Transformação Linear - Algebra Linear

Prévia do material em texto

MMóódduulloo 0099 –– TTrraannssffoorrmmaaççããoo LLiinneeaarr 
 
11 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
MÓDULO 09 – TRANSFORMAÇÃO LINEAR 
 
O interesse neste curso de Álgebra Linear é o estudo de uma classe especial de funções, 
denominadas de transformações lineares, que possuem várias aplicações na Física, Engenharias, 
Ciências Sociais e em diversos ramos da Matemática. 
Uma transformação é uma função com domínio em n e contradomínio em m , que associa a 
cada vetor 
 nx
 um único vetor 
 mw
. 
Assim, 
   

1 2 1 2
n m
n m
F :
x ,x , ,x w ,w , ,w
 
sendo 
 
 


1 1 1
1
n
m m n
w f x , ,x
w f x , ,x
, 
 1nif : , i , ,m
 
Se 
n m
, F é denominada operador. 
 
Exemplo 1: As equações 
  
  
1 1 2 1 3
2 2 3
4
2 5
w x x x x
w x x
 
definem uma transformação 
3 2F :
, em que a imagem, por exemplo, do vetor 
    31 3 1x , ,
 
é o vetor 
   28 11w ,
, em outras palavras, 
    1 3 1 8 11F , , ,
. 
 
 A seguir define-se transformação linear 
 
I. Transformações Lineares 
Definição 1: Seja 
n mT :
 uma transformação. Se as equações 
 
 


1 1 1
1
n
m m n
w f x , ,x
w f x , ,x
(*) 
forem lineares, T é denominada de transformação linear. Caso, 
n m
, T é operador linear. 
 
Assim, pode-se reescrever (*) da seguinte forma: 
 
 
 
 
    
    
    
1 1 1 11 1 12 2 1
2 2 1 21 1 22 2 2
1 1 1 2 2
n n n
n n n
m m n m m mn n
w f x , ,x a x a x a x
w f x , ,x a x a x a x
w f x , ,x a x a x a x

     
     
      
     
     
     
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
1 2
n
n
m m m mn n
w a a a x
w a a a x
w a a a x
 
MMóódduulloo 0099 –– TTrraannssffoorrmmaaççããoo LLiinneeaarr 
 
22 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
De forma simplificada tem-se 
w Ax
. Toda transformação do n em m , que pode ser 
expressa por uma matriz de ordem 
m n
 é linear. A matriz A é chamada matriz canônica da 
transformação linear T e pode-se representar por 
 A T
. Esta denominação é em virtude de que, 
estabelecidas as bases em que todos os vetores m e n-dimensionais sejam referenciados, tal matriz é 
a representação única tal que 
   T x A x
. Futuramente, o conceito de mudança de base será 
estudado sob o ponto de vista das transformações lineares e as matrizes canônicas que representam 
uma mesma transformação em diversas bases serão construídas a partir de um algoritmo 
relativamente simples. 
Dois fatos que merecem relevância são: 
1. Toda matriz nula de ordem 
m n
representa a transformação linear nula de n em m 
2. Toda matriz identidade de ordem n representa o operador identidade de n . 
 
Exemplo 2: A transformação 
3 4T :
 definida pelas equações: 
  
 
  

1 1 2 3
2 1 3
3 1 2 3
4 3
2 3
2
2
w x x x
w x x
w x x x
w x
 
é linear, pois as equações acima são lineares. 
A matriz canônica de T é a matriz  
 
 
  
 
 
 
1 2 3
2 0 1
1 2 1
0 0 1
A T . 
Desta forma, pode-se calcular 
    1 2 3 1 2 5T x ,x ,x T , ,
efetuando o produto matricial: 
 
    
    
     
    
     
   
1 2 3 18
1
2 0 1 3
2
1 2 1 10
5
0 0 1 5
 
Assim, 
       1 2 5 18 3 10 5T , , , , ,
. 
Observação: Nota-se que a transformação do exemplo 1 não é linear, uma vez que a equação 
  1 1 2 1 34w x x x x
não é linear. 
 
1. Principais operadores lineares nos espaços vetoriais 2 e 3 . 
A seguir, exploram-se alguns exemplos de operadores lineares nos espaços vetoriais 2 e 3 . 
 
Algumas delas têm interpretações geométricas com especial importância. São elas reflexão, 
projeção, rotação, dilatação e contração. 
 
MMóódduulloo 0099 –– TTrraannssffoorrmmaaççããoo LLiinneeaarr 
 
33 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
1.1 Reflexões 
 Nesta secção apresentam-se alguns operadores lineares que efetuam a reflexão de um vetor 
do 2 em relação a uma reta, que passa pela origem, e a reflexão de um vetor do 3 em relação a 
um plano passando pela origem. As Tabelas 1 e 2 mostram as principais reflexões do 2 e 3 . 
 
 
 
Operador Ilustração Equações 
Matriz 
Canônica 
Reflexão em 
torno do eixo Oy 
y
x  w T x x
 x, y x, y
 
1
2
w x
w y
 

 
1 0
0 1
 
 
 
 
Reflexão em 
torno do eixo Ox 
y
x
 w T x
x
 x, y
 x, y
 
1
2
w x
w y

 
 
1 0
0 1
 
  
 
Reflexão em 
torno da reta 
y x
 
y
x  w T xx x, y
 y,xy x
 
1
2
w y
w x


 
0 1
1 0
 
 
 
 
Tabela 1 
 
 
 
 
 
 
 
MMóódduulloo 0099 –– TTrraannssffoorrmmaaççããoo LLiinneeaarr 
 
44 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
Operador Ilustração Equações 
Matriz 
Canônica 
Reflexão em 
torno do 
plano Oxy 
x y
z
x
 w T x
 x, y,z
 x, y, z
 
1
2
3
w x
w y
w z


 
 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
 
 
  
 
Reflexão em 
torno do 
plano Oxz 
x y
z
x
 w T x
 x, y,z
 x, y,z
 
1
2
3
w x
w y
w z

 

 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
 
 
  
 
Reflexão em 
torno do 
plano Oyz 
x y
z
x
 w T x
 x, y,z
 x, y,z
 
1
2
3
w x
w y
w z
 


 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
 
 
  
 
Tabela 2 
MMóódduulloo 0099 –– TTrraannssffoorrmmaaççããoo LLiinneeaarr 
 
55 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
1.2 Projeções ortogonais 
 A seguir, apresentam-se alguns operadores lineares que efetuam a projeção ortogonal de um 
vetor do 2 em relação a uma reta, que passa pela origem, e a projeção ortogonal de um vetor do 
3 em relação a um plano passando pela origem. As Tabelas 3 e 4 mostram as projeções ortogonais 
mais comuns do 2 e 3 . 
 
Operador Ilustração Equações 
Matriz 
Canônica 
Projeção 
ortogonal sobre 
o eixo Ox 
y
x
 w T x
x
 x, y
 0x,
 
1
2 0
w x
w


 
1 0
0 0
 
 
 
 
Projeção 
ortogonal sobre 
o eixo Oy 
y
x  w T xx
 x, y 0, y
 
1
2
0w
w y


 
0 0
0 1
 
 
 
 
Tabela 3 
 
Operador Ilustração Equações 
Matriz 
Canônica 
Projeção 
ortogonal sobre 
o plano Oxy 
x y
z
x
 w T x
 x, y,z
 0x, y,
 
1
2
3 0
w x
w y
w



 
1 0 0
0 1 0
0 0 0
 
 
 
  
 
MMóódduulloo 0099 –– TTrraannssffoorrmmaaççããoo LLiinneeaarr 
 
66 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
Projeção 
ortogonal sobre 
o plano Oxz 
x y
z
x
 w T x
 x, y,z
 0x, ,z
 
1
2
3
0
w x
w
w z



 
1 0 0
0 0 0
0 0 1
 
 
 
  
 
Projeção 
ortogonal sobre 
o plano Oyz 
x y
z
x
 w T x
 x, y,z
 0, y,z
 
1
2
30w
w y
w z



 
0 0 0
0 1 0
0 0 1
 
 
 
  
 
Tabela 4 
1.3 Rotações 
 Entende-se por rotação o operador linear que gira um vetor do 2 no sentido anti-horário, de 
um ângulo fixado 

. Para determinar a matriz de rotação utilizam-se conceitos básicos de 
trigonometria. 
 
 
Na Figura 1 tem-se: 
 





x r cos
y r sen
 e  
 
 
 
  

 
1
2
w r cos
w r sen
 
 
y
x  w T x x  x x, y
 1 2w w ,w

r
r
 
Figura 1 
 
MMóódduulloo 0099 –– TTrraannssffoorrmmaaççããoo LLiinneeaarr 
 
77 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
Aplicando identidades trigonométricas : 
 
 
       
       
      


     

1
2
x y
yx
w r cos r cos cos rsen sen x cos y sen
w r sen r cos sen rsen cos x sen y cos
 
 
Escrevendo na forma matricial: 
 
 
 
     
      
    
1
2
w cos sen x
w sen cos y
 
 
Assim a matriz de rotação é 
 
 
 
 
  
 
cos sen
T
sen cos
 
A Tabela 5 sintetiza o estudo acima. 
Operador Ilustração Equações 
Matriz 
Canônica 
Rotação pelo 
ângulo 

 
y
x  w T x x x, y
 1 2w ,w
 
1
2
cos sen
sen cos
w x y
w x y
 
 
 
 
 
cos sen
sen cos
 
 
 
 
 
 
Tabela 5 
 
 
Exemplo 3: A rotação do vetor 
  1 2u ,
 de um ângulo 

 
3
 é 
  
   
 
1 2 3 2 3
2 2
w ,
. De fato: 
   
   
 
 
 
        
           
        
 
31
3 3 1 1 1 2 312 2
3 3 2 2 23 2 31
2 2
cos sen
sen cos
. 
 
 
 No 3 a rotação de vetores é efetuada em relação a uma reta passando pela origem, 
denominada de eixo de rotação. A Tabela 6 apresenta os operadores com eixos de rotação sendo os 
eixos coordenados. As matrizes são obtidas utilizando a rotação no 2 . 
 
MMóódduulloo 0099 –– TTrraannssffoorrmmaaççããoo LLiinneeaarr 
 
88 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
 
Operador Ilustração Equações Matriz Canônica 
Rotação anti-
horária em 
torno do eixo 
Ox por um 
ângulo 

 
x
y
z
x
 w T x
 
1
2
3
cos sen
sen cos
w x
w y z
w y z
 
 

 
 
 
1 0 0
0 cos sen
0 sen cos
 
 
 
 
 
  
 
Rotação anti-
horária em 
torno do eixo 
Oy por um 
ângulo 

 
x y
z
x
 w T x

 
1
2
3
cos sen
sen cos
w x z
w y
w x z
 
 
 

  
 
cos 0 sen
0 1 0
sen 0 cos
 
 
 
 
 
  
 
Rotação anti-
horária em 
torno do eixo 
Oz por um 
ângulo 

 
x y
z
x  w T x

 
1
2
3
cos sen
sen cos
w x y
w x y
w z
 
 
 
 

 
cos sen 0
sen cos 0
0 0 1
 
 
 
 
 
  
 
Tabela 6 
 
 
 
1.4 Dilatações e contrações 
 O operador linear T definido por 
  T x k x
, sendo 
k
(k um número real não negativo), 
em 2 ou 3 , é chamado uma homotetia de razão k. Se 
 0 1k
, T é denominado uma 
contração de razão k e se 
1k
 T é dito dilatação de razão k. No caso em que 
 0k
, T será o 
operador nulo e quando 
1k
tem-se o operador identidade. As Tabelas 7 e 8 apresentam as 
matrizes canônicas de tais operadores. 
 
 
 
MMóódduulloo 0099 –– TTrraannssffoorrmmaaççããoo LLiinneeaarr 
 
99 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
Operador Ilustração Equações 
Matriz 
Canônica 
Contração de 
fator k no 
  2 0 1k
 
y
x
 w T xx
 x, y
 kx,ky
 
1
2
w k x
w k y


 
0
0
k
k
 
 
 
 
Dilatação de 
fator k no 
 2 1k
 
y
x  w T xx
 x, y kx,ky
 
Tabela 7 
 
Operador Ilustração Equações 
Matriz 
Canônica 
Contração de 
fator k no 
  3 0 1k
 
x
y
z
x  w T xyky
x kx
z
kz
 x, y,z
 kx,ky,kz
 
1
2
3
w k x
w k y
w k z



 
0 0
0 0
0 0
k
k
k
 
 
 
  
 
Dilatação de 
fator k no 
 3 1k
 
x
y
z
x  w T xykyx
kx
z
kz
 x, y,z kx,ky,kz
 
Tabela 8 
MMóódduulloo 0099 –– TTrraannssffoorrmmaaççããoo LLiinneeaarr 
 
1100 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
Os próximos tópicos têm como principais objetivos examinar os aspectos de linearidade e 
inversibilidade de transformações lineares, bem como conectar os quatro subespaços fundamentais 
de 
 A T
 ao estudo dessas transformações. 
 
2. Linearidade 
 
Sejam 
n mT : 
 e 
 A T
 sua respectiva matriz canônica (referenciada a quaisquer 
bases fixadas no n e no m ). Então 
nu,v 
 e 
,  
, tem-se: 
 
     T u v T u T v     
 (*). 
 
 De fato, 
           T u v A u v A u A v Au Av T u T v                 . 
 Uma consequência direta da linearidade é o fato de que toda transformação linear leva o 
vetor nulo do n ao vetor nulo do m . Basta verificar que 
   1 1 10 0 0n m n n mT A    
. 
 A equação (*) pode ser desmembrada em três testes. Assim, 
n mT : 
 é uma 
transformação linear se, e somente se: 
 
 i) 
 1 10 0n mT  
; 
 ii) 
      nT u v T u T v , u,v    
; 
 iii) 
    nT u T u , , u      
. 
 
3. Construção da matriz canônica de uma transformação linear 
 
 Neste material, as matrizes canônicas de todas as transformações lineares abordadas estarão 
referidas às bases canônicas dos espaços n e no m . Quando outras bases forem consideradas, a 
técnica aqui abordada sofre algumas alterações. 
 
Teorema 1: Sejam 
n mT : 
, 
 A T
 sua respectiva matriz canônica e 
 1 2 nC e ,e , ,e
 a base 
canônica do n . Nestas condições, tem-se 
 
       1 2 nA T T e T e T e    
. 
 
Demonstração: Seja 
 1 2
T n
nx x x x 
. Com respeito à base canônica C pode-se escrever 
1 1 2 2 n nx x e x e x e   
. Assim: 
         1 1 2 2 1 1 2 2n n n nT x T x e x e x e T x e T x e T x e        
 
 
MMóódduulloo 0099 –– TTrraannssffoorrmmaaççããoo LLiinneeaarr 
 
1111 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
           
1
2
1 1 2 2 1 2 11 1 1
1
n n n m n nm m m m n
n n
x
x
x T e x T e x T e T e T e T e A x
x
    

 
 
           
 
 
. 
 Portanto, 
       1 2 nA T T e T e T e    
. 
 
Exemplo 4: A matriz A de rotação (anti-horária) no 2 é facilmente obtida com a utilização do 
Teorema 1. 
y
 1T e
 1 1 0e ,
x
 2 0 1e ,
cos
sencos
sen
 2T e
 
A figura ao lado mostra a aplicação da 
rotação anti-horária de um ângulo  aos 
vetores da base canônica do 2 : 
 1 1 0e ,
 e 
 2 0 1e ,
. A inspeção da figura revela que: 
 
     1 1 0 cos senT e T , ,  
 
     2 0 1 sen cosT e T , ,   
 
 Desta forma, a matriz canônica é expressa por 
   1 2
cossen
sen cos
A T e T e
 
 
 
     
 
. 
 
 
Exemplo 5: Seja a reta do plano Oxy que passa pela origem e forma um ângulo  (
0   
) com o 
eixo Ox positivo. Considere o operador linear T que leva cada vetor em sua projeção ortogonal sobre 
a reta – vide Figura (a). Deseja-se aplicar o Teorema 1 para a construção da matriz canônica do 
operador linear T. 
 
 
y
x
x
 T x
 
y
x  1T e
 1 1 0e ,
1
cos
 
y
x  2T e
 2 0 1e ,1
sen

 
Figura (a) Figura (b) Figura (c) 
 
A análise fornecida neste exemplo considera o caso em que 
0 2  
. Para a situação em 
que 
2   
 o procedimento é similar, sendo deixado como exercício. 
 
Sabe-se que 
   1 2A T e T e   
, em que 
1e
 e 
2e
 são os vetores da base canônica do 2 . 
MMóódduulloo 0099 –– TTrraannssffoorrmmaaççããoo LLiinneeaarr 
 
1122 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
 A Figura (b) revela que 
 1 cosT e 
. Assim: 
 
 
 
2
1
1
1
cos cos
sen cossen
T e
T e
T e
 
 
   
    
    
. 
 
 A Figura (c) mostra que 
 2 senT e 
. Logo: 
 
 
 
2
2 2
2
cos sen cos
sensen
T e
T e
T e
  

   
    
    
. 
 
 Portanto, a matriz canônica do operador linear T é 
 
2
2
cos sen cos
sen cos sen
A T
  
  
 
   
  
. 
 
 
4. Composição de transformações lineares 
 
Sejam 
n k
AT : 
 e 
k m
BT : 
 duas transformações lineares com matrizes canônicas 
 AT A
 e 
 BT B
. Para cada vetor 
nx
 é possível calcular 
 AT x
, um vetor do k . Depois se 
pode determinar 
  B AT T x
, um vetor do m . Assim, a aplicação de 
AT
 seguida de 
BT
 produz uma 
nova transformação linear 
n mT : 
. Esta transformação é chamada a composição ou a composta 
de 
BT
 com 
AT
 e é denotada por 
B AT T
 (lê-se 
BT
 bola 
AT
). Logo: 
 
     B A B AT T x T T x
. 
 
 A composta 
B AT T
 é linear, pois 
         B A B AT T x T T x B Ax BA x  
 de modo que 
B AT T
 é a multiplicação por BA, que é uma transformação linear. 
 
Em outras palavras, a matriz canônica de 
B AT T
 é 
 B AT T BA
. Assim, 
B A BAT T T
. 
Este fato captura uma noção muito importante: 
 
“Multiplicar matrizes é equivalente a compor as correspondentes transformações lineares, formando 
os fatores da direita para a esquerda”. 
 
Exemplo 6: Sejam 
2 2
1T : 
 e 
2 2
2T : 
 operadores lineares que rotacionam os vetores por 
ângulos 
1
 e 
2
, respectivamente. Assim, a operação 
     2 1 2 1T T x T T x
 primeiro rotaciona x 
por um ângulo 
1
 e, posteriormente, rotaciona 
 1T x
 por um ângulo 
2
. Segue-se que o efeito 
líquido de 
2 1T T
 é rotacionar cada vetor x do 2 por um ângulo 
1 2 
, como mostra a figura a 
seguir. 
 
 
 
 
 
 
MMóódduulloo 0099 –– TTrraannssffoorrmmaaççããoo LLiinneeaarr 
 
1133 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
y
x1
 x
 1T x  2 1T T x
2 1 2 
 
Assim, as matrizes canônicas destes operadores lineares 
são: 
 
  1 11
1 1
cos sen
sen cos
T
 
 
 
  
 
 ; 
  2 22
2 2
cos sen
sen cos
T
 
 
 
  
 
 ; 
 
 
   
   
1 2 1 2
2 1
1 2 1 2
cos sen
sen cos
T T
   
   
   
  
  
. 
 
 Estas matrizes devem satisfazer 
    2 1 2 1T T T T
. De fato, tem-se: 
   
 
   
   
 
2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1
2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1
1 2 1 2
2 1
1 2 1 2
cos sen cos sen cos cos sen sen cos sen sen cos
sen cos sen cos sen cos cos sen sen sen cos cos
cos sen
sen cos
T T
T T
           
           
   
   
        
       
       
   
  
  
 
 
 
Observação: Em geral, é importante a ordem pela qual as transformações lineares são compostas. 
Isto era de se esperar, pois compor transformações lineares corresponde a multiplicar as 
correspondentes matrizes canônicas. E, como já é fato conhecido, a ordem na qual a multiplicação de 
matrizes é realizada é um fator de extrema relevância. 
 
Exemplo 7: Sejam 
2 2
1T : 
 a reflexão em torno da reta 
y x
 e 
2 2
2T : 
 a projeção 
ortogonal sobre o eixo y. A figura a seguir ilustra graficamente o efeito distinto que 
1 2T T
 e 
2 1T T
 
têm sobre um vetor x. 
 
 x
y x
x
 1T x  2 1T T x
  2 1a T T
x
y x
x 2T x
  1 2T T x  1 2b T T
y y
 
 
 A mesma conclusão pode ser alcançada mostrando que as matrizes canônicas de 
1T
 e 
2T
 não 
comutam: 
MMóódduulloo 0099 –– TTrraannssffoorrmmaaççããoo LLiinneeaarr 
 
1144 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
         1 2 1 2 2 1 2 1
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0
T T T T ; T T T T
           
                  
           
. 
 
 Logo, 
   1 2 1 2T T T T
 e as transformações não comutam. 
 
 
Exemplo 8: Sejam 
2 2
1T : 
 a reflexão em torno do eixo y e 
2 2
2T : 
 a reflexão em torno do 
eixo x. Neste caso, 
1 2T T
 e 
2 1T T
 são idênticas; ambas aplicam cada vetor 
 x x, y
 em seu 
negativo 
 x x, y   
, como mostra a figura a seguir. 
 
 
x
x
 2T x  1 2T T x
  1 2a T T
y
x
x 1T x
  2 1T T x
  2 1b T T
y
 x, y
 x, y x, y 
 x, y x, y
 x, y 
 
 
 
 A igualdade de 
1 2T T
 e 
2 1T T
 também pode ser deduzida mostrando que as matrizes 
canônicas de 
1T
 e 
2T
 comutam: 
 
         1 2 1 2 2 1 2 1
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
T T T T ; T T T T
              
                                
. 
 
 
 
 A composição também pode ser definida para três ou mais transformações lineares. Por 
exemplo, sejam as transformações lineares 
1
n kT : 
, 
2
k lT : 
 e 
3
l mT : 
. Define-se a 
composta 
      3 2 1 3 2 1T T T x T T T x
. 
Mostra-se que esta composição é uma transformação linear e que a matriz canônica de 
3 2 1T T T
 está relacionada com as matrizes canônicas de 
1T
, 
2T
 e 
3T
 por 
     3 2 1 3 2 1T T T T T T
. 
O mesmo raciocínio se estende à composição de um número qualquer de transformações lineares. 
 
 
 
MMóódduulloo 0099 –– TTrraannssffoorrmmaaççããoo LLiinneeaarr 
 
1155 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
5. Núcleo e imagem de transformações lineares 
 
 Toda transformação linear 
n mT : 
, com matriz canônica A, é uma função. De fato, para 
nx 
 existe um único 
mb
 tal que 
 T x b
. Utilizando a representação da transformação 
linear T por meio de sua matriz canônica A, conclui-se que sempre é possível efetuar o produto 
 T x Ax b 
 – com b único para 
nx 
. Em outras palavras, o conjunto domínio de T é 
 Dom nT 
. 
 
 O conjunto imagem de T é formadopor todos os elementos 
mb
 tal que 
 T x b
, ou seja, é 
formado por todos os elementos do m que são mapeados (ou transformados) pela aplicação de T a 
todos os vetores 
nx
. Assim: 
 
      Im m nT b |T x Ax b, x C A      
, 
 
uma vez que todo 
 Imb T
 é uma 
combinação linear das colunas de A. 
Logo, a 
 Im T
 é um subespaço do m . 
A figura a seguir ilustra os conceitos 
de domínio e imagem de uma 
transformação linear. Nela também 
são vistos os quatro subespaços 
fundamentais associados à matriz A. 
 TC A
 N A
 
 Im
C A
T
 TN A
0 0n mA  
   Aplicação de : nT T x Ax b C A , x    
 Dom
n
T
m
 
 
Outro subespaço de grande importância relacionado a toda e qualquer transformação linear 
n mT : 
 é o núcleo (ou kernel) de T, designado por 
 Nuc T
 ou 
 Ker T
. O núcleo de uma 
transformação linear é composto por todos os vetores do 
nx
 tais que 
  0 mT x Ax  
. Esta é 
precisamente a definição do espaço-nulo associado à matriz canônica A. Logo: 
 
 
        Nuc Ker 0n mT T x |T x Ax N A      
. 
 
 A figura a seguir ilustra o conceito de núcleo de uma transformação linear. 
 
MMóódduulloo 0099 –– TTrraannssffoorrmmaaççããoo LLiinneeaarr 
 
1166 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 TC A 
 
N A
Nuc T
 
 Im
C A
T
 TN A  0T x 
n m
 
 
 
6. Inversibilidade 
 
 Uma transformação linear T só admitirá a existência de uma transformação inversa 1T  (ou 
seja, 1T  deve ser tal que 
     1 1T T x T T x x  
) se T for bijetora. Uma função é dita bijetora 
se for, simultaneamente, injetora e sobrejetora. 
 
Definição 1: A transformação linear 
n mT : 
 é injetora quando a aplicação de T em vetores 
distintos do n leva a vetores distintos em 
  mC A 
, como ilustra a figura a seguir. 
 
 
 TC A
 N A
 C A
 TN A
 1T x
n m
1x
2x  2T x
1b 2b
   1 1 2 2b T x b T x  
1 2sempre que x x
 
 
 
Definição 2: Uma transformação linear 
n mT : 
 é sobrejetora se 
   Im mT C A 
, ou seja, se 
todos os vetores 
mb
 forem mapeados pela aplicação de T a todos os vetores 
nx
. 
 
 
Apenas uma classe de transformações lineares pode ser bijetora (ou seja, injetora e 
sobrejetora simultaneamente) e, portanto, admitir inversa. Esta limitação decorre diretamente do 
Teorema Fundamental da Álgebra Linear, ilustrado na figura a seguir (Módulo 08). 
MMóódduulloo 0099 –– TTrraannssffoorrmmaaççããoo LLiinneeaarr 
 
1177 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
 
 TC A
 N A
 C A
 TN A
rx
nx
  0n nT x Ax 
 r rT x Ax b b
 T x Ax b 
r nx x x 
n m
 
 
 Com base nos conceitos desenvolvidos no Módulo 08 – Teorema Fundamental da Álgebra 
Linear, concluiu-se que 
nx 
 pode ser escrito na forma 
r nx x x 
, com 
 Trx C A
 e 
 nx N A
. Então: 
 
       r n r n r n rT x T x x T x T x Ax Ax Ax b       
, pois 
 nx N A
 e assim 
  0nT x 
. 
 
 Do raciocínio anterior, tem-se 
   rT x b T x 
. Logo, 
n mT : 
 só é injetora se, e 
somente se, 
   r rT x T x x x  
. Ou, equivalentemente: 
 T nC A 
 (ou 
   0N A 
). Desta 
maneira, 
 pos A n
 e 
 nul 0A 
. 
 Uma vez que 
   dim posC A A n m  
, tem-se 
  mC A 
. Assim, 
   0TN A 
. Isto 
implica em que 
  não é sobrejetoramy |y C A T   
. 
 
 
 
Em suma: Uma transformação linear 
n mT : 
 só admite uma transformação linear inversa 
1 m nT : 
 se, e somente se: 
  
 T nC A 
, ou equivalentemente, 
 pos A n
 e 
 nul 0A 
; 
  
m n
, ou seja, T é um operador linear. 
 
 
Exemplo 9: O operador linear 
3 3T : 
 que projeta todos os vetores do 3 no plano Oxy não é 
inversível. De fato, a matriz canônica 
 T A
 é: 
 
 
 
1 0 0
0 1 0 pos 2 3
0 0 0
A A
 
    
 
  
, condição necessária para que o operador seja inversível. 
MMóódduulloo 0099 –– TTrraannssffoorrmmaaççããoo LLiinneeaarr 
 
1188 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
 
É simples verificar que T não pode admitir inversa do 
ponto de vista geométrico. A figura ao lado indica que 
é impossível decidir qual vetor x do domínio de T deu 
origem à projeção 
 T x
. De fato, qualquer vetor com 
extremidade sobre a reta r da figura exibe a mesma 
projeção no plano Oxy. O mesmo raciocínio se estende 
a qualquer reta r paralela ao eixo Oz. Ou seja, T não é 
injetora e também não é sobrejetora. 
 
x y
z
O
2x
 i iT x Ax
r
1x
3x
 
 
Do ponto de vista matricial, como é possível verificar se um operador linear T é inversível? 
Para responder a esta questão, seja T um operador linear do n com matriz canônica A (nxn). Se T 
admite inversa, então existe um operador linear 1T  , com matriz canônica B (nxn) tal que: 
 
1 1
IT T T T T
  
 (operador identidade). 
 
 Isto implica em que 
 1 1 1IT T T T T AB BA I B A
              
. 
 
Assim, o operador T só admite inversa se, e somente se, sua matriz canônica é inversível. E 
mais, a matriz canônica do operador inverso será a inversa da matriz canônica do operador original. 
 
Exemplo 10: O operador linear T de rotação (anti-horária) no 2 por um ângulo , com matriz 
canônica 
cos sen
sen cos
A
 
 
 
  
 
 
 
é inversível. Pode-se verificar este fato por meio de 
 pos 2A 
 (T é bijetor) ou por 
 det 1 0A  
 (A 
é inversível). O operador linear inverso 1T  representa uma rotação horária por um ângulo , ou 
equivalentemente, uma rotação anti-horária por um ângulo 

. Assim: 
 
 
   
   
1 1
cos sencos sen
 é ortogonal
sen cossen cos
TT A A A
                           
. 
 
 
 
 
MMóódduulloo 0099 –– TTrraannssffoorrmmaaççããoo LLiinneeaarr 
 
1199 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
Exercícios propostos: 
 
E01. Determine o domínio e o contradomínio das transformações definidas pelas equações dadas e 
assinale quais são lineares. 
a) 
  
  
1 1 2 3
2 2 3
4
5
w x x x
w x x
 b) 
  
  
   
1 1 2 3
2 2 3
3 1 2 3 4
4
5
w x x x
w x x
w x x x x
 c) 
  
  
 
1 1 2 3
2 2 3
3 1 2
4
5
3
w x x x
w x x
w x x
 
Resposta: a) 
3 2aT :
 é linear. b) 
4 3bT :
 é linear. c) 
3 3cF :
 não é linear. 
 
E02. Escreva a matriz canônica das transformações lineares do exercício E01. Utilize as matrizes 
para calcular 
 1 2 1aT , ,
e 
  1 2 1 5bT , , ,
. 
Resposta: 
    1 2 1 7 7aT , , ,
, 
      1 2 1 5 5 3 7bT , , , , ,
 
 
E03. Encontre a matriz canônica das transformações lineares definidas por: 
 
a) 
     1 2 1 2 1 22T x ,x x x ,x x
 b) 
        1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 17 2T x ,x ,x ,x x x x x ,x x , x
 
c) 
    1 2 3 1 2 34 7 8T x ,x ,x x , x , x
 d) 
    1 2 3 4 4 1 3 2 1 3T x ,x ,x ,x x ,x ,x ,x ,x x
 
Resposta: a) 
 
 
 
2 11 1
, b) 
  
 
 
  
7 2 1 1
0 1 1 0
1 0 0 0
, c)   
 
  
4 0 0
0 7 0
0 0 8
, d) 
 
 
 
 
 
 
  
0 0 0 1
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 1 0
. 
E04. Determine a matriz canônica da transformação linear definida por 
     2T x,y x y, y
. Utilize 
a matriz encontrada e represente geometricamente a imagem da figura 
 
 
Resposta: 
 
 
  
 
1 2
0 1
T
 
 
 
 
Observação: As transformações lineares do 2 , 
definidas por 
    T x,y x y, y
, com 
 
, 
são denominadas Cisalhamento horizontal. 
Será que existem transformações lineares do 2 
denominada Cisalhamento vertical? Se sim, 
como seriam definidas as transformações 
lineares neste caso? Pense sobre este assunto. 
MMóódduulloo 0099 –– TTrraannssffoorrmmaaççããoo LLiinneeaarr 
 
2200 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
E05. Use o conceito de linearidade para verificar quais dentre as transformações a seguir são 
lineares: 
a) 
2 3T : 
 tal que 
   1T x,y x , y, x y  
 
Resposta: A transformação não é linear. 
b) 
3 3T : 
 tal que 
   T x, y,z x y, y, x z  
 
Resposta: A transformação é linear. 
c) 
2 2T : 
 tal que 
   2 2 2 2T x, y x y , x y  
 
Resposta: A transformação não é linear. 
d) 
2 2T : 
 tal que 
    T TT x y x y y 
 
Resposta: A transformação é linear. 
 
E06. Utilizando o Teorema 01, construa as matrizes canônicas das transformações lineares: 
 
a) 
2 2T : 
 que projeta os vetores ortogonalmente sobre o eixo Ox e em seguida reflete 
estes vetores em torno do eixo Oy. 
Resposta: 
1 0
0 0
T
 
  
 
. 
b) 
2 2T : 
 que reflete os vetores em torno da reta 
y x
 e em seguida reflete estes 
vetores em torno do eixo Ox. 
Resposta: 
0 1
1 0
T
 
  
 
. 
c) 
2 2T : 
 que dilata os vetores por um fator 3, em seguida reflete estes vetores em 
torno da reta 
y x
 e finalmente projeta estes vetores ortogonalmente sobre o eixo Oy. 
Resposta: 
0 0
3 0
T
 
  
 
. 
d) 
3 3T : 
 que reflete os vetores em torno do plano Oxz e em seguida contrai estes 
vetores por um fator 
1 5
. 
Resposta: 
1
0 0
5
1
0 0
5
1
0 0
5
T
 
 
 
  
 
 
 
  
. 
 
 
MMóódduulloo 0099 –– TTrraannssffoorrmmaaççããoo LLiinneeaarr 
 
2211 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
e) 
3 3T : 
 que projeta os vetores ortogonalmente sobre o plano Oxz e em seguida 
projeta estes vetores ortogonalmente sobre o plano Oxy. Resposta: 
1 0 0
0 0 0
0 0 0
T
 
 
  
  
. 
f) 
3 3T : 
 que reflete os vetores em torno do plano Oxy, em seguida reflete estes 
vetores em torno do plano Oxz e finalmente reflete estes vetores em torno do plano Oyz. 
Resposta: 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
T
 
 
  
  
. 
 
E07. Seja l a reta do plano Oxy que passa pela 
origem e que faz um ângulo 

 com o eixo Ox 
positivo, em que 
0   
. Seja 
2 2T : 
 o 
operador linear que reflete cada vetor em torno 
da reta l. 
a) Use o Teorema 01 para encontrar a matriz 
canônica de T. 
Resposta: 
cos 2 2
2 cos 2
sen
T
sen
 
 
 
  
 
. 
b) Encontre a reflexão do vetor 
 1 5
T
x 
 em 
torno da reta l pela origem formando um 
ângulo de 
30 
 com o eixo Ox positivo. 
x
 T x
yx

l
 
Resposta: 
1 5 3 3 5
2 2
T
T
  
  
  
. 
E08. Encontre a matriz canônica para a composição dada de operadores do 2 . 
a) Uma rotação de 
90
 seguida de uma reflexão em torno da reta 
y x
. 
Resposta: 
1 0
0 1
T
 
  
 
. 
b) Uma projeção ortogonal sobre o eixo Oy seguida de uma contração de razão 
1 2k 
. 
Resposta: 0 0
1
0
2
T
 
 
 
  
. 
c) Uma reflexão em torno do eixo Ox seguida de uma dilatação de razão 
3k 
. 
Resposta: 
3 0
0 3
T
 
  
 
. 
MMóódduulloo 0099 –– TTrraannssffoorrmmaaççããoo LLiinneeaarr 
 
2222 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
d) Uma rotação de 
60
, seguida de uma projeção ortogonal sobre o eixo Ox, seguida de uma 
reflexão em torno da reta 
y x
. 
Resposta: 0 0
1 3
2 2
T
 
 
 
  
. 
e) Uma dilatação de razão 
2k 
, seguida de uma rotação de 
45
, seguida de uma reflexão 
em torno do eixo Oy. 
Resposta: 2 2
2 2
T
 
  
  
. 
f) Uma rotação de 
15
, seguida de uma rotação de 
105
, seguida de uma rotação de 
60
. 
Resposta: 
1 0
0 1
T
 
  
 
. 
E09. Encontre a matriz canônica para a composição dada de operadores do 3 . 
a) Uma reflexão em torno do plano Oxy, seguida de uma projeção ortogonal sobre o plano Oxz. 
Resposta: 
1 0 0
0 0 0
0 0 1
T
 
 
  
  
. 
b) Uma rotação de 
45
 em torno do eixo Oy, seguida de uma dilatação de razão 
2k 
. 
Resposta: 
1 0 1
0 2 0
1 0 1
T
 
 
  
 
 
. 
c) Uma projeção ortogonal sobre o plano Oxy, seguida de uma reflexão em torno do plano Oyz. 
Resposta: 
1 0 0
0 1 0
0 0 0
T
 
 
  
  
. 
d) Uma rotação de 
30
 em torno do eixo Ox, seguida de uma rotação de 
30
 em torno do eixo 
Oz, seguida de uma concentração de razão 
1 4k 
. 
Resposta: 
3 3 1
8 16 16
1 3 3
8 16 16
1 3
0
8 8
T
 
 
 
 
  
 
 
 
  
. 
e) Uma reflexão em torno do plano Oxy, seguida de uma reflexão em torno do plano Oxz, 
seguida de uma projeção ortogonal sobre o plano Oyz. 
MMóódduulloo 0099 –– TTrraannssffoorrmmaaççããoo LLiinneeaarr 
 
2233 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
Resposta: 
0 0 0
0 1 0
0 0 1
T
 
 
  
  
. 
f) Uma rotação de 
270
 em torno do eixo Ox, seguida de uma rotação de 
90
 em torno do eixo 
Oy, seguida de uma rotação de 
180
 em torno do eixo Oz. 
Resposta: 
0 1 0
0 0 1
1 0 0
T
 
 
  
  
. 
 
E10. Determine se 
1 2 2 1T T T T
. 
a) 
2 2
1T : 
 é a projeção ortogonal sobre o eixo Ox e 
2 2
2T : 
 é a projeção ortogonal 
sobre o eixo Oy. 
Resposta: Sim. 
b) 
2 2
1T : 
 é a rotação por um ângulo 
1
 e 
2 2
2T : 
 é a rotação por um ângulo 
2
. 
Resposta: Sim. 
c) 
2 2
1T : 
 é a projeção ortogonal sobre o eixo Ox e 
2 2
2T : 
 é a rotação por um ângulo 

. 
Resposta: Não. 
d) 
3 3
1T : 
 é a dilatação de razão k e 
3 3
2T : 
 é a rotação em torno do eixo Oz por um 
ângulo 

. 
Resposta: Sim. 
e) 
3 3
1T : 
 é a rotação em torno do eixo Ox por um ângulo 
1
 e 
3 3
2T : 
 é a rotação em 
torno do eixo Oz por um ângulo 
2
. 
Resposta: Não. 
 
E11. Determine bases para o núcleo e para a imagem das transformações lineares que possuem as 
matrizes canônicas a seguir: 
 
 
a) 
1 1 3
5 4 4
7 6 2
A
 
   
 
  
 b) 
2 0 1
4 0 2
0 0 0
A
 
  
 
  
 c) 
1 4 5 2
2 1 3 0
1 3 2 2
A
 
 
 
   
 
Resposta: a) 
    Im( ) 1 5 7 , 0 1 1TTTB
; 
  ( ) 16 19 1 TNuc TB
. 
MMóódduulloo 0099 –– TTrraannssffoorrmmaaççããoo LLiinneeaarr 
 
2244 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
b) 
  Im( ) 1 2 0 TTB
; 
 
   
   
   
( )
1
0 1 , 0 1 0
2
T
T
Nuc TB
. 
c) 
     Im( ) 1 2 1 , 4 1 3T TTB
; 
 
   
     
   
( )
2 4
1 1 1 0 , 0 1
7 7
T
T
Nuc TB
. 
 
 
E12. Seja uma transformação linear 
4 3T : 
, com 
 
     5 2 4 2 3 2 2 3T x T x,y,z,t x y z t, x y t, x y z t          
. 
 
a) Construa a matriz canônica 
 T A
 da transformação linear T. 
 
Resposta: 
 
1 5 2 4
2 3 0 1
1 2 2 3
T A
 
  
 
   
 
b) Determine uma base do 
 Nuc T
 e da 
 Im T
. Indique também os valores do 
   pos posT A
 e 
da 
   nul nulT A
. 
 
Resposta: Sendo 
1 0 6 7 1
0 1 4 7 1
0 0 0 0
R
  
 
 
  
, então: 
      Nuc 6 4 7 0 1 1 0 1TB , , , , , , ,  
; 
 
      Im 1 2 1 1 0 1TB , , , , , 
; 
       pos pos nul nul 2T A T A   
 
 
c) O vetor 
   0 3 4v , , C A 
? Justifique sua resposta. 
 
Resposta: Uma base de 
 C A
 é 
      1 2 1 1 0 1C AB , , , , , 
. Então: 
 
         0 3 4 0 3 4 1 2 1 1 0 1v , , C A , , , , , , .       
 
Como não existem 

 e 

 que tornam a sentença verdadeira, conclui-se que 
   0 3 4v , , C A 
. 
 
d) Determine os parâmetros m e n para que o vetor 
   3 14 Nucw ,m, ,n T 
. 
 
Respostas: 
1m  
e 
9n  
. 
 
E13. Sejam os operadores do 2 : 
T1: reflexão em torno do eixo Oy; 
T2: projeção ortogonal no eixo Ox. 
 
 
MMóódduulloo 0099 –– TTrraannssffoorrmmaaççããoo LLiinneeaarr 
 
2255 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
a) Determine a matriz canônica 
 T
 do operador composto 
1 2T T T
. Resposta: 
 
1 0
0 0
T
 
  
 
. 
 
b) O operador composto T é injetor? Justifique. Resposta: Não, pois 
   nul nul 1 0T A  
. 
 
 
E14. Seja uma transformação linear 
3 4T : 
, com 
 
                 1 2 31 0 0 1 2 1 4 0 1 0 2 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1T e T , , , , , ; T e T , , , , , ; T e T , , , , ,      
 
 
em que 
 1 2 3F e ,e ,e
 é a base canônica do 3 . 
 
a) Construa a matriz canônica 
 T A
 da transformação linear T. 
Resposta:  
1 2 1
2 1 1
1 0 0
4 1 1
T A
 
 

  
 
 
 
. 
 
b) Determine uma base do 
 Nuc T
 e da 
 Im T
. Indique também os valores do 
   pos posT A
 e 
da 
   nul nulT A
. 
Resposta: Sendo 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
R
 
 
 
 
 
 
, então: 
    Nuc 0 0 0T , ,
; 
 
        Im 1 2 1 4 2 1 0 1 1 1 0 1TB , , , , , , , , , , , 
; 
       pos pos 3 e nul nul 0T A T A   
 
 
c) O vetor 
   0 3 4v , , N A 
? Justifique sua resposta. Resposta: Não, pois 
    Nuc 0 0 0T , ,
. 
 
d) Determine o valor do parâmetro q para que o vetor 
   4 2 1w , , ,q C A 
. Resposta: 
6q 
. 
 
E15. Seja 
2 2
1T : 
 com 
 1
1 2
0 1
T A
 
   
 
. 
 
a) Aplique a transformação T1 na figura a seguir, 
representando graficamente sua imagem no mesmo 
sistema de eixos. 
 
Respostas: 
   0 0 0 0T , ,
; 
   1 1 1 1T , , 
; 
   1 2 5 2T , ,
. 
 
MMóódduulloo 0099 –– TTrraannssffoorrmmaaççããoo LLiinneeaarr 
 
2266 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Seja 
2 2
2T : 
 o operador linear que reflete cada vetor em relação à reta y = – x. 
 
 b.i) Construa a matriz canônica 
 2T
 do operador T2. Resposta: 
 2
0 1
1 0
T
 
   
. 
 
b.ii) Determine a matriz canônica 
 T
 do operador composto 
1 2T T T
. 
 
Resposta: 
 
2 1
1 0
T
  
   
. 
 
b.iii) O operador composto T é injetor? Justifique sua resposta. 
 
Resposta: Sim, pois 
    Nuc 0 0T ,
. 
 
c) Prove que um operador linear T do 
n
sempre mapeia uma reta 
r P u v 
 do 
n
 em outra 
reta s, na imagem 
 Im T
. 
 
Resposta: Como T é um operador linear: 
           T P T u v T u T v T u T v       . 
Assim: 
     s T P T u T v 
. 
 
Desafios: 
 
D01. Será injetora a composta de transformações lineares injetoras? Justifique sua resposta. 
 
D02. A composta de uma transformação linear injetora com uma transformação linear que não é 
injetora é injetora? Permita ambas ordens de composição e justifique sua resposta. 
 
 
MMóódduulloo 0099 –– TTrraannssffoorrmmaaççããoo LLiinneeaarr 
 
2277 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
II. Mudança de Base 
 
 Até o presente momento, as transformações lineares 
U V
 foram estudadas sob a hipótese 
de que todos os vetores de U e V estão referidos às respectivas bases canônicas desses espaços 
vetoriais. Surgiu então o conceito de matriz canônica para representar tais transformações lineares. 
No entanto, estas representações dependem da escolha de base efetuada para os espaços U e V. 
Assim, torna-se necessário expandir o conceito de matriz canônica de uma transformação linear 
para incorporar o efeito da mudança de base. Em outras palavras, é preciso determinar como as 
representações canônicas se alteram quando ocorre uma mudança de escolha acerca da base 
empregada para representar os vetores de U e V. Para tanto, é preciso compreender o conceito de 
matriz canônica generalizada ou matriz de coordenadas. Com base neste novo conceito, e 
restringindo a discussão aos operadores lineares em um espaço vetorial V, é possível construir um 
operador linear de mudança de base em V e, finalmente, mostrar como se relacionam as matrizes de 
coordenadas de um mesmo operador T em V construídas em bases diferentes. 
 
1. Matriz canônica generalizada ou matriz de coordenadas 
 
 Sejam 
 1 2 nB u ,u , ,u
 e 
 1 2 mB v ,v , ,v 
 bases para os espaços vetoriais U e V 
respectivamente. A matriz canônica generalizada ou matriz de coordenadas de 
T : U V
, com 
respeito ao par 
 B,B
 é definida como a matriz 
m n
: 
 
       1 2 nB BBB BT T u T u T u     
 (1) 
 
 Deve-se notar que a equação (1) reflete uma generalização do Teorema 01 abordado Módulo 
09 – Transformações Lineares. Para recair no caso do referido teorema, basta associar B e 
B
 às 
bases canônicas de U e V, respectivamente. 
É necessário investigar mais a fundo o resultado expresso na equação (1) de forma a 
estabelecer como a matriz de coordenadas é construída. De fato, uma vez que 
B
 é também base de 
V, pode-se escrever 
  1 1 2 2j j j mj mT u v v v     
. Então: 
 
 
 
1
2
j
j
j B
mj
T u




 
 
 
 
 
  
 e  
11 12 13
21 22 2
1 2
n
BB
m m mn
T
  
  
  

 
 
 
 
 
 
 (2) 
 
MMóódduulloo 0099 –– TTrraannssffoorrmmaaççããoo LLiinneeaarr 
 
2288 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaaee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
Quando T é um operador linear em U e existe apenas uma base envolvida, denota-se 
 
B
T
 ao 
invés de 
 
BB
T
 para representar a matriz (quadrada) de T com respeito a B. No mesmo caso de 
operadores lineares, quando a base B é a base canônica de U, 
   
B
T T
 é a matriz canônica de T. 
 
Exemplo 01: Seja 
3 3P : 
 o operador linear que mapeia todo vetor 
 v x, y,z
 em sua projeção 
ortogonal no plano Oxy, 
   0P v x,y,
. Qual a matriz de coordenadas de P com respeito à base 
 
1 2 3
1 1 1
1 2 2
1 2 3
B u ,u ,u
      
               
            
? 
 
 Deve-se notar que o operador P foi definido em termos da base canônica do 3 , 
 
1 2 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
C e ,e ,e
      
               
            
. 
 
 De acordo com a equação (1), a j-ésima coluna de 
 
B
P
 é 
 j BP u
. Então: 
 
   1 1 2 3 1
1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 0 1
C B
C BC
P u P u u u P u
      
                  
            
 
 
   2 1 2 3 2
1 1 0
2 2 0 3 2 3
2 0 2
C B
C BC
P u P u u u P u
      
                  
            
 
 
   3 1 2 3 3
1 1 0
2 2 0 3 2 3
3 0 2
C B
C BC
P u P u u u P u
      
                  
            
 
 
Logo: 
       1 2 3
1 0 0
1 3 3
1 2 2
B BB B
P P u P u P u
 
      
    
. 
 
 
Exemplo 02: Deseja-se determinar a matriz de coordenadas do operador linear do Exemplo 01 com 
respeito às bases 
 
1 2 3
1 1 1
0 1 1
0 0 1
B u ,u ,u
      
               
            
 e 
1 2 3
1 0 0
0 1 1
0 0 1
B v ,v ,v
      
                
            
. 
MMóódduulloo 0099 –– TTrraannssffoorrmmaaççããoo LLiinneeaarr 
 
2299 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
 Para tanto, é necessário escrever as coordenadas de 
 jP u
 com respeito à base 
B
: 
 
   1 1 2 3 1
1 1 1
0 0 1 0 0 0
0 0 0
B B
B BB
P u P v v v P u


       
                   
            
 
 
   2 1 2 3 2
1 1 1
1 1 1 1 0 1
0 0 0
B B
B BB
P u P v v v P u


       
                   
            
 
 
   


       
      
             
            
3 1 2 3 3
1 1 1
1 1 1 1 0 1
1 0 0
B B
B BB
P u P v v v P u
 
 
 Logo: 
       1 2 3
1 1 1
0 1 1
0 0 0
B BBB B
P P u P u P u
  
   
      
  
. 
 
 
 Os Exemplos 01 e 02 mostraram como construir as matrizes de coordenadas de um operador 
linear com respeito a diferentes bases. Caso o mesmo operador de projeção ortogonal sobre o plano 
Oxy seja referido apenas à base canônica do 3 , sua matriz canônica seria 
 
   
1 0 0
0 1 0
0 0 0
C
P P
 
  
 
  
, como já visto anteriormente. 
 
 As mudanças de base (determinação das coordenadas de um vetor em uma nova base a partir 
de outras fornecidas em uma base original) não foram tratadas em detalhe nos Exemplo 01 e 02. Na 
seção a seguir, este assunto será abordado e a construção das matrizes de coordenadas em 
diferentes bases será descrita na forma de um algoritmo. Antes disso, agora que o conceito de 
matrizes canônicas generalizadas está estabelecido, é preciso estender também o conceito de 
transformação linear como uma multiplicação de matrizes. 
 
 
Atuação na forma de multiplicação de matrizes: Sejam 
T : U V
 uma transformação linear, B e 
B
 
bases de U e V respectivamente. Para cada 
u U
, a atuação de T sobre u é dada pela multiplicação 
matricial entre coordenadas 
 
    BB BBT u T u 
. (3) 
 
MMóódduulloo 0099 –– TTrraannssffoorrmmaaççããoo LLiinneeaarr 
 
3300 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 A equação (3) é uma generalização da definição 
T : U V
, tal que 
 T u v Au 
, com A 
representando a matriz canônica de T (com respeito às bases canônicas de U e V). 
 
2. Matrizes de mudança de base 
 
 Como visto na seção anterior, as matrizes de coordenadas que representam transformações 
lineares 
T : U V
 (matrizes canônicas generalizadas) são dependentes da escolha de bases para os 
espaços vetoriais U e V. Entretanto, é interessante estudar as transformações lineares sem a 
referência a qualquer base particular, pois a escolha de algumas bases pode culminar em 
representações matriciais que exibem propriedades especiais que, por sua vez, podem não estar 
presentes nas representações matriciais construídas em outras bases1. 
 Para dissociar o estudo das transformações lineares da escolha de bases, é necessário 
identificar as propriedades das matrizes de coordenadas que são invariantes em todas as bases 
possíveis. Estas propriedades são intrínsecas a cada transformação e seu estudo será abordado 
posteriormente. 
O objetivo desta subseção é investigar como as coordenadas de um vetor 
v V
 se alteram 
quando a escolha de uma base para V é modificada. Para tanto, sejam B e 
B
 duas bases distintas 
para o mesmo espaço vetorial V de dimensão n: 
 
 1 2 nB x ,x , ,x
 e 
 1 2 nB y ,y , , y 
. 
 
 É conveniente designar B como uma base velha para V e 
B
 como uma base nova para V. 
Seja v um vetor qualquer de V. Então, é possível escrever v com relação à base 
B
 na forma 
1 1 2 2 n nv k y k y k y   
, ou seja: 
 
   1 2
T
nB B
v k k k
 

. (4) 
 
 No entanto, também é possível escrever o vetor v com relação à base B: 
 
 
         1 1 2 2 1 1 2 2n n n nB B BB Bv k y k y k y k y k y k y        
 
 
     1 1 2 2 n nB B Bk y k y k y   
. 
(5) 
 
 Cada vetor 
jy
 da base 
B
, escrito com relação à base B, pode ser representado por: 
 
1 2
T
j j j njB B
y a a a      
. (6) 
 
1
 Estes aspectos serão estudados adiante com o uso de bases formadas por autovetores de operadores lineares. 
 
MMóódduulloo 0099 –– TTrraannssffoorrmmaaççããoo LLiinneeaarr 
 
3311 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
 Utilizando a equação (6) em (5): 
 
 
   
11 12 1 11 12 1 1
21 22 2 21 22 2 2
1 2
1 2 1 2
n n
n n
n B BB B
n n nn n n nn nB B B
a a a a a a k
a a a a a a k
v k k k P v
a a a a a a k
 
         
         
                  
         
         
         
 (7) 
 
 Em (7), a matriz 
B BP 
, designada matriz de mudança da base 
B
 para a base B, é tal que: 
 
     1 2B B nB B BP y y y    
. (8) 
 
As equações (7) e (8) indicam que a mudança de base é na verdade um operador linear 
M
 tal 
que 
 i B B i ix P x y M
, para 
1 2i , , ,n
 (verifique!). Considerando a denominação de B como a 
base velha e 
B
 como a base nova do espaçovetorial V, então o operador linear de mudança de base 
M
 atua na forma 
 base velha base novaM
, 
 
enquanto que a matriz de mudança de base 
BBP 
 atua na forma 
 
 coordenadas velhas coordenadas novasP
. 
 
Por esta razão, 
M
 deve ser designado como sendo o operador de mudança da base B para a 
base
B
. As discussões e conclusões anteriores permitem construir o algoritmo para mudança de 
bases em um espaço vetorial V. 
 
Mudança de base: Sejam 
 1 2 nB x ,x , ,x
 e 
 1 2 nB y ,y , , y 
 bases de um espaço vetorial V de 
dimensão n. Sejam 
M
 o operador de mudança de base associado ao par 
 B,B
 e 
B BP 
 a respectiva 
matriz de mudança de base. Em outras palavras, 
 i B B i ix P x y M
 para cada i e 
 
     1 2B B nB B BP y y y    
. (9) 
 
Demonstra-se que: 
 
 
   B BB Bv P v 
 para todo 
v V
; (10) 
 
B BP 
 é não singular. Assim, 
 
1
B B BBP P

 
, em que 
BBP 
 é a matriz de mudança da base B 
para a base 
B
 e 
         
1
B B BBB B B B
v P v v P v

  
  
; (11) 
  Nenhuma outra matriz pode ser empregada no lugar de 
B BP 
 em (10), ou seja, 
B BP 
 é única. 
 
MMóódduulloo 0099 –– TTrraannssffoorrmmaaççããoo LLiinneeaarr 
 
3322 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
Exemplo 03: Na grande maioria das aplicações as duas bases do espaço vetorial V envolvidas são a 
base canônica C (base velha) e uma nova base B. Seja 
2V 
, com 
      1 2 1 0 0 1C e ,e , , , 
 e 
      1 2 2 3 2 1B u ,u , , ,  
. Neste cenário, a matriz de mudança da base B para a base canônica C 
será2 
   1 1
2 2
3 1
BC C C
P u u
 
       
. 
 
 Quais seriam as coordenadas do vetor 
 4 2v ,
 – referidas à base canônica C – na base B? A 
análise realizada nesta subseção permite escrever 
 
         
1
1
2 2 4 1
3 1 2 1
BC B BC CBC B C C
C B
v P v v P v P v

                     
. 
 
 A figura abaixo ilustra o resultado obtido (
   1 2 1 24 2 4 2 1 1C Bv e , u u ,     
). 
 
 
 
 
 O algoritmo de mudança de base é válido para qualquer par 
 B,B
 de bases de um espaço 
vetorial. Porém, como visto no Exemplo 3, a construção da matriz de mudança de base é bastante 
facilitada quando uma das bases envolvidas é a base canônica de V. Assim, é interessante 
incorporar a base canônica de V no algoritmo de mudança de base mesmo quando o par 
 B,B
 não 
a envolve de forma explícita. O diagrama a seguir ilustra como proceder. 
 
 
2 A construção de PBC é facilitada pelo fato de que os vetores u1 e u2 que formam a base B têm suas 
coordenadas referidas à base canônica C. 
 
MMóódduulloo 0099 –– TTrraannssffoorrmmaaççããoo LLiinneeaarr 
 
3333 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
B
v
     1 1B B B C BCB B Bv P v P P v
 
 
 
1
BB B BP P

 
BCP
   BCC Bv P v
1
CB B CP P

 
1 1 1
B B B C BC B B BC B CP P P P P P
  
     
Conclusão:
 
 
Exemplo 04: Sejam 
      1 2 2 3 2 1B u ,u , , ,  
 – Exemplo 03 – e 
      1 2 2 2 5 1B v ,v , , ,   
 do 
2 . Quais as coordenadas de 
 1 1
B
v ,
 na base 
B
? A solução mais simples envolve também a base 
canônica 
      1 2 1 0 0 1C e ,e , , , 
. As matrizes de mudança de base necessárias são: 
 
   1 1
2 2
3 1
BC C C
P u u
 
       
 e 
   1 2
2 5
2 1
B C C C
P v v
 
     
 
. 
 
 Assim: 
   
1
1
2 5 2 2 1 1 2
2 1 3 1 1 1
B C BCB B
B
v P P v




       
                
, como mostra a figura. 
 
 
 
 
 
 A seção 1 discutiu a construção das matrizes canônicas generalizadas (ou matrizes de 
coordenadas) para as transformações lineares segundo diferentes escolhas de bases para os espaços 
vetoriais de saída e de chegada. É possível realizar a mesma tarefa sob a ótica das matrizes de 
mudança de base. Para tanto, seja a transformação linear 
T : U V
, com 
 T A
 designando a 
matriz canônica de T (com respeito às bases canônicas 
1C
 e 
2C
 de U e V, respectivamente). Sejam B 
MMóódduulloo 0099 –– TTrraannssffoorrmmaaççããoo LLiinneeaarr 
 
3344 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
e 
B
 bases quaisquer de U e V. Como construir 
BBT 
, a matriz de coordenadas de T com respeito às 
bases B e 
B
? O diagrama a seguir propõe uma estratégia: 
 
 
B
v
     
2 1
1
BB B C BCB BB
T v T v P AP v     
BBT 
1BC
P
   
11
BCC B
v P v
2 2
1
C B B CP P

 
2 1
1
BB B C BCT P AP

 
Conclusão:A
   
1
2
BC BC
T v AP v   
 
 
Caso particular 01: Operadores lineares 
B BT : U U 
 (os subscritos B e 
B
 indicam que as bases 
adotadas para os vetores do domínio e contradomínio são B e 
B
, respectivamente). Neste caso, a 
base canônica é designada por C e então 
1
BB B C BCT P AP

 
. Esta situação não tem apelo prático, uma 
vez que não é interessante tratar vetores de um espaço vetorial (em uma mesma aplicação) com 
respeito a duas bases diferentes. 
 
Caso particular 02 – importantíssimo: Operadores lineares 
T : U U
. Nesta situação, é conhecida 
a matriz canônica 
 T A
 e deseja-se determinar a matriz de coordenadas com respeito à nova base 
B. O primeiro passo é a construção da matriz de mudança de base 
BCP
. A seguir, aplica-se a 
estratégia: 
 
 
B
v
     1BC BCB BBT v T v P AP v
    
BBT T
BCP
   BCC Bv P v
1
CB BCP P

1
BB BC BCT T P AP
 
Conclusão:A
   BC BCT v AP v   
 
 
As matrizes A e 
1
BC BCP AP

 são ditas semelhantes (no sentido de que compartilham o mesmo 
traço, o mesmo determinante e, consequentemente – como será investigado em momento oportuno – 
os mesmos autovalores) e a transformação 
1
BB BC BCT T P AP
 
 é denominada transformação de 
similaridade3. De fato, A e 
1
BC BCP AP

 atuam da mesma forma sobre vetores na base canônica de U e 
na base B, respectivamente. 
 
3
 Uma transformação de similaridade de grande importância ocorre quando a base B é uma base ortonormal. 
Nesta situação a matriz de mudança de base será ortogonal e então T = PTAP resulta em uma matriz diagonal. 
Este processo, que será abordado mais adiante em nosso curso, é denominado diagonalização. 
MMóódduulloo 0099 –– TTrraannssffoorrmmaaççããoo LLiinneeaarr 
 
3355 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
Exemplo 05: (Exemplo 01 revisitado). Seja 
3 3P : 
 o operador linear que mapeia todo vetor 
 v x, y,z
 em sua projeção ortogonal no plano Oxy, 
   0P v x, y,
. Qual a matriz de coordenadas 
de P com respeito à base 
 
1 2 3
1 1 1
1 2 2
1 2 3
B u ,u ,u
      
               
            
? 
 
 O problema será resolvido agora sob o ponto de vista das matrizes de mudança de base. P éum operador linear para o qual é conhecida a matriz canônica. De fato: 
 
 
1 0 0
0 1 0
0 0 0
A P
 
  
 
  
. 
 
 A matriz de mudança da base B para a base canônica C do 3 é 
 
     1 2 3
1 1 1
1 2 2
1 2 3
BC C C C
M u u u
 
      
  
. 
 
 Assim, a transformação de similaridade necessária é expressa por: 
 
 
1
1
1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0 1 2 2 1 3 3
1 2 3 0 0 0 1 2 3 1 2 2
BC BCB
P M AM


       
         
       
                
, 
 
em concordância com o resultado do Exemplo 01. 
 
 
 
Exemplo 06: (Exemplo 02 revisitado). Deseja-se determinar a matriz de coordenadas do operador 
linear do Exemplo 01 – projeção ortogonal de todo vetor do 3 no plano 0xy – com respeito às bases 
 
1 2 3
1 1 1
0 1 1
0 0 1
B u ,u ,u
      
               
            
 e 
1 2 3
1 0 0
0 1 1
0 0 1
B v ,v ,v
      
                
            
. 
 
 
 
MMóódduulloo 0099 –– TTrraannssffoorrmmaaççããoo LLiinneeaarr 
 
3366 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 Para que o problema seja resolvido utilizando o conceito de matrizes de mudança de base, 
faz-se necessário construir: 
 
     1 2 3
1 1 1
0 1 1
0 0 1
BC C C C
M u u u
 
      
  
 ; matriz de mudança da base B para a base canônica C 
 
     1 2 3
1 0 0
0 1 1
0 0 1
B C C C C
M v v v
 
      
  
; matriz de mudança da base 
B
 para a base canônica C 
 
 Assim, tem-se: 
 
 
1
1
1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1
0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1
0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
B C BCBB
P M AM



          
         
       
              
, 
 
o que confirma o resultado obtido no Exemplo 02. 
 
Exercícios propostos: 
 
E01. Que matriz transforma (1,0) em (2,5) e (0,1) em (1,3)? Resposta: 
 
2 1
5 3
T
 
  
 
 
 
E02. Que matriz transforma (2,5) em (1,0) e (1,3) em (0,1)? Resposta: 
1 3 1
5 2
T 
 
       
 
E03. Por que nenhuma matriz transforma (2,6) em (1,0) e (1,3) em (0,1)? 
 
Resposta: Porque os vetores (1,3) e (2,6) são paralelos, portanto não formam base. 
 
E04. Seja 
   2 7A x,y,z x y z, y, x z    
 um operador linear no 3 . 
 
a) Determine 
 
C
A
, em que C é a base canônica do 3 . Resposta: 
 
 
 
 
 
  
1 2 1
0 1 0
1 0 7
C
A
. 
 
b) Determine 
 
C
A

e também a matriz não singular Q tal que 
   1
C C
A Q A Q


, com 
 
1 1 1
0 1 1
0 0 1
C , ,
      
              
            
. 
 
MMóódduulloo 0099 –– TTrraannssffoorrmmaaççããoo LLiinneeaarr 
 
3377 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
Resposta: 
   1
1 1 0 1 2 1 1 1 1 1 4 3
0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 2 9
0 0 1 1 0 7 0 0 1 1 1 8
C C
A Q A Q

        
                
       
              
. 
 
E05. Seja 
1 2 0
3 1 4
0 1 5
A
 
 
 
  
 e 
1 1 1
1 2 2
1 2 3
B , ,
      
             
            
. 
Considere que A é a matriz canônica de um operador T do 3 , de forma que 
 T x Ax
. Determine 
a matriz de coordenadas de T com relação à base B, 
 
B
T
. 
 
Resposta: 
  
          
       
    
       
                
1
2 1 0 1 2 0 1 1 1 2 3 7
1 2 1 3 1 4 1 2 2 7 9 12
0 1 1 0 1 5 1 2 3 2 1 0
BC BCB
T M AM
. 
 
E06. Determine as matrizes de mudança de base 
BCM
 e 
CBM
, em que 
 
 21B ,x,x
 e 
 2 21 1C x,x x , x   
 
 
são bases do espaço vetorial de todos os polinômios à coeficientes reais de grau menor ou igual a 2. A 
seguir, determine as coordenadas de 
  21 2p x x x  
, relativas à base C. 
 
Respostas: 
1 0 1
1 1 0
0 1 1
CBM
 
 
 
  
 e 
1
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
BC CBM M

 
   
 
  
. 
 
As coordenadas relativas à base C são 
   2 0 1
C C
p x , , 
. 
 
E07. Rotacione, no sentido anti-horário, os eixos coordenados x e y do 2 por um ângulo 
60 
. O 
resultado é um novo sistema de eixos coordenados 
Ox y 
. Utilize os conceitos de mudança de base 
para determinar: 
 
a) As coordenadas do ponto 
 3 2
Oxy
A ,
 no sistema 
Ox y 
. 
Resposta:  
3
3
cos60 sen60 3 1 2 3 2 3 2
3 2
2 2 3 3sen60 cos60 3 2 1 2
1
2
Oxy
Ox y
A ,
 
 
       
            
             
 
b) As coordenadas do ponto 
 4 4
Ox y
B ,
 
 
 no sistema Oxy. 
Resposta: 
 
cos60 sen60 4 1 2 3 2 4 2 2 3
4 4
4 4sen60 cos60 3 2 1 2 2 3 2
Ox y
Oxy
B ,
 
         
                             
MMóódduulloo 0099 –– TTrraannssffoorrmmaaççããoo LLiinneeaarr 
 
3388 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
E08. A matriz de Hadamard 4 por 4 é composta inteiramente por 
1
 e 
1
: 
 
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
H
 
  
 
  
 
  
 
 
Determine 
 7,5,3,1v  
como uma combinação linear das colunas de H. 
Resposta: 
   1 4 1 2 0
T
H x v H v x x        
.
 
Sugestão: Observe que a matriz H possui linhas (colunas) ortogonais de norma 2. 
 
E09. Quais são as três equações de A, B, C se a parábola 
2Y A Bx Cx   for igual a 4 em x a , 5 
em 
x b
 e 6 em 
x c
? Para quais dos números a, b, c será impossível encontrar a parábola Y? 
 
Resposta: 
2 2
2 2
2 2
4 1 4
5 1 5
66 1
A Ba Ca a a A
A Bb Cb b b B
CA Bc Cc c c
        
                
              
 
2
2
2
1
det 1 ( ) ( ) ( ) 0 0
1
a a
b b a b a c b c a b c
c c
  
  
              
  
    
.