Exercícios - Series de Fourrier (com respostas)

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UEM-CCE-DMA- 5279- T1 E T2- CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III/2014. 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS SOBRE SÉRIES DE FOURIER 
 
1. Obtenha a série de Fourier para cada uma das seguintes funções. Suponha que as funções 
tenham extensões periódicas fora do intervalo original. 
a) 1, 1 0( )
1, 0 1
xf x
x
− − ≤ <
=  ≤ <
 b) 0, 0( )
, 0
xf x
x x
pi
pi
− ≤ <
=  ≤ <
 
c) ( ) , 1 1f x x x= − ≤ ≤ d) 2( ) senf x x xpi pi= − ≤ ≤ 
e)
1, 2 0
( ) 0, 0 1
1, 1 2
x
f x x
x
− ≤ <

= ≤ <
 ≤ <
 f) , 0( )
, 0
l x l xf x
l x x l
+ − ≤ <
= 
− ≤ <
 
g) 2( ) , 1 1f x x x= − ≤ ≤ h) 
0, 2
( ) 1, 2 2
0, 2
x
f x x
x
pi pi
pi pi
pi pi
− ≤ < −

= − ≤ <
 ≤ <
 
i) 2
0, 1 0
( )
, 0 1
xf x
x x
− ≤ <
= 
≤ <
. 
 
2. Verifique se cada função dada abaixo é par, ímpar ou nenhum dos dois: 
a) 5x b) 3 2x x− c) 3 2 6x x− + d) tan 2x e) sec x f) xe 
g) 3x h) sen x i) ( )432x x− . 
 
3. Em cada item abaixo ache a série de Fourier exigida para a função dada e faça o gráfico da 
função, para que seja par ou ímpar, sobre dois períodos simétricos, a fim de que a série 
convirja sobre esses dois períodos: 
a) 1, 0 1( ) série de co-senos, período 4.
0, 1 2
xf x
x
< <
=  ≤ ≤
 
b) , 0 1( ) série de senos, período 4.
1, 1 2
x xf x
x
≤ <
=  ≤ <
 
c) ( ) 1, 0 , série de co-senos, período 2 .f x x pi pi= ≤ ≤ 
d) ( ) 1, 0 , série de senos, período 2 .f x x pi pi= < < 
e) 
0, 0
( ) 1, 2 série de senos, período 6
2, 2 3
x
f x x
x
pi
pi pi pi
pi pi
< <

= ≤ <
 ≤ ≤
. 
f) ( ) , 0 1, série de senos, período 2.f x x x= ≤ < 
g) ( ) , 0 , série de co-senos, período 2 .f x l x x l l= − ≤ < 
h) ( ) , 0 , série de senos, período 2 .f x l x x l l= − ≤ < 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
 
1 a) ( )
1
sen 2 14( )
2 1
n
n xf x
n
pi
pi
∞
=
−
=
−
∑ ; 
 b) ( ) ( )
( )
2
1
12( ) cos 2 1 sen
4 2 1
n
n
f x n x nx
nn
pi
pi
∞
=
 
−
 = − − +
 
− 
∑ 
c) 
1
2 sen( )
n
n xf x
n
pi
pi
∞
=
= ∑ 
d) 1 1( ) cos 2
2 2
f x x= − 
e) 
1
3 1( ) sen cos 1 cos sen
4 2 2 2 2
n
n n x n n xf x pi pi pi pi
pi
∞
=
  
= − + −  
  
∑ 
 
f) ( )
( )
2 2
1
2 14 1( ) cos
2 2 1n
n xl lf x
ln
pi
pi
∞
=
−
= +
−
∑ 
g) 
1
2 2
1
2 4 ( 1)( ) cos
3
n
n
f x n x
n
pi
pi
+∞
=
−
= + ∑ 
h) 
1
1
1 2 ( 1)( ) cos(2 1)
2 2 1
n
n
f x n x
npi
−∞
=
−
= + −
−
∑ 
i) [ ]0
1
( ) cos sen
2 n n
n
af x a n x b n xpi pi
∞
=
= − +∑ ; 
 
1
0 3 2 22 2
1/ , par2( 1)
, ,
(1/ ) (4 / ), ímpar
n
n n
n n
a a b
n n nn
pi
pi pipi
−
− 
= = = 
−
 
 
 
 
2. a) ímpar b) ímpar c) nenhum dos dois d) ímpar e)par f) nenhum 
dos dois g) par h) par i) par. 
 
 
 
3 a) ( ) ( )
1
1
1 2 11 2( ) cos
2 2 1 2
n
n
n xf x
n
pi
pi
−∞
=
− −
= +
−
∑ 
b) 
1
2 2( ) cos sen sen
2 2
n
n n xf x n
n n
pi pi
pi
pi pi
∞
=
  
= − +  
  
∑ 
c) ( ) 1f x = 
d) ( )
1
sen 2 14( )
2 1
n
n xf x
npi
∞
=
−
=
−
∑ 
e) 
1
2 2( ) cos cos 2cos sen
3 3 3
n
n n nxf x n
n
pi pi
pi
pi
∞
=
  
= + −  
  
∑ 
f) 
1
1 1 sen 2( )
2
n
n xf x
n
pi
pi
∞
=
= − ∑ 
g) ( )
( )
2 2
1
2 14 1( ) cos
2 2 1n
n xl lf x
ln
pi
pi
∞
=
−
= +
−
∑ 
h) 
1
2 1( ) sen
n
l n xf x
n l
pi
pi
∞
=
= ∑ . 
 
 
 
ALGUMAS INFORMAÇÕES SOBRE SÉRIES DE FOURIER ESPECIAIS 
 
Seja f um função originalmente definida em [0, ]l . Foi mostrado que é possível representar f ou 
por uma série de senos ou por uma série de co-senos (vide exercícios 3). Apresentamos resultados 
que garantiam que isso é possível por construção de extensões periódicas ímpares ou pares de f , 
respectivamente. 
 
Os resultados abaixo tratam de algumas séries de Fourier especializadas que convergem para a 
função dada f em (0, ).l 
 
 
 
I. Dada uma função f integrável em um intervalo [0, ]l . Estenda a função f , de modo 
arbitrário, ao intervalo ( , 2 ]l l .Então, estenda a função resultante em [ 2 , 0)l− de modo 
que a resultante seja uma função ímpar em [ 2 , 2 ]l l− , e depois estenda a função obtida 
em todos os outros pontos, como uma função periódica de período 4 .l (Veja figura 
abaixo). Então, esta função tem uma série de Fourier de senos em termos das funções 
( )sen / 2 , 1, 2,3, .n x l npi = … ou seja 
( )
1
( ) sen / 2n
n
f x b n x lpi
∞
=
= ∑ , onde 
2
0
1 ( )sen .
2
l
n
n xb f x dx
l l
pi
= ∫ Esta série converge 
para a função original em (0, ).l 
 
 
 
 
 
 
II. Dada uma função f integrável em um intervalo [0, ]l . Estenda a função f ao intervalo 
( , 2 ]l l , de modo que ela seja simétrica em torno da reta x l= ; isto é, de modo a 
satisfazer (2 ) ( ) para 0 .f l x f x x l− = ≤ < Então, estenda a função resultante em 
[ 2 , 0)l− de modo que a resultante seja uma função ímpar em [ 2 , 2 ]l l− , e depois estenda 
a função obtida em todos os outros pontos, como uma função periódica de período 4 .l 
(Veja figura abaixo). Então, esta função tem uma série de Fourier em termos das 
funções ( ) ( ) ( )sen / 2 , sen 3 / 2 , sen 5 / 2 , ;x l x l x lpi pi pi … ou seja 
1
(2 1)( ) sen ,
2n
n
n xf x b
l
pi∞
=
−
= ∑ onde 0
2 (2 1)( )sen .
2
l
n
n xb f x dx
l l
pi−
= ∫ 
 
Esta série converge para a função original em (0, ).l 
 
 
 
 
 
III. Dada uma função f integrável em um intervalo [0, ]l . Estenda a função f , de modo 
arbitrário, ao intervalo ( , 2 ]l l .Então, estenda a função resultante em [ 2 , 0)l− de modo 
que a resultante seja uma função par em [ 2 , 2 ]l l− , e depois estenda a função obtida em 
todos os outros pontos, como uma função periódica de período 4 .l (Veja figura abaixo). 
Então, esta função tem uma série de Fourier de co-senos em termos das funções 
( )cos / 2 , 0,1, 2,3, .n x l npi = … ou seja 
( )0
1
( ) cos / 2
2 n
n
af x a n x lpi
∞
=
= +∑ , onde 
2
0
1 ( )cos ; 0,1, 2,3,
2
l
n
n x
a f x dx n
l l
pi
= =∫ … 
Esta série converge para a função original em (0, ).l 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
l 2 l – l –2 l 
x 
y 
IV. Dada uma função f integrável em um intervalo [0, ]l . Estenda a função f ao intervalo 
( , 2 ]l l , de modo que ela seja antissimétrica em torno da reta x l= ; isto é, de modo a 
satisfazer (2 ) ( ) para 0 .f l x f x x l− = − ≤ < Então, estenda a função resultante em 
[ 2 , 0)l− de modo que a resultante seja uma função par em [ 2 , 2 ]l l− , e depois estenda a 
função obtida em todos os outros pontos, como uma função periódica de período 4 .l 
(Veja figura abaixo). Então, esta função tem uma série de Fourier em termos das 
funções ( ) ( ) ( )cos / 2 , cos 3 / 2 , cos 5 / 2 , ;x l x l x lpi pi pi … ou seja 
 
 
0
1
(2 1)( ) cos ,
2 2n
n
a n xf x a
l
pi∞
=
−
= +∑ 
 
onde 0 0
2 ( )la f x dx
l
= ∫ , 0
2 (2 1)( )cos ; 1,2,3,...
2
l
n
n x
a f x dx n
l l
pi−
= =∫ 
 
Esta série converge para a função original em (0, ).ll 2 l – l –2 l 
x 
y