exercicios_derivada_e_integral

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Leandro Tomaz de Araujo &
Andrea Luiza G. Martinho
Lic¸o˜es de Ca´lculo Diferencial e Integral
Volume 1
UFRRJ-2014
2
Leandro Tomaz de Araujo &
Andrea Luiza G. Martinho
Lic¸o˜es de Ca´lculo Diferencial e Integral
Volume 1
UFRRJ-2014
2
Dados Catalogra´fico
Araujo, Leandro T. de; & Martinho, Andrea L. G.
Lic¸o˜es de Ca´lculo Diferencial e Integral. / Leandro T. de Araujo &
Andrea Luiza G. Martinho. – Rio de Janeiro: UFRRJ,2014.
Bibliografia.
ISBN XXXX-XXXX-XX.
1. Ca´lculo 2. Func¸o˜es 3.Limites 4.Derivada 5.Integral
Suma´rio
0.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
0.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
0.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Refereˆncias Bibliogra´ficas 26
2 Suma´rio
0.1 Exerc´ıcios
1. Seja f(x) = x2 − 3x+ 1. Calcule:
(a) f ′(1)
(b) f ′(0)
(c) f ′(x)
2. Seja
f(x) = mx+ n (m 6= 0).
Pensando geometricamente, qual o va-
lor que voceˆ espera para a derivada de
f em a ∈ Dom(f)? Ca´lcule f ′(a).
3. Calcule pela definic¸a˜o a derivada das se-
guintes func¸o˜es
(a) f(x) = x2 + x e a = 1
(b) f(x) =
√
x e a = 4
(c) f(x) = 5x− 3 e a = −3
(d) f(x) = 1
x
e a = 1
(e) f(x) = 2x3 − x2 e a = 1
4. Calcule a derivada de cada func¸a˜o apli-
candos as regras opera´torias para a de-
rivac¸a˜o.
(a) f(x) = x5 − 3x3 + 1
(b) f(x) =
x10
10
+
x5
5
+ 6
(c) f(t) = t8 − 2t7 + 3t+ 1
(d) F (x) =
3
x2
+
4
x
(e) f(y) =
5
y5
− 25
y
(f) g(x) = 3x−2 − 7x−1 + 6
(g) f(x) =
2
5x
−
√
2
3x2
(h) F (x) = x2(3x3 − 1)
(i) G(x) = (x2 + 3x)(x3 − 9x)
(j) f(y) = (2y − 1)(4y2 + 7)
(k) f(x) = (x3 − 8) ( 2
x
− 1)
(l) g(x) =
(
1
x2
+ 3
)(
2
x3
+ x
)
(m) f(x) =
2x+ 7
3x− 1
(n) g(x) = 2x
2+x+1
x2−3x+2
5. Suponha que f , g e h sejam func¸o˜es di-
ferencia´veis em x = 2 tais que f(2) =
−2, f ′(2) = 3, g(2) = −5, g′(2) = 1,
h(2) = 2, e h′(2) = 4. Use as regras de
derivac¸a˜o´para calcular:
(a) (f + g + h)′(2)
(b) (2f − g + 3h)′(2)
(c) (fgh)′(2)
6. Dados f(x), calcule f ′(x).
(a) f(x) = ex
(b) f(x) = 2x
(c) f(x) = 5x
(d) f(x) = pix
(e) f(x) = 7x
7. Dados g(x), calcule g′(x).
(a) g′(x) = log3 x
(b) g′(x) = log5 x
(c) g′(x) = logpi x
(d) g′(x) = ln x
(e) g′(x) = log7 x
8. Calcule a derivada de cada func¸a˜o abaixo:
(a) f(x) = x2ex
(b) F (t) = 3t+ 5 ln t
(c) f(x) = excos x
(d) f(x) = 1+e
x
1−ex
(e) g(x) = ex ln x+ 2ex
9. Calcule a derivada de cada func¸a˜o abaixo:
Exerc´ıcios 3
(a) f(x) = 3sen x
(b) g(x) = tg x+ cotg x
(c) f(t) = 2t cos t
(d) g(x) = x sen x+ cos x
(e) h(x) = 4sen x cos x
10. Seja f : R −→ R diferencia´vel e seja
g(x) = f(x2 + 1). Supondo f ′(2) = 5,
calcule g′(1).
11. Seja f : R −→ R diferencia´vel e seja
g(x) = f(e2x). Supondo f ′(1) = 2, cal-
cule g′(0).
12. Seja g : R −→ R diferencia´vel e seja
f(x) = x g(x2). Supondo que g(1) = 4
e g′(1) = 2, calcule f ′(1).
13. Seja y = t2x, onde x = x(t) e´ uma
func¸a˜o deriva´vel. Calcule dy
dt
|t=1 supondo
dx
dt
|t=1 = 2 e x(1) = 3.
14. Seja y = xt3, onde x = x(t) e´ uma
func¸a˜o deriva´vel. Calcule dy
dt
|t=2 supondo
dx
dt
|t=2 = 2 e x(2) = 1.
15. Seja y = t
x+t
, onde t = t(x) e´ uma
func¸a˜o deriva´vel. Calcule dy
dx
|x=1 supondo
dt
dx
|x=1 = 4 e t(1) = 2.
16. Dado f(x), calcule f ′(x):
(a) f(x) = 5x + log3 x
(b) f(x) = xxsenx
(c) f(x) = (2 + senx)cos 3x
(d) f(x) = xx
x
(e) f(x) = xx
2+1
17. Dado f(x), calcule f ′(x).
(a) f(x) = (x+ 2)x
(b) f(x) = (1 + ex)x
2
(c) f(x) = (4 + sen(3x))x
(d) f(x) = (3 + pi)x
2
(e) f(x) = (x2 + 1)pi
(f) f(x) = (1 + ex)x
2
(g) f(x) = arc sen(x2 + 1)
(h) f(x) = 7arc tg(3x2 + 2x)
(i) f(x) = arc cos(cos x)
(j) f(x) = (x2 + 4)arc cosec(x2)
18. Expresse dy
dx
em termos de x e y, onde
y = f(x) e´ uma func¸a˜o diferencia´vel
dada implicitamente pela equac¸a˜o:
(a) x2 − y2 = 4
(b) xy2 + 2y = 3
(c) x2 + 4y2 = 3
(d) x2 + y2 + 2y = 0
(e) xey + xy = 3
(f) y + cos y = xy
(g) y + ln(x2 + y2) = 4
(h) 2y + seny = x
19. Use derivac¸a˜o implicita para encontrar
a equac¸a˜o da reta tangente a curva nos
pontos dados.
(a) x2 + xy + y2 = 1; (0, 1)
(b) x2 + 2xy − y2 = 3; (1, 1)
(c) x3 + y3 = 6xy; (3, 3)
(d) x2 + y2 = (2x2 + 2y2 − x)2; (0, 1
2
)
(e) x2/3 + y2/3 = 1, (3
√
3, 1)
20. Um particula desloca´-se sobre o eixo x
com func¸a˜o posic¸a˜o
x(t) = 3 + 2t− t2, t ≥ 0.
(a) Qual a velocidade no instante t?
(b) Qual a acelerac¸a˜o no instante t?
(c) Estude a variac¸a˜o do sinal de v(t).
(d) Esboce o gra´fico da func¸a˜o de posic¸a˜o.
4 Suma´rio
21. Uma part´ıcula desloca-se sobre o eixo x
com func¸a˜o de posic¸a˜o
x(t) =
1
2
t+ 1, t ≥ 0.
(a) Determine a velocidade no instante
t.
(b) Qual a acelerac¸a˜o no instante t?
(c) Esboce o grafico da func¸a˜o de posic¸a˜o.
22. Uma escada de 8 metros esta´ encostada
em uma parede. Se a extremidade in-
ferior da escada for afastada do pe´ da
parede a uma velocidade constante de
2 (m/s), com que velocidade a extre-
midade superior estara´ descendo no ins-
tante em que a inferior estiver a 3 m da
parede?
23. Um ponto P move-se sobre a para´bola
y2 = x, x > 0 e y > 0.
A abscissa x esta´ variando com uma ace-
lerac¸a˜o que, em cada instante, e´ o dobro
do quadrado da velocidade da ordenada
y. Mostre que a ordenada esta´ variando
com acelerac¸a˜o nula.
24. Se a a´rea de um circulo e´ crescente a
uma taxa constante de 4 (cm/s2), a que
taxa esta´ crescendo o raio no instante
em que o raio e´ de 5(cm)?
25. Duas rodovias interceptam-se perpendi-
cularmente. O carro A numa rodovia
esta´ a 1
2
km da intersec¸a˜o e se move
a uma raza˜o de 96 km/h, enquanto o
carro B na outra rodovia esta a 1 km
da intersec¸a˜o e caminha para ela a uma
raza˜o de 120 km/h. A que raza˜o esta´
variando a distaˆncia entre os dois carros
neste instante?
26. A a´gua esta´ escoando para fora de um
funil coˆnico a uma vaza˜o de 3 cm3/s.
O funil possui um raio de 2 cm e al-
tura de 8 cm. Qual sera´ a velocidade
que abaixara´ o n´ıvel da a´gua que se es-
coa quando ela estiver a 3 cm do topo?
27. Determine a equac¸a˜o da reta tangente
ao grafico de f de abscissa indicado.
(a) f(x) = x2 e a = 2
(b) f(x) = 1
x
e a = 2
(c) f(x) =
√
x e a = 9
(d) f(x) = x2 − x e a = 1
(e) f(x) =
√
x− 3 e a = 7
28. Determine as equac¸o˜es das retas tan-
gente e normal ao gra´fico da func¸a˜o dada,
no ponto indicado.
(a) f(x) = x2 − 3x, no ponto de abs-
cissa 0.
(b) f(x) = 3
√
x, no ponto de abscissa
8.
(c) g(x) = 1
x2
, no ponto de abscissa 1.
(d) g(x) = x+ 1
x
, no ponto de abscissa
1.
29. Determine a equac¸a˜o da reta tangente
ao gra´fico de f(x) = ex no ponto de
abscissa 0. Esboce os gra´ficos de f e da
reta tangente.
30. Determine a equac¸a˜o da reta tangente
ao gra´fico de f(x) = ln x no ponto de
abscissa 1. Esboce os gra´ficos de f e da
reta tangente.
31. Seja f(x) = x2. Determine a equac¸a˜o
da reta que e´ tangente ao gra´fico de f
e paralela a` reta y = 1
2
x+ 3.
32. Sabe-se que r e´ uma reta tangente ao
gra´fico de f(x) = x3 + 3x e paralela a`
reta y = 6x − 1. Determine a equac¸a˜o
de r.
Exerc´ıcios 5
33. Determine a equac¸a˜o da reta que e´ per-
pendicular a` reta 2y+x = 3 e tanegente
ao gra´fico de f(x) = x2 − 3x
34. Sejam A e B os pontos em que o gra´fico
de f(x) = x2 − αx, α ∈ R, intercewpta
o eixo x. Determine α para que as retas
tangentes ao gra´fico de f , emA e em B,
sejam perpendiculares.
35. Determine a derivada.
(a) y = x arctg x
(b) f(x) = arc sen(3x)
(c) g(x) = arcsen(x3)
(d) y = arctg x2
(e) y = 3arctg(2x+ 3)
(f) y = arcsen ex
(g) y = e3xarcsen 2x
(h) y = sen 3x
arctg 4x
Exerc´ıcios Complementares
1. Seja
f(x) = |x− 3|, x ∈ R.
(a) Esboce o gra´fico de f .
(b) Mostre que f na˜o e´ deriva´vel em
3.
2. Seja
f(x) =
{
2x+ 1 se x < 1,
−x+ 4 se x ≥ 1
(a) Esboce o gra´fico de f .
(b) Mostre que f na˜o e´ deriva´vel em
c = 1.
3. Seja
g(x) =
{
x2 + 2 se x < 1,
2x+ 1 se x ≥ 1
(a) Esboce o grafico de g.
(b) Mostre que g e´ derivavel em p = 1
e calcule g′(1).
4. Determine a equac¸a˜o da reta tangente
ao gra´fico de f(x) = 1
x
no ponto de abs-
cissa 2. Esboce o gra´ficos de f e da reta
tangente.
5. Determine a equac¸a˜o da reta tangente
ao gra´fico de f(x) = 1
x2
no ponto de
abscissa 1. Esboce o gra´ficos de f e da
reta tangente.
6. Seja f(x) = ax, onde a > 0 e a 6= 1 e´
um real dado. Mostre que
f ′(x) = ax ln a.
7. Seja g(x) = loga x, onde a > 0 e a 6= 1
e´ constante. Mostre que
g′(x) =
1
x ln a
.
8. Seja
f(x) =
{
x+ 1 se x < 2,
1 se x ≥ 2
(a) f e´ cont´ınua em 2? Por queˆ?
(b) f e´ diferencia´vel em 2? Por queˆ?
9. Seja
f(x) =
{
x2 se x < 2,
−x2 se x ≥ 2
(a) f e´ cont´ınua em 0? Por queˆ?
(b) f e´ diferencia´vel em 0? Por queˆ?
10. Seja
f(x) =
{ −x+ 3 se x < 3,
x− 3 se x ≥ 3
(a) f e´ cont´ınua em 3? Por queˆ?
(b) f e´ diferencia´vel em 3? Por queˆ?
6 Suma´rio
11. Seja:
f(x) =
{
x2 , sex ≤ 1
1 , sex > 1
(a) Fac¸a o esboc¸o do gra´fico.
(b) f e´ uma func¸a˜o cont´ınua em 1?
(c) f e´ deriva´vel em 1?
12. Seja:
f(x) =
{
x2 , se x ≤ 1
2x− 1 , se x > 1
(a) Fac¸a o esboc¸o do gra´fico.
(b) f e´ uma func¸a˜o cont´ınua em 1?
(c) f e´ deriva´vel em 1?
13. Seja:
f(x) =
{
x2sen
(
1
x3
)
, se x > 0
cos(x)− A , se x ≥ 0
(a) DetermineA de modo que a func¸a˜o
f seja cont´ınua em x = 0.
(b) Para esse valor de A, a func¸a˜o f e´
deriva´vel em x = 0? Justifique.
14. Seja f(x) = x+ ex e seja g a inversa de
f .
(a) Mostre que g e´ deriva´vel e que
g′(x) =
1
1 + eg(x)
.
(b) Calcule g′(1) e g′′(1).
15. Seja f(x) = x3 + x.
(a) Mostre que f admite func¸a˜o inversa
g.
(b) Expresse g′(x) em termos de g(x).
(c) Calcule g′(0).
Exerc´ıcios Resolvidos
1. Seja
f(x) =
{
x2, se x ≤ 0,
x, se x > 0
Mostre que f e´ cont´ınua em 0, mas a
derivada de f em 0 na˜o existe.
Soluc¸a˜o:
Observe que
lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
x2 = 0
lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
x = 0
Assim,
lim
x→0
f(x) = f(0).
Enta˜o f e´ uma func¸a˜o cont´ınua em 0, mas f na˜o e´
diferencia´vel, pois
• lim
x→0+
f(x)−f(0)
x−0 = lim
x→0+
x
x
= lim
x→0+
1 = 1
• lim
x→0−
f(x)−f(0)
x−0 = lim
x→0−
x2
x
= lim
x→0−
x = 0
Logo, na˜o existe f ′(x).
2. Seja
f : R −→ R
x 7−→
√
|x|.
Mostre que f e´ cont´ınua em 0, mas a
derivada de f em 0 na˜o existe.
Soluc¸a˜o:
Observe que
lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
√
|x| = 0
lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
√
|x| = 0
Assim,
lim
x→0
f(x) = f(0).
Enta˜o f e´ uma func¸a˜o cont´ınua em 0, mas f na˜o e´
diferencia´vel, pois
lim
x→0+
f(x)
x
= lim
x→0+
1√
|x|
= +∞
lim
x→0−
f(x)
x
= lim
x→0−
−1√
|x|
= −∞
Logo, na˜o existe f ′(x).
Exerc´ıcios 7
3. A equac¸a˜o do movimento de uma part´ıcula
que se desloca ao longo do eixo x e´ x(t) =
e−tsen t (t ≥ 0).
(a) Determine a velocidade e a acelerac¸a˜o
no instante t.
(b) Calcule lim
t→+∞
e−tsen t
(c) Fac¸a o esboc¸o de x(t).
Soluc¸a˜o:
(a) v(t) =
d[e−tsen t]
dt
= e−t(cos t− sen t) m/s2
a(t) =
d v(t)
dt
= −e−t(cos t−sen t)+e−t(−sen t−
cos t) = (−2)e−tcos t
(b) lim
t→+∞
e−tsen t = lim
t→+∞
1
et
(sen t)︸ ︷︷ ︸
ltda
= 0
(c) Esboc¸o da func¸a˜o posic¸a˜o:
4. Uma part´ıcula move-se sobre o eixo x
de modo que no instante t a posic¸a˜o x e´
dada por x(t) = cos(2t) (t ≥ 0), onde
x em metros (m) e t em segundos (s).
(a) Determine as posic¸o˜es ocupadas pela
part´ıcula nos instantes t = 0, t =
pi
4
, t = pi
2
, t = 3pi
4
, t = pi
(b) Qual a velocidade no instante t? E
a acelerac¸a˜o?
(c) Fac¸a o esboc¸o de x(t).
Soluc¸a˜o:
(a) Observe que t = 0⇒ x = cos 0 = 1
t = pi
4
⇒ x = cos pi
2
= 0
t = pi
2
⇒ x = cos pi = −1
t = 3pi
4
⇒ x = cos 3pi
2
= 0
t = pi ⇒ x = cos 2pi = 1
Logo,
“ a part´ıcula executa um vai-e-vem entre as
posic¸o˜es 1 e -1 ”
(b) v = dx
dt
=
d[cos 2t]
dt
= −2 sen 2t
a =
d[−2sen 2t]
dt
= −4 cos 2t
(c) Esboc¸o do gra´fico:
8 Suma´rio
0.2 Exerc´ıcios
1. Determine os intervalos de crescimento
e de decrescimento e esboce o gra´fico
(calcule para isto todos os limites ne-
cessa´rios).
(a) f(x) = x3 − 3x2 + 1
(b) f(x) = x3 + 2x2 + x+ 1
(c) f(x) = x+ 1
x
(d) f(x) = 3x5 − 5x3
2. Estude a func¸a˜o dada com relac¸a˜o a` con-
cavidade e pontos de inflexa˜o. Esboce
o gra´fico de f .
(a) f(x) = x3 − 3x2 − 9x
(b) f(x) = 2x3 − x2 − 4x+ 1
(c) f(x) = xe−2x
(d) f(x) = x ln x
3. Calcule os limites abaixo, usando as Re-
gras de L’Hospital.
(a) lim
x→−1
4x3 + x2 + 3
x5 + 1
(b) lim
x→1
x100 − x2 + x− 1
x10 − 1
(c) lim
x→0+
xe
1
x
(d) lim
x→+∞
e3x
x2
(e) lim
x→+∞
ln x
e3x
(f) lim
x→0+
sen x ln x
(g) lim
x→0+
[cos 3x]
1
sen x
(h) lim
x→0+
xtg x
4. Determine os pontos cr´ıticos da func¸a˜o.
(a) f(x) = x3 − 3x2 + 3x− 1
(b) f(x) = x4 − 4x3 + 6x2 − 4x+ 1
(c) x(t) = 3
√
t3 − 2t+ 1
(d) f(x) = x2e−5x
(e) f(x) = (x4 + 2x3 + x2 + 1)−1
5. Determine os valores ma´ximos e mı´nimos
(caso existam) da func¸a˜o dada, no inter-
valo dado.
(a) f(x) = x
4
4
−x3−2x2+3 em [−2, 3]
(b) f(x) = x3−3x2+3x−1 em [−2, 1]
(c) f(x) = senx− cos x em [0, pi]
(d) f(x) = 3
√
x3 − 2x2 em [−1, 2]
(e) f(x) = 1
x3−2x2 em ]0, 2[
6. Use o teste da derivada primeira para
estudar as func¸o˜es dadas com relac¸a˜o
aos ma´ximos e mı´nimos locais.
(a) f(x) = x
1+x2
(b) f(x) = ex − e−3x
(c) f(x) = x2 + 3x+ 2
(d) f(x) = xe−2x
(e) f(x) = senx+ cos x, x ∈ [0, pi]
7. Considere
(a) f(x) = x
2
x2−4 ;
(b) f(x) = e−x
2
, x ∈ R;
(c) f(x) = −2 (x+ 1
x
)
;
(d) f(x) = −3 (x+ 1
x
)
.
Em cada uma das func¸o˜es acima deter-
mine:
i) Os intervalos de crescimento ou de-
crescimento de f .
ii) Os intervalos onde a func¸a˜o e´ coˆncava
para baixo e/ou para cima e os
pontos de inflexa˜o (se existirem).
iii) As ass´ıntotas horizontal, vetical e
obl´ıqua (se existirem).
Exerc´ıcios 9
iv) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f .
Qual o Dom(f)?
8. Use o teste da derivada segunda para
estudar as func¸o˜es do exerc´ıcio anterior
com relac¸a˜o aos ma´ximos e mı´nimos lo-
cais.
9. Determine as dimenso˜es do retaˆngulo
de a´rea ma´xima e cujo per´ımetro 2p e´
dado.
10. Determine o nu´mero real positivo cuja
diferec¸a entre ele e seu quadrado seja
ma´xima.
11. Determine o nu´mero real positivo cuja
soma com o inverso do seu quadrado
seja mı´nima.
12. Determine a altura do cilndro circular
reto, de volume ma´ximo, inscrito na es-
fera de raio R dado
13. Uma reta r passando por (1, 2) corta o
eixo dos x em A = (a, 0) e o eixo dos
y em B = (0, b) com a > 0 e b > 0.
Determine r de modo que as distaˆncias
de A e B seja a menor poss´ıvel.
14. Certa pessoa que se encontra emA, para
atingir C, utilizara´ na travessia do rio
(de 100 m de largura) um barco com
velocidade ma´xima de 10 Km/h; de B
a C utilizara´ uma bicicleta com veloci-
dade ma´xima de 15 Km/h. Determine
B para que o tempo gasto no percurso
seja o menor possivel.
CB
A
Rio100m
10Km
15. Determine o ponto da curva
y =
2
x
,x > 0
que esta´ mais pro´ximo da origem.
16. Deseja-se construir uma caixa, de forma
cil´ındrica, de 1 m3 de volume. Nas late-
rais e no fundo sera´ utilizado material
que custa R$ 10, 00 o metro quadrado
e na tampa sera´ utlizado material que
custa R$ 20, 00 o metro quadrado. De-
termine as dimenso˜es da caixa que mini-
mizem o custo do material empregado.
17. Do ponto A, situado numa das margens
do rio, de 100m de largura, deve-se le-
var energia ele´trica ao ponto C situado
na outra margem do rio. O fio a ser
utilizado na a´gua custa R$ 5 o metro, e
o que sera´ utilizado fora custa R$ 3 o
metro. Como devera´ ser feita a ligac¸a˜o
para que o gasto com com os fios seja o
menor poss´ıvel? (Suponha as margens
retil´ıneas e paralelas.)
CB
A
Rio100m
1000m
18. Sejam P = (0, a) e Q = (b, c), onde a,
b e c sa˜o nu´meros reais dados e estrita-
mente positivos.
Seja M = (0, x), com 0 ≤ x ≤ b.
P=(0,a)
Q=(b,c)
y
x
α β
(a) Determine x para que o per´ımetro
do triaˆngulo PMQ seja mı´nimo.
(b) Conclua que o per´ımetro sera´ mı´nimo
para α = β.
10 Suma´rio
Exerc´ıcios Complementares
1. Verifique as hipoteses do Teorema do
Valor Me´dio, e determine o valor de c
que satisfazem
f(b)− f(a)
b− a = f
′(c).
para cada func¸a˜o no intervalo [a, b].
(a) f(x) = x2 + 2x− 1, [0, 1]
(b) f(x) = arcsen x, [−1, 1]
(c) f(x) = 2x3, [0, 2]
(d) f(x) =
√
25− x2, [−3, 4]
2. Para que valores de a, m e b a func¸a˜o
f(x) =


3 se x = 0,
−x2 + 3x+ a se 0 < x < 1,
mx+ b se 1 ≤ x ≤ 2.
satisfaz a hipo´tese do Teorema do Valor
Me´dio no intervalo [0, 2]?
3. Use o Teorema do Valor Me´dio para pro-
var:
(a) Se f : [a, b] −→ R e´ uma func¸a˜o
cont´ınua tal que f ′(x) = 0 em ]a, b[,
enta˜o f e´ a func¸a˜o constante.
(b) Sejam f, g : [a, b] −→ R func¸o˜es
continuas. se f ′(x) = g′(x) em
]a, b[, enta˜o existe uma constante
k tal que g(x) = f(x) + k em [a, b]
4. Sejam
f(x) = x2 sen
1
x
e g(x) = x.
Verifique que
(a) lim
x→0
f(x) = lim
x→0
g(x) = 0,
(b) lim
x→0
f(x)
g(x)
= 0
(c) lim
x→0
f ′(x)
g′(x)
na˜o existe.
Ha´ alguma contradic¸a˜o com a 1a. regra
de L’Hospital?
5. Em cada um dos itens abaixo, fornec¸a
um exemplo, se possivel, de uma func¸a˜o
f : A ⊂ R→ R satisfazendo a`s condic¸o˜es
dadas.
(a) f com duas assintotas verticais em
x = 0 e em x = 1, e uma assintota
inclinada;
(b) f tal que lim
x→+∞
f(x) e lim
x→−∞
= 1
(c) f com ummaximo local em x0 = 2,
mas na˜o tenha reta tangente neste
ponto;
(d) f com ummaximo local em x0 = 2,
mas descontinua neste ponto. Caso
o exemplo na˜o seja poss´ıvel, justi-
fique a sua resposta.
6. Considere f :]− 2, 2[→ R tal que
f(x) =
{ |x|+ 2 se |x| ≤ 1,
x3 − 4x se 1 < |x| < 2.
(a) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f .
(b) Indique todos os pontos em que f
e´ descontinua e aqueles em que f
na˜o diferencia´vel.
(c) Determine todos os pontos de ma´ximo
e de minimos locais e absolutos de
f
(d) Determine, se possivel, as equac¸o˜es
das retas tangentes ao gra´fico de f
nos pontos x1 = 1, x2 = 0 e x3 =
1
2
.
Indique estas retas no esboc¸o do
gra´fico de f
7. Seja f : A ⊂ R → R uma func¸a˜o. De-
termine se as afirmac¸o˜es a seguir sa˜o
verdadeiras ou falsas. Justifique suas
respostas.
(a) Se f tem um ponto de ma´ximo em
x0, enta˜o f na˜o pode ser desconti-
nua neste ponto.
Exerc´ıcios 11
(b) Se f e´ diferencia´vel em x0 e f
′(x0) =
0, enta˜o x0 e´ um ponto de ma´ximo
local ou de mı´nimo local de f .
(c) Se f e´ duas vezes diferencia´vel em
x0 e f
′′(x0) = 0, enta˜o x0 e´ um
ponto de inflexa˜o de f .
(d) Se f e´ duas vezes diferencia´vel em
x0 e f
′′(x0) > 0, enta˜o x0 e´ um
ponto de mı´nimo de f .
12 Suma´rio
0.3 Exerc´ıcios
1. Calcule a diferencial.
(a) y = x3
(b) y = x2 − 2x
(c) y = x
x+1
(d) y = 3
√
x
(e) y = xe−x
2. Use diferenciais para aproximar:
(a)
√
50
(b)
√
37, 5
(c)
√
16, 01,
(d) e0,01
(e) ln(0, 99)
3. Seja V (r) = 4pi
3
r3, r > 0.
(a) Calcule a diferencial.
(b) Interprete geometricamente ∆V −
dV .
4. Seja y = x2 + 3x.
(a) Calcule a diferencial.
(b) Interprete geometricamente ∆y −
dy.
5. Calcule as seguintes integrais indefini-
das:
(a)
∫
2cos xdx
(b)
∫
3
2cos2x
dx
(c)
∫
1 + tg2x
tg2x
dx
(d)
∫
tg x
sen 2x
dx
(e)
∫
1√
9− 9x2dx
(f)
∫
x
√
x dx
(g)
∫
x3 + 1
x2
dx
(h)
∫
1
1 + x2
dx
(i)
∫
tg2x dx
(j)
∫
cos2x dx
6. Use a integrac¸a˜o por substuic¸a˜o para
calcular as seguintes integrais:
(a)
∫
x cos x2 dx
(b)
∫
(3x+ 1)19dx
(c)
∫
e3xdx
(d)
∫
xex
2
dx
(e)
∫
x
1 + x2
dx
(f)
∫
2x+ 3
x2 + 3x+ 1
dx
(g)
∫
x
1 + x4
dx
(h)
∫
ln x
x
dx
(i)
∫
x2
1 + x3
dx
(j)
∫
x2
(1 + x3)2
dx
(k)
∫
1
x ln x
dx
(l)
∫
esen xcos x dx
(m)
∫
x5
√
1− x2dx
7. Calcule as integrais indefinidas usando
a substituic¸a˜o indicada.
Exerc´ıcios 13
(a)
∫
cos3 xsen x dx; u = cos x
(b)
∫
1√
x
sen
√
xdx; u =
√
x
(c)
∫
3xdx√
4x2 + 5
; u = 4x2 + 5
(d)
∫
cotg x cossec2x dx; u = cotg x
(e)
∫
(1 + sen x)9cos x dx;u = 1 +
sen x
8. Use a integrac¸a˜o por partes para calcu-
lar cada integral:
(a)
∫
xcos x dx
(b)
∫
xexdx
(c)
∫
x2ex dx
(d)
∫
arc tg x dx
(e)
∫
ln x dx
(f)
∫
x ln x dx
(g)
∫
x2 sen x dx
(h)
∫
ex cos xdx
(i)
∫
cos2x dx
(j)
∫
sec3xdx
Exerc´ıcios Complementares
1. Verifique que
(a)
∫
sec x dx = ln | sec x+ tgx|+ C
(b)
∫
tgx dx = − ln | cos x|+ C
2. Sejam a 6= 0 e b constantes. Mostre que
(a)
∫
ax+b
1+x2
dx = a
2
ln(1+x2)+b arc tgx+
C
(b)
∫
1
a2+(x+b)2
dx = 1
a
arc tg(x+b
a
) + C
3. Seja f : R −→ R deriva´vel. Prove que:
(a) Se f ′(x) = f(x) para todo x ∈ R,
enta˜o existe uma constante k tal
que f(x) = kex para todo x ∈ R.
(b) Se f ′(x) = αf(x) para todo x ∈ R,
enta˜o existe uma constante k tal
que f(x) = keαx para todo x ∈ R.
(c) Determine y = f(x), x ∈ R, tal
que
i.
{
f ′(x) = 2f(x);
f(0) = 1
ii.
{
f ′(x) = −2f(x);
f(0) = 1
Esboce o gra´fico de f .
14 Suma´rio
0.4 Exerc´ıcios
1. Calcule as seguintes integrais:
(a)
∫ 1
0
(x+ 3)dx
(b)
∫ 3
1
1
x3
dx
(c)
∫ 2
0
(x2 + 3x− 3)dx
(d)
∫ 1
1
(2x+ 3)dx
(e)
∫ −1
−2
( 1
x2
+ x
)
dx
(f)
∫ 4
1
1√
x
dx
(g)
∫ 1
−1
(x7 + x3 + x)dx
(h)
∫ 3
1
(
1 +
1
x
)
dx
(i)
∫ pi
3
pi
3
cos(2x) dx
(j)
∫ 1
−1
e2x dx
(k)
∫ pi
4
0
sen x dx
(l)
∫ pi
3
0
(3 + cos 3x)dx
(m)
∫ 1
0
1
1 + x
dx
(n)
∫ pi
2
0
sen2x dx
(o)
∫ 1
0
3x dx
(p)
∫ 1
0
3xex dx
2. Determine os valores de x que satisfa-
zem a equac¸a˜o
d
dx
(
x2 +
∫ x
0
ln(t2 + 1)dt
)
= 2
3. Calcule F ′(x), onde F e´ dada por:
(a) F (x) =
∫ x
−2
3t
1 + t6
dt
(b) F (x) =
∫ x
2
sen t2dt
(c) F (x) =
∫ x2
1
sen t2dt
(d) F (x) =
∫ 2x
0
cos t2dt
(e) F (x) =
∫ x3
x2
1
5 + t4
dt
4. Calcule as seguintes derivadas:
(a)
d
dx
∫ x
0
(t2 + 1)
1
3 dt
(b)
d
dx
∫ x
0
tsen(t) dt
(c)
d
dx
∫ x
1
t ln(t) dt
(d)
d
dx
∫ ex
x
√
1 + t2 dt
5. Ca´lcule a a´rea sob o gra´fico de cada
func¸a˜o entre x = a e x = b. Esboce
o gra´fico da func¸a˜o.
(a) f(x) = 1− x2; a = −1, b = 1
(b) f(x) = x3 − x; a = −1, b = 1
(c) f(x) = x3; a = −2, a = 2
(d) f(x) = x3− 4x2+3x; a = 0, b = 2
6. Esboce a regia˜o delimitada pelas curvas
dadas, e calcule a sua a´rea.
(a) y = x2; y = 4x
(b) x+ y = 3; y + x2 = 3
Exerc´ıcios 15
(c) y = x2 + 1; y = 5
(d) y = 4− x2;y = −4
(e) y2 = 4 + x; y2 + x = 2
(f) x = y2; x− y = 2
(g) x = 4y − y3; x = 0
(h) y2 = −4x; x2 = −4y
(i) y = x3 − x; y = 0
(j) y = x3; y = x2
7. Ache a a´rea da regia˜o entre os gra´ficos
das duas equac¸o˜es de x = 0 e x = pi.
(a) y = sen(4x); y = 1 + cos(1
2
x)
(b) y = 4 + cos(2x); y = 3sen(1
2
x)
8. Seja R a regia˜o do plano limitada pelas
curvas y = x2 − 4 e y = −x2 − 2x
(a) Fac¸a um esboc¸o da regia˜o R.
(b) Calule a a´rea da regia˜o R.
9. Calcule a a´rea da regia˜o hachurada da fi-
gura abaixo, determinada pelos gra´ficos
das func¸o˜es f(x) = x3−x, g(x) = x−x3
e pelo circulo de centro (0, 0) e raio 1.
10. Esboce a regia˜o abaixo e determine a
sua a´rea.
(a) x = y3, e x+ y = 2
(b) y = x2, y = 8−x2, e 4x−y+12 = 0
11. Considere
y2 = 4px e x3 = 4py.
(a) Determine a a´rea da regia˜o delimi-
tada pelas curvas acima.
(b) Determine a taxa de variac¸a˜o da
medida da a´rea dada acima em relac¸a˜o
a p quando p = 3.
12. Determine m de modo que a regia˜o de-
limitada por
y = mx e y = 2x− x2
tenha uma a´rea de 36 u.a.
Exerc´ıcios Complementares
1. Suponha f cont´ınua em [−2, 0]. Calcule∫ 2
0
f(x− 2)dx, sabendo ∫ 0−2 f(x)dx = 3.
2. Suponha f cont´ınua em [−1, 1]. Calcule∫ 1
0
f(2x − 1)dx, sabendo ∫ 1−1 f(x)dx =
5.
3. Seja f uma func¸a˜o par e cont´ınua em
[−r, r], r > 0.
(a) Mostre que
∫ 0
−r
f(x) dx =
∫ r
0
f(x) dx.
(b) Conclua de (a) que
∫ r
−r
f(x) dx = 2
∫ r
0
f(x) dx.
Interprete graficamente.
4. Usando o Teorema do Valor Medio para
Integrais, prove que:
(a) Se f : [a, b] → R e´ continua com
f(x) > 0 em [a, b], enta˜o
∫ b
a
f(x)dx > 0.
16 Suma´rio
(b) Seja f : [a, b] → R continua com
f(x) ≥ 0 em [a, b]. Se ∫ b
a
f(x)dx =
0, enta˜o f(x) = 0, para todo x ∈
[a, b].
5. Encontre o valor de c que satisfaz o Te-
orema do Valor Me´dio para Integrais.
Fac¸a um figura ilustrando a aplicac¸a˜o
do Teorema.
(a)
∫ 2
0
x2dx
(b)
∫ 4
2
x2dx
(c)
∫ 2
1
x3dx
(d)
∫ 4
1
(x2 + 4x+ 5)dx
6. Ache, por integrac¸a˜o, a a´rea do triaˆngulo
tendo como vertices:
(a) (5, 1), (1, 3) e (−1,−2)
(b) (3, 4), (2, 0) e (0, 1)
7. Calcule a a´rea da regia˜o limitada pela
curva
y =
−2
27
x3,
e a tangente a esta curva em (3,−2).
Exerc´ıcios 17
0.5 Exerc´ıcios
1. Use uma substituic¸a˜o trigonome´trica apro-
priada e calcule as seguintes integrais
indefinidas.
(a)
∫ √
4− x2dx
(b)
∫
x2
(4− x2)3/2dx
(c)
∫
dx
x2
√
4− x2
(d)
∫ √
9− x2
x2
dx
(e)
∫
dx
(
√
x2 + 3)3
(f)
∫
dx
x2
√
x2 + 9
(g)
∫
dx
x
√
x2 + 5
(h)
∫
1
x2 + a2
dx
(i)
∫
dx
x3
√
x2 − 25
(j)
∫
dx
x2 − 16
(k)
∫
dx
9x2 − 1
(l)
∫
dx
x3
√
x2 − 16
2. Complete os quadrados, e usando uma
substuic¸a˜o trigonome´trica, calcule as se-
guintes integrais:
(a)
∫
dx
(5− 4x− x2)3/2
(b)
∫
xdx√
4x2 + 8x+ 5
(c)
∫
x
x2 − 4x+ 8dx
(d)
∫
dx
5− 4x+ 2x2
3. Use frac¸o˜es parciais e calcule as seguin-
tes integrais indefinidas.
(a)
∫
3x− 5
x2 − x− 2dx
(b)
∫
5x3 − 6x2 − 68x− 16
x3 − 2x2 − 8x dx
(c)
∫
3x2 + 4x+ 2
x(x+ 1)2
dx
(d)
∫
3x− 2
x3 − x2dx
(e)
∫
8x2 + 3x+ 20
(x+ 1)(x2 + 4)
dx
(f)
∫
3x3 + 2x2 − 2
x2(x2 + 2)
dx
(g)
∫
x3 + x+ 2
x(x2 + 1)2
dx
(h)
∫
x5 − 2x4 + 2x3 + x− 2
x2(x2 + 1)2
dx
Exerc´ıcios Complementares
1. Use a identidade
sen2x+ cos2x = 1,
e substituic¸o˜es apropriadas para calcu-
lar cada integral.
(a)
∫
cos3x dx
(b)
∫
sen5(2x)dx
(c)
∫
sen2cos5x dx
(d)
∫
sen3x√
cos x
dx
2. Use as identidades trigonome´tricas
sen2x =
1
2
(1− cos 2x), cos2x = 1
2
(1 + cos 2x),
e substituic¸o˜es apropriadas para calcu-
lar cada integral.
18 Suma´rio
(a)
∫
cos2x dx
(b)
∫
sen4x dx
(c)
∫
sen4x cos4x dx
(d)
∫
sen4x cos2x dx
3. Use as identidades trigonome´tricas
sen x cos y = 1
2
[sen(x+ y) + sen(x− y)] ,
sen x sen y = 1
2
[cos(x− y)− cos(x+ y)] ,
cos x cos y = 1
2
[cos(x− y) + cos(x+ y)] ,
e substituic¸o˜es apropriadas para calcu-
lar cada integral.
(a)
∫
(sen 3x)(cos 4x)dx
(b)
∫
(sen 7x)(cos 2x)dx
(c)
∫
(sen 5x)(cos 2x)dx
(d)
∫
(cos4x)(cos3x)dx
Tabelas Auxiliares
Produtos Notaveis
1. (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2
2. (a− b)2 = a2 − 2ab+ b2
3. (a+ b)(a− b) = a2 − b2
4. (a+ b)(a2 − ab+ b2) = a3 + b3
5. (a− b)(a2 + ab+ b2) = a3 − b3
6. (a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3
7. (a− b)3 = a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3
Identidades Trigonome´tricas
1. sen2 x+ cos2 x = 1
2. 1 + tg2 x = sec2 x
3. 1 + cotg2 x = cosec2 x
4. sen 2x = 2sen x cos x
5. cos 2x = cos2 x− sen2 x
6. cos2 x = 1
2
(1 + cos 2x)
7. sen2 x = 1
2
(1− cos 2x)
8. sen(x+ y) = sen x cos y + sen y cos x
9. cos(x+ y) = cos x cos y − sen xsen y
10. tg(x+ y) =
tg x+ tg y
1− tg x tg y
11. 2sen x cos y = sen(x+ y) + sen(x− y)
12. 2 cos x cos y = cos(x+ y) + cos(x− y)
13. 2sen xsen y = cos(x− y)− cos(x+ y)
Regras de Derivac¸a˜o
1.
d
dx
[cu] = cu′
2.
d
dx
[u+ v] =
du
dx
+
dv
dx
3.
d
dx
[u · v] = uv′ + u′v
4.
u
v
=
vu′ − uv′
v2
5.
d
dx
[
1
v
]
=
−v′
v2
Fo´rmulas de Derivac¸a˜o
1. d
dx
[c] = 0
2. d
dx
[x] = 1
3. d
dx
[xα] = αxα (α 6= −1)
4. d
dx
[ln x] = 1
x
5. d
dx
[ex] = ex
6. d
dx
[sen x] = cos x
7. d
dx
[cos x] = −sen x
Integrais Imediatas
1.
∫
dx = x+ C
2.
∫
xndx =
xn+1
n+ 1
+ C (n 6= −1)
3.
∫
1
x
dx = ln |x|+ C
20 Suma´rio
4.
∫
exdx = ex + C
5.
∫
axdx =
ax
ln a
(0 < a 6= 1)
6.
∫
senx dx = − cos x+ C
7.
∫
cos x dx = sen x+ C
8.
∫
sec x dx = ln | sec x+ tg x|+ C
9.
∫
tg x dx = − ln | cos x|+ C
10.
∫
cosec x dx = ln |cosec x−cotg x|+C
11.
∫
cotg x dx = ln |sen x|+ C
12.
∫
sec2 x dx = tg x+ C
13.
∫
cosec2x dx = −cotg x+ C
14.
∫
sec x tg x dx = sec x+ C
15.
∫
cosec x cotg x dx = −cosec x+ C
16.
∫
dx√
1− x2 = arcsen x+ C
17.
∫
dx
1 + x2
= arctg x+ C
18.
∫
dx
x
√
x2 − 1 = arcsec |x|+ C
Respostas
Cap´ıtulo 1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
Cap´ıtulo 2
1. (a) 7
(b) 10
(c) 7
(d) −1
(e) 7
(f) 7/9
(g) 68
(h) 11
(i) 3
(j)
√
14/3
(k) 0
(l) −1/ 3√6
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8. 2
9. 3
10. 0
11. 0
12. (a) 2
(b) −7
(c) 0
(d) 0
(e) 2/3
22 Suma´rio
Cap´ıtulo 3
1. −1
2. −2/3
3. (a) L = 0
(b) L = 6
(c) L = 1
(d) L = 6
4. (a) −1
(b) e
(c) ln(2/
√
2)
(d) sen(sen1)
5.
6. (a) e−1
(b) 1
(c) 0
(d) 1
7.
8.
9.
10.
Cap´ıtulo 4
1. (a) 2/5
(b) −2/5
(c) 7/3
(d) 0
(e) +∞
(f) 1/2
(g) +∞
(h) −∞
(i) 1
(j) −1
(k) 2
(l) 0
(m) −∞
(n) 0
(o) −∞
(p) 1/2
2.
3.
4.
5.
Cap´ıtulo 5
1. (a) f ′(0) = −3
(b) f ′(1) = −1
(c) f ′(x) = 2x− 3
2. m = f ′(a)
3. (a) 3
(b) 1
4
(c) 5
(d) −1
(e) 4
4. (a) 5x4 − 9x2
(b) 5x9 + x4
(c) 8t7 − 14t6 + 3
(d) −6
x3
− 4
x2
(e) − 25
y6
+ 25
y2
(f) −6x−3 + 7x−2
(g) − 2
5x2
+ 2
√
2
3x3
(h) 15x4 − 2x
(i) 5x4 + 12x3 − 27x2 − 54x
(j) 24y2 − 8y + 14
(k) 16
x2
+ 4x− 3x2
(l) − 10
x6
− 18
x4
− 1
x2
+ 3
(m) −23
3x−1
2
(n) −7x
2+6x+5
(x2−3x+2)2
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13. 8
14. 36
15. 2/9
16. (a) 5x ln 5 + 1
x ln 3
(b) xx [(1 + ln x)sen x+ cos x]
(c) (2+sen x)cos 3x
[
−3sen 3x ln(2 + sen x) + cos x·cos 3x
2+sen x
]
Exerc´ıcios 23
(d) xx
x
xx
[
(1 + ln x) ln x+ 1
x
]
(e)xx
2+1
[
2x ln x+ x
2+1
x
]
17.
18.
19.
20.
21.
22. −6/√55cm/s
23.
24. 0, 13 cm/s
25. −150, 26 km/h
26. −0, 61 cm/s
27. (a) y = 4x− 4
(b) y = − 1
4
x+ 1
(c) x− 6y + 9 = 0
(d) y = x− 1
(e) y − 2 = 1
4
(x− 7)
28. (a) y = −3x e y = 1
3
x
(b) y = 1
12
x+ 4
3
e y = −12x+ 98
(c) y = −2x+ 3 e y = 1
2
x+ 1
2
(d) y = 2 e x = 1
29. y = x+ 1
30. y = x− 1
31. y = 1
2
x− 1
16
32. y = 6x− 2 ou 6x+ 2
33. y = 2x− 25
4
34. ±1
35. (a) arctg x+ x
1+x2
(b) 3√
1−9x2
(c) 3x
2√
1−x6
(d) 2x
1+x4
(e) 6
1+(2x+3)2
(f) e
x√
1−e2x
(g) e3x
[
3arctg 2x+ 2
1−4x2
]
(h)
3(1+16x2)cos 3x arctg 4x−4sen 3x
(1+16x2)(arctg 4x)2
Cap´ıtulo 6
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
Cap´ıtulo 7
1. (a) dy = 3x2dx
(b) dy = (2x− 2)dx
(c) dy = 1
(x+1)2
dx
(d) dy = 1
3
3√
x2
(e) dy = (e−x − xe−x)dx
2. (a) 7, 0714285
(b) 6, 125
(c) 4, 00125
(d) 1, 01
(e) −0, 01
24 Suma´rio
3. (a); (b)
4. (a); (b)
5. (a) 2sen x+ C
(b) 3
2
tg x+ C
(c) −cotg x+ C
(d) 1
2
tg x+ C
(e) 1
3
arc sen x+ C
(f) 2
5
√
x5 + C
(g) x
3
3
+ ln |x|+ C
(h) arc tg x+ C
(i) tg x− x+ C
(j) 1
2
x+ 1
4
sen 2x+ C
6. (a) 1
2
sen x2 + C
(b)
(3x+1)20
60
+ C
(c) e
3x
3
+ C
(d) 1
2
ex
2
+ C
(e) 1
2
ln(1 + x2) + C
(f) ln |x2 + 3x+ 1|+ C
(g) 1
2
arc tg x2 + C
(h)
(ln x)2
2
+ C
(i) 1
3
ln |1 + x3|+ C
(j) − 1
1+x2
+ C
(k) ln | ln x|+ C
(l) esen x + C
(m)
2(
√
1−x2)5
5
− (
√
1−x2)3
3
− (
√
1−x2)7
7
+ C
7. (a) − cos4x
4
+ C
(b) −2cos √x+ C
(c) 3
4
√
4x2 + 5 + C
(d) − 1
2
cotg2x+ C
(e) 1
10
(1 + sen x)10 + C
8. (a) xsen x+ cos x+ C
(b) xex − ex + C
(c) ex(x2 − 2x+ 2) + C
(d) x arc tgx− 1
2
ln(1 + x2) + C
(e) x ln x− x+ C
(f) x
2
2
ln x− x2
4
+ C
(g) −x2cos x+ 2x sen x+ 2cos x+ C
(h) 1
2
ex(sen x+ cos x) + C
(i) 1
2
(x+ senx cos x) + C
(j) 1
2
sec x tg x+ 1
2
ln |sec x+ tg x|+ C
Cap´ıtulo 8
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Exercicios Complementares (cap. 9)
1.
2.
3.
4.
5. (a), (b) 64 u.a.
6. (a) 16
2
p2 (b) 32
7.
Cap´ıtulo 9
1. (a) 2arcsen x+ x
2
√
4− x2 + C
(b) x√
4−x2
− arcsen (x
2
)
+ C
(c) −
√
4−x2
x
+ C
(d) − 3
x
− arcsen (x
3
)
+ C
(e) x
3
√
3+x2
+ C
(f) −
√
x2+9
9x
+ C
(g) 1√
5
ln
∣∣∣∣
√
x2+5−√5
x
∣∣∣∣+ C
(h) 1
a
arctg
(
x
a
)
+ C
(i) 1
250
(
arcsen
(
x
5
)− 5√x2−25
x2
)
+ C
(j) ln
∣∣∣∣x4 +
√
x2+16
4
∣∣∣∣+ C
(k) 1
6
ln
∣∣∣ 3x−13x+1
∣∣∣+ C
Exerc´ıcios 25
(l) 1
128
(
arcsen
(
x
4
)− 4√x2−16
x2
)
+ C
2. (a) x+2
9
√
9−(x+2)2 + C
(b) 1
4
√
4x2 + 8x+ 5− 1
2
ln |√4x2 + 8x+ 5+2x+2|+
C
(c) 1
2
ln
(
(x− 2)2 + 4)+ arctg (x−2
2
)
+ C
(d) 1√
2
arcsen
(√
2/7(x+ 1)
)
+ C
3. (a) ln(|x− 2|1/3|x+ 1|8/3) + C
(b) 5x+ ln
(
x2|x+2|14/3
|x−4|8/3
)
+ C
(c) ln |x2(x+ 1)|+ 1
x+1
+ C
(d) − ln |x| − 2
x
+ ln |x− 1|+ C
(e) 3
2
ln(x2 + 4) + 5 ln |x+ 1|+ C
(f) ln |x|+ 1
x
+ ln(x2 + 2) +
√
2
2
arctg
√
2
2
x+ C
(g) 2 ln |x| − ln(x2 + 1) + arctg x+ 1
x2+1
+ C
(h) 1
2
arctg x+ x
2(x2+1)
+ C
Exercicios Complementares (cap. 9)
1. (a) sen x− sen3x
3
+ C
(b) − 1
2
(
cos 2x− 2
3
cos3(2x) + 1
5
cos5(2x)
)
+ C
(c) sen
3x
3
− 2sen5x
5
+ sen
7x
7
+ C
(d)
5(cos x)5/2
2
− 2√cos x+ C
2. (a) x
2
+
sen(2x)
4
+ C
(b) 3x
8
− sen 2x
4
+ sen 4x
32
+ C
(c) 1
32
(
3x
4
− sen4x
4
+ sen 8x
32
)
+ C
(d) 1
8
(
x
2
− sen 4x
8
− sen32x
6
)
+ C
3. (a) − cos7x
14
+ cos x
2
+ C
(b) − 1
10
cos 9x− 1
10
cos 5x+ C
(c) − 1
14
cos 7x− 1
6
cos 3x+ C
(d) 1
2
sen x+ 1
14
sen 7x+ C
Refereˆncias Bibliogra´ficas
Ca´lculo Diferencial e Integral
[1] A´vila, Geraldo, Ca´lculo das func¸o˜es de uma varia´vel, vol.1. 7a Edic¸a˜o- Rio de Janeiro:
LTC, 2008.
[2] Guidorizzi, Hamilton Luiz, Um curso de Ca´lculo, vol.1 ,2,3 e 4. 5a Edic¸a˜o- Rio de
Janeiro: LTC, 2008.
[3] Hoffmann, Laurence D. Ca´lculo: um curso moderno e suas aplicac¸o˜es. 9a edic¸a˜o; Rio
de Janeiro: LTC, 2008.
[4] Leithold, Louis, O ca´lculo com Geometria Anal´ıtica, vol. 1, 2. 3a Edic¸a˜o. Editora Habra.
[5] Leithold, Louis, Matema´tica aplicada a` Economia e Administrac¸a˜o. Editora Habra.
[6] Munem, M. A. & Foulis, D.j. Ca´lculo, vol. 1 e 2 ; Rio de Janeiro: LTC, 2008.
[7] Stewart, James. Ca´lculo, vol. 1, 2 Sa˜o Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006.
Equac¸o˜es Diferenciais
[8] Bassanezi, Rodney Carlos & Ferreira Jr, Wilson Castro. Equac¸o˜es Diferenciais com
aplicac¸o˜es. Editora Habra Ltda.
[9] Figueiredo, Djairo G. & Neves, Aloiso Freiria. Equac¸o˜es Diferenciais Aplicadas 2a
Edic¸a˜o- Rio de Janeiro: IMPA,2002.
[10] Sotomayor, Jorge. Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias. Editora Livraria da F´ısica. Sa˜o
Paulo, Colec¸a˜o textos universita´rios do IME-USP.
[11] Zill, Dennis G. & Cullen Michael R. Equac¸o˜es Diferenciais, vol. 1 e 2. Sa˜o Paulo:
Pearson Makron Books,2001
Histo´ria Matema´tica
[12] Carl B. Boyer and Uta Merzbach. A history of mathematics. 3rd ed.
[13] Bardi, Jason Socrates. A guerra do Ca´lculo. Editora Record Ltda, 2006.
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	Referências Bibliográficas