UVB - aula03 - Capitalização Composta

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21Faculdade On-Line UVBFaculdade On-Line UVB
Anotações do Aluno
Aula Nº 3 – Capitalização Aula Nº 3 – Capitalização 
CompostaComposta
Objetivos desta AulaObjetivos desta Aula
Nas duas primeiras aulas, vimos os principais conceitos de Matemática 
Financeira e algumas aplicações em capitalização simples. O objetivo 
desta aula é demonstrar a dedução da fórmula de juros compostos e de 
equivalência de taxas.
Ao fi nal desta aula, você deverá ser capaz de calcular juros, montante, valor 
presente e comparar taxas de juros.
1. Cálculo do Montante ou Valor Futuro1. Cálculo do Montante ou Valor Futuro
Fórmula de juros compostos
 n 
VF = VP . (1 + i) 
Um empréstimo de R$ 2.000,00 foi concedido pelo prazo de 6 meses à 
taxa de 2% ao mês, qual o valor que deverá ser pago pelo devedor ao 
credor no fi nal desse prazo?
Dados:Dados:
n = 6 meses
i = 2% ao mês
VP = R$ 2.000,00
VF = ?
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22Faculdade On-Line UVBFaculdade On-Line UVB
Anotações do Aluno
Solução:Solução:
VF = VP . (1 + i)n
VF = 2.000 . (1 + 0,02)6
VF = 2.000 . 1,026
VF = 2.000 . 1,126162
VF = 2.252,32
HP-12CHP-12C
 
n FV i 
- 2.252,32 
2 
PV 
VISOR 6 
2.000 6 
2.000 
PMT 
2 
DADOS 
Entrando com o valor presente (PV) positivo, o valor futuro (FV) será 
negativo, ou seja, se o banco recebe hoje R$ 2.000,00 e promete juros de 
2% ao mês, após seis meses deverá desembolsar R$ 2.252,32.
2. Cálculo do Capital Inicial ou Valor Presente2. Cálculo do Capital Inicial ou Valor Presente
Calcular o valor de uma aplicação a juros compostos de 3% ao mês, que, 
em 3 meses, acumulou um montante de R$ 20.000.
Dados:Dados:
n = 3 meses
VF = r$ 20.000
VP = ?
i = 3% ao mês
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23Faculdade On-Line UVBFaculdade On-Line UVB
Anotações do Aluno
VF = VP . (1 + i)n
20.000 = VP . (1 + 0,03)3
20.000 = VP . 1,033
20.000 = VP . 1,092727
VP = 20.000
 1,092727
VP = 18.302,83
 HP-12C 
n FV i 
3 20.000 
3 
PV 
VISOR 3 
20.000 3 
-18.302,83 
PMT 
DADOS 
Após entrarmos com todos os dados do problema na calculadora, teclamos 
PV e o resultado no visor é negativo em 18.302,83. Isso signifi ca que houve 
um desembolso nesse valor que proporcionará um valor futuro de R$ 
20.000,00.
3. Cálculo da taxa3. Cálculo da taxa
Qual a taxa mensal de juros compostos que proporciona um rendimento 
de R$ 1.500,00 para uma aplicação de R$ 15.000,00 durante o prazo de 12 
meses?
Dados:Dados:
VP = R$ 15.000,00
J = R$ 1.500,00
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24Faculdade On-Line UVBFaculdade On-Line UVB
Anotações do Aluno
n = 12 meses
VF = R$ 16.500,00
i = ?
HP-12C 
n FV i 
12 16.500 15.000 
PV 
VISOR 12 15.000 - 16.500 0,7974 
CHS PMT 
Os dados podem ser colocados em qualquer ordem na calculadora, 
no entanto o Valor Presente (PV) e o Valor Futuro (FV) devem ter sinais 
contrários, ou seja, se um é positivo, o outro deve ser negativo. Isso porque, 
em toda operação fi nanceira, há uma saída inicial de caixa (desembolso) 
e uma entrada futura de caixa (recebimento) ou vice-versa. A tecla CHS é 
utilizada para inverter o sinal de um número. Por ex.: Se teclarmos 16.500 
CHS FV, o visor mostrará – 16.500.
4. Equivalência de Taxas4. Equivalência de Taxas
Duas taxas de juros compostos são equivalentes quando aplicadas a um 
mesmo capital, durante o mesmo período de tempo, produzem o mesmo 
montante.
Se temos a taxa de juros mensal e queremos calcular a taxa anual:
VP . (1 + im)¹² = VP . (1 + ia)¹
 VP (1 + im)¹² = 1 + ia 
 VP 
(1 + im)¹² = 1 + ia 
(1 + im)¹² - 1 = ia 
 
Portanto: 
ia = (1 + im)¹² - 1 
 Em que: im = taxa mensal de juros 
 ia = taxa de juros anual
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25Faculdade On-Line UVBFaculdade On-Line UVB
Anotações do Aluno
Se temos a taxa de juros anual e queremos calcular a taxa mensal:
VP . (1 + im)¹² = VP . (1 + ia)¹
 (1 + im)¹² = VP . ( 1 + ia) 
 VP 
(1 + im)¹² = (1 + ia) 
¹²√(1 + im)¹² = ¹² √(1+ ia) 
Portanto: 
1 + im = ¹² √(1+ ia) 
 
im = ¹² √(1+ ia) - 1 ou im = (1 + ia) - 1 1/12 
Equivalência de TaxasEquivalência de Taxas
Fórmula Geral: Muitas vezes, a taxa de juros precisa ser convertida de 
mensal para trimestral, ou de mensal para diária, e assim por diante. Para 
facilitar a conversão em qualquer unidade de tempo, usamos a seguinte 
fórmula:
iq = (1 + it) - 1
em que:
iq - é a taxa que queremos encontrar.
it - é a taxa que temos.
q - é o prazo da taxa que queremos.
t - é o prazo da taxa que temos.
Exemplo 1Exemplo 1
Qual a taxa trimestral equivalente a 1,5% ao mês?
A taxa que queremos encontrar é a trimestral.
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Anotações do Aluno
A taxa que temos é a mensal.
O prazo da taxa que queremos encontrar é de 3 meses (1 trimestre).
O prazo da taxa que temos é de 1 mês.
iq = (1 + it) - 1
iq = (1 + 0,015) - 1
iq = (1,015) - 1
 HP-12C 
1,015 ENTER 
3 y x 
1 - 
100 X 
VISOR 4,5678 
A taxa trimestral equivalente a 1,5% ao mês é de 4,5678%.
Exemplo 2Exemplo 2
Qual a taxa mensal equivalente a 20% ao semestre?
A taxa que queremos encontrar é a de um mês.
A taxa que temos é a de seis meses.
O prazo da taxa que queremos encontrar é de 1 mês.
O prazo da taxa que temos é de seis meses.
iq = (1 + it) - 1
iq = (1 + 0,20) - 1
iq = (1,20) - 1
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27Faculdade On-Line UVBFaculdade On-Line UVB
Anotações do Aluno
 
HP-12C 
1,20 ENTER 
6 1/x 
1 - 
100 X 
VISOR 
y x 
A taxa mensal equivalente a 20% ao semestre é de 3,0853%.
Exemplo 3Exemplo 3
Qual a taxa de juros diária equivalente a 9% ao mês?
A taxa que queremos encontrar é a de um dia.
A taxa que temos é a de 30 dias.
O prazo da taxa que queremos encontrar é de 1 dia.
O prazo da taxa que temos é de 30 dias.
iq = (1 + it) - 1
iq = (1 + 0,09) - 1
iq = (1,09) - 1
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28Faculdade On-Line UVBFaculdade On-Line UVB
Anotações do Aluno
 
 
HP-12C 
1,09 ENTER 
30 1/x 
1 - 
100 X 
VISOR 0,2877 
y x 
Exemplo 4Exemplo 4
Uma pessoa aplicou em CDB (Certifi cado de Depósito Bancário) comprazo de 95 dias e o Banco informou que a remuneração seria de 30% 
ao ano, qual a taxa de rendimento dessa aplicação?A taxa que queremos 
encontrar é a de 95 dias.
A taxa que temos é a de 30% para 365 dias.
O prazo da taxa que queremos encontrar é de 95 dias.
O prazo da taxa que temos é de 365 dias.
iq = (1 + it) - 1
iq = (1 + 0,30) - 1
iq = (1,30) - 1
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29Faculdade On-Line UVBFaculdade On-Line UVB
Anotações do Aluno
 
HP-12C 
1,30 ENTER 
365 1/x 
1 - 
100 X 
VISOR 7,0672 
y x 
y x 95 
Exemplo de Problema envolvendo equivalência de taxasExemplo de Problema envolvendo equivalência de taxas
Qual a taxa mensal de juros necessária para um capital de R$ 2.500,00 
produzir um montante de R$ 4.489,64, durante um ano?
DADOS:DADOS:
VP = 2.500,00
VF = 4.489,64
n = 1 ano
i = ?
VF = VP . (1 + i)n
4.489,64 = 2.500,00 . (1 + i)1
4.489,64 = 1+ i
2.500,00
1,7959 – 1 = i
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30Faculdade On-Line UVBFaculdade On-Line UVB
Anotações do Aluno
0,7959 = i
i = 79,59% ao ano
Qual a taxa mensal equivalente a 79,59% ao ano?
iq = (1 + it) q/t - 1
iq = (1 + 0,7959)1/12 - 1
iq = (1,7959)1/12 - 1
 
 
HP-12C 
1,7959 ENTER 
12 1/x 
1 - 
100 X 
VISOR 5,00 
y x 
Exercícios:Exercícios:
1) João quer antecipar sua dívida no valor de R$ 990,75 com 
vencimento de hoje a 85 dias, contraída com uma taxa de juros compostos 
de 9% ao trimestre. Determinar o valor a ser liquidado na data de hoje.
2) João quer antecipar sua dívida no valor de R$ 990,75 com 
vencimento de hoje a 85 dias, contraída com uma taxa de juros compostos 
de 9% ao trimestre. Determinar o valor a ser liquidado na data de hoje.
3) Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 36.750,00 feita em 
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31Faculdade On-Line UVBFaculdade On-Line UVB
Anotações do Aluno
05/03/05 e resgatada em 30/01/06, com uma taxa de juros compostos de 
12,25% ao trimestre?
4) Calcular o montante de uma aplicação de R$ 15.000,00 com a taxa 
de juros de 2,5% ao mês para um período de 15 meses.
5) Qual a taxa mensal de juros necessária para um capital de R$ 
3.500,00 produzir um montante de R$ 5.564,25 durante 18 meses?
6) Durante quanto tempo uma aplicação de R$ 16.562,74 produz um 
montante de R$ 25.563,35 com uma taxa de 0,75% ao mês.
SínteseSíntese
Nesta aula, estudamos os conceitos de capitalização composta, a dedução 
da fórmula do montante, como usar a calculadora fi nanceira para a 
solução de problemas. Estudamos, também, um ponto de fundamental 
importância para a solução de problemas fi nanceiros: a equivalência de 
taxas de juros.
Referências BibliográficasReferências Bibliográficas
BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática Financeira Aplicada. São Paulo:
Thomson-Pioneira, 2002.
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira – Aplicações à Análise de 
Investimentos. 3.ed. São Paulo: Prentice Hall, 2002.