5 e A6 são semelhantes. 
 
MMóódduulloo 1111 –– DDiiaaggoonnaalliizzaaççããoo 
 
3311 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
E05. Sejam 
2 1 5 2
9 0 8 2
2 3 11 5
3 5 13 7
T
    
   
 
 
 
   
 e  1 2 3 4
1 0 0 1
1 1 3 4
2 0 1 0
3 1 4 3
Q q q q q
 
 
  
 
 
  
. 
 
a) Explique por que as colunas de Q formam uma base para o 4 . 
 
Resposta: Porque elas são linearmente independentes e geram o 4 . 
 
b) Verifique que 
 1 2ger q ,q 
 e 
 3 4ger q ,q 
 são subespaços T-invariantes. 
 
Resposta:    1 1 1 2
1
1
1 0 1 0
2
3
T
B
T q Tq q q

 
 
     
 
 
 
;    2 2 1 2
1
2
1 1 1 1
2
2
T
B
T q Tq q q

 
 
     
 
 
 
. 
 
Portanto, 
 1 2ger q ,q 
 é um subespaço T-invariante. 
 
   3 3 3 4
0
0
0 0 0 0
0
0
T
B
T q Tq q q

 
 
     
 
 
 
;    4 4 3 4
0
3
1 0 1 0
1
4
T
B
T q Tq q q

 
 
     
 
 
 
. 
 
Portanto, 
 3 4ger q ,q 
 é um subespaço T-invariante. 
 
 c) Descreva a estrutura de 
1Q TQ
 sem realizar qualquer tipo de cálculo. 
 
Resposta: 
 





 
         
   
  
 
1
0 0
00 0
0 0 0
0 0
/ B
/ B
* *
T* *
Q TQ
* * T
* *
. 
 
 d) Calcule o produto 
1Q TQ
 e determine 
 1 2
/ q ,q
T   
 e 
  3 4/ q ,qT 
. 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
1
1 1 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
Q TQ ; 


 
     
 
1 1
0 1
/ B
T
 ; 
 


 
  
 
0 1
0 0
/ B
T
. 
 
E06. Considere a matriz 
9 4
24 11
A
 
   
. 
 
 a) Determine os autovalores de A. 
Resposta: 
  1 1
 e 
 2 3
. 
 
MMóódduulloo 1111 –– DDiiaaggoonnaalliizzaaççããoo 
 
3322 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 b) Identifique todos os subespaços do 2 que sejam A-invariantes. 
 
Resposta: Os autoespaços 
   1 1 2S ger ,
 e 
   2 1 3S ger ,
 são subespaços A-invariantes. 
Além deles, o subespaço trivial 
 0
 é o único subespaço invariante de dimensão zero e 2 é o 
único subespaço invariante bidimensional. 
 
 c) Construa uma matriz Q tal que 
1Q AQ
 seja uma matriz diagonal. 
 
Resposta: 
    
 
1 1 0
0 3
Q AQ
. 
 
E07. Mostre que matrizes semelhantes não precisam, necessariamente, compartilhar os mesmos 
autovetores. Para isso, forneça um exemplo de duas matrizes que sejam semelhantes, porém exibam 
autoespaços diferentes. 
 
Resposta: Do exercício E01: 
8 6
12 10
A
  
  
 
 possui autoespaços: 
 
    1 1 1AS ger ,  
 e 
    2 1 2AS ger ,  
. 
 
2 0
0 4
D A
 
  
 
 possui autoespaços 
    1 1 0DS ger , 
 e 
    2 0 1DS ger , 
.

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