Econometria_Capitulos 11

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ECONOMETRIA
Prof. Patricia Maria Bortolon, D. Sc.
Cap. 11 – Heterocedasticidade: o que 
acontece se a variância do erro não é 
constante?
Fonte: GUJARATI; D. N. Econometria Básica: 4ª Edição. 
Rio de Janeiro. Elsevier- Campus, 2006
1. Qual é a natureza da heterocedasticidade?
2. A multicolinearidade é realmente um problema?
3. Quais são as suas consequências?
4. Como é possível detectá-las?
5. Quais são as medidas corretivas?
A natureza da Heterocedasticidade
• Homo = igual; cedasticidade = espalhamento
• 𝐸 𝑢𝑖
2 = 𝜎2, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑐𝑒𝑑á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜
• 𝐸 𝑢𝑖
2 = 𝜎𝑖
2, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 ℎ𝑒𝑡𝑒𝑟𝑜𝑐𝑒𝑑á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜
• Exemplo: poupança como função da renda – pessoas 
com mais renda poupam mais, mas, com maior 
variabilidade
Razões para ocorrência
1. Modelos de aprendizagem pelo erro: no. de defeitos, 
no. de erros em faturas
2. Exemplo da renda e política de dividendos: pessoas 
com maior renda e empresas com maior lucro terão 
maior discricionariedade na definição de poupança e 
política de dividendos
3. Problemas na especificação do modelo (violação da 
premissa 9) como omissão de variáveis podem parecer 
heterocedasticidade. Ex.: na função demanda não 
incluir o preço dos produtos concorrentes – os 
resíduos podem dar a impressão de que a variância 
não é constante
Razões para ocorrência
4. Dados discrepantes ou outliers:
Razões para ocorrência
5. Assimetria na distribuição dos regressores. Ex.: renda, 
riqueza, escolaridade
Mais comum em dados em corte transversal.
Variedade de tamanhos de empresas por exemplo podem 
causar heterocedasticidade.
Analisar exemplo da tabela 11.1
Estimação dos MQO na presença de 
heterocedasticidade
𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖
𝑣𝑎𝑟 𝛽2 =
𝜎2
 𝑥𝑖
2 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑐𝑒𝑑á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜
𝑣𝑎𝑟 𝛽2 =
 𝑥𝑖
2 𝜎𝑖
2
 𝑥𝑖
2 2
 ℎ𝑒𝑡𝑒𝑟𝑜𝑐𝑒𝑑á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜
Estimação dos MQO na presença de 
heterocedasticidade
• 𝛽2
– é ainda um estimador linear;
– é não tendencioso;
– é consistente ( 𝛽2 converge para 𝛽2 à medida que o tamanho 
da amostra aumenta);
– NÃO é eficiente (não é o estimador com variância mínima na 
classe dos estimadores não tendenciosos);
– A variância mínima é diferente de 
 𝑥𝑖
2𝜎𝑖
2
 𝑥𝑖
2 2
O método dos mínimos quadrados 
generalizados (MQG)
• Observar na tabela 11.1 como σ aumenta com o 
aumento do no. de empregados.
• A questão é: como dar maior peso às observações com 
menor variação?
• É o que faz o MQG
𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖
Para simplificar escreveremos:
𝑌𝑖 = 𝛽1𝑋0𝑖 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖
Onde 𝑋0𝑖 = 1
Supondo 𝜎𝑖
2 conhecidas:
O método dos mínimos quadrados 
generalizados (MQG)
Supondo 𝜎𝑖
2 conhecidas:
𝑌𝑖
𝜎𝑖
= 𝛽1
𝑋0𝑖
𝜎𝑖
+ 𝛽1
𝑋𝑖
𝜎𝑖
+ 𝛽1
𝑢𝑖
𝜎𝑖
𝑌𝑖
∗ = 𝛽1
∗𝑋0𝑖
∗ + 𝛽2
∗𝑋𝑖
∗ + 𝑢𝑖
∗
𝑣𝑎𝑟 𝑢𝑖
∗ = 𝐸 𝑢𝑖
∗ 2 = 𝐸
𝑢𝑖
𝜎𝑖
2
=
1
𝜎𝑖
2 𝐸(𝑢𝑖
2) já que 𝜎𝑖
2 é conhecido
=
1
𝜎𝑖
2 (𝜎𝑖
2) já que 𝐸 𝑢𝑖
2 = 𝜎𝑖
2
= 1 que é uma constante, logo, homocedástico
O método dos mínimos quadrados 
generalizados (MQG)
• MQO sobre o modelo transformado gera 𝛽1
∗ e 𝛽2
∗ que 
são BLUE.
• MQG = MQO sobre variáveis transformadas de modo a 
satisfazer as premissas dos mínimos quadrados padrão.
• Definindo 𝑤𝑖 =
1
𝜎𝑖
2
• 𝑣𝑎𝑟 𝛽2
∗ =
 𝑤𝑖
 𝑤𝑖 𝑤𝑖𝑋𝑖
2 − 𝑤𝑖𝑋𝑖
2
O método dos mínimos quadrados 
generalizados (MQG)
• A diferença entre MQO e MQG
• MQO => 𝑢𝑖
2 = 𝑌𝑖 − 𝛽1 − 𝛽2𝑋𝑖
2
• MQG => 
 𝑢𝑖
𝜎𝑖
2
= 
𝑌𝑖
𝜎𝑖
− 𝛽1
∗ 𝑋0𝑖
𝜎𝑖
− 𝛽2
∗ 𝑋𝑖
𝜎𝑖
2
 𝑤𝑖 𝑢𝑖
2 = 𝑤𝑖 𝑌𝑖 − 𝛽1
∗𝑋0𝑖 − 𝛽2
∗𝑋𝑖
2
O peso atribuído a cada observação é inversamente
a seu 𝜎𝑖. Estaremos dando maior peso às observações
que se concentram em torno de sua média.
Como esse SQR é uma ponderação por 𝜎𝑖, e esse SQR será minimizado para obter 𝛽1
∗ e 
𝛽2
∗, esse método é um caso especial do MQG que é conhecido como MQP = Mínimos
Quadrados Ponderados
Consequências do uso de MQO na presença de 
heterocedasticidade
• Se ignorarmos a heterocedasticidade e estimarmos 𝛽2
usando MQO e 𝑣𝑎𝑟 𝛽2 =
𝜎2
 𝑥𝑖
2 essa variância poderá 
estar super ou subestimada porque quando há 
heterocedasticidade
 𝑢𝑖
2
𝑛−2
não é mais um estimador não 
tendencioso de 𝜎2.
• 𝛽2 não é mais eficiente, ou seja, não tem variância 
mínima, logo, os intervalos de confiança serão mais 
amplos, facilitando a não rejeição de H0.
• Os testes t e F não serão mais confiáveis.
• Solução: usar MQG
Ver quadro na pag. 322 com os erros-padrão das 3 abordagens.
Detecção da heterocedasticidade
• Em ciências sociais há pouco controle sobre 
experimentos
• Em geral temos um Yi para um Xi
• Não é possível obter a variância do erro em Xi se só há 
uma observação para aquele Xi
• Como detectar?
• Métodos informais:
– Natureza do problema: (i) exemplo da poupança e renda, (ii) 
em dados de corte transversal se as unidades são muito 
heterogêneas
– Método gráfico: (i) 𝑢𝑖
2 x 𝑌𝑖; (ii) 𝑢𝑖
2 x Xi
Métodos formais de detecção
• Teste de Park
𝜎𝑖
2 = 𝜎2𝑋1
𝛽
𝑒𝑣𝑖
𝑙𝑛𝜎𝑖
2 = 𝑙𝑛𝜎2 + 𝛽𝑙𝑛𝑋𝑖 + 𝑣𝑖
𝑙𝑛 𝑢𝑖
2 = 𝛼 + 𝛽𝑙𝑛𝑋𝑖 + 𝑣𝑖
– Se 𝛽 for significativo há heterocedasticidade
– O teste é um procedimento em duas etapas: (i) estima-se a 
regressão por MQO sem levar em conta a heterocedasticidade
e obtemos os 𝑢𝑖
2, e em (ii) estima-se a regressão do teste.
– Crítica: o termo de erro 𝑣𝑖 pode não atender aos pressupostos 
de MQO e ser ele próprio heterocedástico. O método pode ser 
estritamente exploratório.
Ver arquivo Tabela11-1_Parker e Glejser.txt
Métodos formais de detecção
• Teste de Glejser
– Sugere fazer regressão dos valores absolutos de 𝑢𝑖 contra a 
variável X.
– Sugere vários modelos.
– Vamos testar: 𝑢𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑣𝑖
– É um teste que deve ser aplicado a grandes amostras.
Ver arquivo Tabela11-1_Parker e Glejser.txt
Métodos formais de detecção
• Teste de Breusch – Pagan – Godfrey
𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖 + ⋯ + 𝛽𝑘𝑋𝑘𝑖 + 𝑢𝑖
Suponha que a variância do erro seja descrita como:
𝜎𝑖
2 = 𝑓(𝛼1 + 𝛼2𝑍2𝑖 + ⋯ + 𝛼𝑚𝑍𝑚𝑖)
Os Xs podem servir como Zs.
O teste BPG testa se 𝛼1 = 𝛼2 = ⋯ = 𝛼𝑚 = 0
Se isso ocorre 𝜎𝑖
2 = 𝛼1 e portanto homocedástico
É um teste para grandes amostras
Sensível à premissa de normalidade de 𝑢𝑖 se a amostra é 
pequena
Ver arquivo testeheteroc2_BPG.txt
Métodos formais de detecção
• Teste de White
– Não depende da premissa de normalidade
𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖 + 𝛽3𝑋3𝑖 + 𝑢𝑖
1. Estimar a regressão e obter os resíduos
2. 𝑢𝑖
2 = 𝛼1 + 𝛼2𝑋2𝑖 + 𝛼3𝑋3𝑖 + 𝛼4𝑋2𝑖
2 + 𝛼5𝑋3𝑖
2 + 𝛼6𝑋2𝑖𝑋3𝑖 +
𝑣𝑖
Usar em 2 sempre os Xs, os mesmos ao quadrado e os produtos cruzados
3. Obter o R2 dessa regressão
4. Sob H0: homocedasticidade
𝑛. 𝑅2~ χ𝑔.𝑙.
2
(assintoticamente)
g.l. = no. de regressores (sem a constante)
Ver arquivo testesheteroc3_white.txt
Métodos formais de detecção
• Teste de White
5. Se 𝑛. 𝑅2 > χ𝑐𝑟𝑖𝑡,𝛼
2 conclui-se que há heterocedasticidade
– Se o modelo tem muitos regressores a inclusão dos mesmos, 
seus termos ao quadrado e os cruzados podem consumir 
muitos g.l.
Ver arquivo testesheteroc3_white.txt
Providências corretivas
• Quando 𝜎𝑖
2 é conhecido: usar o método dos mínimos 
quadrados ponderados
• Quando 𝜎𝑖
2 não é conhecido: estimar os modelos com 
erros robustos a heterocedasticidade de White
Obs.: ver premissas plausíveis sobre o padrão da heterocedasticidade nas 
páginas337 a 341