Relatório_Filtro_PassaTudo

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1. INTRODUÇÃO	
Os filtros passa-tudo consistem em sistemas onde sinais de todas as frequências que entram no circuito, são transmitidos para a saída, porém com uma mudança de fase.
Geralmente estes filtros são utilizados quando é necessário realizar alguma correção de fase.
Se, por exemplo, um circuito possui vários estágios de amplificação de sinal, que acabam por causar mudanças de fase no sinal, pode-se colocar um filtro passa-tudo na saída, para realizar o ajuste de fase do sinal.
FILTRO PASSA-TUDO DE PRIMEIRA ORDEM
O livro Continous Signal and Systems, de Teaan AlAli e Mohammad A. Karim, apresenta uma topologia para um filtro All-pass, onde é aplicado apenas um elemento armazenador de energia, em associação com resistores. A topologia sugerida no livro é apresentada abaixo.
Figura 1: Passa-Tudo com atenuação.
Fonte: Continous Signal and Systems.
2.1 Função de Transferência
Para obtermos a função de transferência do filtro, vamos partir do circuito equivalente da figura 2 e determinar Vo(s)/Vi(s), onde Vo(s) = V1 – V2.
Figura 2: Passa-Tudo.
Fonte: Autor.
Passando para o domínio das frequências complexas, temos que:
Considerando R1 = R2 = R3 = R, a tensão V1 fica:
Já para V2, o capacitor fica representado por 1/(sC) e temos a seguinte equação:
Equacionando V1 – V2, a tensão Vo(s) pode ser obtida:
Dividindo tudo por CR:
Com a função de transferência determinada, é possível determinar os polos e zeros:
Zero: 
Polo:
Concluímos que o módulo do zero obtido é igual ao módulo do polo obtido. Resultando no diagrama de polos e zeros que pode ser visto na figura 3.
Figura 3: Polo e zero do circuito passa-tudo de peimeira ordem.
Agora precisamos arbitrar algumas condições do circuito. Vamos determinar que a mudança de fase deve ocorrer na frequência de 1kHz. Em radianos por segundo, w0 = 1000 x 2 x 𝛑 = 6283 rad/s.
Ficaremos então com duas variáveis, sendo elas o valor do capacitor e do resistor. Vamos considerar então o resistor com o valor de 1,0 ohm. Podemos assim, calcular o valor do capacitor:
Assim, com os valores dos componentes definidos, a função de transferência do circuito fica assim:
A partir da função de transferência, é possível realizar os cálculos para determinar o ganho do circuito:
Como o polo e o zero tem mesmo módulo, para todas as frequências a magnitude será de: 20xlog(0,5) bB, ou seja -6,02dB.
Também podemos fazer uma análise matemática em relação à resposta em frequência da fase do sinal de saída em relação ao sinal de entrada.
 
Substituindo Z e P temos:
Dessa forma, é possível calcular a fase em um range de frequências e construir uma tabela da resposta de fase do circuito.
Tabela 1: Fase para diferentes frequências.
	Frequência [Hz]
	Frequência [rad/s]
	Fase [°]
	10
	62,83
	-1,15
	100
	628,3
	-11,42
	500
	3142
	-53,13
	1000
	6283
	-90
	5000
	31415
	-157,4
	100k
	628300
	-178,9
	10M
	62,83x106
	-180
A figura 4 mostra o circuito com os valores definidos, para w0 = 1000 hertz.
Figura 4: Circuito defasador para frequência de 1kHz.
Diagrama de Bode
Nas figuras 5 e 6 podem ser vistos os gráficos de Ganho[dB] x Frequência[Hz] e de Fase[°] x Frequência[Hz] da resposta em frequência do circuito proposto.
Figura 5: Diagrama de Bode do Ganho x Frequência.
Como esperado a partir da equação da magnitude, o Ganho do circuito apresenta uma atenuação constante de 6dB, para todas as frequências. Isso ocorre devido ao divisor resistivo do circuito.
Figura 6: Diagrama de Bode da Fase x Frequência.
No diagrama de Bode da Fase x Frequência, é possível verificar que a defasagem da saída em relação à entrada, muda de acordo com a frequência do sinal. Como era esperado, em 1kHz a defasagem é de 90°.
Simulação no Matlab
Para verificação da resposta do circuito, também foi feito o experimento através do Matlab, a partir da função de transferência obtida anteriormente.
O código implementado foi o seguinte:
% Início
s=tf('s');
% Atribuição de valores
R = 1;
C = 159.15E-6;
% Função de Transferência
H = (-s+1/(C*R))/(2*(s+(1/(C*R))));
grid on;
% Plotar Diagrama de Bode
bode(H)
% Fim
Figura 7: Resposta obtida no Matlab.
Simulação no LTSpice
Figura 8: Circuito simulado no LTSpice.
Figura 9: Resposta em frequência do circuito passa-tudo com atenuação.
A simulação realizada no LTSpice para um range de frequência entre 1Hz e 10MHz, é compatível com os resultados obtidos anteriormente. É possível visualizar a atenuação constante de 6dB e também o comportamento da fase, onde a defasagem de 90° ocorre em 1kHz, como era esperado.
Simulação no Multisim
Através do Multisim, foram realizadas simulações com diferentes frequências para o sinal de entrada a fim de se observar o comportamento da defasagem entre os sinais de entrada e de saída.
Figura 10: Sinais de entrada e saída. Frequência de entrada de 10Hz.
Figura 11: Sinais de entrada e saída. Frequência de entrada de 200Hz.
Figura 12: Sinais de entrada e saída. Frequência de entrada de 1kHz.
Figura 13: Sinais de entrada e saída. Frequência de entrada de 5kHz.
Figura 14: Sinais de entrada e saída. Frequência de entrada de 100kHz.
Figura 15: Sinais de entrada e saída. Frequência de entrada de 100MHz.
Com a simulação realizada no Multisim, fica muito fácil observar o comportamento da amplitude entre os sinais de entrada e saída. Para todas as frequências, o sinal de saída fica com a metade da amplitude do sinal de entrada.
Igualmente, o comportamento da diferença de fase entre os sinais também é facilmente observada. Em frequências muito abaixo de 1kHz, a defasagem é próxima a zero. A medida que a frequência do sinal de entrada é aumentada, a defasagem também aumenta, atingindo 90° para a frequência de 1kHz. A defasagem continua aumentando com o aumento da frequência, até chegar-se a uma diferença de fase de 180° entre o sinal de saída e o sinal de entrada.