Resolucao lista 02 Espaços Vetoriais

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Curso de Álgebra Linear 
Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática - 
Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis 
Exercícios de Álgebra Linear - Lista 02 – Espaços vetoriais 
 
1. No conjunto V={(x , y) / x , y ∈IR}. Definimos as operações de 
* Adição: (x1 , y1) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , 0); 
*Multiplicação: k(x , y) = (kx , ky), ∀ k ∈IR. 
Verificar se, nessas condições, V é um espaço Vetorial. 
Dizemos que um conjunto V é um espaço vetorial quando neste conjunto vale as 
oito propriedades, a de adição e a de multiplicação. 
 
Adição: 
 
A1) u+v=v+u 
(x1,y1)+(x2,y2) = (x2,y2)+ (x1,y1) 
(x1+x2 , 0) = (x2+x1 , 0), Vale A1 
 
A2) u+(v+w) = (u+v)+w 
(x1,y1)+[(x2,y2)+(x3,y3)] = [(x1,y1)+(x2,y2)]+(x3,y3) 
(x1,y1)+[x2+x3 , 0] = (x1+x2 , 0)+(x3 , y3) 
(x1+x2+x3 , 0) = (x1+x2+x3 , 0), Vale A2 
 
A3) u+0 = u 
(x1,y1)+(0,0) = (x1,y1) 
(x1+0,y1+0) = (x1,y1) 
(x1,0) = (x1,y1) , não vale A3 
 
A4) u+(-u) = 0 
(x1,y1)+(-x1,-y1) = (0,0) 
(0,0)=(0,0), Vale A4 
 
Multiplicação: 
 
M1) λ(ku) = (λk)u 
λ[k(x1,y1)] = (λk)(x1,y1) 
λ(kx1,ky1) = (λkx1, λky1) 
(λkx1, λky1) = (λkx1, λky1), Vale M1 
 
M2) k(u+v) = ku+kv 
K[(x1,y1)+(x2,y2)] = k(x1,y1)+k(x2,y2) 
K[(x1+x2 , 0)] = (kx1,ky1)+(kx2,ky2) 
(kx1+kx2 , 0) = (kx1+kx2 , 0), Vale M2 
 
M3) (λ+k)u = λu+ku 
(λ+k)(x1,y1) = λ(x1,y1)+k(x1,y1) 
[(λ+k)x1,(λ+k)y1] = (λx1, λy1)+(kx1,ky1) 
(λx1+kx1,λy1+ky1) ≠ (λx1+kx1,0), Não vale M3 
 
M4) 1u = u 
1(x1,y1) = (x1,y1) 
 (x1,y1) = (x1,y1) Vale M4 , 
Para ser um espaço vetorial, é necessário satisfazer as oito propriedades, e como 
não valem a A3 e M3, não é um espaço vetorial. 
 
 
 
2. No conjunto dos pares ordenados de números reais , se definirmos a operação 
de adição como (x1 , y1) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1+ y2), e a operação de 
Multiplicação como k(x , y) = (x , ky), o conjunto V assim definido não é um espaço 
vetorial.Verificar quais das 8 propriedades não são válidas; 
Adição: 
 
A1) u+v=v+u 
(x1,y1)+(x2,y2) = (x2,y2)+ (x1,y1) 
(x1+x2 , y1+y2) = (x2+x1 , y2+y1) , Vale A1 
 
A2) u+(v+w) = (u+v)+w 
(x1,y1)+[(x2,y2)+(x3,y3)] = [(x1,y1)+(x2,y2)]+(x3,y3) 
(x1,y1)+[x2+x3 , y2+y3] = (x1+x2 , y1+y2)+(x3 , y3) 
(x1+x2+x3 , y1+y2+y3) = (x1+x2+x3 , y1+y2+y3), Vale A2 
 
A3) u+0 = u 
(x1,y1)+(0,0) = (x1,y1) 
(x1+0,y1+0) = (x1,y1) 
(x1,y1) = (x1,y1), Vale A3 
 
A4) u+(-u) = 0 
(x1,y1)+(-x1,-y1) = (0,0) 
(0,0)=(0,0), Vale A4 
 
Multiplicação: 
 
M1) λ(ku) = (λk)u 
λ[k(x1,y1)] = (λk)(x1,y1) 
λ(x,ky1) = (x, λky1) 
(x, λky1) = (x, λky1), Vale M1 
 
M2) k(u+v) = ku+kv 
K[(x1,y1)+(x2,y2)] = k(x1,y1)+k(x2,y2) 
K[(x1+x2 , y1+y2)] = (x1,ky1)+(x2,ky2) 
(x1+x2 , ky1+ky2) = (x1+x2 , ky1+ky2), Vale M2 
 
M3) (λ+k)u = λu+ku 
(λ+k)(x1,y1) = λ(x1,y1)+k(x1,y1) 
[x1,(λ+k)y1] = (x1, y1)+(x1,ky1) 
(x1,λy1+ky1) ≠ (2x1, λy1+ ky1), Não vale M3 
 
M4) 1u = u 
1(x1,y1) = (x1,y1) 
 (x1,y1) = (x1,y1) , vale M4 
 
Não é um Espaço Vetorial e a propriedade que não vale é a M3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Considerando os Espaços Vetoriais U e V sobre IR, provar que o conjunto 
W=UxV={(u,v) / u ∈ U e v ∈ V} é um espaço vetorial em relação às operações; 
Adição: (u1 , v1) + (u2 , v2 ) = (u1 + u2 , v1 + v2 ) e Multiplicação: k(u ,v) =(ku ,kv). 
Adição: 
 
A1) u+v=v+u 
(u1,v1)+(u2,v2) = (u2,v2)+ (u1,v1) 
(u1+u2 , v1+v2) = (u2+u1 , v2+v1) , Vale A1 
 
 
A2) u+(v+w) = (u+v)+w 
(u1,v1)+[(u2,v2)+(u3,v3)] = [(u1,v1)+(u2,v2)]+(u3,v3) 
(u1,v1)+[u2+u3 , v2+v3] = (u1+u2 , v1+v2)+(u3 , v3) 
(u1+u2+u3 , v1+v2+v3) = (u1+u2+u3 , v1+v2+v3), Vale A2 
 
A3) u+0 = u 
(u1,v1)+(0,0) = (u1,v1) 
(u1+0,v1+0) = (u1,v1) 
(u1,v1) = (u1,v1), Vale A3 
 
A4) u+(-u) = 0 
(u1,v1)+(-u1,-v1) = (0,0) 
(0,0)=(0,0), Vale A4 
 
Multiplicação: 
 
M1) λ(ku) = (λk)u 
λ[k(u1,v1)] = (λk)(u1,v1) 
λ(ku1,kv1) = (λku1, λkv1) 
(λku1, λkv1) = (λku1, λkv1), Vale M1 
 
M2) k(u+v) = ku+kv 
K[(u1,v1)+(u2,v2)] = k(u1,v1)+k(u2,v2) 
K[(u1+u2 , v1+v2)] = (ku1,kv1)+(ku2,kv2) 
(ku1+ku2 , kv1+kv2) = (ku1+ku2 , kv1+kv2), Vale M2 
 
M3) (λ+k)u = λu+ku 
(λ+k)(u1,v1) = λ(u1,v1)+k(u1,v1) 
[(λ+k)u1,(λ+k)v1] = (λu1, λv1)+(ku1,kv1) 
(λu1+ku1, λv1+kv1) = (λu1+ku1, λv1+kv1), Não vale M3 
 
M4) 1u = u 
1(u1,v1) = (u1,v1) 
 (u1,v1) = (u1,v1) , vale M4, portanto é um espaço vetorial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. No conjunto dos pares ordenados de números reais, definirmos a operação de 
adição como (x1 , y1) + (x2 , y2 ) = (2x1 –2y1 , -x1+ y1), e a operação de 
Multiplicação como k(x, y) = (3ky, -kx). Com estas operações, verificar se V é 
espaço vetorial sobre IR. 
Adição: 
 
A1) u+v=v+u 
(x1,y1)+(x2,y2) = (x2,y2)+ (x1,y1) 
(2x1+-2y1 , -x1+y1) ≠ (2x2-y2 , -x2+y2) , não vale A1 
 
A2) u+(v+w) = (u+v)+w 
(x1,y1)+[(x2,y2)+(x3,y3)] = [(x1,y1)+(x2,y2)]+(x3,y3) 
(x1,y1)+[2x2+2y2 , -x2+y2] = [(2x1-2y1 , -x1+y1)]+(x3 , y3) 
(2x1-2y1 , -x1+y1) ≠ [2[2x1-2y1)-2(-x1+y1)], não vale A2 
 
A3) u+0 = u 
(x1,y1)+(0,0) = (x1,y1) 
(2x1-2y1 , -x1+y1) ≠ (x1,y1), não vale A3 
 
A4) u+(-u) = 0 
(x1,y1)+(-x1,-y1) = (0,0) 
(2x1-2y1 , -x1+y1) ≠ (0,0), não vale A4 
 
Multiplicação: 
 
M1) λ(ku) = (λk)u 
λ[k(x1,y1)] = (λk)(x1,y1) 
(3λky1,- λkx1) = (3λky1, -λkx1), Vale M1 
 
M2) k(u+v) = ku+kv 
K[(x1,y1)+(x2,y2)] = k(x1,y1)+k(x2,y2) 
K[2x1-2y1 , -x1+y1] = (3ky1,-kx1)+(3ky2,-kx2) 
3K(-x1+y1) , -k(2x1-2y1) ≠ [2(3ky1)-2(-kx1) , -3ky1-kx1], não vale M2 
 
M3) (λ+k)u = λu+ku 
(λ+k)(x1,y1) = λ(x1,y1)+k(x1,y1) 
[3(λ+k)y1 , -(λ+k)x1] = (3λy1, λx1)+(3ky1 , -kx2) 
[3(λ+k)y1 , -(λ+k)x1] ≠ [2(3λy1)-2(-λx1) , -3λky1 –λx1), não vale M3 
 
M4) 1u = u 
1(x1,y1) = (x1,y1) 
 (3y1,-x1) ≠ (x1,y1) , não vale M4 
 
Assim sendo não é um Espaço Vetorial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Verificar se são Sub-espaços Vetoriais os seguintes subconjuntos do Espaço 
Vetorial do IR3 e , em caso negativo, identificar para cada caso, qual item da 
definição de sub-espaço vetorial não é atendido. 
Para ser um sub-espaço do R3, devemos ter satisfeitas as seguintes condições: 
i) o vetor nulo ∈ IR3, 
ii) o vetor soma (u1+u2) de dois vetores de W, ∈ W, 
iii) o vetor obtido pelo produto de um real por um vetor u, ∈ a U(ku) ,também ∈ W. 
 
a) W={(x, y, z) ∈ IR3 / x = 0} 
i) 0=(0,0,0) ∈ W 
 
ii) w1=(x1,y1,z1)∈ W w1=(0,y1,z1) 
 w2=(x2,y2,z2)∈ W w2=(0,y2,z2) 
w1+w2=(0,y1,z1)+( 0,y2,z2) = (0, y1+y2 , z1+z2) ∈ W 
 
iii) kw=k(0,y,z)=(0,ky,kz) ∈ W 
 
Portanto w é um sub-espaço de R
3
. 
 
b) W={(x, y, z) ∈ IR3 / x ∈ Z} 
i) 0=(0,0,0) ∈ W 
 
ii) w1=(x1,y1,z1)∈ W w1=(x1,y1,z1),com x1 ∈ Z 
 w2=(x2,y2,z2)∈ W w2=(x2,y2,z2), com x2 ∈ Z 
w1+w2=( x1,y1,z1)+( x2,y2,z2) = (x1+x2, y1+y2 , z1+z2), com x1+x2∈ Z, ∈ W 
 
iii) kw=k(x,y,z)= (kx,ky,kz),não vale pois k∈R e x∈ Z, kx pode w, então w não é um 
sub-espaço. 
 
c) W={(x, y, z) ∈IR3 / y é Irracional} 
i) 0=(0,0,0) w, pois y é irracional, então w não é subespaço. 
 
d) W={(x, y, z) ∈IR3 / x −3z = 0} 
i) 0=(0,0,0) ∈ W, pois 0-3(0)=0, 0=0 
 
ii) w1=(x1,y1,z1)∈ W w1= x1-3z1=0 
 w2=(x2,y2,z2)∈ W w2= x2-3z2=0 
w1+w2=( x1,y1,z1)+( x2,y2,z2) = (x1+x2, y1+y2 , z1+z2) / (x1+x2)+(-3)(z1+z2)=0 
(x1+x2)+(-3z1-3z2)=0 (x1-3z1)+( x2-3z2)=0 0+0=0, ∈ W 
 
iii) kw1=k(x,y,z)=(kx,ky,kz) / kx-3kz=0 k(x-3z)=0 k0=0 0=0, portanto w é 
um sub-espaço. 
 
e) W={(x, y, z) ∈IR3 / a x + b y + c z = 0, com a, b, c ∈ IR} 
i) 0=(0,0,0) ∈ W, a(0)+b(0)+c(0)=0 0=0 
 
ii) w1=(x1,y1,z1)∈ W w1= ax1+by1+cz1=0 
 w2=(x2,y2,z2)∈ W w2= ax2+by2+cz2=0 
w1+w2=( x1,y1,z1)+( x2,y2,z2) = (x1+x2, y1+y2 , z1+z2) / a(x1+x2)+b(y1+y2)+c(z1+z2) =0 
(ax1+ax2)+(by1+by2)+ (cz1+cz2) =0 (ax1+by1+cz1)+ (ax2+by2+cz2)=0 0=0, ∈ W 
 
iii) kw1=k(x,y,z)=(kx,ky,kz) /k(ax)+k(by)+k(cz)=0 kax+kby+kcz=0 
k(ax+by+cz)=0 k0=0 0=0, portanto w é um sub-espaço. 
 
f) W={(x, y, z) ∈IR3 / x = 1} 
i) 0=(0,0,0) w, pois 1+0+0≠0, então w não é subespaço 
 
g) W={(x, y, z)∈ IR3 / x2 + y + z =0} 
i) 0=(0,0,0) ∈ W, pois 02+0+0=0 
 
ii) w1=(x1,y1,z1)∈ W w1= x1
2
+y1+z1=0 
 w2=(x2,y2,z2)∈ W w2= x2
2
+y2+z2=0 
w1+w2=( x1,y1,z1)+( x2,y2,z2) = (x1+x2, y1+y2 , z1+z2) / (x1+x2)
2
+( y1+y2 )+(z1+z2)=0 
(x1
2
+2 x1.x2+ x2
2
)+( y1+y2 )+(z1+z2)=0 (x1
2
 +y1+z1)+ (x2
2
 +y2+z2)+(2x1.x2)=0, w, portanto não 
é sub-espaço. 
 
h) W={(x, y, z) ∈IR3 / x ≤ y ≤ z } 
i) 0=(0,0,0) ∈ W, pois 0 0 0 
 
ii) w1=(x1,y1,z1)∈ W x1 y1 z1 
 w2=(x2,y2,z2)∈ W x2 y2 z2 
w1+w2=( x1,y1,z1)+( x2,y2,z2) = (x1+x2, y1+y2 , z1+z2) / 
(x1+x2) ( y1+y2) (z1+z2) 
(x1+y1+ z1+y2) (x2+y2+z2), ∈ W 
 
iii) kw=k(x,y,z)=(kx,ky,kz)/ 
kx ky kz, w pois nada garante que kx ky kz, pois k é um número real 
qualquer, portanto w não é um sub-espaço. 
 
i) W={(x, y, z) ∈IR3 / x + y ∈ Q} 
i) 0=(0,0,0) ∈ W, pois 0+0=0 ∈ Q 
 
ii) w1=(x1,y1,z1)∈ W x1+y1 ∈ Q 
 w2=(x2,y2,z2)∈ W x2+y2 ∈ Q 
w1+w2=( x1,y1,z1)+( x2,y2,z2) = (x1+x2, y1+y2 , z1+z2)/ 
(x1+x2) ( y1+y2) ∈ Q 
(x1+y1) ( x2+y2) ∈ Q, ∈ W 
 
iii) kW=(kx,ky,kz)/ 
kx+ky ∈ W 
k(x+y) ∈ W, W, pois kx não será necessariamente um número racional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Verificar se é um Espaço Vetorial o conjunto dos vetores W do IR
5
 tais que: 
W= { (0, x2 , x3 , x4 , x5 ), com xi ∈ IR}. 
O conjunto w de vetores do R
5
, é um espaço vetorial sobre IR, se estiverem definidas nesse 
conjunto as seguintes operações fechadas de adição de vetores e multiplicação por um número 
real. 
 
A1) u+v = v+u 
(0, x2 , x3 , x4 , x5 )+(0, y2 , y3 , y4 , y5 )=(0, y2 , y3 , y4 , y5 )+(0, x2 , x3 , x4 , x5 ) 
(0, x2 +y2, x3+y3 , x4 + y4 , x5 +y5) = (0, y2 + x2, y3 + x3, y4 + x4, y5 + x5) vale A1 
 
A2) u+(v+w)=(u+v)+w 
(0,x2,x3,x4, x5)+[(0,y2,y3,y4,y5)+(0,z2,z3,z4,z5)]= 
[(0,x2,x3,x4, x5)+(0,y2,y3,y4,y5)]+(0,z2,z3,z4,z5) 
 
(0,x2,x3,x4 x5)+ (0, y2 + z2, y3 + z3, y4 + z4, y5 + z5)= 
(0, x2 +y2, x3+y3 , x4 + y4 , x5 +y5)+ (0,z2,z3,z4,z5) 
 
 (0, x2+y2+z2, x3+y3+z3, x4+y4+z4, x5+y5+z5)=(0, x2+y2+z2, x3+y3+z3, x4+y4+z4, x5+y5+z5) 
Vale A2 
 
A3)u+0=u 
(0,x2,x3,x4 x5)+(0,0,0,0,0)= (0,x2,x3,x4 x5) 
(0, x2 +0, x3+0 , x4 + 0 , x5 +0) 
 
A4)u+(-u)=0 
(0,x2,x3,x4 x5)+ (0,-x2,-x3, ,-x5) =(0,x2,x3,x4 x5) 
(0,x2-x2,x3-x3,x4-x4, x5-x5)=(0,0,0,0,0) valeA4 
 
M1) λ(ku) = (λk)u 
λ [k(0,x2,x3,x4 x5)] = (λk). (0,x2,x3,x4 x5) 
λ (0,kx2,kx3,k x4,k x5)] =(0, λkx2, λkx3, λkx4 ,λkx5) 
(0, λkx2, λkx3, λkx4 ,λkx5)= (0, λkx2, λkx3, λkx4 ,λkx5) 
 
M2) k(u+v) = ku+kv 
K[(0, x2 , x3 , x4 , x5 )+(0, y2 , y3 , y4 , y5 )]=K(0, x2 , x3 , x4 , x5 )+k(0, y2 , y3 , y4 , y5 ) 
k(0, x2 +y2, x3+y3 , x4 + y4 , x5 +y5)= (0, kx2, kx3,kx4 ,kx5 )+(0, ky2 , ky3 ,ky4 , ky5 ) 
(0, kx2 +ky2, kx3+ky3 , kx4 + ky4 , kx5 +ky5)= (0, kx2 +ky2, kx3+ky3 , kx4 + ky4 , kx5 +ky5) 
Vale M2 
 
M3) (λ+k)u = λu+ku 
(λ+k). (0,x2,x3,x4 x5) = λ(0,x2,x3,x4 x5)+k(0,x2,x3,x4 x5) 
(0, (λ+k). x2, (λ+k). x3, (λ+k). x4 , (λ+k). x5)= 
λ(0, λ x2, λ x3, λ x4 ,λ x5)+k(0, λ x2, λ x3, λ x4 ,λ x5) 
(0, λx2+k x2, λx3+k x3, λx4+k x4, λx5+k x5)= 
(0, λx2+k x2, λx3+k x3, λx4+k x4, λx5+k x5) vale M3 
 
M4) 1u = u 
1(0,x2,x3,x4 x5) =(0,x2,x3,x4 x5) 
(0,1x2,1x3, 1x4, 1x5) =(0,x2,x3,x4 x5) 
(0,x2,x3,x4 x5) =(0,x2,x3,x4 x5)