Curvas - Geometria Analítica

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MMóódduulloo 0066 –– PPaarraammeettrriizzaaççããoo ddee CCuurrvvaass 
 
11 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
 
MÓDULO 06 – PARAMETRIZAÇÃO DE CURVAS 
 
 
Este texto de apoio trata inicialmente do conceito de curvas. Embora bastante familiar e 
intuitivo em espaços geométricos ( 2 e 3 , em que conhecemos circunferências, retas, elipses, etc) a 
conceituação de curvas pode ser generalizada para um espaço arbitrário n , com *n . 
Do ponto de vista intuitivo uma curva é um conjunto de pontos descritos com o auxílio de um 
único parâmetro, como por exemplo, as retas no 3 (lembre-se das equações paramétricas da reta 
estudadas no Módulo – 04). 
 
Definição 01: Uma curva no n é uma função 
   1 2
n
n
: I
t t x ,x , ,x


  

 
. 
 
A imagem de 

, ou seja, todos os possíveis 
 t
, é denominada traço ou trajetória da curva. 
 
6.1 Equações paramétricas de curvas 
 
Em geral, determinar equações para curvas não é tarefa fácil. Uma estratégia muito 
empregada é descrever as curvas empregando funções que expliquem o comportamento de cada 
coordenada 
 1 2 nx ,x , ,x
 para cada t. Este modo de lidar com as curvas têm grande aplicação nas 
disciplinas Cálculo II e Mecânica Geral, da segunda série. 
 
Definição 02: Sejam 
1 2 nx , x , , x
 funções de uma variável 
t I 
: 
 1 1x f t
, 
 2 2x f t
, , 
 n nx f t
, para todo 
t I 
. Quando t assume todos os valores em I, então o ponto 
  nP t 
, tal 
que 
        1 2 nP t f t , f t , , f t
, descreve uma curva C em n . As equações 
 1 1x f t
, 
 2 2x f t
, 
, 
 n nx f t
 são chamadas de equações paramétricas da curva. 
 
Em geral denota-se por 
 
 
 
1 1
2 2
n n
x f t
x f t
C , t I
x f t
 




 
. 
 
Exemplo 01: A função definida por 
        t x t , y t ,z t 
, em que 
   cos 7x t t
, 
   sen 7y t t
 e 
 z t t
 representa uma curva C com equações paramétricas dadas por 
   
   
 
cos 7
sen 7
x t t
C y t t , t .
z t t
 

 


 
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A curva C está representada na Figura 1. Nota-se que, quando t assume todos os valores reais, o 
vetor 
     7 7
T
v t cos t sen t t   
representado a partir da origem tem extremidade percorrendo 
todos os pontos da curva, como ilustrado na Figura 2. Observa-se que a projeção da curva C no plano 
Oxy é uma circunferência 

 de raio 1. Para cada valor de 
t
, a extremidade do vetor 
     7 7 0
T
u t cos t sen t   
percorre todos os pontos de 

, como observa-se na Figura 3. Assim, os 
valores da abscissa e ordenada de cada ponto da curva C são determinados pela primeira e segunda 
coordenadas dos pontos de 

. Nota-se ainda que que a curva C está contida na superfície cilíndrica 
de equação 
2 2 1x y 
, como visto na Figura 4. 
 
x
y
z
 
x
y
z
 
x
y
 
x
y
z
 
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 
 
 
6.2 Parametrização de curvas no 2 
 
Equações paramétricas de curvas já foram foco de estudo em nosso curso quando foi 
introduzido o conceito de retas no 3 . Outras curvas apareceram como intersecções de superfícies. 
Tais curvas não eram descritas por equações paramétricas; por exemplo, a equação de uma 
circunferência era escrita como a intersecção de um plano e uma superfície esférica. 
Geralmente, no 3 , as projeções de seus pontos em um dos planos coordenados geram retas, 
circunferências, elipses, parábolas e hipérboles. Por este motivo, inicia-se o estudo da 
parametrização das curvas pela parametrização destas projeções em Oxy (uma escolha arbitrária). 
Assim, é necessário estudar estas projeções no espaço 2 . 
 
 
 
 
 
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6.2.1 Parametrização da reta 
 
É fato conhecido que a equação de uma reta r no 2 pode ser escrita na forma 
y ax b 
. No 
entanto, de maior interesse para o momento é a abordagem vetorial descrita a seguir. 
 
 
Sejam os pontos 
 0A ,b
 e 
 0B b a , 
 pertencentes à reta r, como 
mostra a Figura 5. Temos 
   1
T
AB b a , b u a   
. Note que o vetor não 
nulo 
u
, denominado vetor diretor, fornece a direção da reta r, ou seja, sua 
inclinação com relação ao sistema de coordenadas Oxy. Assim a condição para 
que um ponto P do 2 pertença à reta 
y ax b 
 resume-se apenas à 
AP u
, 
ou seja, 
AP tu
 com 
t
. Deve-se observar que: 
 
     0 1
T
AP tu P A tu x, y ,b a t      
. 
Figura 5 
 
Logo, é possível escrever equações paramétricas para a reta: 
x t
r
y b at


 
 , com 
t
. 
 
 
Exemplo 02. A reta r de equação cartesiana 
3 2 1 0y x  
 tem uma parametrização dada por: 
 
1 2
3 3
x t
r
y t



 

 , com 
t
 (verifique!!). 
 
 
6.2.2 Parametrização da parábola 
 
Seja P a parábola de equação1 
2 2y px
, 
0p 
. Uma possível parametrização é expressa por: 
 
21
2
x t
pP
y t



 
, com 
t
 e 
0p 
. 
 
Caso a parábola P sofra uma translação com relação à origem, a equação assume a forma 
   
2
2y b p x a  
, 
0p 
, e uma possível parametrização será: 
 
 
1
 De maneira análoga, é possível parametrizar as outras equações cartesianas da parábola vistas anteriormente. 
 
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21
2
x a t
pP
y b t

 

  
, com 
t
 e 
0p 
. 
 
 
 
 
 
Exemplo 03. A parábola P de equação cartesiana 
24 2 0y x  
 tem uma parametrização dada por: 
 
22 4
x t
P
y t


 
 , com 
t
 (verifique!!). 
 
6.2.3 Parametrização da circunferência 
 
Seja a circunferência C de equação 
2 2 2x y r 
 de centro 
 0 0O ,
 e raio 
0r 
. Uma 
possível parametrização da circunferência C é expressa por: 
 
2
2 2
0
x t
C , t ,r
y r t
    
  
. 
 
Esta versão parametrizada da circunferência, embora bastante intuitiva, é de fato pouco 
usual, uma vez que o domínio da função 
  2 2y t r t 
 é diferente do conjunto dos números reais. 
Além desta restrição do domínio, observa-se que para obter a circunferência é necessário considerar 
ambas funções 
  2 21y t r t 
 e 
  2 22y t r t  
. Dessa forma, é aconselhável empregar funções 
trigonométricas na parametrização de circunferências, como discutido a seguir. 
 
 
Sejam a circunferência 
2 2 2C : x y r 
, 
0r 
, e t a medida em 
radianos do ângulo 
0
ˆPOP
, como ilustrado na Figura 6. Assim, todo 
ponto 
 P x, y C 
 tem 
 cosx r t
 e 
 seny r t
, 
 0 2t , 
. Assim, 
uma parametrização2 de C é 
 
 
 
cos
sen
x r t
y r t
 


, com 
t
. 
Figura 62
 Considerando 
 0 2t , 
 ou 
t
, obtém-se a mesma curva C. A diferença é que se 
t
 implica em realizar infinitas 
voltas sobre a circunferência C. 
 
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Observe que 
        2 2 2 2 2 2 2 2 2 2cos sen cos senx y r t r t r t t r     
. Caso a equação da 
circunferência seja 
   
2 2 2
0 0C : x x y y r   
, uma possível parametrização será expressa por: 
 
 
 
0
0
cos
sen
x x r t
C , t
y y r t
  

 
 (vide Figura 7). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 04. A circunferência 

 de equação cartesiana 
 
   
2 2
3 5 8x y   
 
 
tem uma parametrização dada por: 
 
 
 
3 2 2 cos
5 2 2 sen
x t
y t

  

  
 , com 
t
 (verifique!!). 
Figura 7 
 
6.2.4 Parametrização da elipse 
Seja 

 uma elipse de centro na origem e equação 2 2
2 2
1
x y
a b
 
, com 
0a, b 
. 
Uma possível parametrização é:  
 
cos
sen
x a t
y b t

 


, com 
t
. 
De fato,    
   
2 2 2 2
2 2
2 2
cos sen
cos sen 1
a t b t
t t
a b
   
. 
 
Exemplo 05. Para parametrizar a elipse 

 de equação cartesiana 
2 29 4 36 8 4 0x y x y    
, 
inicialmente escreve-se a equação reduzida da elipse: 
 
   2 2 2 2 2 29 4 36 8 4 0 9 36 4 8 4 0 9 4 4 2 4 0x y x y x x y y x x y y                
 
 
Completando quadrados, tem-se: 
 
       2 2 2 29 4 4 2 4 0 9 4 364 4 2 1 4 04x x y y x x y y             
 
 
   
   
2 2
2 2 2 1
9 2 4 1 36 0 1
4 9
x y
x y
 
        
 
 
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Uma parametrização é dada por  
 
2 2cos t
1 3sen
x
y t

  

  
 , com 
t
. 
 
 
6.2.5 Parametrização da hipérbole 
Seja 

uma hipérbole de centro na origem e equação 2 2
2 2
1
x y
a b
 
, com 
0a, b 
. 
Uma possível parametrização é:  
 
sec
tg
x a t
y b t

 


, com 
 
3
0 2
2 2
t , , t ,
  
. 
De fato,    
   
2 2 2 2
2 2
2 2
sec tg
sec tg 1
a t b t
t t
a b
   
. 
 
 Observação: Faça as adaptações necessárias para o caso 2 2
2 2
1
y x
a b
 
, com 
0a, b 
. 
 
Exemplo 06. A hiperbóle 

 de equação cartesiana 2 2
1
16 2
y x
 
 tem uma parametrização dada por: 
 
 
 
2 tg
4sec
x t
y t

 


 , com 
 
3
0 2
2 2
t , , t ,
  
. 
 
Nota-se que neste caso a hipérbole 

 corta o eixo Oy, o que acarreta 
 4secy t
. 
 
6.3 Exercícios 
 
Identifique a curva no 2 representada pelas equações e escreva na forma paramétrica3: 
 
a) 
2 2 4x y 
 b) 
2 2 4x y 
 
c) 
2 2 2 0x y y  
 d) 
3 2 0y x  
 
e) 
2 4 4 0x y  
 f) 
21
6
y x
 
g) 2 2
1
4 5
x y
 
 h) 
2 2 7x y 
 
i) 2 2
1
9 8
x y
 
 j) 
2 29 4 54 16 61 0x y x y    
 
 
 
6.4 Parametrização de curvas no 3 
 
 
3 Um modo de verificar as respostas dos exercícios é usar um software gráfico (exemplo: Geogebra, Winplot, Mathcad). 
 
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 Não é pretensão deste texto expor uma abordagem geral para o assunto. Ao contrário, o 
objetivo é familiarizar o estudante com a representação paramétrica de curvas que será bastante 
útil em seus estudos nas séries posteriores do curso de engenharia. Assim, as parametrizações das 
curvas geradas pela intersecção de superfícies será discutida aqui por meio de exemplos. 
 
Exemplo 07. Sejam as superfícies
 2 21 2S x y 
 e 
 2 22 1S z x y  
. Neste caso é simples verificar, 
seja por inspeção dos gráficos das superfícies ou por manipulações algébricas de suas equações, que 
a curva de intersecção é uma circunferência C de raio 
2
 situada no plano 
3z 
, como mostra a 
Figura 8. 
 
 
x
y
 
x
y
 
 
Para escrever a parametrização desta curva 
de instersecção, lança-se mão do fato de que 
todos os seus pontos satisfazem as relações: 
 
 
 
2 2
2 2
2 I
1 II
x y
C
z x y
  

  
 
 
Substituindo (I) em (II) tem-se 
3z 
. 
 
Assim, até o momento: 
3
x ?
C y ?
z



 
. 
Figura 8 Figura 9 
 
Para finalizar a parametrização é preciso determinar as funções 
 x t
 e 
 y t
. Neste caso, 
nota-se que as abscissas x e ordenadas y dos pontos da curva C são iguais àquelas dos pontos da 
circunferência C1 situada no plano Oxy e de equação 
2 2 2x y 
, como ilustrado na Figura 9. 
Tém-se:  
 
1
2 cos
2 sen
x t
C
y t
 


 , com 
t
. 
Logo, a parametrização da curva 2 2
2 2
2
1
x y
C
z x y
  

  
 é dada por 
 
 
2 cos
2 sen
3
x t
C y t
z
 


 

 , com 
t
. 
 
Exemplo 08. Sejam as superfícies
  2 21 1 1S x y  
 e 
2 4 0S z y  
. Observa-se que 
1S
 é uma 
superfície cilíndrica paralela ao eixo Oz e 
2S
 é um plano. 
 
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x
y
z
 
Para determinar uma equação paramétrica da curva 
 
   
 
2 21 1 I
4 0 II
x y
C
z y
   

  
, 
 
observa-se que as abscissas x e ordenadas y dos pontos da curva C 
são iguais àquelas dos pontos da circunferência C1, situada no 
plano Oxy e de equação 
 
2 21 1x y  
, vide Figura 10. 
Figura 10 
 
Tém-se  
 
1
1 cos
sen
x t
C
y t
  


 , com 
t
. 
 
 
 
 
Logo, a parametrização de 
 
2 21 1
4 0
x y
C
z y
   

  
é dada por 
 
 
1 cos
sen
x t
C y t
z ?
  


 
, com 
t
. 
 
Para determinar a função 
 z t
, substui-se na equação (II) a relação 
 seny t
. Assim, 
 2 senz t 
, o que completa a parametrização de C: 
 
 
 
 
  



 
1 cos
sen
4 sen
x t
C y t
z t
 , com 
t
. 
 
Exemplo 09. Seja a curva  
 
2
2
1 I
II
x z
C
y z
  


. 
 
 
 
Para parametrizá-la, substitui-se (II) em (I), obtendo 
 2 2 2 21 1 IIIx y x y    
. 
Observando-se a equação (III), conclui-se que as abscissas x e ordenadas y dos pontos da curva C 
estão sobre a circunferência C1 situada no plano Oxy (vide Figura 11). 
 
A parametrização de (III) é dada por
1
x cos t
C
y sent



 , com 
t
. 
 
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x
y
z
 
Até o momento, uma possível parametrizaçãopara C é: 
 
 
 
cos
sen
x t
C y t
z ?
 


 
 , com 
t
. 
 
Para completar a parametrização, basta substituir em 
(II) a relação 
 seny t
 e obter 
 2senz t
. 
Figura 11 
 
Logo, escreve-se 
 
 
 2
cos
sen
sen
x t
C y t
z t
 




 , com 
t
. 
 
Observação: Pode-se, também, substituir em (I) 
 cosx t
 e obter 
 21 cosz t 
. A parametrização 
final seria a mesma, uma vez que 
   2 21 cos senz t t  
. 
 
 
 
 
6.5 Exercícios 
 
Determine as equações paramétricas da curva de intersecção das superfícies, faça um esboço das 
superfícies e assinale a curva4: 
 
a) 2 2 2
2 2
1
1
x y z
x y
    

 
 b) 2 2
3
z x y
z x
  

 
 c) 2 2 2 1
3
x y z
z x
   


 d) 2
2
1x z
y z
  


 
e) 2
2
1
1
x z
x y
  

 
 f) 
 
2 2
2
4
2 2
x y
z x
  

 
 g) 2 2 4
2
x y z
x y
   

 
 h) 2 2 2 4
1
x y z
y z
   

 
 
 
 
Referências Bibliograficas: 
 
Frensel, K.; Delgado, J. Equações paramétricas das cônicas. 
Disponível em: http://www.professores.uff.br/katia_frensel/aulasga2/ga2-aula1.pdf 
 
Santos, R. J. Seções Cônicas. 
Disponível em: http://www.mat.ufmg.br/~regi/gaalt/conicas.pdf 
 
Santos, R. J. Superfícies e curvas no espaço. 
 
4 Um modo de verificar as respostas dos exercícios é usar um software gráfico (exemplo: Geogebra, Winplot, Mathcad). 
 
MMóódduulloo 0066 –– PPaarraammeettrriizzaaççããoo ddee CCuurrvvaass 
 
1100 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
Disponível em: http://www.mat.ufmg.br/~regi/gaalt/quadricas.pdf