Algebra linear - Lista III - ESPAÇOS VETORIAIS - Unid I

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UFRN - CCET – Dep. de Matemática – Álgebra linear Aplicada – Professor Neto 
LISTA DE EXERCÍCIOS III - Unidade I 
 
1. Seja o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. Defina a adição e a multiplicação por escalar em 
por 
 ( ) ( ) e ( ) ( ) ( ) 
Usamos o símbolo para denotar a operação de adição nesse sistema para evitar a confusão com a adição usual 
de vetores linha. Mostre que , com a multiplicação por escalar ordinária e a operação de adição não é um espaço 
vetorial. 
 
2. Seja o conjunto de todos os pares ordenados de números reais com a adição definida por 
( ) ( ) ( ) 
e a multiplicação por escalar definida por 
 ( ) ( ) 
A multiplicação para este sistema é definida em uma forma não usual e em consequência usamos o símbolo para evitar 
a confusão com a multiplicação ordinária de vetores linha. é um espaço vetorial com estas operações? Justifique sua 
resposta. 
 
3. Seja o conjunto de todos os pares ordenados de números reais positivos. Define-se a multiplicação por escalar, 
denotada , por 
 
para todo e todo número real . Define-se a operação de adição, denotada , por 
 
para todo . Portanto para este sistema, o produto escalar de por é dado por 
 
 
 
 (
 
 
)
 
 
e a soma de e é dada por 
 
Então é um espaço vetorial com estas operações? Justifique sua resposta. 
 
4. Determine se os seguintes conjuntos formam subespaços do : 
(a) {( )
 } (b) {( )
 } (c) {( )
 } 
5. Determine se os seguintes conjuntos formam subespaços do : 
(a) {( )
 } 
(b) {( )
 } 
(c) {( )
 } 
(d) {( )
 } 
 
6. Determine se os seguintes conjuntos formam um conjunto de cobertura do : 
(a) {( ) ( ) ( ) } 
(b) {( ) ( ) ( ) ( ) } 
(c) {( ) ( ) ( ) } 
(d) {( ) ( ) } 
 
7. Determine se os seguintes conjuntos formam um conjunto de cobertura do : 
(a) { } 
(b) { } 
(c) { } 
(d) { } 
 
8. Demonstre que se é um subespaço de , então ou { } ou 
 
9. Sejam e subespaços de um espaço vetorial . Defina-se: 
 { } 
Mostre que é um subespaço de . 
 
 
GABARITO: 
1. Dica: O axioma 6 não é satisfeito. 
2. não é espaço vetorial, pois o axioma 6 não é satisfeito. 
3. Sim, pois todos os axiomas são satisfeitos. 
4. (a) Sim. (b) Não. (c) Sim. 
5. (a) Não. (b) Sim. (c) Sim. (d) Não. 
6. (a) Sim. (b) Sim. (c) Não. (d) Não. 
7. (a) Não. (b) Sim. (c) Sim. (d) Não. 
8. Dica: Inicie supondo { }, com e um elemento arbitrário de . 
9. Dica: Verifique que é fechado pra soma e multiplicação por escalar 
satisfazendo assim os 8 axiomas. 
 
Divirtam-se!