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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: ENG2032 – TEORIA DAS ESTRUTURAS I Prof. Luiz Álvaro de Oliveira Júnior AULA 25 – MÉTODO DAS FORÇAS Resolução do exercício da aula 24 com outro sistema principal 1) Utilizando o Método das Forças, traçar o diagrama de momentos fletores da viga hiperestática abaixo. Numeração dos nós (esquerda para a direita): A, B, C e D. Solução 0: Aplicação do carregamento externo � Reações de apoio � �� = 0 �� + � + �� + �� = 24 � = 0 4�� − 6 ∙ 4 ∙ 2 = 0 �� = 12 �� �� = 0 4�� = 0 �� = 0 �� � = 0 8�� + 4�� = 0 �� = 0 �� ∴ � = 12 �� � Diagrama de momentos fletores �� = 0 �� ∙ � � = 0 �� ∙ � �� = 0 �� ∙ � �� = 0 �� ∙ � �� = �� � 8 �� = 6 ∙ 4� 8 �� = 12 �� ∙ � Solução 1: Aplicação do hiperestático X1 = 1 (binário unitário em B) � Reações de apoio � = 0 4�� + 1 = 0 �� = −0,25 �� �� = 0 4�� = 0 �� = 0 �� � = 0 8�� + 4�� + 1 = 0 �� = −0,25 �� ∴ � = 0,50 �� � Diagrama de momentos fletores �� = 0 �� ∙ � � = 1 �� ∙ � �� = 0 �� ∙ � �� = 0 �� ∙ � Solução 2: Aplicação do hiperestático X2 = 1 (binário unitário em C) � Reações de apoio �� = 0 4�� + 1 = 0 �� = −0,25 �� � = 0 4�� = 0 �� = 0 �� �� = 0 8�� + 4� + 1 = 0 � = −0,25 �� ∴ �� = 0,50 �� � Diagrama de momentos fletores �� = 0 �� ∙ � � = 0 �� ∙ � �� = 1 �� ∙ � �� = 0 �� ∙ � Cálculo dos deslocamentos �� ∙ !" = #13 ���%&� = − 1 3 4 ∙ 12 ∙ 1 = −16 �� ∙ �" = 0 �� ∙ !! = #13 ���%&� + #13 ���%& � = 1 3 4 ∙ 1 ∙ 1 + 1 3 4 ∙ 1 ∙ 1 = 8 3 �� ∙ !� = #16 ���%& � = 1 6 4 ∙ 1 ∙ 1 = 2 3 �� ∙ �� = #13 ���%& � + #13 ���%&�� = 1 3 4 ∙ 1 ∙ 1 + 1 3 4 ∙ 1 ∙ 1 = 8 3 Com esses deslocamentos, obtemos o seguinte sistema de equações: '−160 ( + 1 3 ∙ ) 8 2 2 8* + ,!,�- = ' 0 0( + ,!,�- = ' +6,4 −1,6( Reações de apoio As reações de apoio, assim como qualquer outro efeito provocado pelo carregamento na estrutura, podem ser calculadas como uma superposição dos efeitos determinados em cada solução básica (0, 1 e 2, neste caso). Assim: � = �" + �! ∙ ,! + �� ∙ ,� �� = 12 + .−0,25/ ∙ .6,4/ + 0 ∙ .−1,6/ �� = 10,4 �� � = 12 + .0,50/ ∙ .6,4/ + .−0,25/ ∙ .−1,6/ � = 15,60 �� �� = 0 + .−0,25/ ∙ .6,4/ + .0,50/ ∙ .−1,6/ �� = −2,4 �� �� = 0 + 0 ∙ .6,4/ + .−0,25/ ∙ .−1,6/ �� = 0,40 �� Diagrama de momentos fletores a) Cálculo formal pelo método das forças: � = �" + �! ∙ ,! + �� ∙ ,� �� = 0 �� ∙ � � ,012 = 0 + .−1/ ∙ .6,4/ + 0 ∙ .−1,6/ � ,012 = −6,40 �� ∙ � � ,345 = 0 + .+1/ ∙ .6,4/ + 0 ∙ .−1,6/ � ,012 = 6,40 �� ∙ � ��,012 = 0 + 0 ∙ .6,4/ + .−1/ ∙ .−1,6/ ��,012 = +1,60 �� ∙ � ��,345 = 0 + 0 ∙ .6,4/ + .+1/ ∙ .−1,6/ ��,345 = −1,60 �� ∙ � �� = 0 �� ∙ � Diagrama de esforço cortante a) Cálculo formal pelo método das forças: Neste caso, os cortantes também foram calculados quando obtivemos as reações de apoio. Assim: �� = 12 + .−0,25/ ∙ .6,4/ + 0 ∙ .−1,6/ �� = 10,4 �� � = 12 + .0,50/ ∙ .6,4/ + .−0,25/ ∙ .−1,6/ � = 15,60 �� �� = 0 + .−0,25/ ∙ .6,4/ + .0,50/ ∙ .−1,6/ �� = −2,4 �� �� = 0 + 0 ∙ .6,4/ + .−0,25/ ∙ .−1,6/ �� = 0,40 �� Observações: Os valores de X1 e X2 correspondem exatamente aos valores dos momentos fletores nas seções dos apoios internos da viga contínua. Portanto, esta opção do SP implica, na mesma solução da estrutura hiperestática. Outra vantagem desta segunda opção do SP é a facilidade no traçado do diagrama dos momentos fletores finais. Nas seções onde foram introduzidas rótulas o valor do momento fletor final é o próprio valor do hiperestático correspondente a cada rótula. O traçado do diagrama ao longo das barras é obtido por uma superposição simples dos diagramas dos casos básicos. No primeiro vão é uma superposição de um triângulo com uma parábola, no segundo é uma superposição de dois triângulos e no terceiro é só um triângulo.
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