Variáveis Aleatórias e Distribuição de Probabilidade

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Curso: Engenharia Civil 
Disciplina: Estatística (ESTE2) 
Prof. Rodrigo Cleber da Silva 
Aula 13 
13 – Variável Aleatória e Distribuição de Probabilidade 
 1 – Definição de variável aleatória 
 
 Introduzidas às noções fundamentais sobre a teoria das 
probabilidades, podemos passar às chamadas Distribuições de 
Probabilidades. 
 
DEFINIÇÃO: 
• Ema variável aleatória é uma variável (normalmente representada 
por x) que assume um único valor numérico, determinado pelo 
acaso, para cada resultado de um experimento. 
• Uma distribuição de probabilidade é uma descrição que dá a 
probabilidade para cada valor da variável aleatória. Ela é 
frequentemente expressa na forma de um gráfico, de uma tabela ou 
de uma fórmula. Resumindo uma distribuição de probabilidade é 
uma distribuição de frequência relativa para os resultados de um 
espaço amostral. 
13 – Variável Aleatória e Distribuição de Probabilidade 
 1 – Definição de variável aleatória 
 
 Considerando a variável aleatória (v.a.) “número de caras em 
duas jogadas de uma moeda”, eis a lista dos pontos do espaço 
amostral e os valores correspondentes à v.a.: 
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 1 – Definição de variável aleatória 
 
 Se a moeda é equilibrada, P(K)=P(C)=1/2. As probabilidades 
dos diversos resultados são: 
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 1 – Definição de variável aleatória 
 
 Assim, pois, a distribuição de probabilidades para o número de 
caras em duas jogadas de uma moeda é: 
 
 
 
 
 Nota-se que a soma de todas as probabilidades é 1,00, como é 
de se esperar, pois os resultados apresentados são mutuamente 
exclusivos e coletivamente exaustivos. A mesma distribuição pode ser 
apresentada em forma acumulada. 
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 1 – Definição de variável aleatória 
 
 Graficamente, as distribuição de probabilidade e acumulada se 
apresentam: 
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 1 – Definição de variável aleatória 
 
 Portanto concluímos que uma variável aleatória (v.a.) fornece 
um meio para se descrever por valores numéricos os resultados 
experimentais. Uma v.a. é uma descrição numérica do resultado de um 
experimento. 
 Uma v.a. pode ser classificada como discreta ou contínua, 
dependendo dos valores numéricos que ela assume. 
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 2 – Variável aleatória discretas 
 
 Uma v.a. que pode assumir tanto um número finito de valores 
como infinita sequência de valores tais como 0, 1, 2, 3, ... é 
denominada variável aleatória discreta. Por exemplo, considere o 
experimento de um contador que faz um exame público. O exame tem 
quatro partes. Podemos definir a v.a. discreta como x ≡ o número de 
partes em que foi aprovado no exame. Essa v.a. discreta pode assumir 
o número finito de valores 0, 1, 2, 3 ou 4. 
 Como outro exemplo, considere o experimento de carros que 
chegam a um posto de pedágio. A v.a. de interesse é x º o número de 
carros que chega durante o período de um dia. Os possíveis valores de 
x vêm da sequência de inteiros 0, 1, 2 e assim por diante. Portanto x é 
uma v.a. discreta que assume um dos valores nessa sequência infinita. 
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 2 – Variável aleatória discretas 
 
 Embora muitos experimentos tenham resultados que são 
naturalmente descritos por valores numéricos, outros não o são. Por 
exemplo, uma questão de um levantamento pode solicitar a um 
indivíduo que relembre a mensagem de um recente comercial de 
televisão. Esse experimento poderia ter dois resultados possíveis: o 
indivíduo não pode lembrar a mensagem e o indivíduo pode lembrar a 
mensagem. Podemos ainda descrever esses resultados experimentais 
numericamente, definindo-se a v.a. discreta x como segue: seja x = 0 
se o indivíduo não pode lembrar a mensagem e x = 1 se o indivíduo 
pode lembrar a mensagem. Os valores numéricos para essa v.a. são 
arbitrários (poderíamos usar 5 e 10), mas eles são aceitáveis em 
termos da definição de uma v.a.. 
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 2 – Variável aleatória discretas 
 
 Outros exemplos de v.a. discretas são dados a seguir: 
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 3 – Variável aleatória contínuas 
 
 Uma v.a. que pode assumir qualquer valor numérico em um 
intervalo ou numa coleção de intervalos é chamada v.a. contínua. 
Resultados experimentais que são baseados em escalas de medidas 
tais como peso, tempo, distância e temperatura podem ser descritos 
por v.a. contínuas. Por exemplo considere, o experimento de 
monitorar as chamadas telefônicas que chegam a um escritório de 
reclamações de uma grande empresa de seguros. Suponha que a v.a. 
de interesse seja x ≡ o tempo em minutos entre chamadas 
consecutivas recebidas. Essa v.a. pode assumir qualquer valor no 
intervalo x > 0. Realmente, um número infinito de valores são 
possíveis para x, incluindo valores tais como 1,27 minutos, 2,471 
minutos, 4,5555 minutos e assim por diante. 
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 3 – Variável aleatória contínuas 
 
 Como um outro exemplo, considere um trecho de 144 Km de 
uma auto-estrada interestadual ao norte de Atlanta, Geórgia, nos USA. 
Para um serviço de emergência localizado em Atlanta, podemos 
definir a v.a. como x ≡ a localização do próximo acidente de trânsito 
ao longo desse trecho da auto-estrada. Neste caso, x seria uma v.a. 
contínua que assume qualquer valor no intervalo 0 < x < 144. Outros 
exemplos são apresentados na tabela abaixo. 
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 3 – Variável aleatória contínuas 
 
 
13 – Variável Aleatória e Distribuição de Probabilidade 
 3 – Variável aleatória contínuas 
 
Observação: Um modo de determinar se uma v.a. é discreta ou 
contínua é pensar nos valores da v.a. como pontos sobre um segmento 
de reta. Escolha 2 pontos que representam valores da v.a.. Se todo o 
segmento de reta entre os 2 pontos também representa possíveis 
valores para a v.a., então a v.a. é contínua. 
13 – Variável Aleatória e Distribuição de Probabilidade 
Exercício: Uma série de experimentos e v.a.‘s associadas são listados 
a seguir. Em cada caso, identifique os valores que a v.a. pode assumir 
e estabeleça se a v.a. é discreta ou contínua. 
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 4 – Distribuição discreta de probabilidade 
 
 A distribuição de probabilidade para uma v.a. descreve como 
as probabilidades estão distribuídas sobre os valores da v.a.. Para uma 
v.a. discreta x, a distribuição de probabilidade é definida por uma 
função de probabilidade, denotada por f(x). A função de probabilidade 
fornece a probabilidade para cada um dos valores da v.a.. 
 Como exemplo de v.a. discreta e sua distribuição de 
probabilidade, considere as vendas de automóveis de uma 
revendedora chamada X-Motors. Nos últimos 300 dias de operação, 
os dados de vendas mostram 54 dias sem vendas de automóveis, 117 
dias com um automóvel vendido, 72 dias com dois automóveis 
vendidos, 42 dias com três automóveis vendidos, 12 dias com quatro 
automóveis vendidos e 3 dias com cinco automóveis vendidos. 
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 4 – Distribuição discreta de probabilidade 
 
 Suponha que consideremos o experimento de selecionar um 
dia de operação na X-Motors. Definimos a v.a. de interesse como x ≡ 
o número de automóveis vendidos durante um dia. A partir dos dados 
históricosconhecidos, sabemos que x é uma v.a. discreta que pode 
assumir os valores 0, 1, 2, 3, 4 ou 5. Na notação da função de 
probabilidade, f(0) fornece a probabilidade de 0 automóveis vendidos, 
f(1) fornece a probabilidade de 1 automóvel vendido e assim por 
diante. Uma vez que os dados mostram 54 dos 300 dias com 0, 
atribuímos o valor 54/300 = 0,18 para f(0), indicando que a 
probabilidade de 0 automóvel ter sido vendido durante um dia é de 
0,18. Analogamente, podemos calcular as demais funções, mostradas 
na tabela a seguir. 
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 4 – Distribuição discreta de probabilidade 
 
 
13 – Variável Aleatória e Distribuição de Probabilidade 
 4 – Distribuição discreta de probabilidade 
 
 No desenvolvimento de uma função de probabilidade para 
qualquer v.a. discreta, as duas condições seguintes precisam ser 
satisfeitas: 
 
 
 
 O exemplo mais simples de uma distribuição discreta de 
probabilidade é a distribuição uniforme de probabilidade. Sua função 
de probabilidade é dada a seguir: 
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 4 – Distribuição discreta de probabilidade 
 
 Por exemplo considere o experimento de lançamento de um 
dado e defina a v.a. x como sendo o número da face voltada para 
cima. Existem n = 6 valores possíveis para a v.a.; x = 1, 2, 3, 4 , 5, 6. 
Assim a função de probabilidade para esta v.a. é 
 
f(x) = 1/6 x = 1,2,3,4,5,6 
13 – Variável Aleatória e Distribuição de Probabilidade 
 5 – Valor esperado e Variância de uma v.a. Discreta 
 
• Valor esperado 
 
 O valor esperado, ou média, de uma v.a. discreta é a medida de 
posição central para a v.a.. A expressão matemática para o valor 
esperado da v.a. x é dada por: 
 
E(x) = μ = Σ x.f(x) 
 
 Voltando ao exemplo anterior da X-Motors, temos: 
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 5 – Valor esperado e Variância de uma v.a. Discreta 
 
• Valor esperado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto E(x) = μ = Σ x.f(x) = 1,50. 
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 5 – Valor esperado e Variância de uma v.a. Discreta 
 
• Variância 
 Enquanto o valor esperado fornece o valor médio para a v.a., 
frequentemente necessitamos de uma medida de variabilidade ou de 
dispersão. A expressão matemática para a variância é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 5 – Valor esperado e Variância de uma v.a. Discreta 
 
• Variância 
 No exemplo anterior temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios: