Lista 1 Cálculo II

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DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA - UNESP - F.C. - PROFa. CRISTIANE
1a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo II - Eng. Civil - 2014
1. Encontre ∆y e dy para os valores dados
a) y = 1
2x2
, ∆x = 0, 001, x = 1
b) y = 5x2 − 6x, ∆x = 0, 02, x = 0
c) y = 2x+1
x−1 , ∆x = 0, 1, x = −1
2. Calcule um valor aproximado para as seguintes ra´ızes, usando diferencial.
a)
√
50
b) 3
√
63, 5
c) 4
√
13
3. Calcule a diferencial das seguintes func¸o˜es:
a) y = ln(3x2 − 4x)
b) y = x+1
ex
c) y = sen(5x2 + 6)
4. A a´rea S de uma quadrado de lado x e´ dada por S = x2. Achar o acre´scimo e a diferencial
desta func¸a˜o.
5. Dar a interpretac¸a˜o geome´trica do acre´scimo e da diferencial da func¸a˜o S = pix2 (a´rea do c´ırculo).
6. Um material esta´ sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha coˆnica cuja altura e´
sempre igual ao raio da base. Se em dado instante o raio e´ 12cm, use diferenciais para obter a
variac¸a˜o do raio que origina um aumento de 2cm3 no volume da pilha.
7. Use diferenciais para obter o aumento aproximado do volume da esfera quando o raio varia
de 3cm a 3, 1cm.
8. Um terreno, em desapropriac¸a˜o para reforma agra´ria, tem a forma de um quadrado. Estima-
se que cada um de seus lados mede 1200m, com um erro ma´ximo de 10m. Usando diferencial,
determinar o poss´ıvel erro no ca´lculo da a´rea do terreno.
9. Um pintor e´ contratado para pintar ambos os lados de 50 placas quadradas de 40cm de lado.
Depois que recebeu as placas verificou que os lados das placas tinham 1/2cm a mais. Usando dife-
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rencial, encontrar o aumento aproximado da porcentagem de tinta a ser usada.
10. Determine o polinoˆmio de Taylor de ordem n, no ponto c dado, das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) = ex/2, c = 0, c = 1, n = 5
b) f(x) = ln(1− x), c = 0, c = 1/2, n = 4
c) f(x) = 1
1+x
, c = 0, c = 1, n = 4
11. Encontrar o polinoˆmio de Taylor de grau n no ponto c e escrever a func¸a˜o que define o resto na
forma de Lagrange, das seguintes func¸o˜es:
a) y = coshx, n = 4, c = 0
b) y =
√
x, n = 3, c = 1
c) y = tg(x), n = 3, c = pi
12. Utilizando o resultado encontrado no exerc´ıcio 10, item b), com c = 0, determinar um valor
aproximado para ln0, 5. Fazer uma estimativa para o erro.
13. Determinar o polinoˆmio de Taylor de grau 6 da func¸a˜o f(x) = 1 + cosx no ponto c = pi.
Utilizar este polinoˆmio para determinar um valor aproximado para cos(5pi/6)). Fazer uma estima-
tiva para o erro.
14. Demonstre que a diferenc¸a entre sen(a+ h) e sena+ hcosa e´ menor ou igual a 1/2h2.
15. Um fio delgado, pela ac¸a˜o da gravidade, assume a forma da catena´ria y = acosh(x/a). De-
monstrar que para valores pequenos de |x|, a forma que o fio toma pode ser representada, aproxima-
damente, pela para´bola y = a+ x2/2a
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