Prova_3_2-2012

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3a Prova de Ca´lculo III – 27/03/2013 – Turma
NOME: MATRI´CULA:
Atenc¸a˜o: Justifique todas as suas respostas de maneira leg´ıvel.
Q1 Q2 Q3 Q4 NOTA
1. (20 pts) Seja C um c´ırculo centrado na origem. Encontre o raio de C sabendo que∮
C
(2x3 + 2xy3 + y)dx+ (3y4 + 3x2y2 + 4y − 3x)dy = −pi,
onde C e´ esta´ orientada no sentido anti-hora´rio.
2. (20 pts) Seja S a superf´ıcie do cone z =
√
x2 + y2 delimitado pelos planos z = a e z = b com 0 < a < b.
(a) (10 pts) Fornec¸a duas representac¸o˜es parame´tricas para S.
(b) (10 pts) Encontre a a´rea de superf´ıcie de S.
3. (30 pts) Considere o campo vetorial ~f(x, y, z) = (x+z, y, z−4+xy) definido em R3 e seja S a superf´ıcie externa
da calota esfe´rica x2 + y2 + z2 = r2, z ≥ 0 e r > 0. Sabendo que a integral do campo ~f sobre S e´ igual a zero,
calcule o raio r da calota.
4. (30 pts) Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha∮
C
ydx+ (x+ y + z2)dy + (x+ y2)dz,
onde C e´ a curva obtida como intersec¸a˜o do cilindro x2 + y2 = 1 com o plano y = z (20 pts).
Considere os dois sentidos de percurso indicando a orientac¸a˜o da curva C atrave´s de um esboc¸o (10 pts).