Aula14- Distribuição Binomial

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Curso: Engenharia Civil 
Disciplina: Estatística (ESTE2) 
Prof. Rodrigo Cleber da Silva 
Aula 14 
13.1 – Distribuição Binomial 
 A distribuição binomial de probabilidade é uma distribuição 
discreta de probabilidade que tem muitas aplicações. Ela está 
associada a um experimento de múltipla etapa que chamamos de 
experimento binomial. 
13.1 – Distribuição Binomial 
 1 – Um experimento binomial 
 
 Um experimento binomial tem as quatro seguintes 
propriedades: 
 
(1ª) O experimento consiste de uma sequência de n ensaios idênticos. 
(2ª) Dois resultados são possíveis em cada ensaio. Referimo-nos a um 
como um sucesso e ao outro como um fracasso. 
(3ª) A probabilidade de um sucesso, denotado por p, não se modifica 
de ensaio para ensaio. Consequentemente, a probabilidade de um 
fracasso, denotado por q (onde q = 1 – p), não se modifica de ensaio 
para ensaio. 
(4ª) Os ensaios são independentes. 
13.1 – Distribuição Binomial 
 1 – Um experimento binomial 
 
 Se as propriedades 2, 3 e 4 estão presentes, dizemos que os 
ensaios são gerados por um processo de Bernoulli. Se além disso, a 
propriedade 1 está presente, dizemos que temos um experimento 
binomial. 
 
 Suponhamos agora o experimento E4= “Lançamento de 4 
moedas”. A tabela abaixo mostra todas as possibilidades de 
combinações cara/coroa, os eventos que estas combinações originam e 
os valores correspondentes da variável aleatória X : Número de vezes 
que sai “Cara”. 
13.1 – Distribuição Binomial 
 1 – Um experimento binomial 
 
 
13.1 – Distribuição Binomial 
 1 – Um experimento binomial 
 
 Utilizando as regras do produto para eventos independentes (e) 
e da adição para eventos mutuamente exclusivos (ou) é possível 
calcular as probabilidades associadas aos valores de X. 
 
 A probabilidade de X=0 é obtida pelo conhecimento de termos 
4 coroas, sabe-se que a probabilidade de sair coroa é ½ , a 
probabilidade final será: 0,5x0,5x0,5x0,5 = 0,0625. 
 
 Para o cálculo da probabilidade X=1 deve-se trabalhar com o 
evento “1K e 3C” como temos as opções a,b,c,d, que são mutuamente 
exclusivas, a regra da soma manda efetuar a adição 0,0625+0,0625 
+0,0625+0,0625 ou, o que é o mesmo de se efetuar o produto 4x 
0,0625 = 0,25. 
13.1 – Distribuição Binomial 
 1 – Um experimento binomial 
 Desta forma analogamente temos: 
13.1 – Distribuição Binomial 
 1 – Um experimento binomial 
 
13.1 – Distribuição Binomial 
 1 – Um experimento binomial 
Exemplo: Supondo que a probabilidade de uma ervilha ter vagem seja 
0,75, use a fórmula da probabilidade binomial para encontrar a 
probabilidade de se obterem exatamente 3 ervilhas com vagens 
quando são geradas 5 proles. 
P(3)=? 
n=5 
x=3 
q=1-p=1-0,75=0,25 
3 5 35!(3) .0,75 .0,25
(5 3)!3!
5!
 = .0,421875.0,0625 0,263671875
2!3!
P 


13.1 – Distribuição Binomial 
Exercícios 
13.1 – Distribuição Binomial 
Exercícios 
13.2 – Distribuição de Poisson 
 A chamada Distribuição de Poisson ou de Eventos Raros pode 
ser considerada um caso limite da distribuição binomial. Quando “n” 
é grande e “p” é pequeno podemos usar a proximação de Poisson para 
a distribuição Binomial. 
 
 É difícil dar condições precisas para que se possa usar a 
aproximação de Poisson, ou seja, o que significa quando “n” é grande 
e “p” pequeno. Como regra geral (de referência empírica) podemos 
usar: 
 
 n > 100 e n.p < 10 
 
n = elementos da população 
P = probabilidade 
13.2 – Distribuição de Poisson 
 Exemplo: n = 150 p = 0,05 
 Temos a distribuição de Poisson com: 
 n.p=150.(0,05)=7,5. A equação a ser usada é: 
 
 
 
 sendo e=2,718 e μ = n.p 
 A distribuição de Poisson difere de uma distribuição binominal 
neste aspectos fundamentais: 
• A distribuição binomial é afetada pelo tamanho n da amostra e pela 
probabilidade p, enquanto a distribuição de Poisson é apetado 
apenas pela média μ. 
• Na distribuição binomial, os valores possíveis da variável aleatória 
x são 0, 1, ..., n, mas uma distribuição de Poisson tem, para valores 
possíveis de x, 0, 1,2,..., sem nenhum limite superior. 
 
.( . ) .
( )
!
x n pn p e
f x
x


13.2 – Distribuição de Poisson 
13.2 – Distribuição de Poisson 
13.2 – Distribuição de Poisson 
Exercícios 
13.2 – Distribuição de Poisson 
Exercícios