CCJ0101-WL-D-SIA-Nivelmento Matemática-Aula-01

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Olá, aluno! 
 
A primeira aula deste nivelamento tratará questões relacionadas à Matemática 
Básica, mostrando a importância da Matemática Elementar no dia a dia de 
qualquer pessoa. Assim, você relembrará velhos conceitos e métodos, com uma 
“pitada” de cotidiano. 
 
Traremos de volta uma velha lembrança, dos tempos do Ensino Fundamental e 
Médio, com frações, equações de 1º e 2º grau, MDC e MMC, entre outros. Para 
isso, nos concentraremos nas breves explanações teóricas e nos exemplos. 
 
 
Então, vamos lá! 
 
 
Frações 
 
Frações estão presentes em quase tudo. 
 
Quando compramos queijo, por exemplo, dificilmente pedimos quantidades 
inteiras, como 1Kg, mas, sim, frações do quilo. 
 
Os minutos também são frações da hora. 
 
Veja alguns casos comuns que envolvem as frações de hora presentes em nosso 
dia a dia: 
 
Você acha que 7,2 horas é o mesmo que 7 horas e 20 minutos? 
 
Não são valores iguais. 
 
Feedback: 
 
7,2 horas significa (7 horas) + (0,2 hora). 
 
Até aqui, sem problemas! 
 
Prosseguindo, 0,2 hora é o mesmo que dizer 2/10 da hora, ou seja, uma fração 
da hora. 
 
Como em 1 hora há 60 minutos, é correto falar que 2/10 da hora é 2/10 de 60 
minutos, ou seja: 
 
2/10.60 = 12 minutos 
 
 
 
 
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Assim, percebemos claramente que 7,2 horas = 7 horas e 12 minutos e não 7 
horas e 20 minutos! 
 
 
Regra de três, proporcionalidade e porcentagem 
 
Todo brasileiro é apaixonado por carro. Porém, apenas após adquirir o tão 
sonhado veículo que percebemos quantas despesas ele pode nos trazer: IPVA, 
seguro, pedágios, revisões constantes e, o maior vilão de todos: o combustível. 
 
Uma alternativa muito utilizada, ecologicamente sustentável e incentivada pelo 
nosso governo é a utilização do GVN (Gás Veicular Natural). Além de ser bem 
mais barato, quando comparado à gasolina e álcool, polui menos e possui um 
incentivo para o seu uso: os governos estaduais, geralmente, reduzem em 75% o 
preço do imposto IPVA. 
 
Vamos ver, matematicamente, as vantagens de tal combustível: 
 
Suponhamos que o consumo de um carro seja de 10 km/l quando anda na 
gasolina e que queremos adquirir o GNV. 
 
Para a aquisição e instalação deste kit veicular, devemos fazer um investimento 
de R$3200,00. 
 
Sabemos ainda que o consumo deste carro, com o kit GNV é de 13 km/l e que o 
custo de um litro de gasolina está R$2,80 enquanto o custo do m3 do GNV está 
R$2,60. 
 
Ignorando a redução do IPVA e outros gastos provenientes deste tipo de mudança 
de combustível, quantos quilômetros nós devemos andar apenas com o GNV para 
que o investimento comece a valer a pena apenas com a economia de 
combustível? 
 
Como queremos saber quantos quilômetros precisamos rodar para o investimento 
começar a ser vantajoso, é interessante saber o custo de cada quilômetro rodado 
por cada combustível. 
 
Se o preço da gasolina é R$2,80 por litro e o rendimento é 10 km/l, então 
podemos afirmar que gastamos R$2,80 para rodar 10 km, certo? 
 
Pois bem, então, vamos saber quanto custa pra andar 1 km: 
R$2,80 ---------- 10 km 
x reais ----------- 1 km 
 
R$ 2,80
x = R$ 0,28
10

 
 
 
 
 
 3 
Para o GNV, procederemos da mesma forma: 
 
R$2,60 -------- 13 Km 
y reais -------- 1 Km 
 
R$ 2,60
y = = R$ 0,20
13
 
Percebemos que há uma diferença de R$ 0,08. Isto é, há uma economia quando 
utilizamos o GNV. 
 
Agora precisamos saber quantos quilômetros devemos andar para que essa 
economia “pague” o nosso investimento de R$3200,00. Ou seja: 
 
R$ 0,08 ---------- 1 km 
R$ 3200,00 ------ z km 
 
R$ 3200,00
z = = 40000 Km
R$ 0,08
 
 
Dessa forma, concluímos que precisamos andar 40.000 km para que consigamos 
ter o retorno do investimento da instalação do Kit GNV. 
 
O preço do IPVA de um veículo gira em torno de 4% do valor do veículo, pela 
tabela FIPE, que é um índice que regula o preço dos automóveis conforme o seu 
modelo e ano de fabricação. 
 
Para um carro que custa, pela tabela FIPE, R$44000,00, qual será o valor do seu 
IPVA, sabendo que há a instalação do kit GNV? 
 
Aqui, você deve ter em mente aquele abatimento de 75% do valor do IPVA para 
veículos que utilizam o GNV como combustível. 
 
Dessa forma, primeiramente, devemos calcular o valor do IPVA para este veículo: 
 
4% de R$ 44000,00 = R$ 1760,00 
 
Assim, realizaremos o abatimento de 75% do valor do IPVA encontrado. 
 
Um ponto importante: desconto de 75% significa calcular 25% do valor IPVA, ou 
seja: 
25% de R$ 1760,00 = R$ 440,00 
 
Logo, o IPVA para este automóvel, com o kit GNV instalado será R$ 440, 00. 
Trata-se de uma grande economia e incentivo! 
 
 
 
 
 
 
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Funções afim e quadrática 
 
As funções afins possuem inúmeras aplicações no nosso cotidiano. Como 
exemplo, citaremos os custos de determinada empresa para certo produto. 
 
O DNIT (Departamento Nacional de Infraestrutura de Transportes) é o órgão 
governamental responsável por gerenciar a construção de estradas e rodovias 
pelo Brasil. Não só pela parte rodoviária, mas também por ferrovias e malhas 
aquaviárias. 
 
Sua origem remonta aos tempos imperiais, centrada principalmente na figura de 
um grande empreendedor brasileiro: Irineu Evangelista de Souza, o Barão de 
Mauá (1813-1889). 
 
Ele recebeu a concessão para a construção de uma linha férrea, que ligaria o 
Porto do Rio de Janeiro até Petrópolis. 
 
Grandes empresas de pavimentação calculam os custos para o recapeamento de 
estradas da seguinte forma: um custo fixo, que envolve os gastos com 
maquinário, mais um determinado valor por quilômetro recapeado. 
 
Suponhamos que uma empresa A tenha como custo fixo o valor R$ 160.000,00 
para o recapeamento de uma rodovia BR de 162,8 km de extensão. 
 
Qual será o valor desta obra para os cofres públicos, sabendo que o custo de 
cada quilômetro é de R$ 26.000,00? 
 
Aqui você deve montar a “lei de formação”, ou seja, a função afim referente a 
este custo: 
 
f(x) = 160 + 26x 
 
Ora, a rodovia tem 162,8 Km de extensão. Assim: 
f(162,8) = 160 + 26.(162,8) = 160 + 4338,8 = 4548,8 
 
Ou seja, o custo do recapeamento desta estrada será R$ 4.548.800,00. 
 
O estudo da queda livre 
 
Uma das aplicações clássicas para funções quadráticas é o estudo da queda livre. 
 
Galileu Galilei (1564-1642), físico, matemático, astrônomo e filósofo italiano 
descobriu que, ao abandonar dois corpos de uma mesma altura, e desprezando a 
força de resistência do ar, eles chegam ao solo ao mesmo tempo. 
 
 
 
 
 5 
Isso quer dizer que o tempo de queda é o mesmo, independente da massa dos 
corpos. 
 
O movimento de queda livre é considerado um movimento uniformemente 
variado e devemos saber a aceleração da gravidade, que vale 9,8 m/s2. 
 
Uma das formas da equação de queda livre é: 
s = s0 + v0t + gt
2/2 
 
 
Vamos considerar que um corpo é abandonado do alto de um edifício, em queda 
livre, e leva 6 segundos para chegar ao solo. 
 
 
Qual seria a altura deste edifício, desprezando a resistência do ar? 
 
Você certamente deve se lembrar das suas aulas de Física no Ensino Médio. Não?! 
 
Bom, é simples: como o corpo é abandonado, podemos falar que sua v0 
(velocidade inicial) é zero. 
 
Até aqui, sem problemas, certo? 
 
Vamos adotar como s0 (espaço inicial) o alto do edifício, que será também zero. 
 
O s (espaço final) é o que queremos encontrar! 
 
O tempo, nós já temos, que é 6 segundos e o valor de g (aceleração da 
gravidade) é 9,8m/s2. 
 
Então, vamos montar a nossa função: 
s = 0 + 0.6 + 9,8(6)2/2 = 
s = 9,8(6)2/2 = 
s = 176,4 
 
Logo, o valor de s (espaço final) é 176,4. A altura do edifício será (s-s0). Logo, 
176,4m. 
 
 
Terminamos a nossa primeira aula. 
 
Não deixe de pesquisar mais sobre os assuntos que mostramos e pratique os 
exercícios.6 
 
SAIBA MAIS (AULA 1) 
 
Visite a página da Enciclopédia Wikipédia, que fala sobre Galileu Galilei: 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Galileu_Galilei 
 
Para saber mais sobre os projetos do DNIT, acesse http://www.dnit.gov.br/ 
 
Para os conteúdos matemáticos, visite o site 
http://www.matematicamuitofacil.com/ 
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA AULA 1 
 
Questão 1: 
 
Sessenta pessoas em excursão pernoitam em uma pousada. 
 
O gasto total dos homens é de R$3.000,00. 
 
O grupo de mulheres gasta o mesmo valor, porém pagaram R$ 32,00 a menos que 
cada homem. 
 
Chamando de x o número de homens nesse grupo, uma expressão que modela 
esse problema e permite encontrar tal valor é: 
 
a) 3000x = (3000+32x)(60-x) 
b) 3000(60-x) = (3000-32x)x 
c) 3000(60-x) = (3000+32x)x 
d) 3000(60-x) = 3000x+32 
e) 3000x = (3000-32x)(60-x) 
 
Gabarito comentado: 
 
Como sabemos que a quantidade de homens no grupo é x, então a quantidade de 
mulheres neste mesmo grupo é (60-x). 
 
O gasto total dos homens foi de R$ 3000,00, então o gasto por homem foi de R$ 
3000/x. 
 
O problema nos diz que o gasto por mulher foi R$ 32,00 a menos que o gasto por 
homem, ou seja: 3000/x - 32. 
 
Porém, o problema também nos informa que o gasto total das mulheres foi igual 
ao dos homens, ou seja: 
(3000/x - 32)(60 - x) = 3000 
 
 
 
 
 7 
Isso equivale a: (3000 - 32x)(60 - x) = 3000x. 
 
Logo, a alternativa correta é a letra (e). 
 
Questão 2: 
 
A temperatura média anual do bairro da Ilha do Governador, na cidade do Rio de 
Janeiro, subiu de 23,35oC em 1996 para 23,8oC em 2011. 
 
Considerando que a tendência desse aumento seja linear entre os anos de 1996 e 
2011, qual será a temperatura média em 2013? 
 
a) 23,89oC 
b) 23,92oC 
c) 23,83oC 
d) 23,93oC 
e) 23,86oC 
 
Gabarito comentado: 
 
O problema nos dá a temperatura em 1996 e em 2011 e nos diz que o aumento 
ocorrido é linear. Assim, podemos calcular a variação ao longo desses anos e 
constatar o aumento anual, ou seja: 
15 anos ----------------- 0,45oC 
1 ano ------------------- x oC 
x = 0,03oC 
 
Como o problema nos pede a temperatura média em 2013, temos (2013-2011 = 2 
anos). Logo, temos uma variação de 0,06oC de 2011 até 2013. Portanto, (23,8oC + 
0,06oC) = 23,86oC. 
 
Assim, a alternativa correta é a letra (e). 
 
 
Questão 3: 
 
Smartphones são a nova febre na sociedade. As facilidades proporcionadas, como 
acesso à internet, às redes sociais, câmeras fotográficas de alta definição e rede 
de dados de alta velocidade atraem cada vez mais o consumidor. Porém, esses 
inúmeros recursos diminuem drasticamente o tempo de duração das baterias. 
 
Para se ter uma ideia, um bom smartphone, trabalhando com a rede de dados 
desligada, dura 9 horas e, com a rede de dados ligada, dura apenas 1,5 hora. 
 
Sabendo que este aparelho descarregou em 8 horas, quanto tempo ele 
permaneceu com a rede de dados ligada? 
 
 
 
 
 8 
a) 12 minutos 
b) 24 minutos 
c) 36 minutos 
d) 48 minutos 
e) 1 hora 
 
Gabarito comentado: 
 
Para este problema, devemos pensar da seguinte forma: o smartphone tem como 
carga completa Q, que dura 9 horas com a rede de dados desligada e 1,5 hora 
com a rede de dados ligada. 
Assim, em minutos, temos: 540 minutos com a rede de dados desligada e 90 
minutos com a rede de dados ligada. Deste modo, o telefone descarrega, por 
minuto, Q/540 com a rede de dados desligada e Q/90 com a rede de dados 
ligada. 
 
Como o telefone descarregou em 8 horas ou 480 minutos, temos como expressão 
para a carga do smartphone: 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
( )
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
Logo, a alternativa correta é a letra (a). 
 
Questão 4: 
 
Com a crise energética, também conhecida como “crise do apagão”, ocorrida nos 
anos de 2001 e 2002, muitas empresas cortaram drasticamente seus custos, 
gerando desempregos em série. 
 
Uma determinada empresa automobilística reduziu o seu quadro de operários em 
50%. Após uma nova crise, desta vez de matéria-prima, fez um novo corte no 
número de empregados, desta vez de 40%, seguido ainda de mais 10%. 
 
Qual seria a redução percentual total do operariado? 
 
a) 27% 
b) 50% 
c) 73% 
d) 77% 
e) 100% 
 
 
 
 9 
 
Gabarito comentado: 
 
Neste exercício, estamos diante de um problema de reduções percentuais 
sucessivas. 
 
Vamos denominar o número inicial de empregados de Q. 
 
A primeira redução de 50% reduz 0,5Q. 
 
A segunda reduzirá 40% da redução anterior, ou seja: 0,4 . 0,5Q = 0,2Q. 
 
Como houve uma redução de 0,2Q, restaram 0,5Q – 0,2Q = 0,3Q. 
 
Houve mais uma redução de 10%: 0,1 . 0,3Q = 0,03Q 
 
Logo, as reduções são: 0,5Q + 0,2Q + 0,03Q = 0,73Q, ou 73%. 
 
Assim, a alternativa correta é a letra (d). 
 
 
Questão 5: 
 
Uma pessoa que está na janela de seu apartamento, por descuido, deixa cair o 
telefone celular. 
 
Sabendo que a distância da sua janela até o térreo é de 20 m, desprezando-se a 
resistência do ar, quanto tempo leva até que o aparelho toque o solo? 
(Considerar g = 10m/s2) 
 
a) 1 s 
b) 2 s 
c) 3 s 
d) 4 s 
e) 5 s 
 
Gabarito comentado: 
 
Vamos considerar, para este problema, que o espaço inicial é 0. 
 
Como a altura do prédio é de 20 m, então podemos falar que o espaço final é 20. 
 
Para aceleração da gravidade, temos g = 10 m/s2 e, como o corpo cai por 
descuido, podemos falar que a velocidade inicial V0 = 0 m/s. 
 
Assim, a nossa equação de movimento fica: 
 
 
 
 
 1
0 
S = S0 + V0t + gt
2/2 
20 = 0 + 0.t + 10.t2/2 
t2 = 4  t = 2 s 
 
Logo, a alternativa correta é a letra (d).