curva de concordância vertical

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1Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
rodrigoalvarengarosa@gmail.com
(27) 9941-3300
Estrada de Rodagem
Curvas Concordância Vertical
2Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Greide
• O greide consiste na representação do eixo da rodovia 
segundo o plano vertical.
• Ele será denominado, também, o projeto em perfil ou projeto 
altimétrico.
• Recomenda-se que a escala vertical seja dez vezes a 
escala horizontal.
• No projeto em perfil as distâncias são sempre tomadas na 
horizontal.
• As inclinações, rampas, são dadas em percentual.
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Greide
• Os trechos retos do greide, considerado o sentido de 
estaqueamento, são denominados :
– Rampa ou aclive - quando o trecho for acedente;
– Contra-rampa ou declives - quando o trecho for 
descendente;
– Plano - quando a inclinação for nula.
• As curvas verticais pode ser:
– Côncavas;
– Convexa ou crista. 
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Greide
• Pontos singulares do greide:
– PCV - Ponto de curva vertical
– PIV - Ponto de Intercessão vertical
– PTV - Ponto de tangência vertical.
• São numerados sequencialmente desde a primeira curva 
até a últimas.
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Greide
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Greide
• Qual a declividade do trecho entre PIV1 e PIV2, sabendo 
que PIV1 está na estaca 7 + 00 e PIV2 está na estaca 18 + 
10 e que a cota de PIV1seja 97,985 e a de PIV2 89,935. 
%500,3035,0
230
050,8
)07()1018(
985,97935,89
2 −=−=
−
=
+−+
−
==
H
V
d
di
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Propriedades geométricas da parábola
1 - Todos o diâmetros da parábola são paralelos ao seu eixo
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Propriedades geométricas da parábola
2 - A taxa de variação da declividade da parábola é constante
2
. xCy =
Onde: - ordenada (m)
- constante da parábola (m-1)
- abscissa (m)
y
C
x
xCi ..2=
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Propriedades geométricas da parábola
3 - A taxa de variação da declividade da parábola é constante
2
. dCo =
Onde: - diferença da ordenada da parábola a uma tangente qualquer á 
curva (m)
- constante da parábola (m-1)
- distância entre as abscissas (m)
o
C
d
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Propriedades geométricas da parábola
• Na representação da curva vertical sabe-se que o PCV está 
localizado na estaca 11 + 0,00. Sabe-se que a ordenada da 
parábola em relação ao trecho reto do greide está localizado 
na estaca 15 + 10,00 e mede 1,620m. Calcule a ordenada 
na estaca 17 + 7,28.
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Propriedades geométricas da parábola
( ) ( )( ) ( )2200,1015 90.00,01100,1015. CCo =+−+=+
( ) ( )( ) ( )2228,717 28,127.00,01128,717. CCo =+−+=+
( )
( )2
2
00,1015
28,717
90.
28,127.
C
C
o
o
=
+
+
( )
( )
( )
( )2
2
2
2
00,101528,717 90
28,127
.620,1
90
28,127
. == ++ oo
mo 240,328,717 =+
12Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Propriedades geométricas da parábola
4 - Numa concordância com uma parábola vertical, o diâmetro 
que passa no PIV intercepta a corda que liga o PCV ao PTV 
num ponto D dividindo a corda no meio.
2
PTVPCV
PIV
xx
x
+
=
13Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Propriedades geométricas da parábola
5 - Numa concordância com uma parábola vertical, a parábola 
intercepta o segmento ID exatamente no meio deste segmento 
no ponto E.
PTVPCVPIV yyCy ..=
( )22.
2 PTVPCVD
xx
Cy +=
( )PIVDE yyy += .2
1
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Propriedades geométricas da parábola
6 - Numa concordância com uma parábola vertical, a tangente 
à parábola no ponto E é paralela à corda que liga o PCV ao 
PTV. Assim, pode-se calcular o coeficiente angular i.
( )PTVPCVE xxCi += .
15Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Cálculo das concordâncias verticais
• No cálculo deve-se definir as características da curva que 
vai ser utilizada, dentre outras, destacam-se:
– Comprimento da curva
– Determinação das ordenadas
– Verificação dos raios de curvatura
– Etc.
16Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
• Considera-se que a concordância vertical é constituída por 
dois ramos de parábola, sendo o primeiro ramo aquele 
compreendido entre o PCV e o PIV e o segundo entre o PIV 
e o PTV.
Cálculo das concordâncias verticais
17Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
• O comprimento do primeiro ramo é representado por La e o 
segundo por LB. L é o comprimento total da parábola.
• Todos três medidos na horizontal!
Cálculo das concordâncias verticais
18Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
• As diferenças de cota entre a curva vertical e os trechos 
retos do greide são denominadas ordenadas da parábola
representadas pela letra o.
• A ordenada tem valor nulo nos pontos de concordância com 
os trechos retos do greide (PCV e PTV).
Cálculo das concordâncias verticais
• E o valor máximo em PIV
denominado omáx e conhecido como
flecha ou ordenada máxima.
19Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
• O parâmetro K é um valor que caracteriza numericamente a 
parábola.
• Seu conhecimento permite ao projetista uma noção imediata 
da suavidade da curva e as condições que ela oferece de 
drenagem longitudinal das águas de superfície. 
• Define-se como:
• Equação da parábola:
O parâmetro de curvatura K
A
LK = Onde: - parâmetro K (m/%)
- comprimento da parábola (m)
- diferença algébrica entre as 
declividades nos extremos da 
parábola (%)
K
L
A
2
.
.200
1
x
K
y = Onde: - ordenada parábola (m)
- abscissa da parábola (m)
y
x
20Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
• A concordância vertical de dois trechos retos de um greide 
foi efetuado com uma parábola. Determine o parâmetro K.
Cálculo das concordâncias verticais
mL 0,200)00,010()00,020( =+−+=
%000,8000,2000,6 −=−−=A
%/0,25
8
200
m
A
LK ===
21Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
• Raio de curvatura da parábola
• O raio mínimo da parábola ocorre exatamente no vértice da 
curva.
Raio mínimo de curvatura
K.100min =ρ
Onde: - raio de curvatura da parábola (m)
- declividade da curva
- parâmetro K (m/%)
ρ
K
( )






+
=
K
i
.100
1
1 2
3
2
ρ
i
Onde: - raio mínimo de curvatura da parábola (m)
- parâmetro K (m/%)
minρ
K
22Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
• A concordância vertical de dois trechos retos de um greide 
foi efetuado com uma parábola. Calcule o raio mínimo e o 
raio no PCV.
Cálculo das concordâncias verticais
%/0,25 m
A
LK ==
( )
mPCV 51,513.2
25.100
1
)06,0(1 2
3
2
=





−+
=ρ
K.100min =ρ
m00,500.225.100min ==ρ
( )






+
=
K
i
.100
1
1 2
3
2
ρ
23Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
• Calcule o raio no PTV
Comprimento de concordância
( )






+
=
k
i
.100
1
1 2
3
2
ρ
( )
mPTV 50,501.2
25.100
1
)02,0(1 2
3
2
=






−+
=ρ
24Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Cálculo do comprimento das concordâncias
• No projeto de um greide rodoviário existem critérios técnicos 
que estabelecem limitações quanto aos comprimentos 
máximos e mínimos das curvas verticais.
• Os critérios a serem adotados são:
– Critério do mínimo valor absoluto
– Critério da máxima aceleração centrífuga admissível
– Critério da drenagem
– Critério da distância de visibilidade
• Curvas convexas
• Curvas côncavas
25Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Onde: - comprimento mínimo (m)
- velocidade diretriz (km/h)
Cálculo do comprimento das concordâncias
• Critério do mínimo valor absoluto
• A prática rodoviária indica que curvas verticais muito curtas, 
mesmo que atendam aos outros critérios, geram greides 
com má aparência, muito angulosos.
• O DNIT recomenda que o comprimento deve ser tal que o 
usuário leve pelo menos 2 segundos percorrendo a curva 
vertical
6,3
.2.2min
V
vL ==
minL
V
VL .6,0min =
26Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Cálculo do comprimento das concordâncias
• Critério da máxima aceleração centrifuga admissível ou 
critério de conforto.
• Na curva vertical, o veículo fica sujeito à força de gravidade.
• As normas do DNIT fixam como valores admissíveis para a 
aceleração radial em concordância vertical os seguintes 
valores
– amáx = 1,5% da aceleração da gravidade para rodovias 
de elevado padrão;
– amáx = 5,0% da aceleração da gravidade para rodovias 
de padrão reduzido.
27Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Cálculo do comprimento das concordâncias
• Critério de conforto
• A aceleração radial num ponto de uma curva vertical é 
calculada pela fórmula:
• Lembrando que tem-se que:
ρ
2v
a =
Onde: - aceleração radial, perpendicular a pista (m/s2)
- velocidade diretriz (m/s)
- raio de curvatura da concordância vertical no ponto 
considerado (m)
a
v
ρ
K.100min =ρ
max
2
min
.1296 a
VK =
28Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Onde: - comprimento da parábola (m)
- parâmetro K para os valores máximos de aceleração (m/%)
- diferença algébrica entre as declividades nos extremos da 
concordância (%)
Cálculo do comprimento das concordâncias
• Critério de conforto.
• A partir do Kmin, pode-se calcular o comprimento mínimo 
pela fórmula:
AKL .minmin =
minK
minL
A
29Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Cálculo do comprimento das concordâncias
• Critério de conforto.
• Os valores de Lmin podem ser calculados pela fórmula ou por 
Kmin na tabela fornecida pelo DNIT em função da velocidade 
diretriz.
30Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Cálculo do comprimento das concordâncias
• Para uma rodovia classe III do DNIT, em relevo plano, com 
elevado padrão de conforto, calcule o comprimento mínimo 
de acordo com o critério de conforto.
31Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Cálculo do comprimento das concordâncias
• Para uma rodovia classe III do DNIT, em relevo plano, com 
reduzido padrão de conforto, calcule o comprimento mínimo 
de acordo com o critério de conforto.
%/1,10min mK =
8,9.
100
5
.1296
80
.1296
2
max
2
min ==
a
VK
AKL .minmin =
000,2000,6.1,10min −−=L
80,8mmin =L
32Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Cálculo do comprimento das concordâncias
• Para uma rodovia classe III do DNIT, em relevo plano, com 
elevado padrão de conforto, calcule o comprimento mínimo 
de acordo com o critério de conforto.
%/6,33min mK =
8,9.
100
5,1
.1296
80
.1296
2
max
2
min ==
a
VK
AKL .minmin =
000,2000,6.6,33min −−=L
268,8mmin =L
33Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Cálculo do comprimento das concordâncias
• Critério da drenagem
• É recomendável sob a ótica da drenagem assegurar 
declividades longitudinais iguais ou superiores a 1,000% 
para as sarjetas e por conseguinte para as curvas verticais.
• No caso que não seja possível manter acima de 1,000%, 
deve-se observar o valor mínimo de 0,500%, observado o 
valor mínimo absoluto de 0,350%.
34Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Cálculo do comprimento das concordâncias
• Critério da drenagem
• Quando em cristas, curvas convexas, com declividade de 
sinais contrários, podem ocorrer casos de declividade até 
igual a zero.
• Nestes casos o DNIT permite que se mantenha o greide em 
no mínimo 0,350% em valor absoluto numa extensão 
máxima de 30,0m.
35Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Cálculo do comprimento das concordâncias
• Deve-se estabelecer nestes casos o valor máximo do 
parâmetro K acima do qual podem ocorrer problemas com a 
drenagem. 
)350,0(350,0
30
−−
==
A
LK máx
%/43mK máx =
36Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Cálculo do comprimento das concordâncias
• Critério de arredondamento
• Deve-se adotar curvas com comprimento múltiplos de 
20,0m.
37Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Cálculo do comprimento das concordâncias
• Critério da distância de visibilidade
• O Critério de distância de visibilidade pode ser dividido em 
duas partes:
– Curvas convexas
– Curvas côncavas
38Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Cálculo do comprimento das concordâncias
• Critério da distância de visibilidade (Curvas convexas)
• Na curvas convexas, a linha de visada de um motorista é 
interrompida devido a curvatura da pista.
39Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Cálculo do comprimento das concordâncias
• Critério da distância de visibilidade (Curvas convexas)
• Duas situações podem ocorrer:
– O motorista está dentro da curva e enxerga o obstáculo 
que também está dentro da curva;
– O motorista está antes da curva e enxerga o obstáculo 
que está depois da curva;
40Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Cálculo do comprimento das concordâncias
• Critério da distância de visibilidade (Curvas convexas)
• O motorista está dentro da curva e enxerga o obstáculo que 
também está dentro da curva.
DLpara
DA
L ≥= min
2
min 412
.
Onde: - comprimento mínimo da parábola (m)
- diferença algébrica entre as declividades (%)
- distância de visibilidade de parada (m)D
minL
A
41Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Cálculo do comprimento das concordâncias
• Critério da distância de visibilidade (Curvas convexas)
• O motorista está antes da curva e enxerga o obstáculo que 
está depois da curva.
42Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de AlvarengaRosa
Cálculo do comprimento das concordâncias
• Critério da distância de visibilidade (Curvas convexas)
• O motorista está antes da curva e enxerga o obstáculo que 
está depois da curva.
DLpara
A
DL ≤−= minmin
412
.2
Onde: - comprimento mínimo da parábola (m)
- diferença algébrica entre as declividades (%)
- distância de visibilidade de parada (m)D
minL
A
43Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Cálculo do comprimento das concordâncias
• Qual deve ser o comprimento mínimo da parábola a ser 
utilizada para a concordância de dois trechos retos de 
respectivamente 6,000% e 1,000%, supondo uma estrada 
com velocidade diretriz de 80km/h e elevado padrão
44Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Cálculo do comprimento das concordâncias
%/6,33min mK =
8,9.
100
5,1
.1296
80
.1296
2
max
2
min ==
a
VK
AKL .minmin = 000,1000,6.6,33min −=L 168,0mmin =L
Critério do mínimo valor absoluto
Critério de conforto
80.6,0.6,0min == VL mL 0,48min =
45Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Cálculo do comprimento das concordâncias
• Qual deve ser o comprimento mínimo da parábola a ser 
utilizada para a concordância de dois trechos retos de 
respectivamente 6,000% e 1,000%, supondo uma estrada 
com velocidade diretriz de 80km/h e elevado padrão
Distância de visibilidade de 
parada
)(.255.7,0
2
if
VVD
l +
+=
)00,030,0(.255
8080.7,0
2
+
+=D
mmD 00,14066,139 ≈=
46Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
O que NÃO comprova e portanto não pode ser usado
Cálculo do comprimento das concordâncias
Visibilidade para curvas convexas: DLparaDAL ≥= min
2
min 412
.
412
00,140.16 2
min
−
=L ,86m372min =L
DL ≥minO que comprova
Visibilidade para curvas convexas: DLparaADL ≤−= minmin
412
.2
16
41200,140.2min
−
−=L 197,60mmin =L
DL ≤min
47Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Cálculo do comprimento das concordâncias
Assim, tem-se:
mL 0,48min =
168,0mmin =L
,86m372min =L
Então: 240,00m7,86m32min ≈=L
48Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Cálculo do comprimento das concordâncias
• Critério da distância de visibilidade (Curvas Côncavas)
• Na curvas côncavas, durante o dia não há limitação.
• Durante a noite, fica limitada à área iluminada pelos faróis.
49Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Cálculo do comprimento das concordâncias
• Critério da distância de visibilidade (Curvas Côncavas)
• Duas situações podem ocorrer:
– Os faróis do veículo e o ponto mais distante iluminado 
estão dentro da curva
– Os faróis do veículo que está fora da curva iluminam o 
ponto mais distante após a curva
50Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Cálculo do comprimento das concordâncias
• Critério da distância de visibilidade (Curvas Côncavas)
• Os faróis do veículo e o ponto mais distante iluminado estão 
dentro da curva
DLpara
D
DA
L ≥
+
= min
2
min
.5,3122
.
Onde: - comprimento mínimo da parábola (m)
- diferença algébrica entre as declividades (%)
- distância de visibilidade de parada (m)D
minL
A
51Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Cálculo do comprimento das concordâncias
• Critério da distância de visibilidade (Curvas Côncavas)
• Os faróis do veículo que está fora da curva iluminam o ponto 
mais distante após a curva
DLpara
A
DDL ≤+−= minmin
.5,3122
.2
Onde: - comprimento mínimo da parábola (m)
- diferença algébrica entre as declividades (%)
- distância de visibilidade de parada (m)D
minL
A
52Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Cálculo do comprimento das concordâncias
• Qual deve ser o comprimento mínimo da parábola a ser 
utilizada para a concordância de dois trechos retos de 
respectivamente 1,000% e 6,000%, supondo uma estrada 
com velocidade diretriz de 80km/h e elevado padrão
53Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Cálculo do comprimento das concordâncias
%/6,33min mK =
8,9.
100
5,1
.1296
80
.1296
2
max
2
min ==
a
VK
AKL .minmin = 000,6000,1.6,33min −=L 168,0mmin =L
Critério do mínimo valor absoluto
Critério de conforto
80.6,0.6,0min == VL mL 0,48min =
54Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Cálculo do comprimento das concordâncias
Distância de visibilidade de 
parada
)(.255.7,0
2
if
VVD
l +
+=
)00,030,0(.255
8080.7,0
2
+
+=D
mmD 00,14066,139 ≈=
55Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
O que NÃO comprova e portanto não pode ser usado
Cálculo do comprimento das concordâncias
Visibilidade para curvas côncavas:
00,140.5,3122
00,140.61 2
min +
−
=L 160,13mmin =L
DL ≥minO que comprova
Visibilidade para curvas côncavas :
157,60mmin =L
DL ≤min
DLpara
D
DA
L ≥
+
= min
2
min
.5,3122
.
61
00,140.5,312200,140.2min
−
+
−=L
DLpara
A
DDL ≤+−= minmin
.5,3122
.2
56Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Cálculo do comprimento das concordâncias
Assim, tem-se:
mL 0,48min =
168,0mmin =L
160,13mmin =L
Então: 168,00mmin =L
57Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Cálculo do comprimento das concordâncias
• Outra forma de calcular: indo para o mínimo da tabela, ou 
seja pela velocidade média de percurso que é inferior à 
velocidade diretriz (70km/h).
Distância de visibilidade de 
parada
)(.255.7,0
2
if
VVD
l +
+=
)00,031,0(.255
7070.7,0
2
+
+=D
mmD 00,11098,110 ≈=
58Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Cálculo do comprimento das concordâncias
%/72,25min mK =
8,9.
100
5,1
.1296
70
.1296
2
max
2
min ==
a
VK
AKL .minmin = 000,6000,1.72,25min −=L 128,6mmin =L
Critério do mínimo valor absoluto
Critério de conforto
VL .6,0min = mL 0,42min =
59Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
O que NÃO comprova e portanto não pode ser usado
Cálculo do comprimento das concordâncias
Visibilidade para curvas côncavas:
00,110.5,3122
00,110.61 2
min +
−
=L 119,32mmin =L
DL ≥minO que comprova
Visibilidade para curvas côncavas:
118,60mmin =L
DL ≤min
DLpara
D
DA
L ≥
+
= min
2
min
.5,3122
.
61
00,110.5,312200,110.2min
−
+
−=L
DLpara
A
DDL ≤+−= minmin
.5,3122
.2
60Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Cálculo do comprimento das concordâncias
Assim, tem-se:
mL 0,42min =
128,6mmin =L
119,33mmin =L
Então: 128,60mmin =L
61Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Cálculo da flecha ou ordenada máxima
• O caso mais comum é utilizada a parábola simples.
• As ordenadas no PCV e PTV são nulas.
• A máxima ordenada se encontra no PIV.
62Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Cálculo da flecha ou ordenada máxima
2
ID
omáx =
2
12
1
===
L
L
RS
RI
ST
ID
STID .
2
1
=
4
ST
omáx =
L
i
L
i
HSHTST .
2
1.
100
.
2
1
.
100
12
−=−=
( )
100
..
2
1 12 iiLST −=
63Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Cálculo da flecha ou ordenada máxima
2
ID
omáx =
4
ST
omáx =
( )
100
..
2
1 12 iiLST −=
100
.
8
AL
omáx =
Onde: - flecha máxima da parábola (m)
- diferença algébrica entre as declividades (%)
- comprimento da concordância (m)L
máxo
A
64Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Cálculo das ordenadas
• Tendo sido calculada a flecha máxima, calculam-se as 
ordenadas nos demais pontos pela fórmula já vista:
2
. jbj dCo =
2
. bbmáx LCo =
2
. 





=
b
j
máxj L
d
oo
Onde: - ordenada de um ponto qualquer da parábola (m)
- flecha máxima da parábola
- distância do ponto qualquer ao ponto de tangência 
do ramo (m)
- comprimento do ramo da parábola (m)bL
jo
jd
máxo
65Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Cálculo do greide
• O procedimento mais simples para o cálculo do greide 
consiste em:
– Determinação das cotas dos trechos retos
– Cálculo das ordenadas das parábolas
– Calcular por soma ou subtração dos trechos retos das 
ordenadas das parábolas nos trechos de curva vertical
– Planilhar os valores
66Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
A poligonal a seguir é o eixo 
projetado de uma rodovia que foi 
desenvolvida em relevo ondulado, 
na classe II do DNIT, considerando 
veículo tipo CO e largura de faixa 
igual a 3,50m. 
Exemplo de cálculo do greide
67Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
• Velocidade diretriz
Exemplo de cálculo do greide
hkmV /70=
Classe da 
Rodovia
Região
Plana Ondulada Montanho
sa
0 120 100 80
I 100 80 60
II 100 70 50
III 80 60 40
IV 60-80 40-60 30-40
68Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
• Comprimento mínimo da curva vertical
Exemplo de cálculo do greide
mL 0,340)00,00()00,017(1 =+−+=
%000,5000,4000,11 −=−−=A
%/0,68
5
340
1
1
1 mA
L
K ===
1min1 .100 K=ρ
m00,800.668.100min1 ==ρ
69Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
• Raio no PCV1 e PTV1
Exemplo de cálculo do greide
( )






+
=
K
i
.100
1
1 2
3
2
ρ
( )
mPCV 6801,02
68.100
1
)01,0(1 2
3
2
1 =






−+
=ρ
( )
mPTV 6816,33
68.100
1
)04,0(1 2
3
2
1 =






+
=ρ
70Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
• Raio no PCV2 e PTV2
Exemplo de cálculo do greide
( )






+
=
K
i
.100
1
1 2
3
2
ρ
( )
mPCV 6816,33
68.100
1
)04,0(1 2
3
2
2 =






−+
=ρ
( )
mPTV 6801,02
68.100
1
)01,0(1 2
3
2
2 =






+
=ρ
71Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Exemplo de cálculo do greide
• Critério do mínimo valor absoluto (para curva 1 e 2)
mL 0,42min =
VL .6,0min =
70.6,0min =L
72Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Exemplo de cálculo do greide
• Critério de conforto ou máxima aceleração centrifuga 
admissível.
%/25,72min mK =
8,9.
100
5,1
.1296
70
.1296
2
max
2
min ==
a
VK
AKL .minmin =
000,4000,1.72,25min1 −−=L
,6m281min1 =L
amáx = 1,5% da aceleração da gravidade para 
rodovias de elevado padrão;
amáx = 5,0% da aceleração da gravidade para 
rodovias de padrão reduzido.
AKL .minmin =
000,1000,4.72,25min2 −=L
,16m77min2 =L
73Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Exemplo de cálculo do greide
• Critério de conforto ou máxima aceleração centrifuga 
admissível.
%/25,7min mK =
74Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Exemplo de cálculo do greide
• Critério da distância de visibilidade de parada
)(.255.7,0
2
if
VVD
l +
+=
)00,031,0(.255
7070.7,0
2
+
+=D
mmD 00,11099,110 ≈=
Lembre-se: considera-se para o DNIT 
inclinação = 0, ou seja, está no plano
75Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
O que NÃO comprova e portanto não pode ser usado
Exemplo de cálculo do greide
Visibilidade para curvas côncavas:
00,110.5,3122
00,110.41 2
min1
+
−−
=L 119,33mmin1 =L
DL ≥minO que comprova
Visibilidade para curvas côncavas:
118,60mmin1 =L
DL ≤min
DLpara
D
DA
L ≥
+
= min
2
min
.5,3122
.
41
00,110.5,312200,110.2min1
−−
+
−=L
DLpara
A
DDL ≤+−= minmin
.5,3122
.2
A curva 1 é côncava.
76Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
O que NÃO comprova e portanto não pode ser usado
O que comprova
Exemplo de cálculo do greide
Visibilidade para curvas convexas: DLparaDAL ≥= min
2
min 412
.
412
00,110.14 2
min
−
=L m11,88min =L
DL ≥min
Visibilidade para curvas convexas: DLparaADL ≤−= minmin
412
.2
14
41200,110.2min
−
−=L ,67m28min =L
DL ≤min
A curva 2 é convexa.
77Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Exemplo de cálculo do greide
Assim, tem-se:
Então:
130,00m128,60mmin1 ≈=L
,16m77min2 =L,6m281min1 =L
mL 0,42min = mL 0,42min =
119,33mmin1 =L ,67m28min2 =L
90,00m,67m28min2 ≈=L
Preferencialmente (arredondar para 20,0m):
m,L 00140min1 = m,L 00100min2 =
78Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Exemplo de cálculo do greide
= 140,00m
= 70,00m = 70,00m
Curva 1.
aLPIVPCV −= 11
70)020.7(1 −+=PCV
mPCV 00,701 =
00,1031 +=PCV
79Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Exemplo de cálculo do greide
= 140,00m
= 70,00m = 70,00m
Curva 1.
bLPIVPTV += 11
70)020.7(1 ++=PTV
mPTV 00,2101 =
00,10101 +=PTV
80Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Exemplo de cálculo do greide
= 100,00m
= 50,00m = 50,00m
Curva 2.
aLPIVPCV −= 22
50)020.17(2 −+=PCV
mPCV 00,2902 =
00,10142 +=PCV
81Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Exemplo de cálculo do greide
= 100,00m
= 50,00m = 50,00m
Curva 2.
bLPIVPTV += 22
50)020.17(2 ++=PTV
mPTV 00,3902 =
00,10192 +=PTV
82Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Exemplo de cálculo do greide
100
.
8
AL
omáx =
• Flecha máxima.
100
41
.
8
140
1
−−
=máxo
mo máx 88,01 =
100
14
.
8
100
2
−
=máxo
mo máx 38,02 =
83Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Exemplo de cálculo do greide
• Cotas da curva vertical
• Calcula-se as cotas dos trechos retos.
• Curva côncava (curva 1) somam-se as ordenadas às cotas 
do trecho reto.
• Curva convexa (curva 2) subtraem-se as ordenadas às 
cotas do trecho reto.
2
. 





=
b
j
máxj L
d
oo
84Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Exemplo de cálculo do greide
• Cotas da curva vertical
= 140,00m
= 70,00m = 70,00m
00,10101 +=PTV
00,1031 +=PCV
0)020.7(
101
1
−+
−
=
PIVyi
140
10
100
00,1 1 −
=
− PIVymy PIV 60,81 =
)020.7()020.17(
6,82
2 +−+
−
=
PIVyi
200
6,8
100
4 2 −
=
PIVy
my PIV 60,162 =
85Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Exemplo de cálculo do greide
• Cotas da curva vertical
= 140,00m
= 70,00m = 70,00m
00,10101 +=PTV
00,1031 +=PCV
)020.17()81,1820.23(
6,16
3 +−+
−
=
PFyi
81,138
6,16
100
00,1 −
=
PFy
my PF 99,17=
86Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Exemplo de cálculo do greide
• Cotas da curva vertical
Para estaca 9 + 0,00
Para estaca 6 + 0,00
2
0,09 70
)0,0)20.9(()0,10)20.10((
.88,0 




 +−+
=+o
2
. 





=
a
j
máxj L
d
oo
= 140,00m
= 70,00m = 70,00m
00,10101 +=PTV
00,1031 +=PCV
0,16m0,09 =+o
2
0,06 70
)0,10)20.3(()0,0)20.6((
.88,0 




 +−+
=+o
0,45m0,06 =+o
87Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Exemplo de cálculo do greide
88Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Exemplo de cálculo do greide