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MÉTODOS ESTATÍSTICOS II
3a Prova Presencial - 2o. semestre de 2010
Profa. Ana Maria Farias
1. O rótulo de uma embalagem de pó de café indica que o conteúdo é de 1000 gramas. Suponha
que a linha de produção encha as embalagens de forma que o peso tenha a seguinte densidade
de probabilidade:
Figura 1: Função de densidade f(x) para o peso das embalagens de café - Questão 1
(a) (0,5 ponto) Determine o valor de k para que f(x) seja uma função de densidade.
Solução
Temos que ter k ≥ 0 e a área sob a reta deve ser 1. Logo, k = 1/60 e, portanto, a função
de densidade é
f(x) =
½
1
60 se 990 ≤ x ≤ 1050
0 se x < 990 ou x > 1050
(b) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade de que uma embalagem tenha peso superior a 1040
gramas?
Solução
A probabilidade pedida é a área de um retângulo de base 1050− 1040 e altura 160 . Logo
P (X > 1040) =
1
6
(c) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade de que uma embalagem tenha peso inferior a 995
gramas?
Solução
A probabilidade pedida é a área de um retângulo de base 995− 990 e altura 160 . Logo
P (X < 995) =
5
60
=
1
12
2. Os valores anuais das vendas num grande escritório imobiliário podem ser aproximados por
uma distribuição normal com média de 90 unidades monetárias (u.m.) e desvio padrão de 20
u.m..
1
(a) (0,5 ponto) Os corretores que acumularem vendas superiores a 110 u.m. recebem uma
comissão especial ao final do ano. Que percentual de corretores receberá essa comissão
especial?
Solução
Seja V o valor das vendas. Então, V ∼ N(90; 202).O problema pede
Pr(V > 110) = Pr
µ
Z >
110− 90
20
¶
= Pr(Z > 1) = 0, 5−tab(1) = 0, 5−0, 34134 = 0, 15866
15,87% dos corretores receberão acomissão especial.
(b) (0,5 ponto) Os corretores que acumularem vendas inferiores a 44 u.m. receberão uma
advertência. Que percentual de corretores receberá advertência?
Solução
Pr(V < 44) = Pr
µ
Z <
44− 90
20
¶
= Pr(Z < −2, 3) = Pr(Z > 2, 3) =
= 0, 5− tab(2, 3) = 0, 5− 0, 48928 = 0, 01072
1,07% dos corretores receberão advertência.
(c) (0,5 ponto) Sabendo-se que um corretor não recebeu comissão especial, qual é a prob-
abilidade de que ele tenha recebido advertência?
Solução
Pr(V < 44 | V ≤ 110) = Pr(V < 44)
Pr(V ≤ 110) =
0.01072
1− 0.15866 = 0, 012742
Note que {V < 44} ∩ {V ≤ 110} = {V < 44}
3. Consulte a tabela da distribuição t de student para responder às perguntas seguintes.
(a) (0,5 ponto) Na distribuição t(10) encontre a abscissa t10;0,05.
Solução
Como o número de graus de liberdade é 10, temos que nos concentrar na linha correspon-
dente a gl = 10. A abscissa t0,05 deixa área 0,05 acima dela; assim, temos que olhar a
coluna referente a α = 0, 05; Logo, t10;0,05 = 1, 812
(b) (0,5 ponto) Na distribuição t(18) encontre a abscissa t tal que Pr(t(18) < t) = 0, 10.
Solução
Pela simetria da densidade t, Pr(t(18) < t) = Pr(t(18) > −t). Assim, t = −t18;0,10 =
−1, 33
(c) (0,5 ponto) Na distribuição t(12) encontre a abscissa t tal que Pr(|t(12)| ≤ t) = 0, 90.
Solução
Das propriedades da função módulo e da simetria da densidade t resultam as seguintes
2
equivalências
Pr(|t(12)| ≤ t) = 0, 90⇐⇒
Pr(−t ≤ t(12) ≤ t) = 0, 90⇐⇒
Pr(−t ≤ t(12) < 0) + Pr(0 ≤ t(12) ≤ t) = 0, 90⇐⇒
2× Pr(0 ≤ t(12) ≤ t) = 0, 90⇐⇒
Pr(0 ≤ t(12) ≤ t) = 0, 45⇐⇒
Pr(t(12) > t) = 0, 05⇐⇒
t = 1, 782
4. De uma população normal com desvio padrão 2, extrai-se uma amostra de tamanho 36 com o
objetivo de testar
H0 : μ = 8
H1 : μ < 8
(a) (1,0 ponto) Estabeleça a regra de decisão para um nível de significância de 5%.
Solução
α = 5%, teste unilateral: z0,05 = 1, 64 e a regra de decisão é rejeitar H0 se
X − 8
2√
36
< −1, 64⇐⇒ X < 8− 1.64× 2
6
= 7, 4533
(b) (0,5 ponto) Se a média amostral é 7,2 estabeleça a conclusão.
Solução
O valor observado da estatística de teste é
7.2− 8
2
6
= −2, 40 < −1, 64
Como o valor observado da estatística de teste ou da média está na região crítica (2, 4 <
−1, 64 ou 7, 2 < 7, 4533), devemos rejeitar a hipótese nula, ou seja, as evidências amostrais
indicam que a média é menor que 8.
(c) (0,5 ponto) Calcule o valor P.
Solução
Como o valor observado da estatística é −2, 4 e o teste é unilateral, o valor P é
Pr(Z ≤ −2, 4) = Pr(Z ≥ 2, 4) = 0, 5− tab(2, 4) = 0.5− 0.4918 = 0, 0082
e, portanto, rejeitamos a hipótese nula a qualquer nível de significância α ≥ 0, 0082 ( o
que inclui o nível de 5%). Em termos da média amostral:
Pr(X ≤ 7, 4533) = Pr
Ã
Z ≤ 7.2− 82
6
!
= Pr(Z ≤ −2, 4) = 0, 0082
3
(d) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade β de se tomar uma decisão errada se, na realidade,
a média populacional for μ = 7, 8?
Solução
Se μ = 7, 8, decisão errada equivale a aceitar a hipótese nula. Essa probabilidade é
Pr
∙
X ≥ 7, 4533 |X ∼ N
µ
7, 8;
4
36
¶¸
= Pr
µ
Z ≥ 7.4533− 7.8
0.4
¶
= Pr(Z ≥ −0.87) = 0, 5+tab(0, 87) =
5. (1,0 pontos) Calcule o tamanho da amostra necessário para se obter um intervalo de confiança
de 90% para uma proporção populacional com erro máximo de 8%, sabendo que a proporção
populacional é de, no máximo, 30%.
(a) Solução
1− α = 0, 90 =⇒ z0,05 = 1, 64
Com a informação dada, trabalhamos com o pior caso que é 0,30
0, 08 = 1, 64×
r
0, 3× 0, 7
n
=⇒ n ≥ 89
6. (2,0 pontos) Uma indústria farmacêutica lança um novo remédio para dor de cabeça, afir-
mando que o mesmo leva menos de 5 minutos para fazer efeito. Uma amostra de 9 sujeitos,
tomados aleatoriamente, acusou uma média de 4,8 minutos e desvio padrão de 1,2 minutos.
Com 5% de siginificância, teste a alegação do fabricante. Certifique-se de explicitar todas
etapas do procedimento de teste de hipótese, indicando as suposições feitas.
Solução
Temos que supor que o tempo de atuação possa ser aproximado por uma distribuição normal
N(μ;σ2). A alegação do fabricante é que μ < 5.Logo, nossas hipóteses são
H0 : μ = 5
H1 : μ < 5
e a estatística de teste é T0 =
√
9
X − 5
1, 2
∼ t(n− 1).
A abscissa da distribuição t de Student com 8 graus de liberdade que deixa 5% na cauda
inferior é t8;0,95 = −1, 86 e, portanto, a regra de decisão é rejeitar H0 se T0 < −1, 86. O valor
observado da estatística de teste é
t0 =
√
9× 4, 8− 5
1, 2
= −0, 5
Logo, não rejeitamos a hipótese nula, ou seja, os dados indicam que a alegação do fabricante
não é verdadeira, ou seja, o medicamento leva 5 minutos ou mais para começar a fazer efeito.
Resultados importantes e fórmulas
X ∼ N
¡
μ;σ2
¢
=⇒
⎧
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
X − μ
σ√
n
∼ N(0; 1)
X − μ
S√
n
∼ t(n− 1)
4
X ∼ Bernoulli(p) =⇒ X = bP ≈ N µp; p(1− p)
n
¶
(amostra grande)
S2 =
1
n− 1
nP
i=1
¡
Xi −X
¢2
=
1
n− 1
∙
nP
i=1
X2i − nX
2
¸
=
1
n− 1
"
nP
i=1
X2i −
(
P
Xi)2
n
#
5