Superficies esfericas - Geometria Analítica

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MMóódduulloo 55 –– SSuuppeerrffíícciieess EEssfféérriiccaass 
 
 11 EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
 
MÓDULO 5 – SUPERFÍCIES ESFÉRICAS 
 
 
1. Definições 
 OPr

 
Considere a origem de um dado sistema cartesiano Oxyz e o número 
real 
0r 
. 
 
Definição 1: Superfície esférica 

 de centro na origem O e raio 
0r 
 é o conjunto dos pontos 
 P x, y,z
 do espaço, extremidades 
dos vetores 
OP
 tal que 
OP r
. Desta maneira, 
P 
 se, e 
somente se, 
 dist P,O r
. 
 
Equivalentemente, 
P O r 
. Ou ainda: 
 
 2 2 2 2P x y z r     
 (I), 
 
que é a equação reduzida da superfície esférica 

. 
 
Pr C
OCOr

 
Definição 2: Superfície esférica 

 de 
centro 
 0 0 0, ,C x y z
 e raio 
0r 
 é o 
conjunto dos pontos 
 P x, y,z
 do espaço, 
extremidades dos vetores 
OP OC CP 
 
tal que 
CP r
. Em outras palavras, a 
superfície esférica 

 é a translação de 

 
pelo vetor 
 0 0 0
T
OC x y z
. 
 
Logo, 
P 
 se, e somente se, 
 dist P,C r
, ou seja: 
 
      2 2 2 20 0 0P x x y y z z r        
 (I), equação reduzida de 

. 
 
 Generalização: Desenvolvendo a equação (I), forma transladada, obtém-se uma nova 
expressão para a equação da superfície esférica 

: 
 
 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 02 2 2 0x y z x x y y z z x y z r           (II). 
 
 
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Fazendo-se 
02x a 
, 
02y b 
, 
02z c 
 e 
2 2 2 2
0 0 0x y z r d   
 na equação anterior, teremos 
a forma geral da equação da superfície esférica: 
 
  2 2 2 0 (III)x y z ax by cz d       
 
 
Deve-se notar que na equação geral da superfície esférica (III), os coeficientes dos monômios 
2x
, 
2y
 e 
2z
 são iguais. Além disso, a equação (III) é a representação em coordenadas da expressão 
 2 2dist 0P,C r 
. 
 
Porém, nem toda equação da forma (III) descreve uma superfície esférica. Como exemplo, 
podem-se considerar as seguintes equações: 
2 2 2 5 0x y z   
 e 
2 2 2 2 1 0x y z z    
. A primeira 
não admite soluções reais, ou seja, descreve um conjunto vazio. Por outro lado, a segunda tem como 
única solução o ponto 
 0 0 1, ,
. Assim, nenhuma dessas equações descreve uma superfície esférica. 
 
Para determinar se uma equação da forma (III) representa ou não a equação geral de uma 
superfície esférica, usa-se o recurso de completar quadrados, como visto a seguir. 
 
2 2 2 2 2 2
2 2 2
a b c
x x y y z z d                   
     
 
 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 4 2 4 2 4 4
a a b b c c a b c
x x y y z z d                         
      
 
 
ou 2 2 2 2 2 2 4
 
2 2 2 4
a b c a b c d
x y z                     
     
 (*) 
 
Essa equação anterior representa uma superfície esférica de centro 
 
2 2 2
a b c
C , ,
 
    
 
 e raio 
2 2 21 4 0
2
r a b c d    
 
 
se, e somente se, 
2 2 2 4 0a b c d   
. No caso em que 
2 2 2 4 0a b c d   
, a equação (*) ganha a 
forma 
2 2 2
 0
2 2 2
a b c
x y z                  
     
, 
 
que só é satisfeita pelo ponto 
2 2 2
a b c
C , ,
 
    
 
. 
 
 
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Finalmente, no caso em que 
2 2 2 4 0a b c d   
, o conjunto dos pontos 
 P x, y,z
 definido 
por (*) é vazio. 
 
Exemplo 01: Verifique quais das seguintes equações definem superfícies esféricas; a seguir 
determine o centro C e o raio r. 
 
a) 
2 2 2 2 2 1 0x y z x y     
 
 
Essa equação define uma superfície esférica. De fato, tem-se: 
 
 
   2 2 2 2 22 2 1 0 2 1 2 1 1 1 1 0x y z x y x x y y z                  
 
 
       
2 2 2
1 1 0 1 1 1 0 e 1x y z C , , r         
 
 
 b) 
2 2 22 2 2 0x y z x y    
 
 
Essa equação não define uma superfície esférica, uma vez que os coeficientes dos monômios 
2x
, 
2y
 e 
2z
 não são iguais. 
 
c) 
2 2 2 2 8 20 0x y z x y     
 
 
Essa equação não define uma superfície esférica. Tem-se: 
 
   2 2 2 2 2 22 8 20 0 2 1 8 16 20 1 16 0x y z x y x x y y z                 
 
 
   
2 2 21 4 3x y z      
, uma incoerência. 
 
 
Exemplo 2: Obtenha a equação geral da superfície esférica S de centro 
 1 1 0C , , 
 e raio 
2r 
. 
 
Seja 
 P x, y,z
 um ponto pertencente a S. Uma vez que a condição para que uma equação 
descreva uma superfície esférica é 
 2 2dist P,C r
, obtém-se a equação reduzida 
 
    2 2 21 1 4S x y z    
. 
 
Ao desenvolver os quadrados, escreve-se a equação geral 
 
    2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 4 2 1 2 1 4 0 2 2 2 0x y z x x y y z S x x y y z                    
. 
 
 
 
 
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Exemplo 3: Obtenha a equação geral da superfície esférica 

 que contém os pontos 
 0 0 0P , ,
, 
 1 0 0Q , ,
, 
 0 2 0R , ,
 e 
 0 0 3S , ,
. 
 
Existem duas maneiras de se resolver o problema. A primeira delas emprega a forma geral 
da equação que descreve a superfície esférica 

. 
 
 A forma da equação procurada é 
2 2 2 0x y z ax by cz d      
. Os pontos P, Q R e S 
devem satisfazer tal equação. Assim, obtêm-se as relações 
 
0d 
 ; 
1 0a d  
 ; 
4 2 0b d  
 ; 
9 3 0c d  
 
 
a partir das quais conclui-se que 
1a  
, 
2b  
, 
3c  
 e 
0d 
. Portanto, a equação geral da 
superfície esférica 

 é expressa por: 
 
 2 2 2 2 3 0x y z x y z      
. 
 
Observação: Para que 

 seja uma superfície esférica, os coeficientes a, b, c e d presentes na forma 
geral 
2 2 2 0x y z ax by cz d      
 devem obedecer à condição 
2 2 2 4 0a b c d   
. Mas essa 
verificação é necessária no presente caso? Na realidade, não. Como os quatro pontos fornecidos são 
solução de 
2 2 2 2 3 0x y z x y z     
, não ocorrerão as situações em que a solução seria vazia 
(
2 2 2 4 0a b c d   
) ou um único ponto (
2 2 2 4 0a b c d   
). 
 
 O segundo modo de resolução emprega o conceito de plano mediador de um segmento de reta. 
Assim, para que esta estratégia de resolução seja analisada, é preciso primeiramente investigar os 
planos mediadores. 
 
A BM
P
1d1d
2d2d
 
Para tanto, seja um segmento de reta AB. O plano, 
mediador deste segmento, é o plano que contém todos os 
pontos equidistantes de A e B, ou seja: 
 P x, y,z  
 se, 
e somente se, 
   dist distA,P B,P
. Nota-se claramente 
que o ponto M médio do segmento AB, é um ponto do 
plano mediador. Na ilustração ao lado, verifica-se que 
P 
, pois 
    2dist distA,P B,P d 
. 
 
 
 
 
 
 
 
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Voltando ao problema da determinação da 
equação da superfície esférica 

 que passa p 
por P, Q, R e S. Sejam 
 0 0 0C x , y ,z
 e 
0r 
 
o centro e raio da superfície 

. O ponto C é 
equidistante de P, Q, R e S (a distância é o 
raio r) e, portanto, é determinado pela 
interseção dos planos ,  e , mediadores de 
PQ, PR, e PS, respectivamente – vide figura. 
As equações dos planos ,  e  são: 


t   

C t 
  
  
  
 
 
 2 1 0x  
 ; 
 1y 
 ; 
 2 3 0z  
 (Verifique! ) 
A intersecção destes planos ocorre no ponto 
 1 2 1 3 2C , ,
. Por outro lado, sabe-se que: 
 
   
2
2 22 2 1 3 1 9 71 0 0 0 1
2 2 4 4 2
r dist P,C PC C P , , , ,
 
          
 
. 
 
Com isso, a equação reduzida da superfície esférica é expressa por: 
 
 
2 2
21 3 7
1
2 2 2
x y z
    
         
   
. 
 
Desenvolvendo-se os quadrados obtém-se a equação geral 
 
 2 2 2 2 3 0x y z x y z      
. 
 
Exemplo 4: Sejam os pontos 
 1 1 1F , ,
, 
 0 0 0G , ,
e 
 1 1 0H , , 
. Localize-os em relação à 
superfície esférica 
 2 2 2 2 2 4 0S x y z x y z     
. 
 
Existem três situações possíveis acerca da posição relativa entre pontos e superfícies 
esféricas. Os pontos podem ser exteriores, interiores ou pertencerem à superfície esférica em 
questão. O teste fundamenta-se no cálculo da distância entre o ponto de interesse e o centro da 
superfície esférica. 
 
Assim, seja P um ponto qualquer do espaço geométrico tridimensional e S uma superfície 
esférica de centro C e raio r. Caso 
 dist P,C r
, tem-se 
P S
; se 
 dist P,C r
, o ponto P é 
exterior à S; finalmente, caso 
 dist P,C r
, conclui-se que P é interior à S. 
 
No caso específico do exemplo, a equação da superfície esférica na forma na forma reduzida é 
 
      2 2 21 1 2 6S x y z     
. 
 
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Sabendo-se que 
       
2 2 22dist 1 1 2P,C x y z     
 e 
2 6r 
, é possível localizar os 
pontos em questão. Substituindo as coordenadas dos pontos F, G e H tem-se: 
 
 
       
2 2 22dist 1 1 1 1 1 2 13P,C       
. Uma vez que 
 2 2dist P,C r
, conclui-se que o ponto 
F é exterior a superfície esférica S. 
 
 
       
2 2 22dist 0 1 0 1 0 2 6P,C       
. Como 
 2 2dist P,C r
, tem-se que o ponto G pertence 
à superfície esférica S. 
 
 
       
2 2 22dist 1 1 1 1 0 2 4P,C        
. O ponto H é interior à superfície esférica S, pois 
 2 2dist P,C r
. 
 
 
2. Intersecção e posição relativa entre reta e superfície esférica 
 
As intersecções e posições relativas entre retas e superfície esféricas podem ser descritas a 
partir da comparação da distância entre a reta e o centro da superfície esférica com o raio desta 
superfície. Sejam t uma reta e S uma superfície esférica de raio r e centro C. As possíveis 
intersecções e posições relativas entre t e S são definidas a seguir: 
 
a) Se 
 dist C,t d r 
, então t é exterior a S, ou seja, 
S t 
. 
 
b) Se 
 dist C,t d r 
, então t é tangente a S no ponto 
 S t P 
. De forma equivalente, 
P t
 e 
tPC u
 – a reta 
PC
 é perpendicular a reta t. 
 
c) Se 
 dist C,t d r 
, então t é secante a S. Portanto, 
 1 2S t P ,P 
, tais que M, médio de 
1 2P P
, é a projeção ortogonal de C na reta t. Neste caso, todos os pontos interiores ao segmento 
1 2P P
 são interiores à S e os demais pontos de t são exteriores à S. 
 
 
t
r
S
C
d r d r
r SC
P
d rr SC
1P r
2P
r
t
t
 
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Exemplo 05: Verifique se a reta 
 1s x y z  
 é tangente a 
   
2 22 81 1
3
S x y z

    

. 
Se for o caso, determine o ponto de tangência. 
 
Se s for tangente a S, então 
 dist C,s r
, em que C 
é o centro e r é o raio da superfície esférica S. Temos: 
 1 0 1C , ,
, 
8 3r 
 e as equações paramétricas da 
reta s são: 
    0 1 0 1 1 1 Ts X , , t  
. 
 
 
É necessário calcular 
 dist C,s
. Tem-se: 
 dist
RC u
d C,s
u

 
, com 
R s
 (por quê?) 
 
Então: 
 1 1 1 2 0 2
1 1 1
T
i j k
RC u    
. 
 
Logo: 
 
 
 
2 0 2 2 2 8
dist
331 1 1
T
T
RC u
d C,s r
u

     
. Portanto, s é tangente a S. 
 
Resta determinar o ponto 
 P s S 
. Tem-se: 
 1P s P t, t,t   
. 
 
No entanto, 
P S
. Então, é possível escrever: 
 
     
2 2 2 2 2 28 8 81 1 1 2 4 2 1 2 3 2 3
3 3 3
t t t t t t t t t                
 
 
 
22 1 1 4 19 6 1 0 3 1 0
3 3 3 3
t t t t P , ,
 
            
 
. 
 
 
 
3. Interseção e posição relativa entre plano e superfície esférica 
 
 
O estudo das intersecções e das posições relativas entre planos e superfícies esféricas pode 
ser tratado de maneira análoga à realizada na seção anterior. Assim, o estudo será realizado a 
partir da comparação entre o raio da superfície esférica e a distância entre o plano e o centro desta 
superfície. 
 
 0 1 0R , ,
 1 0 1C , ,d
s  1 1 1 Tu 
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Sejam  um plano e S uma superfície esférica de raio r e centro C. As possíveis intersecções e 
posições relativas entre  e S são definidas a seguir: 
 
a) Se 
 dist C, d r  
, então  é exterior a S, ou seja, 
S  
. 
 
b) Se 
 dist C, d r  
, então  é tangente a S no ponto 
 S P 
. De forma equivalente, 
P 
 e 
PC n
 – a reta 
PC
 é perpendicular ao plano 

. 
 
c) Se 
 dist C, d r  
, então  é secante a S. Portanto, 
S   
, uma circunferência de 
raio 
 2 2distr C,  
 contida em , cujo centro 
C
 é a projeção ortogonal do centro C de 
S no plano . 
 

r
S
C
d r
d r
r SC SCr
P 
d r

 
 
 
Exemplo 06: Determine a(s) intersecção(ões) entre a reta    1 0 2 1 1 1
T
r P , , t  
 e a superfície 
esférica 
 2 2 2 2 23 0S x y z x    
. 
 
Seja 
 1 2R t,t, t r   
. É necessário determinar o valor do parâmetro t para que o ponto R 
pertença à superfície esférica S: 
 
     
2 22 2
1 2
10
1 2 2 1 23 0 3 4 20 0 2 e
3
t t t t t t t t               
. 
 
Logo, 
r S
 é o conjunto formado pelos pontos 
 1 1 2 4R , , 
 e 
2
13 10 4
3 3 3
R , ,
 
   
 
. 
 
Consequentemente, a reta r é secante à superfície esférica S. 
 
Exemplo 07: Obtenha equações gerais dos planos paralelos a 
 2 0x y z    
 que são tangentes a 
superfície esférica 
 2 2 2 2 2 1 0S x y z x y     
. 
 
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A família de planos paralelos a 

 é expressa por 
 0i x y z d    
. Uma vez que existem 
planos 
i
 tangentes a S, então 
 dist iC, r 
. Tem-se: 
 
     
2 22 2 2 22 2 1 0 1 1 3 1 1 0 e 3x y z x y x y z C , , r               
. 
 
Logo, 
 
1 1
dist 3 2 3 2 3
1 1 1
i
d
C, d d          
 
. 
 
Finalmente: 
1 1d 
 e 
2 5d  
. Logo, 
1 1 0x y z    
 e 
2 5 0x y z    
 são tangentes a 
superfície esférica S. 
 
 
4. Interseção e posição relativa entre superfícies esféricas 
 
Sejam 
1S
 e 
2S
 superfícies esféricas distintas de raios 
1r
 e 
2r
 e centros 
1C
 e 
2C
, 
respectivamente, expressas por suas equações na forma geral. O estudo da intersecção 
1 2S S
 
implica na solução do sistema de equações: 
 
 
 
2 2 2
1 1 1 1
1 2 2 2 2
2 2 2 2
0 IV
0 V
x y z a x b y c z d
S S
x y z a x b y c z d
       
 
      
 
 
Substituindo-se uma das equações por 
   V IV
, têm-se os sistemas equivalentes: 
 
     
2 2 2
1 1 1 1
2 1 2 1 2 1 2 1
0
0
x y z a x b y c z d
a a x b b y c c z d d
       

       
 ou 
     
2 2 2
2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
0
0
x y z a x b y c z d
a a x b b y c c z d d
       

       
 
 
Se 
1 2C C
, então 
1 2r r
 para que 
1S
 seja distinta de 
2S
. Nesse caso, surgem as relações 
2 1a a
, 
2 1b b
 e 
2 1c c
. Isto torna o sistema incompatível, uma vez que a segunda equação não 
admitiria solução. Com isso pode-se concluir que duas superfícies concêntricas distintas têm 
intersecção vazia. 
 
Assume-se então que 
1 2C C
. A equação 
     2 1 2 1 2 1 2 1 0a a x b b y c c z d d       
 
representa a equação geral do plano  ortogonal ao segmento 
1 2C C
. Tal plano é denominado plano 
radical do par de superfícies esféricas não concêntricas 
1S
 e 
2S
. De fato, o vetor normal 
n
 é tal 
que 
 
       2 1 2 1 2 1 1 22 0 0 0
T T
n a a b b c c C C          
 
 
 
 
MMóódduulloo 55 –– SSuuppeerrffíícciieess EEssfféérriiccaass 
 
 1100 EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
Esta constatação garante que 
1 2 1 2S S S S     
. Ou seja, o estudo da intersecção 
entre as superfícies esféricas 
1S
 e 
2S
 recai no caso de análise da intersecção de plano e superfície 
esférica. Assim, existem três possibilidades: 
 
 As superfícies esféricas 
1S
 e 
2S
 são 
secantes. Isso ocorre quando 
1 2S S
 é 
uma circunferência 

 contida no plano 
radical , cujo centro 
C
 é o ponto de 
intersecção entre a reta 
1 2C C
 e o plano 
radical . 
 
1r
1S
1C 2S

1 2S S  
2C
1 2C C C   2r
 
 
 As superfícies esféricas 
1S
 e 
2S
 são tangentes, ou seja, 
 1 2 1 2S S P C C    
. 
 
1r
1S
1C 2S

2C
2r
1 2 1 2P S S C C    
 
1r
1S
1C 2S

2C 2
r
1 2 1 2P S S C C    
 
 
 As superfícies esféricas 
1S
 e 
2S
 são disjuntas, ou seja, 
1 2S S 
. Neste caso, o plano radical  é 
exterior a ambas as superfícies esféricas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
MMóódduulloo 55 –– SSuuppeerrffíícciieess EEssfféérriiccaass 
 
 1111 EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
1r
1S
1C
2S
2C
2r
 
1r
1S
1C
2S
2C 2r
 
 
 
Sabendo-se que 
1 2 1 2S S S S     
, a 
decisão sobre a intersecção 
1 2S S
 pode ser 
tomada trabalhando-se apenas com uma das 
superfícies esféricas envolvidas e com o plano . 
Assim, escolhendo-se de maneira arbitrária a 
superfície 
2S
, tem-se: 
 
 
1S
 e 
2S
 são secantes se, e somente se, 
 2 2dist C , r 
; 
 
1S
 e 
2S
 são tangentes se, e somente se, 
 2 2dist C , r 
; 
 
1S
 e 
2S
 são disjuntas se, e somente se, 
 2 2dist C , r 
. 
 
Exemplo 08: Estude a posição relativa e descreva a interseção das superfícies esféricas: 
 
 2 2 21 2 2 2 2 0S x y z x y z      
 e 
 2 2 22 2 2 2 4 0S x y z x y z      
. 
 
É necessário verificar qual é a posição relativa entre 
1S
 e 
2S
. Para isso, compara-se a 
distância entre o centro de uma das superfícies esféricas e o plano radical 

 com seu respectivo 
raio. Uma vez que a escolha da superfície esférica é arbitrária, utiliza-se 
1S
, de raio 
1 1r 
 e centro 
 1 1 1 1C , ,
 – verifique! 
 
Para encontrar a equação geral do plano radical 

, seja o sistema: 
 
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 0
2 2 2 4 0
x y z x y z
x y z x y z
       

      
 
MMóódduulloo 55 –– SSuuppeerrffíícciieess EEssfféérriiccaass 
 
 1122 EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
Substituindo-se a segunda equação pela subtração desta pela primeira: 
 
 
 
2 2 2 2 2 2
12 2 2 2 0 2 2 2 2 0
4 4 4 6 0 2 2 2 3 0
Sx y z x y z x y z x y z
x y z x y z                          
 
 
Então: 
 1
2 2 2
2.1 2.1 2.1 3 3 3
dist ,
22 32 2 2
C      
 
. 
 
Uma vez que 
 1 1dist ,C r 
, 
1S
 e 
2S
 são secantes. O lugar geométrico dos pontos de 
1 2S S
 
é uma circunferência 

 de centro G e raio 

. O ponto G é a intersecção entre a reta t, que contém o 
segmento 
1 2C C
, e o plano radical 

. Tem-se 
 1 2 2 1 2 2 2
T
C C C C  
 e adota-se 
 1 1 1
T
tu 
. 
 

2C 1C

G  1dist C ,
1r
 
Assim, t pode ser expressa por: 
  (1,1,1) 1 1 1 Tt T   
. 
Portanto, o centro G de 

 é tal que 
 1 1 1G , ,     
. 
Por outro lado, 
G 
 e então: 
 
     
1
2 1 2 1 2 1 3 0
2
                
 
Finalmente, 
1 1 1 1
2 2 2 2
G t , ,         
   
. 
 
A partir da figura,tem-se: 
   
2
2 2 2 2 2
1 1 1 1
3 3 1
dist , dist , 1 1
2 4 2
r C r C G             
 
. 
 
5. Exercícios propostos 
 
E01. Verifique quais dentre as seguintes equações definem superfícies esféricas; a seguir, determine 
o centro C, o raio r, e esboce em Oxyz as superfícies esféricas encontradas. 
 
a) 
2 2 2 0 0x y z az , a    
 
b) 
2 2 23 3 3 1x y z  
 
c) 
2 2 2 2 2 4 0x y z x y z F      
, nos casos em que 
1 2F 
, 
2 6F 
 e 
3 8F 
 
d) 
2 2 22 2 2 0x y z x y    
 
 
E02. Obtenha uma equação da superfície esférica de centro 
 1 1 2C , ,
 que contém o ponto 
 1 1 3A , ,
. 
 
 
 
MMóódduulloo 55 –– SSuuppeerrffíícciieess EEssfféérriiccaass 
 
 1133 EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
E03. Calcule a menor distância 

 do ponto 
 1 1 3P , , 
 à superfície esférica 
 2 2 2 6 4 10 62 0S x y z x y z      
. 
 
E04. Obtenha, em cada caso, uma equação da superfície esférica que contém P, Q, R e S. 
 
 a) 
 1 0 0P , ,
 ; 
 0 1 0Q , ,
 ; 
 1 2 1 2 2 2R , ,
 ; 
 0 0 1S , ,
 
 b) 
 0 2 1P , , 
 ; 
 1 1 1Q , , 
 ; 
 1 1 1R , , 
 ; 
 1 1 1S , , 
 
 c) 
 3 0 0P , ,
 ; 
 1 2 2Q , , 
 ; 
 2 1 2R , , 
 ; 
 2 2 1S , , 
 
 
E05. Localize, em relação à superfície esférica 
 2 2 2 6 2 2 7 0S x y z x y z      
, os pontos 
 2 1 3A , , 
 e 
 3 1 0B , , 
. 
 
E06. Sejam 
    1 0 0
T
r R , ,a a a  
 e 
 2 2 28 8 8 16 24 8 19 0S x y z x y z      
. Determine, 
em cada caso, valores do parâmetro a para que: 
 
a) r seja tangente a S b) r seja secante a S c) r seja exterior a S. 
 
E07. Obtenha uma equação da superfície esférica 

 de centro 
 3 2 2C , , 
 que tangencia o plano 
 3 2 1 0x y z    
. 
 
E08. Seja o plano 
2 2 9 0x y z    
 e a superfície esférica 
 2 2 2 6 4 2 86 0S x y z x y z      
. 
Determine a posição relativa entre o plano 

 e a superfície esférica S. Caso sejam tangentes forneça 
o ponto de intersecção e, caso sejam secantes, determine o raio e o centro da circunferência de 
intersecção. 
 
E09. Determine uma equação da superfície esférica 

 de centro 
 2 3 1C , ,  
 e tangente ao plano 
 2 2 9 0x y z    
. Calcule também as coordenadas do ponto de tangência 
0P
. 
 
E10. Sejam 
 1 0y z   
 e a família de superfícies esféricas 
      2 2 22 3 2x y z a      
. 
 
a) Escrever em função de a as coordenadas dos centros C das esferas da família 

. 
b) Representar em Oxyz o plano 

 e o lugar geométrico L dos centros C quando a varia em 

. 
c) Para que valores de a a superfície 

 tangencia o plano 

? 
d) Qual é o conjunto 

 dos valores de a para os quais o plano 

 corta na superfície 

 uma 
circunferência (raio 
0r 
)? 
 
E11. São dados os pontos 
 5 2 4A , ,
, 
 4 1 2B , ,
 e a reta 
    3 3 3r P , ,    
. Pede-se: 
 
 a) Um ponto R na reta r que seja equidistante de A e B. 
 
MMóódduulloo 55 –– SSuuppeerrffíícciieess EEssfféérriiccaass 
 
 1144 EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
 b) Uma equação para a superfície esférica 

 de centro na reta r e passando pelos pontos A e B. 
 c) As coordenadas do ponto D de 

 mais distante do plano coordenado Oxy. 
 
E12. São dados o plano 
4 4 7 96 0x y z    
 e o ponto 
 1 6 3A , ,  
. Pede-se: 
 
a) Determinar o valor do parâmetro m para o qual 
 7 8M ,m,  
. 
b) Escrever equações para métricas da reta p que passa por M perpendicularmente ao plano 

. 
c) Encontrar as coordenadas do ponto C da reta p que é equidistante do ponto A e do plano 

. 
d) Escrever uma equação cartesiana da superfície esférica 

 tangente ao plano 

 em M e 
passando pelo ponto A dado. 
 
E13. Determine as equações dos planos 
1
 e 
2
 perpendiculares à reta 
 
1 10
4 6 5
x y z
s
 
 

 
 
e tangentes à superfície esférica 
 2 2 2 10 2 26 113 0x y z x y z       
. 
 
E14. Mostrar analiticamente que o vetor 
   0
T
n a b c
 dá a direção normal a qualquer direção 
1 2P P
 do plano 
 0ax by cz d    
. 
 
E15. Determine a equação da superfície esférica 

 que passa pelos pontos 
 1 8 14R , , 
 e 
 3 9 11S , , 
 e tem centro na reta 
       1 0 2 0 2 3 Tx, y,z , ,
, 

. 
 
E16. São dados o ponto 
 3 4 4C , ,
 e a reta 
4
6
6
x
t y
z



 

 
  
. Pede-se: 
 
 a) Uma equação cartesiana do plano 

 de C e t. 
b) O raio r e a equação da superfície esférica 

 de centro C e tangente à reta t. 
 c) A equação da circunferência 

 de centro C e que tangencia a reta t. 
 
E17. Dada a equação da superfície esférica 
      2 2 21 4 1 5 12x y z      
, pede-se: 
 a) A equação do plano 

, tangente a 
1
 no ponto 
 0 2 3 3P , ,
. 
 b) A equação da superfície esférica 
2
, simétrica de 
1
 em relação ao plano 

. 
 
E18. Determine o centro 
1C
 e o raio 
1r
 da circunferência 

, dada pela intersecção do plano 
2 2 0x z   
 com a superfície esférica 
 2 2 2 4 0x y z z    
. 
 
 
MMóódduulloo 55 –– SSuuppeerrffíícciieess EEssfféérriiccaass 
 
 1155 EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
E19. São dados o ponto 
 2 2 4C , ,
 e a reta 
1
2
3
x
s y
z



 

  
  
. Pede-se: 
 
a) As coordenadas do vetor 
   v P C  
, com 
 P s 
. Faça um esboço geométrico da 
situação. 
 b) Calcular 
 dist C,s 
. 
 c) Escrever a equação da superfície esférica 
1
 de centro C e tangente à reta s. 
 d) As coordenadas do ponto 
1P
 onde 
1
 tangencia s. 
 e) As coordenadas do ponto 
2P
 de 
1
 mais distante de s. 
f) Escrever a equação da superfície esférica 
2
 de centro C e que corta na reta s uma corda de 
comprimento 
2 3
. 
 
 
E20. Encontre a equação da superfície esférica 

 que passa pelos pontos 
 1 2 1R , ,
 e 
 1 1 0S , , 
 e tem centro na reta 
         1 0 1 0 1 2 Tx, y,z , ,,  . 
 
 
E21. Considere o plano 
 4 0x y z    
 e a família de superfícies esféricas concêntricas 
      2 2 2 24 1 5 0x y z r , r       
. Pede-se: 
a) O valor 
1r
 de r para o qual 

 tangencia 

. 
b) O valor 
2r
 de r para o qual a superfície esférica 

 corta em 

 uma circunferência 

 de 
raio 
1r 
. 
c) As coordenadas do centro 
C
 da circunferência 

. 
 
E22. Encontre a equação da superfície esférica 

 tangente ao plano 
 2 0x y z   
 no ponto 
 0 1 1 1P , ,
 e que tem centro C no plano 
 2 3 0x z   
. 
 
E23. Encontre o centro 
1C
 e o raio 
1r
 da circunferência que é intersecção do plano 
2 2 9 0x y z    
 com a superfície esférica 
 2 2 2 6 4 2 86 0x y z x y z       
. 
 
E24. Determine a equação da superfície esférica τ que passa pela circunferência 
 
2 2 2
2 5 3 0
6 3 2 5 0
x y z
C
x y z x y z
   

      
 
e pelo ponto 
 1 1 2A , , 
. 
 
 
 
MMóódduulloo 55 –– SSuuppeerrffíícciieess EEssfféérriiccaass 
 
 1166 EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
E25. São dados o plano 

 e superfície esférica 

 de equações 
 
 2 2 23 0x y z    
 e 
      2 2 23 2 2 1x y z      
. 
Pede-se: 
 
a) Determinar a distância 

 do plano 

 à superfície esférica 

 (lembrando: 

 é, caso exista, 
a menor distância de um ponto de 

 a um ponto de 

). 
b) As coordenadas do ponto R de 

 mais próximo de 

. 
c) As coordenadas do ponto S de 

 mais próximo de 

. 
d) As coordenadas do ponto T de 

 mais distante de 

. 
 
E26. Sejam 
1S
 e 
2S
 duas superfícies esféricas não concêntricas, 
1C
, 
2C
, 
1r
 e 
2r
 seus respectivos 
centros e raios, tal que 
2 1r r
. Seja 
 1 2dist C ,C 
. Prove que: 
 
a) 
1S
 e 
2S
 são secantes se, e somente se, 
   2 1 2 1r r r r   
. 
b) 
1S
 e 
2S
 são tangentes se, e somente se, 
2 1r r  
 ou 
2 1r r  
. 
c) 
1S
 e 
2S
 são distintas se, e somente se, 
 2 1r r  
 ou 
 2 1r r  
. 
 
E27. As superfícies esféricas 
    2 2 21 1 3 1S x y z    
 e 
 2 2 22 2 4 4 0S x y z mx my mz     
 
são tangentes. Quais os valores de m? 
 
E28. Considere a superfície esférica 
 2 2 2 2 10 0     S x y z x y
. Obtenha a equação geral das 
superfícies esféricas tangentes interiormente à S e que tem centro em 
 1 0 1C , ,
. 
 
E29. Sejam as superfícies esféricas 
 2 2 21 4 0S x y z z   
 e 
 2 2 22 2 2 1 0S x y z x y     
. 
a) Mostrar que 
1S
 e 
2S
 são secantes. 
b) Determinar a equação do plano 

 que contém a circunferência 
1 2S S  
. 
c) Escrever a equação da superfície esférica 

 que passa por 
1 2S S  
 e tem centro C no plano 
 6 0x y z    
. 
 
6. Respostas dos exercícios propostos 
 
E01. a) 
 0 0 2C , , a 
; 
2r a
. 
b) 
 0 0 0C , ,
; 
1 3r 
. 
c) 
 1 2 1 1 2 5F : C , , , r    
; 
 2 6 1 1 2F : C , ,   
; 
3 8F 
; não é superfície esférica. 
d) Não é superfície esférica. 
 
MMóódduulloo 55 –– SSuuppeerrffíícciieess EEssfféérriiccaass 
 
 1177 EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
E02. 
      2 2 21 1 2 1x y z      
. E03. 
7 
. 
 
E04. a) 
2 2 2 1x y z  
. 
b) Não há uma superfície esférica que passe por estes pontos. 
c) Existem infinitas superfícies esféricas que passam por estes pontos. 
 
E05. 
 2 1 3A , , 
 é externo à S; 
 3 1 0B , , 
 é interno à S. 
 
E06. a) 
1 2a 
. b) Esta situação não ocorre. c) 
1 2a 
. 
 
E07. 
      2 2 23 2 2 14x y z      
. 
 
E08. S e 

 são secantes; 
S  
, circunferência de centro 
 1 2 3C , , 
 e raio 
8r 
. 
 
E09. 
0
17 25 7
9 9 9
P , ,
 
   
 
e 
 2 2 29 9 9 36 54 18 125 0x y z x y z       
. 
E10. a) 
 2 3C , ,a
. b) 
2
3,
x
L y
z




 
 
. c) 
4a  
 ou 
0a 
. d) 
4 0a  
. 
 
E11. a) 
 3 3 3R , ,
. b) 
      2 2 23 3 3 6x y z      
. c) 
 3 3 3 6D , , 
. 
 
E12. a) 
3m 
. b) 
    7 3 8 4 4 7 Tp P , ,   
. c) 
 3 1 1C , , 
. 
d) 
      2 2 23 1 1 9x y z      
. 
 
E13. 
1 4 6 5 205 0x y z    
 e 
2 4 6 5 103 0x y z    
. 
 
E15. 
      2 2 21 6 11 13x y z      
. 
 
E16. a) 
 0y z  
. b) 
      2 2 23 4 4 6x y z      
. c) 
     
2 2 2
0
3 4 4 6
y z
x y z

 

     
 
 
E17. a) 
 2 0x y z    
. b) 
    2 222 5 1 12x y z     
. 
 
E18. 
1
8 6 4
0
5 5 5
C , , ; r
 
  
 
. 
 
E19. a) 
   1 4 1
T
v       
. b) 
  6dist C,s  
. 
c) 
      2 2 21 2 2 4 6x y z      
. d) 
 1 1 2 1P , , 
. 
e) 
 2 3 6 7P , ,
. f) 
      2 2 22 2 2 4 27 7x y z      
. 
 
MMóódduulloo 55 –– SSuuppeerrffíícciieess EEssfféérriiccaass 
 
 1188 EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
E20. 
 
2 2
2 1 1 53
1
3 3 9
x y z              
   
. 
 
E21. a) 
1 2 3r 
. b) 
2 13r 
. c) 
 2 1 3C , ,  
. 
 
E22. 
      2 2 23 3 3 24x y z      
. 
 
E23. 
 1 3 2 1C , , 
; 
1 10r 
. 
 
E24. 
 2 2 2 9 9 13 14 0x y z x y z       
. 
 
E25. a) 
5 
. b) 
 1 6 6R , , 
. c) 
 8 3 8 3 8 3S , , 
. d) 
 10 3 4 3 4 3T , , 
. 
 
E27. Tangentes externamente 
9
4
m  
; tangentes internamente 
9
16
m  
. 
 
E28. 
    2 221 1 20S x y z     
; 
    2 221 1 5S x y z     
. 
 
E29. b) 
2 2 4 1 0x y z    
. c) 
 2 2 2 4 4 4 2 0x y z x y z       
.