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Curso: Engenharia Civil Disciplina: Estatística (ESTE2) Prof. Rodrigo Cleber da Silva Aula 17 15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 1- Aspectos Gerais Quando decidimos usar métodos de Amostragem para chegar a uma decisão sobre a variável investigada, devemos definir rigorosamente nossos conceitos e procedimentos. Em seguida, devemos assegurar que nossa “Amostra” reflita as características do agregado no máximo grau possível. A principal vantagem de se adotar seleção Aleatória de amostras em investigação cientifica é a de que sabemos matematicamente alguma coisa sobre a natureza do comportamento destas Amostras Aleatórias. 15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 1- Aspectos Gerais Do ponto de vista do Estatístico as amostras devem ser tão grandes quanto possíveis. Quanto maior é a amostra, maior é a confiança que se tem nos resultados. Para entender as razões desse ponto de vista, imagine que em uma cidade existem dois hospitais. Em um deles nascem 120 bebês por dia e no outro 12. A razão de meninos e meninas é, em média, 50% nos dois hospitais. Uma vez nasceu, em um dos hospitais, duas vezes mais meninos do que meninas (67% meninos e 33% meninas). Em qual dos hospitais é provável que isso tenha ocorrido? É claro que foi no menor. 15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 1- Aspectos Gerais A probabilidade de obter uma estimativa que se desvia muito do parâmetro aumenta quando a amostra for pequena. As amostras muito pequenas são inúteis por que não dão, em geral, boas estimativas. No entanto amostras muito grandes, porém mal feitas, são piores porque dão a ilusão de conter a verdade. 15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 2- Estimativas de uma média populacional: Grandes Amostras Em geral a média amostral é a melhor estimativa de uma média populacional μ. Um estimador é uma estatística amostral (como a média amostral ) utilizada para obter uma aproximação de um parâmetro populacional. Uma estimativa é um valor específico, ou um intervalo de valores, usado para aproximar um parâmetro populacional. Há duas razões para explicar por que uma média amostral ( ) tende a centrar-se em torno da média populacional μ. X X X 15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 2- Estimativas de uma média populacional: Grandes Amostras 15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 2- Estimativas de uma média populacional: Grandes Amostras 2.1 Intervalo de Confiança Quando usamos a média para estimar a média populacional μ e fazemos uma estimativa pontual não temos qualquer indicação de quão boa é essa estimativa. Para isso foi desenvolvido outro tipo de estimativa que efetivamente indica quão boa é uma estimativa pontual. Essa estimativa, chamada intervalo de confiança ou estimativa intervalar, consiste em uma amplitude (ou um intervalo) de valores, em lugar de um único valor. Um intervalo de confiança está associado a um grau de confiança que é a medida da nossa certeza de que o intervalo contem o parâmetro populacional. X 15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 2- Estimativas de uma média populacional: Grandes Amostras 2.1 Intervalo de Confiança Para tanto usa-se a probabilidade α, que corresponde à área na curva normal, a qual pela simetria da curva divide-se em duas partes como aparece sombreada na curva abaixo: 15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 2- Estimativas de uma média populacional: Grandes Amostras 2.1 Intervalo de Confiança 15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 2- Estimativas de uma média populacional: Grandes Amostras 2.1 Intervalo de Confiança 15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 2- Estimativas de uma média populacional: Grandes Amostras 2.1 Intervalo de Confiança 15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 2- Estimativas de uma média populacional: Grandes Amostras 2.1 Intervalo de Confiança 15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 2- Estimativas de uma média populacional: Grandes Amostras 2.1 Intervalo de Confiança 15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 2- Estimativas de uma média populacional: Grandes Amostras 2.1 Intervalo de Confiança 15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 2- Estimativas de uma média populacional: Grandes Amostras 2.1 Intervalo de Confiança Quando utilizamos dados amostrais para estimar uma média populacional μ, a margem de erro, denotada por E é a diferença máxima provável (com probabilidade 1 - α) entre a média amostral observada e a verdadeira média populacional μ. E = erro máximo da estimativa Esta fórmula só pode ser usada quando conhecemos σ (Desvio Padrão da População). 15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 2- Estimativas de uma média populacional: Grandes Amostras 2.1 Intervalo de Confiança Quando σ é desconhecido, temos: - Se n > 30, podemos substituir σ na fórmula acima pelo Desvio Padrão Amostral S. - Se n ≤ 30, a curva deve ser normal e devemos conhecer obrigatoriamente o σ para aplicar a fórmula. Adiante daremos uma outra solução quando n ≤ 30. 15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 2- Estimativas de uma média populacional: Grandes Amostras 2.1 Intervalo de Confiança Com base na definição da margem de erro E, podemos agora identificar o intervalo de confiança para a média populacional μ. Intervalo de confiança (ou estimativa intervalar) para a média populacional μ (com base em grandes amostras: n > 30) é: 15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 2- Estimativas de uma média populacional: Grandes Amostras 15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 2- Estimativas de uma média populacional: Grandes Amostras Exercício 15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 2- Estimativas de uma média populacional: Grandes Amostras Exercício 15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 2- Estimativas de uma média populacional: Grandes Amostras 2.2 Determinação do tamanho da amostra Suponha que estamos definindo um procedimento para uma pesquisa cientifica. Como sabemos quantos elementos da População devem ser escolhidos? Suponha, por exemplo, que queiramos estimar a renda média de pessoas que concluíram um curso superior, no primeiro ano após a formatura. Quantas rendas devemos incluir em nossa amostra? Partindo-se da expressão da margem de erro E e resolvendo em relação ao tamanho da amostra n temos: 15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 2- Estimativas de uma média populacional: Grandes Amostras 2.2 Determinação do tamanho da amostra O número da amostra deve ser um número inteiro, quando isso não ocorre devemos arredondar usando o número inteiro mais próximo para cima. 15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 2- Estimativas de uma média populacional: Grandes Amostras 2.2 Determinação do tamanho da amostra Exemplo: Um economista deseja estimar a renda média para o primeiro ano de trabalho de um bacharel por uma faculdade, que teve a feliz ideia de fazer um curso de Estatística. Quantos valores de renda devem ser tomados se o economista deseja ter 95% de confiança que a média amostral esteja a menos de R$ 20,00 da verdadeira média populacional? Suponha que saibamos por um estudo prévio, que, para tais rendas o desvio padrão σ = R$ 100,00. 15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 2- Estimativas de uma média populacional: Grandes Amostras2.2 Determinação do tamanho da amostra Solução: Queremos determinar o tamanho da amostra “n” dado que α = 0,05 (95% de confiança). Desejamos que a média amostral esteja a menos de R$ 20,00 da média populacional de forma que o Erro seja E = 20. Supondo que σ = R$ 100,00, aplicamos a Fórmula Devemos, portanto, obter uma amostra de 97 rendas de primeiro ano, selecionadas aleatoriamente, de Bacharéis de Faculdades que tenham feito um curso de Estatística. 15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 2- Estimativas de uma média populacional: Grandes Amostras 2.2 Determinação do tamanho da amostra Com tal amostra teremos 95% de confiança de que a média amostral difira em menos de R$ 20,00 da verdadeira média populacional, X
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