Lógica primeiros passos1

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ANTÔNIO JORGE SOARES 
 
 
 
 
LÓGICA: 
 PRIMEIROS PASSOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mossoró (RN) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FICHA CATALOGRÁFICA 
 
Soares, Antônio Jorge 
So11L Lógica: primeiros passos. Mossoró (RN), 2011 
 
 
 Bibliografia 
 
 
1. Filosofia 2. Lógica 
 
 
11-? CDD-160 
 
Índices para catálogo sistemático: 
1. Lógica: Filosofia 160 
 
 
 
 
ANTÔNIO JORGE SOARES 
 
 
 
 
LÓGICA: 
 PRIMEIROS PASSOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mossoró (RN) 
2011 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
Prefácio ............................................................................................................. 05 
Introdução ........................................................................................................ 06 
1. Linguagem e Comunicação........................................................................... 07 
2. Linguagem e Enunciados ............................................................................. 08 
3. Princípios da Lógica Clássica ...................................................................... 09 
4. Conectivos e Construção de Enunciados Compostos ................................. 10 
5. Argumentos .................................................................................................. 14 
6. Dois Modos de Fazer a Correção ................................................................. 17 
7. O Que Seria Lógica? .................................................................................... 25 
8. Lógica e Matérias de Cálculo ....................................................................... 28 
9. Lógica e Matérias Textuais .......................................................................... 31 
Bibliografia ...................................................................................................... 34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PREFÁCIO 
Sempre é uma grande ousadia alguém se aventurar nos caminhos da Lógica e 
buscar efetuar uma publicação deste impressionante e imprescindível ramo do saber, 
notamente quando uma gama considerável de autores de renome, tais como Kleene, 
Shoenfield, Alckman, Raggio, Tarski, Mendelson, Newton da Costa, colocaram suas 
respectivas argúcias em ensinar como se deve estudar a Lógica, ao efetuarem a 
publicação de seus textos, hoje, clássicos e, por isso mesmo, que eles devem ser 
estudados por quem almejar angariar algum conhecimento da Lógica. 
Atualmente, a Lógica é cultivada por vários especialistas em outras áreas do 
conhecimento além da Filosofia e da Matemática, tais como Robótica, Cibernética, 
Informática, Computação, Inteligência Artificial, Nanotecnologia, Simulação Cognitiva, 
Neurociência, Linguística, Engenharia de Comunicação. Recentemente, no Brasil, com 
a proposta governamental do Exame Nacional do Ensino Médio – ENEM, e a gradativa 
adesão das Universidades Federais a este novo modo de fazer a seleção de seus 
potenciais estudantes, as avaliações passaram a trazer uma elevada carga de exigências 
de raciocínio lógico. 
 Não obstante isto, um número muito reduzido de pessoas tem se dedicado ao 
estudo da Lógica. Este número torna-se menor ainda quando se trata de estudantes pré-
universitários e universitários brasileiros. A relativa escassez de textos de Lógica 
escritos na língua portuguesa e numa linguagem acessível (basta examinar a 
Bibliografia abaixo para verificar que o texto mais recente já tem mais de treze anos e, 
diga-se de passagem, encontra-se na terceira edição), ao lado da inexistência da Lógica 
na matriz curricular no ensino básico, têm concorrido para o desconhecimento da 
contribuição da Lógica na formação de pessoas educadas e pensantes e de universitários 
capazes de resolver problemas matemáticos e de dissecar textos acadêmico-científicos 
com desenvoltura. 
Não raro, no ensino superior, você se depara com um estudante que não 
consegue identificar as hipóteses de um problema matemático ou as premissas de um 
argumento num texto dissertativo. Este está fadado ao fracasso, pois verá seu castelo de 
areia ruir e, por não conseguir acompanhar os conteúdos das aulas das disciplinas em 
geral e não conseguir realizar e entregar em dias as tarefas que lhe são confiadas, 
acabará sendo mais um em aumentar o assustador número de evasão escolar no ensino 
médio e superior. 
Eis, pois, os principais motivos por que este texto tem sido escrito. 
Por fim, eu gostaria de agradecer ao Prof. William Coelho, primeiro leitor 
deste texto, por suas argutas observações em prol da melhoria da redação. 
Mossoró (RN), 20 de fevereiro de 2011. 
Antônio Jorge Soares 
 
INTRODUÇÃO 
Os manuais de Lógica geralmente começam oferecendo uma definição de 
Lógica. Todavia, além do presente texto não pretender ser um manual, mas algo mais 
modesto, não começa por nem com uma definição de Lógica. 
Com efeito, somente após percorrer seis tópicos é que, no sétimo tópico, 
advém um esforço em busca do que seja Lógica. É que uma definição inicial é 
temerária, uma vez que, por mais que se esforce para passar o que seja Lógica numa 
linguagem acessível, é sempre feita encima do que ainda não se fez, ou seja, é uma 
abstração. 
Por outro lado, colocar o estudante em contato com aquilo que estrutura a 
Lógica e com o modo como a Lógica opera para, só depois, apresentar uma definição de 
Lógica, poderá angariar mais chances de se fazer entendido. 
Assim é que a linguagem e a comunicação, a linguagem e os enunciados, os 
princípios da Lógica, a ação dos conectivos para gerar enunciados compostos, a 
estrutura dos argumentos, a correção dos argumentos como objetivo da Lógica, antes do 
advento da definição, ajudará ao leitor a compreender melhor o que seja Lógica. 
Após isto, o estudante, ainda será orientado para compreender como a Lógica 
atua no âmbito das matérias que envolvem cálculos e nas matérias textuais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Linguagem e Comunicação 
Provavelmente, um dos maiores poderes que a humanidade usufrui provenha 
de sua invenção da linguagem. Não é à toa que você pode dizer “Maria!” e uma pessoa 
denominada por este nome que está ao alcance de sua voz volva a atenção para você; 
que você aperte uma tecla do teclado de seu computador e logo aparece na telinha um 
símbolo correspondente; que você aperte algumas teclas de sua calculadora e logo 
obtém o resultado, por exemplo, da subtração; que a fabulosa Torre de Babel não pôde 
ser completada quando a linguagem passou a ser operada em símbolos não conhecidos. 
Observe, porém, que a linguagem é uma mediadora de uma atividade humana, 
isto é, a linguagem não é um fim em si mesma, embora possa ser estudada em si 
mesma. Sendo, pois, uma mediadora, a linguagem exerce a função de comunicar algo. 
Veja que o termo “comunicar” começa com a partícula “com”, sugerindo o sentimento 
de companhia, de não se estar só. E mais, transmite o sentimento e a vontade deliberada 
de passar algo a outrem. Este passar pode ser feito de vários modos diferentes: por 
escrito, por imagens, por sons, por gestos, por toques. Todos estes modos, contudo, 
podem ser chamados de símbolos. 
Com efeito, você simboliza quando escreve; o pessoal responsável pelo trânsito 
simboliza quando apita, quando põe placas, faixas, semáforos, gesticula; alguém que lhe 
toca por baixo da mesa simboliza para que você não diga algo que lhe seja 
comprometedor.Assim, pelos símbolos, você “passa algo para outrem”. Quando, todavia, a 
simbolização que você emprega é insuficiente, aquilo que você procurava passar, a 
mensagem, pode não ser inteiramente compreendida, tornando falha a comunicação. 
Esta insuficiência pode ocorrer pela presença de ambigüidades nos símbolos 
utilizados e é por isto que a Lógica, a Matemática e a Música servem-se de 
determinados conjuntos de símbolos especiais que não são símbolos da linguagem nem 
do idioma de nenhum povo específico, mas, por serem suscetíveis de compreensão por 
todos os povos, são considerados símbolos universais. De fato, um músico russo 
tocando uma partitura de uma peça alemã pode ser inteiramente compreendido por um 
músico italiano ou brasileiro. Um lógico polonês simboliza, numa palestra, uma tese 
completamente acompanhada pela mente de um lógico francês que não sabe polonês. 
Um matemático norueguês expõe a demonstração de uma proposição inteiramente 
assimilada por um matemático argentino, mesmo que este não saiba norueguês. 
Entretanto, não obstante a existência dos recursos lingüísticos da Lógica, da 
Matemática e da Música, na maioria avassaladora das atividades humanas, a 
comunicação não é feita mediante estes símbolos. De fato, você não vai expressar para 
outro que seu pé está doendo utilizando uma equação de uma reta ou uma função 
injetora; nem analisando a validade de um argumento; tampouco interpretando a 
partitura de uma ópera italiana. Você simplesmente diz: “Ai, meu pé está doendo!”. Se a 
pessoa, a qual você quer comunicar, souber português e você haja falado num tom 
audível irá compreender imediatamente o quê você proferiu. Mas, mesmo que não saiba 
português e você exibir o ferimento ou o hematoma no seu pé, a pessoa irá olhar e, 
então, compreender o quê você acabara de dizer. 
Todavia, há situações em que você precisará convencer a alguém daquilo que 
você quer dizer. Mas, para adentrar nesta temática, convém examinar, antes, algo 
mais sobre a linguagem. 
2. Linguagem e Enunciados 
Examine as expressões abaixo: 
a) Posso lhe aguardar? 
b) Que horas são? 
c) Ai, meu pé! 
d) Feche a porta, por favor! 
e) Companhia, sentido! 
f) João ama Maria. 
g) A porta está aberta. 
h) Pedro disse que João ama Maria. 
i) Não há como voar sem asas. 
j) Cachorro. 
Observe que a e b têm a forma de uma indagação; c exprime o sentimento de 
uma dor física; d exprime um pedido; e manifesta uma ordem; f expressa um sentimento 
de amor entre duas pessoas; g anuncia a situação de uma porta; h declara que alguém 
afirma f; i exprime uma negação; j denota uma espécie animal. 
Uma vez feita esta caracterização inicial, deve-se, no passo seguinte, verificar 
se há alguma expressão que não tem sentido completo. E assim, verifica-se que apenas j 
não tem sentido completo. 
A seguir, num terceiro passo, deve-se examinar se há alguma expressão a qual 
se pode dizer que é verdadeira, V, ou que é falsa, F. Ao assim proceder, constata-se que 
a, b, c, d, e, f e j não podem receber valor de verdade algum, pois como dizer que uma 
pergunta seja verdadeira ou falsa? (casos a e b); como dizer que é verdade ou falso que 
alguém que grite que seu pé está doendo, de fato esteja sentido dor no pé? (caso c); 
como a um pedido ou a uma ordem alguém poderá dizer que irá cumprir ou irá deixar 
de cumprir porque é verdadeiro ou porque é falso? (casos d e e); se João pode mentir e 
pode fingir, como ocorre nas novelas, seria muito difícil afirmar que a expressão f seja 
verdadeira ou seja falsa; por fim, a simples expressão “cachorro” não pode ser 
verdadeira nem falsa (caso i). 
Assim, após o terceiro passo, restam as expressões g, h e i. Note que i é 
diferente de f, pois o verbo principal refere-se ao ato de fala de Pedro, de modo que se 
pode perguntar se é verdade que Pedro disse ou, se não é verdade (i.e., falso) que Pedro 
disse. 
Construindo uma síntese disto, tem-se: 
Expressões Sentido 
Completo? 
Pode Receber 
 V ou F? 
a) Posso lhe aguardar? Sim Não 
b) Que horas são? Sim Não 
c) Ai, meu pé! Sim Não 
d) Feche a porta, por favor. Sim Não 
e) Companhia, sentido! Sim Não 
f) João ama Maria. Sim Não 
g) A porta está aberta. Sim Sim 
h) Pedro disse que João ama Maria. Sim Sim 
i) Não há como voar sem asas. Sim Sim 
j) Cachorro. Não Não 
 
Assim é que apenas i não tem sentido completo nem lhe pode ser atribuída 
valor de verdade V ou F. E, embora a, b, c, d, e e f possuam sentido completo não 
recebem valor de verdade V nem F. Já g, h e i têm sentido completo e recebem valor de 
verdade V ou F. 
Definição 1. Um enunciado é uma expressão que possui sentido completo. 
Definição 2. Enunciado declarativo é aquele enunciado que afirma algo a 
respeito das coisas, de modo que pode receber V ou F como seus valores de verdade. 
Em conseqüência, pela Definição 1, j não é um enunciado, mas uma mera 
expressão. Logo, todo enunciado é uma expressão, mas nem toda expressão é um 
enunciado. Pela Definição 2, apenas g, h e j são enunciados declarativos. Portanto, todo 
enunciado declarativo é um enunciado, mas nem todo enunciado é um enunciado 
declarativo. Só a enunciados deste último tipo, enunciados declarativos, é que 
interessam à Lógica. Portanto, a partir de agora, você deverá entender, aqui, 
“enunciado” apenas como “enunciado declarativo”. 
3. Os Princípios da Lógica Clássica 
Aristóteles (384-322 a.C.) foi o primeiro homem a sistematizar as várias 
maneiras do ser humano fazer inferências, isto é, obter uma conclusão a partir de 
proposições que lhes são pertinentes e anteriormente conhecidas. Por isto que este 
filósofo grego é considerado, ainda hoje e com justiça, o “Pai da Lógica”. 
Pois bem, Aristóteles anunciou, após muito pensar, que a Lógica obedece a três 
princípios, conhecidos como Princípios da Lógica Clássica, uma vez que os lógicos 
modernos elaboraram outros sistemas de lógica, denominados de Lógicas Não-
Clássicas, mas estas não interessam a você agora, neste seu grau de aprendizagem dos 
primeiros passos da Lógica. 
Assim é que o primeiro Princípio anunciado por Aristóteles é o Princípio da 
Identidade, comumente proferido como: aquilo que é é; aquilo que não é não é. Por 
vezes: o que é verdadeiro é verdadeiro e o que é falso é falso. 
 Assim formulado, este Princípio parece banal e até desnecessário, mas apenas 
parece, pois, sem ele, nenhuma afirmação ou negação poderia ser feita, uma vez que, 
quando alguém se pronuncia, oral e de modo escrito, afirma ou nega algo, pressupondo, 
assim, que admite e assume a existência do Princípio da Identidade. 
O segundo princípio é o Princípio da Não-Contradição, o qual profere que 
algo não pode ser e não ser ao mesmo tempo, sob o mesmo aspecto. Isto significa que 
João, que é mais alto do que Pedro e menos alto do que José, é mais alto e menos alto 
ao mesmo tempo. Mas é mais alto em relação a Pedro, sendo menos alto em relação a 
José. Logo, João é mais alto e menos alto ao mesmo tempo, mas não sob o mesmo 
aspecto. 
O terceiro princípio é o Princípio do Terceiro Excluído que, por seu turno, 
determina que os enunciados podem ser apenas só verdadeiras ou apenas só falsas, não 
sendo permitido, portanto, que qualquer uma delas possa vir a receber o valor de 
verdade verdadeiro e falso ao mesmo tempo e sob o mesmo aspecto ou, mesmo, que 
haja uma outra valoração e atribuição de verdade diferente da de verdadeiro e de falso. 
Antes de passar adiante, por favor, pare um pouco para pensar no termo 
“princípio”. Observe que quando João, no seu Evangelho, inicia o texto afirmando “No 
princípio, ...”, ele quer passar a idéia de que “antes de tudo o que há”, “anterior aos 
primórdios de todas as coisas”,“no instante imediatamente anterior ao surgimento do 
mundo”. É, pois, neste preciso sentido que você deve tomar, aqui, o significado de 
“princípio” que Aristóteles quer que você entenda quando se tratar do estudo da Lógica. 
4. Conectivos e Construção de Enunciados Compostos 
Até agora você lidou com enunciados simples, aqueles que não contêm um 
outro enunciado em sua estrutura. Agora, irá lidar com enunciados compostos, aqueles 
que contêm pelo menos um outro enunciado em sua estrutura. 
Um enunciado composto é formado conectando um enunciado simples a um 
outro enunciado simples, mediante o emprego de símbolos que exerçam a função de 
operadores lógicos, denominados de “conectivos”, a saber, a negação, simbolizada por 
~; a conjunção, ^; a disjunção, v; a condicional, →; a bicondicional, ↔. Embora, ~ não 
conecte enunciados, é considerada um conectivo de um único lugar (~p, ~q, ~r), 
distinguindo-se dos demais que são de dois lugares: p ^ q, p v q, p → q, p ↔ q. 
Para você descobrir o valor de verdade de um enunciado composto, você 
deverá conhecer, de antemão, o valor de verdade de cada um dos enunciados que o 
compõe, pois o valor de verdade de um enunciado composto é obtido a partir do valor 
de verdade dos enunciados simples que o compõe. 
Definição 3: O resultado do valor de verdade de um enunciado composto 
depende dos valores de verdade dos enunciados simples que o compõe. 
a) O Conectivo da Negação 
Faça um favor. Retorne aos enunciados declarativos acima, ou sejam, g, h e i. 
Dos três, apenas i é negativo, lembra? Então, veja: 
 i) Não há como voar sem asas 
Veja, agora, que i pode ser simbolizado por “~p” (leia-se: “não pê”). Onde p 
representa “há como voar sem asas” e o til representa a partícula negativa “não”. 
Agora, pense um pouco mais: (1) se você considerar que p (há como voar sem 
asas) seja verdadeiro, i e., recebe valor de verdade V, então ~p (não há como voar sem 
asas) deverá receber valor de verdade F. Por outro lado, (2) se p (há como voar sem 
asas) receber valor de verdade F, então ~p (não há como voar sem asas) deverá receber 
valor de verdade V. 
Assim, 
p 
(há como voar sem asas) 
~p 
(não há como voar sem asas) 
V F 
F V 
 
Veja que você acabou de aplicar os três princípios da Lógica Clássica 
estudados acima. Primeiro, identificou p com V e q com F; depois, p com F e q com V. 
(Primeiro Princípio). Estabeleceu que, quando p fosse V, q seria F; quando p fosse F, q 
seria V, de modo que p e q seriam V e F, mas não ao mesmo tempo nem sob o mesmo 
aspecto. (Segundo Princípio). Por fim, só atribuiu valores de verdade V ou F. (Terceiro 
Princípio). Observe que, nos demais conectivos, você fará o mesmo. 
b) O Conectivo da Conjunção 
O segundo enunciado composto que você irá aprender a operar é a conjunção. 
Esta recebe o mesmo sentido que a conjunção aditiva na língua portuguesa, a qual 
empresta o sentido de „adicionar algo a algo que lhe é anterior‟. Assim, se você 
adicionar g a h obterá um enunciado composto, j, onde j é g e h, ou seja: 
j) A porta está aberta e Pedro disse que João ama Maria. 
Você pode até querer inverter a ordem em que g e h aparecem em j, resultando 
em „j) Pedro disse que João ama Maria e a porta está aberta‟. Entretanto, tal como 
ocorre na adição matemática, a ordem dos fatores não altera o resultado. 
Representando g por p, h por q, e por ^, tem-se p ^ q. Aplicando-se, agora, 
valores de verdade V e F, tem-se as combinações possíveis de p e de q na tabela 
abaixo: 
 
Casos 
p 
A porta está aberta 
q 
Pedro disse que João ama Maria 
p ^ q 
A porta está aberta e Pedro 
disse que João ama Maria 
1 V V V 
2 F V F 
3 V F F 
4 F F F 
 
Assim é que em 1, p é V e q é V. Logo, p ^ q é V, pois se você tem dois 
objetos quaisquer, você pode adicionar um ao outro, isto é, conectá-los. Entretanto, no 
caso 2, você já não tem p, o qual recebeu F, tornando-se impossível efetivar uma 
conjunção de algo que não existe, p, com algo que existe, q. Logo, p ^ q é F. De modo 
semelhante, no caso 3, onde, agora, você tem p, mas não tem q, de modo que a conjunção p ^ q 
não ocorre, resultando em F. Por fim, o caso 4, onde você não dispõe nem de p nem de q, 
tornando impossível executar a conjunção de p, que não existe, com q, que também não 
existe. Logo, p ^ q é F. 
Exercícios 1 
Para evitar corrupção, as contas bancárias dos sindicatos são vinculadas, de modo 
que os cheques só são descontados se estiverem assinados pelo presidente e pelo tesoureiro do 
sindicato. Simbolizando o presidente pela letra p e o tesoureiro pela letra q, construa a tabela 
de verdade da conjunção e identifique quando o gerente do banco terá apoio legal para efetuar 
o pagamento do cheque do sindicato apresentado, justificando cada uma das situações 
apoiadas na tabela de verdade que você construiu. 
c) O Conectivo da Disjunção 
O segundo conectivo que você irá estudar é o da disjunção, ou, que, como você 
já viu, é representado por “v”. Você deverá tomar cuidado, pois o “ou” em português 
pode ser excludente ou includente. Quando alguém afirma “ou João tomou água ou João 
não tomou água”, “Ou a porta está aberta ou Pedro disse que João ama Maria”, pretende 
afirmar que apenas um destes dois enunciados é verdadeiro, mas não ambos. Esta 
maneira de empregar o “ou” é excludente, justamente porque exclui a possibilidade de 
ambos os enunciados serem verdadeiros ao mesmo tempo. Já o sentido includente do 
“ou”, “A porta está aberta ou Pedro disse que João ama Maria”, admite a veracidade dos 
dois enunciados. Esta é a forma que interessa à Lógica. 
Retornando a g e a h acima, tem-se: 
k) A porta está aberta ou Pedro disse que João ama Maria 
Considerando, agora, que p representa g e q, h, a tabela de verdade da 
disjunção (includente) é a seguinte: 
 
 
 
 
Casos p 
A porta está aberta 
q 
Pedro disse que João ama Maria 
p v q 
A porta está aberta ou 
Pedro disse que João ama 
Maria 
1 V V V 
2 F V V 
3 V F V 
4 F F F 
 
Exercícios 2 
a) Tomando “w” como o símbolo do conectivo do “ou” excludente, construa a 
tabela de verdade deste. 
b) Numa empresa, dois sócios majoritários são os responsáveis pelas 
movimentações bancárias das finanças. É aberta uma conta conjunta, mas não 
vinculada para estes fins. Construa a tabela de verdade da disjunção, identifique as 
situações e justifique as possibilidades dos saques em cada uma delas. 
c) Ao modificar os critérios legais para aposentadoria do funcionário público 
federal, o governo, além de ampliar os anos mínimos de contribuição e a idade mínima 
do contribuinte, substituiu o “ou” pelo “e”. No texto antigo da lei, para homens, onde 
se lia “pode requer aposentadoria quem houver contribuído com a Previdência durante 
25(vinte e cinco) anos ou quem haja atingido a idade de 60 (sessenta) anos” passou a 
ter a redação “pode requer aposentadoria quem houver contribuído com a Previdência 
durante 30(trinta e cinco) anos e houver atingido a idade de 65 (sessenta e cinco) anos”. 
Construa a tabela de verdade para ambos os casos, identifique as diferenças entre elas 
e explicite a situação anterior e a situação atual para que o funcionário público federal 
se aposente. 
d) O Conectivo da Condicional. 
O terceiro conectivo que você irá estudar a partir de agora é o da condicional, 
simbolizado, aqui, por uma seta →. Como o próprio nome já indica, estabelece uma 
condição: Se ____, então _____, onde nos espaços são colocados, respectivamente o 
antecedente e o consequente, por exemplo: 
L) Se chove, então há nuvem. 
Simbolicamente, p → q e, tomando o exemplo, sua tabela de verdade é: 
Casos p 
Chove 
q 
Há nuvemp → q 
Se chove, então há nuvem 
1 V V V 
2 F V V 
3 V F F 
4 F F V 
 
Veja cada caso acima. No caso 1, onde p é V e q é V, p → q também é V, pois 
é perfeitamente possível que chova e haja nuvem. No caso 2, onde p é F e q é V, p → q 
é V, pois também é possível que não chova, embora haja nuvem. No caso 3, onde p é V 
e q é F, p → q é F, pois não é possível que chova (p) sem haver nuvem (~q), resultando 
em p → q é F. No caso 4, é inteiramente possível que não chova (~p), quando não há 
nuvem (~q), sendo p → q, V. 
e) O Conectivo da Bicondicional 
A bicondicional é, como o nome já sugere, uma condicional dubla, sendo uma 
num sentido, →, e outra no sentido inverso, ←, e, por isto, ela será representada pelo 
símbolo ↔. A bicondicional impõe uma condição exclusiva, sendo traduzida por “se e 
somente se”. Assim, 
m) Chove se e somente se há nuvem. 
Simbolicamente: p ↔ q. 
Em face da „estrita exclusividade‟ que a bicondicional impõe, é tomada, muito 
frequentemente, no sentido de “equivalência”, sendo sua tabela de verdade: 
Casos p 
Chove 
q 
Há nuvem 
p ↔ q 
Se chove, então há nuvem 
1 V V V 
2 F V F 
3 V F F 
4 F F V 
 
Pare um pouco e observe que a bicondicional, p ↔ q, recebe valor de verdade 
V (caso 1 e caso 4) onde e quando os valores de verdade de seus constituintes, p e q, são 
iguais (p é V e q é V; p é F e q é F), justificando o sentido de “equivalente”, e recebe 
valor de verdade F, onde e quando p e q recebem valores de verdade distintos (p é V e q 
é F; p é F e q é V). 
5. Argumentos 
A maneira que você busca convencer alguém chama-se “argumento”. Este é 
constituído de um conjunto finito de enunciados iniciais, cujos elementos são 
denominados de premissas, e de um enunciado final que é a tese que você quer que 
outrem aceite, denominado de conclusão. 
Existem várias formas em que você pode encontrar/elaborar um argumento, 
mas a forma padrão que você irá estudar aqui lembra a condicional que você estudou 
acima. 
a) Se chove, então há nuvem. 
 Chove . 
 Há nuvem 
Se você substituir “chove” por “p” e “há nuvem” por “q”, você terá 
a‟) Se p, então q. 
 p . 
 q 
Ou ainda, 
a‟‟) p → q. (linha 1) 
 p . (linha 2) 
 q (linha 3) 
Este modo de “montar” argumentos e de fazer inferências caracteriza uma 
maneira de fazer derivação, denominado de “Regra de Derivação” ou, algumas vezes, 
de “Regra de Inferência”. Carrega em si o entendimento de que, se você dispõe, no 
mínimo, de dois dados iniciais contidos em linhas diferentes, você pode efetuar uma 
operação e obter, numa terceira linha, um resultado que é gerado a partir das linhas 
anteriores. No caso acima, a partir de “p → q” (linha 1) e de “p” (linha 2), você obteve 
“q” (linha 3), como resultado da aplicação da regra de derivação. Por outras palavras, 
se, numa linha, você dispuser de uma condicional e, uma outra linha, dispuser do 
antecedente da condicional, você obterá, numa terceira linha, o conseqüente da 
condicional. Este é um procedimento padrão, denominado de Modus Ponens. 
Observe que “p → q” e “p” ligam-se numa conjunção, gerando o antecedente, 
as premissas do argumento, enquanto que, a passagem das premissas para a conclusão, 
“q”, é regida pela condicional. É como se, explicitamente, você tivesse: ((p → q) ^ p) → 
q). Daí, você pode extrair duas lições, a saber: 
Lição 1: Todas as premissas de um argumento são “ligadas” entre si mediante 
o conectivo da conjunção. 
Lição 2: Todas as conclusões advêm das premissas mediante o conectivo da 
condicional. 
Examine, agora, as premissas seguintes: 
b) Se chove, então há nuvem. 
 Há nuvem . 
Simbolicamente, 
b´) p → q 
 q . 
Qual a conclusão que você chegou? “Chove”?! Você acha mesmo que basta 
haver nuvem para logo vir a chuva? Ou você já olhou para cima e vislumbrou várias 
nuvens, mas nem por isso choveu? Então? Qual a conclusão de b? Na verdade, tanto 
pode chover quanto não chover, não é mesmo? Logo, b não tem conclusão alguma, ou 
melhor, teria duas conclusões, não emprestando confiança a quem profere, nem força de 
aceitação por parte de quem estar a ser convencido. 
Quando a forma de um argumento assume a forma de b, você não pode dizer 
que dispõe de um argumento, mas de uma falácia. Falácias são estruturas 
argumentativas que se assemelham a argumentos, mas não são, de fato, argumentos. 
Esta falácia, b, é conhecida como a falácia da afirmação do conseqüente. 
Num autêntico argumento como em a, você tem a certeza de que se as 
premissas forem verdadeiras, a conclusão será necessariamente verdadeira. Já 
numa falácia, como em b, você já não tem a certeza de, mesmo que as premissas sejam 
verdadeiras, a conclusão seja necessariamente verdadeira. É que, num argumento, a 
passagem das premissas para a conclusão ocorre por conseqüência lógica, algo 
inexistente numa falácia. 
Definição 4: Consequência lógica é o meio pelo qual o valor de verdade 
“verdade” das premissas se estende, necessariamente, à conclusão. 
Esta definição talvez seja a mais importante definição lógica e que você deve 
tentar jamais esquecê-la. 
Agora, examine o argumento seguinte e verifique se nele ocorre consequência 
lógica. 
c) Se chove, então há nuvem. 
 Não há nuvem . 
 Não chove 
Se você substituir “chove” por “p” e “há nuvem” por “q”, você terá 
c‟) Se p, então q. 
 ~ q . 
 ~ p 
Ou ainda, 
c‟‟) p → q. 
 ~q . 
 ~p 
A que conclusão você chegou? Ocorreu ou não conseqüência lógica? Você 
deve haver chegado à conclusão de que ocorreu conseqüência lógica, pois, como você já 
aprendeu acima, quando ocorre conseqüência lógica, você dispõe de um argumento. Isto 
significa que você entendeu que c não é uma falácia, mas um autêntico argumento. Este 
é um procedimento padrão, denominado de Modus Tollens. 
Examine, agora, as premissas seguintes: 
d) Se chove, então há nuvem. 
 Não chove . 
Qual a conclusão que você chegou? “Não há nuvem”?! Você acha mesmo que 
quando não está chovendo é porque não há nuvem? Ou você já olhou para cima quando 
não está chovendo e vislumbrou várias nuvens? Então? Qual a conclusão de d? Na 
verdade, tanto pode haver quanto não haver nuvem, não é mesmo? Logo, d, tal qual b, 
não tem conclusão alguma, ou melhor, teria duas conclusões, não emprestando 
confiança a quem profere, nem força de aceitação por parte de quem estar a ser 
convencido. Portanto, em d não ocorre conseqüência lógica, caracterizando-o como uma 
falácia. Entretanto, diferente de b que afirmava o conseqüente, d assume a negação do 
antecedente, sendo denominada de “falácia da negação do antecedente”. 
Não obstante, como você viu acima, um enunciado declarativo possa ser 
verdadeiro ou falso, você não pode dizer que um argumento é verdadeiro nem que é 
falso, mas que um argumento é válido ou não-válido. O estudo da validade de um 
argumento constitui a tarefa essencial da Lógica e é chamado de “correção”. 
Quando você encontra uma maneira de mostrar que uma dada forma 
argumentativa é um argumento autêntico e não uma falácia, você está executando a 
correção do argumento. 
Definição 5: Correção é a verificação da autenticidade de uma forma 
argumentativa, mediante recursos lógicos, de modo que você poderá distinguir um 
argumento de uma falácia. 
6. Dois Modos de Fazer a Correção 
Você irá estudar, agora, dois modos de fazer correção lógica das formas 
argumentativas, distinguindo argumento de falácia. 
a) Tabela de Verdade 
Acima, você já viu como se faz a atribuição dos valores de verdade para os 
enunciados simples e para os enunciadoscompostos. Agora, você irá aprender como 
fazer tabela de verdade para argumentos. 
Considere o argumento a acima: 
a) Se chove, então há nuvem. 
 Chove . 
 Há nuvem 
Simbolicamente, 
a) p → q. 
 p . 
 q 
Este é um argumento simples. Em verdade, uma regra de derivação que, como 
você já viu, chama-se Modus Ponens. Como fazer a tabela de verdade deste argumento? 
Bem, você deve proceder por etapas. 
Primeiro, você simboliza o argumento, como foi feito acima. Depois, num 
segundo passo, você “desmembra” o argumento, faz a análise dele, dispondo seus 
componentes da esquerda para a direita dentro de um quadro e do mais simples para o 
mais complexo, fazendo coincidir a última fórmula com o argumento completo. 
p q (p → q) ((p → q) ^ p) (((p → q) ^ p) →q) 
 
 
 
 
 
No terceiro passo, você distribui as combinações possíveis de V e F para p e 
para q. Observe que, como o argumento é simples, só possui dois enunciados, p e q, 
para fazer as combinações possíveis de V e F, você deve ter quatro linhas, obedecendo a 
fórmula 2
n
, onde a base 2 representa a notação binária, V e F, preceituada pelo Princípio 
do Terceiro Excluído, e o expoente n, representa o número de enunciados de que é 
constituído o argumento. Em face disto, se um argumento contém três enunciados, terá 
oito linha; se contiver quatro enunciados, terá dezesseis linhas; se contiver cinco 
enunciados, terá trinta e duas linhas; e assim por diante. 
p q (p → q) ((p → q) ^ p) (((p → q) ^ p) →q) 
V V 
F V 
V F 
F F 
 
No quarto passo, você resolve a condicional (p → q), como já aprendeu acima. 
p q (p → q) ((p → q) ^ p) (((p → q) ^ p) →q) 
V V V 
F V V 
V F F 
F F V 
 
No quinto passo, você resolve a conjunção da quarta coluna, tomando os 
resultados da condicional (p → q) e de p, porquanto componentes de ((p → q) ^ p). 
p q (p → q) ((p → q) ^ p) (((p → q) ^ p) →q) 
V V V V 
F V V F 
V F F F 
F F V F 
 
Por fim, no quinto e último passo, você resolve a condicional final do 
argumento, (((p → q) ^ p) →q), completando a tabela de verdade. 
p q (p → q) ((p → q) ^ p) (((p → q) ^ p) →q) 
V V V V V 
F V V F V 
V F F F V 
F F V F V 
 
Veja que o resultado obtido na quinta e última operação e contidos na quinta 
coluna é constituído de V em todas as suas instâncias (linhas). Quando isto ocorre, diz 
que se obteve uma tautologia. 
Definição 6: Tautologia é um argumento válido em todos os mundos possíveis. 
Ou, se preferir, um argumento, cuja conclusão recebe V em todas as interpretações 
possíveis (linhas). 
Considere, agora, o argumento abaixo: 
b) Se chove, então há nuvem. 
 Há nuvem . 
 Chove 
Simbolicamente, 
b´) p → q 
 q . 
 p 
Seguindo os meus cinco passos que você usou para construir a tabela de 
verdade do argumento anterior, obtém, após o quinto passo: 
 
p q (p → q) ((p → q) ^ q) (((p → q) ^ q) → p) 
V V V V V 
F V V V F 
V F F F V 
F F V F V 
 
Observe, agora, que o resultado sob a última fórmula, o da quinta coluna, 
recebe F na segunda linha, enquanto as demais linhas recebem V. Isto significa que este 
argumento não é válido, sendo seu resultado chamado de contingência, indicando a 
instabilidade da conclusão, podendo ser verdadeiro em uma instância e podendo não ser 
verdadeiro em outra instância. 
Definição 7: Contingência é a constatação da instabilidade da validade de um 
argumento, em face de sua conclusão ora ser e ora não ser logicamente apoiada pela 
verdade das premissas, indicada pela presença de pelo menos um valor de verdade 
distinto dos demais sob a coluna da fórmula final. 
Examine, agora, o argumento abaixo simbolizado. 
c) ((p → (q →p)) → (p ^ ~p)) 
Sua tabela de verdade correspondente, após aplicar todos os passos para sua 
construção, é a seguinte: 
p q ~p (q → p) (p →(p → q)) (p ^ ~p)) ((p → (q →p)) → (p ^ ~p)) 
V V F V V F F 
F V V F V F F 
V F F V V F F 
F V V V V F F 
 
Observe que o resultado final da tabela de verdade contém apenas Fs como 
valor de verdade. Neste caso, você dispõe de uma contradição lógica. 
Definição 8: Contradição é um argumento não-válido em todos os mundos 
possíveis. Ou se preferir, é um argumento, cuja conclusão recebe F em todas 
interpretações. 
 b) O Cálculo Lógico 
Não obstante a tabela de verdade seja um procedimento padrão e mecânico 
confiável para se determinar a correção de um argumento ou se um dado enunciado é ou 
não uma tautologia, um elevado número de enunciados aplicados em 2
n
 aumentará 
consideravelmente o número de linhas e isto tornará você suscetível de incorrer em 
erros. Basta lembrar que se n=7, então a tabela de verdade terá 2
7
 = 128 linhas; se n = 8, 
terá 256 linhas; se n = 9, sua tabela de verdade terá 512 linhas; se n = 10, terá 1024 
linhas. Para evitar incorrer em erros e desperdícios de esforços, os lógicos introduziram 
o cálculo lógico, mediante dedução natural ou sistemas axiomáticos. Este cálculo é 
efetuado na linguagem dos enunciados declarativos, denominado de Cálculo 
Proposicional, das proposições, ou em linguagem mais sofisticadas, denominado de 
Cálculo de Predicados, podendo ser de primeira, de segunda ou de terceira ordens. 
Aqui, diante da restrita ambição dos propósitos deste texto, você estudará apenas alguns 
exemplos do Cálculo Proposicional em termos de dedução natural. 
Um moço chamado Gentzer elaborou um sistema lógico formal no qual se 
obtém deduções utilizando dados iniciais, premissas, e regras de derivação, tais como 
Modus Ponens e Modus Tollens, as quais você já estudou acima. Agora, você irá 
estudar outras regras de derivação, as quais serão muito úteis no seu gradativo e 
diligente estudo da Lógica. Entretanto, para você não esquecer, reveja as estruturas do 
Modus Ponens e do Modus Tollens. 
b1) Modus Ponens (MP) 
 p → q 
 p . 
 q 
Se você tem uma condicional e o antecedente desta condicional, você pode 
obter o consequente. 
 
b2) Modus Tollens (MT) 
 p → q 
 ~q . 
 ~p 
Se você tem uma condicional e a negação do conseqüente desta condicional, 
você obterá a negação do antecedente. 
b3) Dupla Negação (DN) 
 ~~p . ou p . 
 p ~~p 
Se você dispuser de uma dupla negação, então você tem a afirmação; ou vice-
versa. 
b4) Conjunção (Conj) 
 p 
 q . 
 p ^ q 
Se você tem um enunciado numa linha e um outro enunciado noutra linha de 
um cálculo, você obtém a conjunção destes enunciados, uma vez que todos os passos de 
uma demonstração são constituídos por tautologias e, pela tabela de verdade da 
conjunção, uma conjunção só recebe V se seus constitutivos forem Vs. 
b5) Simplificação (Simp) 
 p ^ q . ou p ^ q . 
 p q 
Se você dispuser de uma conjunção, por ser um passo de uma demonstração, é 
uma tautologia, consequentemente seus componentes recebem V, permitindo serem 
desmembrados para converterem-se em linhas da demonstração. 
b6) Adição (Ad) 
 p . 
 p v q 
Se numa linha do cálculo, você dispõe de um enunciado, por ser uma 
tautologia, sua tabela de verdade terá como resultado final apenas Vs, de modo que, 
pela tabela de verdade da disjunção, a qual professa que basta que um dos constitutivos 
da disjunção receba V para toda a disjunção receber V, qualquer enunciado que seja 
disjuntivamente adicionado ao enunciado não conseguirá alterar o valor de verdade. 
b7) Silogismo Disjuntivo (SD) 
 p v q p v q 
 ~p . ou ~q . 
 q pSe, numa linha, você tem uma disjunção e, numa outra linha, você tem a 
negação de um dos constitutivos da disjunção, então você afirma o outro constitutivo. 
b8) Silogismo Hipotético (SH) 
 p → q 
 q → r . 
 p → r 
Se você tem duas condicionais, de modo que, em diagonal, o antecedente de 
uma é o consequente da outra, você tem, numa terceira linha, uma terceira condicional, 
na qual o antecedente e o conseqüente restantes são seus constitutivos. Esta regra traduz 
a equivalência da transitividade matemática. 
Agora que você já viu estas oito regras de derivação, veja algumas aplicações 
delas na construção de provas em Dedução Natural do cálculo proposicional. 
b9) Do Cálculo: aplicação das regras 
Você, agora, irá examinar a aplicação das regras acima num exemplo adaptado 
da obra de Hegenberg (1975, pp. 82-85). Primeiro você verá o texto; em seguida, a 
simbolização e, por fim, a dedução, mediante a aplicação das regras de derivação 
estudadas. 
“― Pedro assustou-se, ontem à noite, com um gato branco. 
― Como você sabe que foi um gato branco? 
― Bem, ele só poderia ter se assustado com um animal e só há cães e gatos 
por lá. Se fosse um cão, o susto teria sido maior ainda. 
― E como sabe que o gato era, de fato, branco? 
― Ali só há gatos brancos e gatos pretos e os gatos pretos não seriam visíveis 
naquela escuridão...” 
Veja que o diálogo visa assentar a tese de que Pedro se assustara por um gato e 
que o gato era branco. Como, na metade do diálogo, razões foram apresentadas para 
mostrar que não fora outro animal, mas, de fato, um gato, ficou restando mostrar, como 
conclusão, que o gato que provocou o susto em Pedro era branco. 
Sua primeira atividade consiste na identificação dos dados iniciais do 
argumento (problema). Estes dados iniciais são também conhecidos como hipóteses e, 
mais frequentemente, como premissas. São chamados de “dados” porque você os recebe 
gratuitamente, são fornecidos como informações iniciais do argumento (problema) e, 
por isto, você deverá sempre tomá-los como verdadeiros e, daí, empreender as 
derivações até atingir a conclusão. Em conseqüência, se eles são verdadeiros, a 
conclusão que você chegar, usando corretamente as regras de derivação, deverá ser, 
necessariamente, verdadeira. (Volte e releia atentamente a Definição 4, para relembrar 
de conseqüência lógica, pois ela estará sendo aplicada aqui). 
Quais, pois, as premissas do argumento? Eis uma questão que você deverá 
sempre formular quando estiver prestes a examinar um argumento, prestes a resolver 
um problema matemático ou, até mesmo, prestes a ler um texto acadêmico. 
Lição 3: Quando você estiver prestes a examinar um argumento, um problema 
lógico, matemático ou textual deverá sempre indagar quais e quantas são as premissas. 
Quais são, então, as premissas? Proceda, meticulosamente por partes, 
enumerando as premissas, os dados iniciais. 
1. Pedro se assustou ontem à noite. 
2. Pedro se assustou ontem à noite por um cão ou por um gato. 
3. Se fosse por um cão, o susto teria sido maior ainda. 
4. O susto não foi maior. (premissa implícita em 3). 
5. Ali, os gatos são unicamente pretos ou unicamente brancos. 
6. Se o gato fosse preto, não teria se tornado visível na escuridão. 
7. Se o gato não se tornasse visível, Pedro não teria se assustado. 
Agora que você já identificou as premissas e sabe quantas elas são, você deverá 
procurar vislumbrar aonde elas poderão lhe levar, ou seja, “qual a conclusão que deverei 
e almejo alcançar?”. Ora, já que você dispõe, agora, dos pontos de partida (as 
hipóteses), você deverá vislumbrar a conclusão do argumento. No caso acima, você já 
sabe: “O gato que assustou Pedro era branco”. Este é o seu ponto de chegada. Todavia, 
você não pode pensar que acabou. Você deverá construir, dedutivamente, o caminho das 
premissas ao seu ponto de chegada, à conclusão do argumento. Só após construir este 
caminho é que você poderá dizer: “eu tenho uma prova” ou “está provado”. 
Lição 4: Mesmo que as premissas sejam verdadeiras, você só pode aceitar a 
conclusão de um argumento, se houver a exibição de sua demonstração. 
O passo seguinte que você deverá empreender é simbolizar as premissas acima. 
1. p 
2. p → (q v r) 
3. q → s 
4. ~s 
5. r → (t w u) 
6. t → ~v 
7. ~v → ~p 
Você já sabe que a conclusão que você pretende chegar é “O gato que assustou 
Pedro era branco”. Observe que a informação “gato branco” aparece unicamente na 
linha 5: “Ali, os gatos são unicamente pretos ou unicamente brancos”. Note, ainda, que 
na simbolização da linha 5, aparece o símbolo “w”, o qual representa a ocorrência de 
um “ou” excludente, cuja tabela de verdade você construiu no Exercícios 2 acima. 
Feito isto, você irá iniciar a construção da prova, mas, antes, deverá dispor 
uma identificação à direita de cada linha, justificando a procedência de cada uma delas. 
Definição 9: Prova é uma sequência finita de passos, obtidos dedutiva ou 
indutivamente, cuja última linha consiste naquilo que você quer demonstrar. 
Após a construção, a prova será como segue. Os números à direita indicam que 
aquela linha provém da(s) linha(s) enumerada(s), mediante o emprego da regra de 
derivação abreviada após a barra. Assim, a linha 8 provém das linhas 1 e 2 mediante o 
emprego da regra Modus Ponens, MP; a linha 9 provém das linhas 3 e 4 por Modus 
Tollens, MT; a linha 10 provém das linhas 8 e 9, por Silogismo Disjuntivo, SD; e assim 
por diante. (Volte a examinar as estruturas de cada regra de derivação já estudada). 
1. p hip. 
2. p → (q v r) hip. 
3. q → s hip. 
4. ~s hip. 
5. r → (t w u) hip. 
6. t → ~v hip. 
7. ~v → ~p hip. 
8. q v r 1,2/MP 
9. ~q 3,4/MT 
10. r 8,9/SD 
11. t w u 5,10/MP 
12. (t v u) ^ ~(t ^ u) 11/Def. de w 
13. t v u 12/Simp. 
14. t → ~p 6,7/SH 
15. ~~p 1/DN 
16. ~t 14,15/MT 
17. u 13,16/SD 
18. r ^ u 10,17/Conj. 
A conclusão que você chegou diz: era um gato “r” e era branco “u”. Em 
verdade, está demonstração poderia ter sido construída em um número menor de passos. 
Mas ela foi assim elaborada porque aplica quase todas as regras que você estudou. 
Aliás, a única regra que não foi contemplada é a da adição, mas, como ficou explicada 
acima, é fácil de você aplicá-la, quando a ocasião exigir. 
Agora que você aprendeu várias coisas sobre a Lógica, está apto a 
compreender o que é a Lógica. Isto é extremamente importante para você não confundir 
a Lógica com aquilo que ela não é e não permitir que você exija dela o que ela não 
poderá lhe dar. É por isto que teria sido temerário seu estudo de Lógica começar logo 
por uma definição de Lógica. Parece ser mais interessante e mais produtivo colocar 
você em contato com aquilo que a Lógica faz, para, só agora, oferecer a você uma 
interpretação do que seja a Lógica. 
7. O que seria Lógica? 
Você já deve ter ouvido alguém, diante de uma situação que apresenta sentido 
ou evidências, dizer: “É lógico!”. E isto é dito com ênfase, para afastar qualquer 
resquício de dúvida. “É lógico que tenho razão!”, “É lógico que irei à festa hoje à 
noite!”, “É lógico que, quando sair o dvd desta banda, irei comprá-lo!”, “É lógico que 
acredito em Jesus!”, “É lógico que o céu é azul!”, “É lógico que o menino irá crescer!”, 
“É lógico que o céu é lá em cima!”. Mas, será mesmo que cada um dos usos da 
expressão “É lógico que” acima é, de fato, lógico como entende um lógico? Vá com 
calma. 
Quando alguém profere a expressão “É lógico que”, habitualmente está num 
contexto de uma situação que considera claro e evidente. Nestas condições, o emprego 
de tal expressão parece pressupor a existência de uma determinadaordem, apoiada na 
qual um sentimento de continuidade é alimentado, a ponto de se considerar que isto ou 
aquilo, sendo claro ou evidente para alguém, deveria ser igualmente claro e evidente 
para todos aqueles que o cercam. 
Todavia, aquilo que parece claro para alguém pode não ser tão claro para 
outrem, de modo que este legitimamente pode requisitar do primeiro uma explicação. O 
evidente, por seu turno, pode, por vezes, sob uma outra ótica ou sob um conjunto de 
informações que não havia sido considerado antes, revelar-se não tão evidente assim. 
Isto pode ser ilustrado pela experiência de Euler que, pondo água destilada num copo de 
vidro, viu surgir dias depois alguns fragmentos de areia e, tendo repetido a experiência 
várias vezes, concluiu que a terra provém da água. Euler, contudo, não havia levado em 
conta que o vidro é feito de areia, destruindo a evidência a qual ele pensava tão 
convictamente dispor. 
Uma outra concepção que precisa ser examinada aqui é a que toma a Lógica 
como a arte ou a ciência que estuda as regras do pensamento ou do pensar correto. Esta 
concepção recebeu um grande apoio quando George Boole publicou, em 1854, An 
Investigation of the laws of thought on which are founded the mathematical theories of 
logic and probabilisties, (Uma Investigação das leis do pensamento sobre as quais estão 
fundadas as teorias da lógica matemática e probabilísticas), sugerindo que as leis do 
pensamento são os genuínos objetos de estudo da Lógica. Entretanto, esta concepção 
implicava que a Lógica seria um subconjunto ou uma sub-área da Psicologia, não sendo, 
portanto, uma ciência autônoma. Mas, a Lógica é uma ciência autônoma. Logo, a tese 
da Lógica como a ciência que estuda as leis do pensamento não pôde ser sustentada. 
Esta concepção, porém, se não trouxe uma solução ao problema de saber o que 
seria a Lógica, pelo menos apontou uma alternativa metodológica ao fazer ver que, 
antes de tentar apresentar uma definição de Lógica, deve-se ter claro qual o genuíno 
objeto de estudo desta ciência autônoma. 
Com efeito, o termo “lógica” provém do grego, λóγο , “logos”, significando 
”palavra”, “razão” ou “raciocínio”. Se tomado no sentido de “razão” ou de “raciocínio”, 
cairá na concepção de Boole, segundo a qual a Lógica trataria das leis do pensamento. 
Por outro lado, se for tomado no sentido de “palavra”, uma outra via de exame abrir-se-
á, haja vista que a Lógica passará a tratar não das leis do pensamento, mas da relação 
entre palavras, ou melhor, entre enunciados, entre proposições. 
Entretanto, não interessa à Lógica a palavra simplesmente pensada, mas a 
palavra proferida, de modo que é sobre a estrutura de um discurso proferido, por meio 
oral ou escrito, que a Lógica irá se debruçar, não para analisar o discurso em si mesmo, 
porém para examinar os argumentos contidos no discurso. Nos argumentos, como você 
já viu acima, a Lógica irá examinar a correção, a validade, mediante a tabela de verdade 
ou mediante o cálculo. Ora, como você já estudou, a tabela de verdade, além ser 
trabalhosa, cresce assustadoramente ante o acréscimo de novas proposições, tornando-se 
complicada de com ela lidar e ampliando a possibilidade de se cometer erros. Por isto, 
também como você já sabe, o cálculo é introduzido e as regras de derivação garantem a 
conseqüência lógica e, por conseguinte, os resultados alcançados. 
Em face disto, o objeto de estudo da Lógica torna-se algo menos ambicioso, 
uma vez que consiste no exame da relação entre as premissas e a conclusão de um 
argumento dado, almejando explicitar a validade ou a não-validade do argumento em 
apreço. 
Agora que você já sabe disso, não deve proceder como os portugueses na 
estorinha abaixo. 
Um português resolveu que deveria estudar Lógica e, então, procurou e entrou 
num curso de Lógica. Ao término da primeira aula, foi à biblioteca, fez o cadastro e 
tomou emprestados seis livros de Lógica. Quando ia saindo da biblioteca, deparou-se 
com Joaquim, seu patrício, que, ao vê-lo com livros debaixo do braço, interpelou-o: 
― Que fazes, Manuel? 
― Não sabes? Agora, estudo Lógica! – respondeu o primeiro luso, orgulhoso. 
― O que vem a ser Lógica, patrício? – indagou curioso o segundo português. 
― Lógica?, Lógica?...- gaguejou Manuel – Lógica é, por exemplo, tens uma 
aquário em casa? 
― Sim – respondeu Joaquim. 
― Se tens um aquário é porque tens peixinhos... 
― Sim. 
― Neste caso, tem água – acrescentou Manuel, maravilhado. 
― Sim. 
― Mas o aquário e os peixinhos não são teus, mas de um filho que tens – 
arriscou Manuel. 
― Sim – respondeu Joaquim. 
― Neste caso, és casado e tens uma mulher! 
― Sim. 
― Logo, não és gay! Lógica é isto! - acrescentou triunfante. 
― Oh, que interessante! Creio que estudarei Lógica também – falou Joaquim 
e tratou logo de obter informações de como freqüentar o curso de Lógica. 
No dia seguinte, após sua primeira aula, Joaquim foi à biblioteca, efetuou o 
cadastro e pegou emprestados cinco livros de Lógica. Mas, na saída da biblioteca, 
depara-se com Severino, um terceiro português, o qual lhe pergunta: 
― Que fazes, Joaquim? 
― Não sabes? Agora, estudo Lógica! 
― Lógica? O que vem a ser Lógica, patrício? 
Todo orgulhoso, Joaquim responde: 
―Lógica?, Lógica é, por exemplo, tens um aquário em casa? 
 ― Não – foi a resposta de Severino. 
Joaquim não teve dúvida e arrematou empolgado: 
― Então, és gay! 
Naturalmente que isto é uma anedota, mas serve para ilustrar as dificuldades 
que as pessoas têm para dizer o que é um termo que elas, no entanto, usam com bastante 
freqüência. 
8. Lógica e Matérias de Cálculo 
As primeiras ciências ao utilizarem o cálculo como meio de demonstrar e 
tornar convincentes seus resultados foram as matemáticas, notadamente a Geometria e a 
Aritmética e, só muito recentemente, a Álgebra. Não é que a Álgebra se recusasse a 
utilizar o cálculo. É que ela só foi inventada em tempos recentes, sendo, pois, a 
Aritmética e a Geometria muito mais antigas. 
Veja que a Matemática, tal qual a Lógica, lida com as possibilidades. De fato, 
observe que a Matemática não se interessa se você está somando três dedos com três 
canetas para daí extrair seis, mas se interessa, unicamente, pela operação de três mais 
três geram seis. 
Observe que os enunciados de 
 p → q 
 p . 
 q 
tanto pode ser: p = “chove”, q = “há nuvem”, perfazendo o argumento em termos já 
conhecidos de 
a) Se chove, então há nuvem. 
 Chove . 
 Há nuvem 
como também: p = “Pedro disse que João ama Maria”, q = “A porta está aberta”, 
convertendo-se no argumento 
b) Se Pedro disse que João ama Maria, então a porta está aberta. 
 Pedro disse que João ama Maria . 
 A porta está aberta 
Em a), os conteúdos parecem fornecerem subsídios para se aceitar a validade 
do argumento, mas, em b), os conteúdos já não exigem subsídios para se aceitar a 
validade do argumento. Entretanto, a estrutura do argumento é a mesma. Isto significa 
que, no que pese os conteúdos, a validade de um argumento não depende de tais 
conteúdos, mas unicamente da estrutura lógica do próprio argumento. Neste sentido, 
Nahra e Weber ensinam que “o que acontece no mundo não serve para invalidar uma 
necessidade que é lógica e não empírica” (1997, p. 60). 
Veja dois problemas matemáticos, ligados por certas semelhanças. Quando isto 
ocorre, você procurar resolver, primeiro, o mais simples e, apoiado em fatores 
heurísticos do primeiro, buscar resolver os demais. Aqui, você deverá resolver o 
primeiro problema e, apoiado no caminho que você percorreu,procurar resolver o 
segundo problema 
I - A soma de dois números é igual a 104. Sabendo que um é o trípulo do outro, 
quais são estes números? 
Você deve, primeiro, procurar entender o que lhe é oferecido como dados, 
como hipóteses, sem perder de vista, no entanto, o que é que o problema pede: “quais 
são estes números?”. Você deve observar que lhe são oferecidas duas premissas e, 
como você já aprendeu que as premissas de um argumento são ligadas por conjunções, 
Lição 1 acima, você deve tomar as informações contidas no enunciado do problema 
acima e “ligá-las” por conjunções. Aquilo que pede o problema, a solução deste, é a 
conclusão, a linha final de sua prova e que, pela Lição 2 acima, você deve tomar como 
conseqüência lógica das premissas, de modo que, se as premissas são verdadeiras, algo 
que você deve sempre assumir de imediato nos problemas das matemáticas, a conclusão 
corretamente obtida é necessariamente verdadeira. Ora, como premissas do problema 
acima, você dispõe de duas informações, de dois dados iniciais. Assim, o esquema 
lógico do problema assume a seguinte feição: 
Se ((1
a
. informação) e (2
a
. informação)), então (“x” e “y”) 
Ou seja: 
(p ^ q) → r 
Veja, então. 
Primeira informação: “a soma de dois números é 104”. O que isto quer dizer? 
Quer dizer que a adição de dois números resulta no número 104. Isto pode ser 
representado assim: x + y = 104. 
A segunda informação: “um número é o trípulo do outro”. O quer dizer? Quer 
dizer que o valor numérico de um dos números é três vezes o valor numérico do outro, o 
que pode ser assim representado: x = 3y. Dispondo as premissas, tem-se: 
(1) x + y = 104 
(2) x = 3y 
Este é o valor momentâneo de x. Substituindo o valor momentâneo de x na 
primeira equação e desenvolvendo-a, obtém-se: 
(3) (3y) + y = 104 
(4) 3y + y = 104 
(5) 4y = 104 
(6) y = 104/4 
(7) y = 26 
Agora que você obteve o valor numérico de y, deverá buscar determinar o 
valor numérico de x. Fará isto retornando à linha (2), onde x = 3y, operando: 
(8) x = 3(26) 
(9) x = 78 
Pronto, você encontrou, a partir de premissas e usando o esquema lógico da 
condicional, os valores de x e de y, sendo x = 78 e y = 26. Você pode verificar se são, 
de fato, estes os números procurados. Você fará isto substituindo, nas duas equações, x 
por 78 e y por 26. Veja a substituição na primeira equação: 
x + y = 104 
78 + 26 = 104 
Observe que deu certo. Ok, não é? Agora, veja a substituição na segunda 
equação: 
x = 3y 
78 = 3(26) 
78 = 78 
Confirmado, pois, que x é 78 e y é 26. Tarefa cumprida. 
Agora, examine o problema seguinte. 
II - Sabendo que a diferença do quadrado de dois números é 45 e que a 
diferença entre eles é 3, quais são estes números? 
Como lhe foi recomendado para resolução do primeiro problema, você deve, 
primeiro, procurar entender o que lhe é oferecido como dados, como hipóteses, sem 
perder de vista, no entanto, o que é que o problema pede: “quais são estes números?”. 
Você deve observar que lhe são oferecidas duas premissas e, como você já aprendeu 
que as premissas de um argumento são ligadas por conjunções, Lição 1 acima, você 
deve tomar as informações contidas no enunciado do problema acima e “ligá-las” por 
conjunções. Aquilo que pede o problema, a solução deste, é a conclusão, a linha final de 
sua prova e que, pela Lição 2 acima, você deve tomar como conseqüência lógica das 
premissas, de modo que, se as premissas são verdadeiras, a conclusão corretamente 
obtida é necessariamente verdadeira. Ora, como premissas do problema acima, você 
dispõe de duas informações, de dois dados iniciais. Assim, o esquema lógico do 
problema assume a seguinte feição: 
Se ((1
a
. informação) e (2
a
. informação)), então (“x” e “y”) 
Ou seja: 
(p ^ q) → r 
Veja, então. 
Primeira informação: “o somatório do quadrado de dois números é 45”. O que 
isto quer dizer? Quer dizer que a soma de dois números elevados ao quadrado é igual a 
45. Isto pode ser representado assim: x
2
 - y
2
 = 45. 
A segunda informação: “a diferença entre eles é 3”. O quer dizer? Quer dizer 
que subtraindo o menor número do maior ainda restam 3, ou seja: x – y = 3. 
Com esta interpretação do problema, você pode, agora, montar um sistema de 
segundo grau, a saber: 
(1)│x2 - y2 = 45 
(2)│x - y = 3 
Agora, você passará à resolução do sistema. Tome a segunda equação do 
sistema, x - y = 5, e efetue a propriedade de comutação, obtendo: 
(3) x = 3 + y. 
Este é, momentaneamente, o valor de x. O passo seguinte consiste em você 
substituir todas as ocorrências de x na primeira equação, x
2
 - y
2
 = 45, obtendo: 
(4) (3 - y)
2
 -
 
 y
2
 = 45 
Dando prosseguimento à demonstração: 
(5) 9 + 6y + y
2
 - y
2
 = 45 
(6) 9 + 6y = 45 
(7) 6y = 45 – 9 
(8) 6y = 36 
(9) y = 36/6 
(10) y = 6 
Pronto, agora que você já encontrou um dos números, y = 6, você retornará à 
equação x = y + 3 para determinar o valor de x, substituindo y por seu valor numérico, 
6. 
(11) x = y + 3 
(12) x = 6 + 3 
(13) x = 9 
Com este resultado, você resolveu o problema: encontrou os valores dos dois 
números que atendem às exigências do sistema acima formulado, pois (9
2
) = 81 e (6
2
) = 
36, ou seja, 81 – 36 = 45, de modo que (x2 + y2) = 45. No outro caso, (x - y) = 3, onde, 
substituindo os valores de x e de y, você obteve 9 – 6 = 3. 
9. Lógica e Matérias Textuais 
Agora, você irá estudar como a Lógica está presente na leitura de um texto e, 
portanto, nas disciplinas que exigem uma boa quantidade de leitura de textos 
acadêmico-científicos. 
Você deve ter em mente que, embora as matemáticas sejam, de fato, uma 
forma poderosa para demonstrações no âmbito da ciência, uma gama considerável da 
produção científica é efetivada e divulgada por meio de textos. Por isso seria um grande 
erro alguém ser levado a pensar que, por freqüentar um curso com elevada carga de 
cálculo, estaria livre da imperante necessidade de ter que saber ler outros textos 
acadêmicos. 
A primeira coisa que você deve ter em mente quando se depara com um texto 
acadêmico-científico é se perguntar qual a tese central, quais as idéias secundárias e 
quais os recursos de terceira mão ali presentes. Ora, como todo parágrafo contém estes 
três elementos, você deve procurar identificá-los à medida que progride sua leitura do 
texto. 
A tese central é a conclusão do argumento do escritor(a), as idéias secundárias 
são as premissas que apóiam a tese, a conclusão, e os exemplos são recursos de terceira 
categoria que almejam ilustrar didaticamente a argumentação. Por vezes, pessoas tão 
capazes e tão bem intencionadas como você se perdem justamente por se aterem 
demasiadamente a exemplos, imaginando que os exemplos se colocam no mesmo 
patamar da tese ou das premissas. Mas, você deve se lembrar que exemplos são recursos 
didáticos e visam facilitar a compreensão, não sendo relevantes para garantir que você 
consiga demonstrar aquilo que você queria demonstrar. 
Considere o texto abaixo. 
 Na vida em sociedade,o homem não é totalmente livre, embora disponha de uma 
certa liberdade. Mas mesmo esta liberdade só é possível no âmbito da esfera pública, 
uma vez que ela é a esfera própria do homem. É por isto que, no seio do 
neoliberalismo, onde o Estado estimula a privatização de instâncias antes públicas, a 
liberdade corre, ao contrário do que proferem as promessas neoliberais, grandes riscos 
de ser cerceada, quando não exterminada. Sob este aspecto, Hannah Arendt, filósofa 
judia-alemã, alerta que a redução da esfera pública implica na redução do espaço da 
liberdade e, consequentemente, na morte da política, uma vezque, na instância 
privada, não há espaço para a liberdade, mas para a hierarquia e para o exercício do 
poder vertical. Na esfera pública, a ação ocorre entre pares; na esfera privada, a ação 
é substituída pelas atividades do trabalho e do labor que impõem a hierarquia entre 
patrões, chefes e subalternos (SOARES, 2008, p. 32). 
O que é que o autor pretende que você aceite? Qual a tese central do texto? Eis 
as questões que você deve formular em primeira instância. A tese central é “A 
liberdade, mesmo a condicionada pela vida em sociedade, só é possível na esfera 
pública, entendida como esfera política”. Note que, no texto, a tese, a conclusão, não 
vem no final, como ocorre na estrutura formal e lógica do argumento. Aqui ela vem no 
início, mas poderia muito bem vir no meio ou mesmo no final do texto. 
Quais as razões ou premissas que o autor busca suscitar para fazer alguém, 
como você, aceitar a tese que ele profere? 
1. Contraposição entre a esfera pública e a esfera privada: 
 a) A esfera privada é caracaterizada como um local próprio de ocorrência 
do poder hierarquizado, o qual exige a existência de vários níveis de cargos-funções 
sobrepostos, requisitando a imperante necessidade de desiguais. 
 b) A esfera pública é caracterizada como o espaço próprio da existência 
de pares, de pessoas como os mesmo deveres e direitos, exercendo entre si o poder 
partilhado, o poder horizontal. 
2. Recorre a uma autoridade em Ciências Políticas, Hannah Arendt, a qual 
professa que a redução da esfera pública implica a redução do espaço da liberdade. 
O autor se serve de alguma ilustração (informações de terceira categoria)? Sim, 
quando cita que a proposta neoliberal de restringir as atividades fins do Estado, 
privatizando instâncias que outrora eram públicas, amplia a esfera privada. 
 
APRENDENDO COM A PRAÇA DO MERCADO 
Prof. Dr. Antônio Jorge Soares
1
 
 Sábado pela manhã, eu resolvi ir ao centro da cidade. Parece que todo mundo 
reserva a manhã do sábado para andar no comércio. Muita gente jovem transitando em 
grupos de amigos ou de familiares ou mesmo sós. Rostos alegres e expressões 
simpáticas. É o dia de exibição das formas, das pernas e das cores. 
 Não havia vaga para estacionar. Achei uma vaga em frente ao Conservatório de 
Música, nas proximidades da Faculdade de Enfermagem, ao lado do clube ACEU. 
Segui a pé pelas ruas em busca do epicentro do centro comercial. Ao passar pelo 
Mercado Central, situado por trás da Matriz, vi-me obrigado a cruzar a Praça do 
Mercado. Um grupo de mototaxistas olhava ansioso para os transeuntes em busca de 
um eventual cliente. De modo semelhante, os taxistas, posicionados no outro lado da 
Praça. Uma jovem, sentada num banco, aguardava pacientemente uma Van para viajar 
para um outro centro urbano. Outras pessoas, como eu, procuravam encurtar o 
caminho, passando pela Praça. Dois senhores, em trajes de camponeses rurais, 
conversavam, gesticulando meio desanimados. Um grupo de evangélicos, 
estrategicamente posicionado, fazia sermões, advertências e orações cristãs, utilizando 
um microfone e duas caixas de som. Por trás, a menos de dez metros, um sujeito, numa 
guitarra eletrônica, solava músicas românticas da década de setenta, acompanhado 
por um órgão eletrônico, diante de um tabuleiro de cds postos à venda. Um carro 
aberto, posicionado numa das pontas da Praça, exibia redes e também forros para 
bancos de automóveis. Um sujeito, empurrando um carrinho, passou, apressado, 
oferecendo o picolé de Caicó. 
 Acompanhei seus passos e vi que se dirigia ao ônibus da Nordeste do qual 
acabaram de desembarcar passageiros provenientes da capital. Uns sorriam e, antes de 
pegarem as bagagens, abraçavam-se a familiares; outros, abordados por taxistas e por 
mototaxistas, faziam suas escolhas; outros ainda, sem haver alguém a esperá-los, 
saiam a pé, geralmente conduzindo pouca bagagem, atravessando a Praça. 
 Foi assim, na minha efêmera vivência de transeunte da Praça do Mercado, que 
eu tomei consciência de que não há lugar mais vivido, mais visitado, mais transpassado 
e mais democraticamente partilhado e referenciado do que a praça. Foi aí que eu pude 
 
1. Docente do Departamento de Agrotecnologia e Ciências Sociais – UFERSA. 
entender a profundidade da máxima do poeta campinense Castro Alves, “A praça é 
[realmente] do povo”. 
Foi, então, entretanto, que eu passei a não entender uma coisa: como é que 
governantes, autodenominados porta-vozes dos anseios do povo, por decreto, 
determinam que as praças diante dos palácios dos governos não são mais do povo, mas 
áreas de segurança? 
Qual a tese central do texto, quais as idéias secundaria e quais as ilustrações 
contidas no texto autor? Eis o exercício final que você deve resolver. 
 
BIBLIOGRAFIA 
COPI, Irving Marmer. Introdução à Logica. 2 ed. São Paulo: Mestre Jou, 1978. 
HEGENBERG, Leônidas. Lógica: simbolização e dedução. São Paulo: EPU/Edusp, 
1975. 
MENDELSON, Elliot. Introduction to Mathematical Logic. New York: D. Van 
Nostrand Co., 1964. 
NAHRA, Cinara e WEBER, Ivan Hingo. Através da Lógica. 3 ed. Rio de Janeiro: 
Vozes, 1997. 
SALMON, Wesley C. Lógica. 5 ed. Rio de Janeiro: Zahar, 1981. 
SOARES, Antônio Jorge. Aprendendo com a praça do mercado. Mossoró, 2008 (Texto 
inédito). 
SOARES, Antônio Jorge. Uma concepção de meio ambiente. In: Direito e liberdade. 
(Revista da Escola de Magistratura do RN), v.8, n.2, pp. 27-39, 2008.