Aula 25 - Método das Forças

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS 
ENGENHARIA CIVIL 
DISCIPLINA: ENG2032 – TEORIA DAS ESTRUTURAS I 
Prof. Luiz Álvaro de Oliveira Júnior 
 
 
 
 
AULA 25 – MÉTODO DAS FORÇAS 
 
Resolução do exercício da aula 24 com outro sistema principal 
1) Utilizando o Método das Forças, traçar o diagrama de momentos fletores da viga 
hiperestática abaixo. 
 
Numeração dos nós (esquerda para a direita): A, B, C e D. 
Solução 0: Aplicação do carregamento externo 
� Reações de apoio 
� �� = 0 �� + �
 + �� + �� = 24 
�
 = 0 4�� − 6 ∙ 4 ∙ 2 = 0 �� = 12 �� 
�� = 0 4�� = 0 �� = 0 �� 
�
 = 0 8�� + 4�� = 0 �� = 0 �� ∴ �
 = 12 �� 
� Diagrama de momentos fletores 
�� = 0 �� ∙ � �
 = 0 �� ∙ � �� = 0 �� ∙ � �� = 0 �� ∙ � 
��
 = ��
�
8 ��
 =
6 ∙ 4�
8 ��
 = 12 �� ∙ � 
 
Solução 1: Aplicação do hiperestático X1 = 1 (binário unitário em B) 
 
� Reações de apoio 
�
 = 0 4�� + 1 = 0 �� = −0,25 �� 
�� = 0 4�� = 0 �� = 0 �� 
�
 = 0 8�� + 4�� + 1 = 0 �� = −0,25 �� ∴ �
 = 0,50 �� 
� Diagrama de momentos fletores 
�� = 0 �� ∙ � �
 = 1 �� ∙ � �� = 0 �� ∙ � �� = 0 �� ∙ � 
 
Solução 2: Aplicação do hiperestático X2 = 1 (binário unitário em C) 
 
� Reações de apoio 
�� = 0 4�� + 1 = 0 �� = −0,25 �� 
�
 = 0 4�� = 0 �� = 0 �� 
�� = 0 8�� + 4�
 + 1 = 0 �
 = −0,25 �� ∴ �� = 0,50 �� 
� Diagrama de momentos fletores 
�� = 0 �� ∙ � �
 = 0 �� ∙ � �� = 1 �� ∙ � �� = 0 �� ∙ � 
 
Cálculo dos deslocamentos 
�� ∙ !" = #13 ���%&�
 = −
1
3 4 ∙ 12 ∙ 1 = −16 
�� ∙ �" = 0 
�� ∙ !! = #13 ���%&�
 +
#13 ���%&
� =
1
3 4 ∙ 1 ∙ 1 +
1
3 4 ∙ 1 ∙ 1 =
8
3 
�� ∙ !� = #16 ���%&
� =
1
6 4 ∙ 1 ∙ 1 =
2
3 
�� ∙ �� = #13 ���%&
� +
#13 ���%&�� =
1
3 4 ∙ 1 ∙ 1 +
1
3 4 ∙ 1 ∙ 1 =
8
3 
Com esses deslocamentos, obtemos o seguinte sistema de equações: 
'−160 ( +
1
3 ∙ )
8 2
2 8* +
,!,�- = '
0
0( +
,!,�- = '
+6,4
−1,6( 
Reações de apoio 
As reações de apoio, assim como qualquer outro efeito provocado pelo carregamento na 
estrutura, podem ser calculadas como uma superposição dos efeitos determinados em cada 
solução básica (0, 1 e 2, neste caso). Assim: 
� = �" + �! ∙ ,! + �� ∙ ,� 
�� = 12 + .−0,25/ ∙ .6,4/ + 0 ∙ .−1,6/ �� = 10,4 �� 
�
 = 12 + .0,50/ ∙ .6,4/ + .−0,25/ ∙ .−1,6/ �
 = 15,60 �� 
�� = 0 + .−0,25/ ∙ .6,4/ + .0,50/ ∙ .−1,6/ �� = −2,4 �� 
�� = 0 + 0 ∙ .6,4/ + .−0,25/ ∙ .−1,6/ �� = 0,40 �� 
 
Diagrama de momentos fletores 
a) Cálculo formal pelo método das forças: 
� = �" + �! ∙ ,! + �� ∙ ,� 
�� = 0 �� ∙ � 
�
,012 = 0 + .−1/ ∙ .6,4/ + 0 ∙ .−1,6/ �
,012 = −6,40 �� ∙ � 
�
,345 = 0 + .+1/ ∙ .6,4/ + 0 ∙ .−1,6/ �
,012 = 6,40 �� ∙ � 
��,012 = 0 + 0 ∙ .6,4/ + .−1/ ∙ .−1,6/ ��,012 = +1,60 �� ∙ � 
��,345 = 0 + 0 ∙ .6,4/ + .+1/ ∙ .−1,6/ ��,345 = −1,60 �� ∙ � 
�� = 0 �� ∙ � 
 
Diagrama de esforço cortante 
a) Cálculo formal pelo método das forças: 
Neste caso, os cortantes também foram calculados quando obtivemos as reações de apoio. 
Assim: 
�� = 12 + .−0,25/ ∙ .6,4/ + 0 ∙ .−1,6/ �� = 10,4 �� 
�
 = 12 + .0,50/ ∙ .6,4/ + .−0,25/ ∙ .−1,6/ �
 = 15,60 �� 
�� = 0 + .−0,25/ ∙ .6,4/ + .0,50/ ∙ .−1,6/ �� = −2,4 �� 
�� = 0 + 0 ∙ .6,4/ + .−0,25/ ∙ .−1,6/ �� = 0,40 �� 
 
Observações: 
Os valores de X1 e X2 correspondem exatamente aos valores dos momentos fletores nas 
seções dos apoios internos da viga contínua. Portanto, esta opção do SP implica, na mesma 
solução da estrutura hiperestática. 
Outra vantagem desta segunda opção do SP é a facilidade no traçado do diagrama dos 
momentos fletores finais. Nas seções onde foram introduzidas rótulas o valor do momento 
fletor final é o próprio valor do hiperestático correspondente a cada rótula. O traçado do 
diagrama ao longo das barras é obtido por uma superposição simples dos diagramas dos 
casos básicos. No primeiro vão é uma superposição de um triângulo com uma parábola, no 
segundo é uma superposição de dois triângulos e no terceiro é só um triângulo.