apostila_inequacao_primeiro_grau

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Inequação do 1o Grau 1 
 
 
 
Texto Complementar 
 
 
 
 
 
 
Veremos neste texto:
ƒ Inequação do 1º Grau 
ƒ Sistema de inequações 
ƒ Inequação simultânea 
ƒ Inequação Produto e Inequação Quociente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 Introdução 
 
Você já deve ter ouvido, assistido ou participado de debates, seminários ou 
palestras sobre as condições de vida da população mundial. Observando essas 
condições percebemos as desigualdades evidentes, tanto na área social como na área 
econômica e política. Isto pode ser observado em situações tais como: 
ƒ Escolaridade: na educação, universalizamos o ensino básico, mas falta ainda o 
passo seguinte: o da qualidade1. Dados2 do Instituto Nacional de Estudos e 
Pesquisas (Inep) apontam que 52% dos alunos mal conseguem decifrar uma 
operação simples de somar ou subtrair. 
ƒ Moradia: no dia a dia, observamos pessoas vivendo nas ruas e outras em lindas 
casas. Podemos comprovar essa desigualdade, num passeio por alguns bairros de 
nossa cidade. 
ƒ Alimentação e salário: enquanto uns passam fome outros vivem em fartura. 
Enquanto para uns o salário é baixíssimo, para outros é excessivamente alto. 
 
1 ABRANCHES, Sérgio. O debate errado. Revista Veja, edição 1866. Editora Abril, 11 Agos 2004, p.75. 
2 Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) quer reverter baixo índice, por editor, A 
Tribuna de Santos/SP, 03/12/2003. 
 
Inequação do 1o Grau 2 
Podemos observar também essas desigualdades em outras áreas como 
saúde, saneamento básico, etc. 
Matematicamente, o trabalho com situações de desequilíbrio é contemplado 
no campo das Inequações. 
 
Mas, você sabe o que são Inequações? 
As inequações representam uma desigualdade matemática. 
 
2 Inequações: significados matemáticos 
 
Diversas pesquisas comprovam que o número de estudantes que iniciam o 
Ensino Médio é maior que o número de estudantes que concluem o Ensino Médio. 
Se representarmos por x o número de estudantes que iniciam o Ensino 
Médio e por y o número de estudantes que concluem o Ensino Médio podemos 
representar essa situação numa linguagem matemática, x > y onde o símbolo > significa 
que o número de estudantes que iniciam o Ensino Médio é maior que o número de 
estudantes que concluem o Ensino Médio. 
Uma inequação é a representação de um pensamento matemático 
identificado pelos seguintes sinais: > (maior) ou < (menor) ou ≤ (menor ou igual) ou 
(maior ou igual). 
≥
 
 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
−≤−
−≥+
≤−
2b47b5
3y27y
01x2
 Estas são inequações matemáticas de 1o grau com uma incógnita. 
 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
−≤−
−≥+
≤−
2a47b5
3x27y
0yx2
 Estas são inequações matemáticas de 1o grau com duas incógnitas. 
 
De forma geral, para encontrar o conjunto solução de uma inequação do 1o 
Grau, aplicamos as propriedades específicas das desigualdades. 
Vamos rever essas propriedades! 
 
2.1 Propriedades das desigualdades 
 
Considere os números a, b, c, d ∈ IR (IR é o conjunto dos reais), temos: 
Propriedades Exemplos, com a=3, b=2, c=5 ou c=(-4) e d=1 
(i) Se a > b e b > c, então a > c. 3 > 2 e 2 > 1, então 3 > 1. 
(ii) Se a > b e c > 0, então ac > bc. 3 > 2 e c = 5 > 0, então 3·5 > 2·5 ⇔ 15 > 10. 
(iii) Se a > b e c < 0, então ac < bc. 3 > 2 e c=(-4)< 0, então 3·(-4)<2·(-4)⇔(-12)<(-8). 
(iv) Se a>b, então a+c>b+c para todo c real. 3 > 2 e c=(-4), então 3+(-4)>2+(-4)⇔(-1)>(-2). 
Inequação do 1o Grau 3 
(v) Se a > b e c > d, então a+c > b+d. 3 > 2 e 5 > 1, então 3+5 > 2+1 ⇔ 8 > 3. 
(vi) Se a > b > 0 e c > d > 0, então ac > bd. 3 > 2 > 0 e 5 > 1 > 0, então 3·5 > 2·1 ⇔ 15 > 2. 
 
 
Vamos resolver algumas inequações! 
 
 
Exemplo 1: Quais os valores reais possíveis para x nas desigualdades: 
 
(a) 4x – 1 +2(1 –3x ) ≤ 0 
 
Dica: Para encontrar a solução da desigualdade vamos aplicar as propriedades. 
Observe que, para resolver uma inequação do 1o Grau, procedemos de forma semelhante à 
resolução de uma equação do 1o Grau. Entretanto, na inequação, diferente da resolução de 
equações, ao multiplicar a expressão por (-1) o sinal da desigualdade se altera também, de 
maior para menor ou vice-versa. 
Resolvendo: 
4x – 1 +2(1 –3x ) ≤ 0 
4x –1 +2 -6x 0 ≤
-2x +1 ≤ 0 
-2x ≤ -1 
x ≥ 21 
⇔ multiplicamos 2 por (1 –3x ) para eliminarmos os parênteses 
⇔ agrupamos os termos semelhantes 4x – 6x = -2x 
⇔ adicionamos (-1) aos termos: -2x +1 ≤ -1 +1 ⇔ -2x -1. Na prática isto 
significa dizer que, se -2x +1 
≤≤ 0 então -2x ≤ -1 
⇔ multiplicamos )21(− aos termos: -2x · (- 21 ) ≥ -1· (- 21 ) ⇔ x ≥ 21 ou 
multiplicamos por (-1) a sentença -2x ≤ -1 e obtemos 2x ≥ 1. Isolando a 
variável x temos x ≥ 21 . 
A solução procurada na desigualdade é S = { x ∈ IR |x ≥ 21 } = [ 21 , +∞). 
 
b) 
3
1−x + 
2
)1(4 x− > 
4
x + 
6
2 x− 
Resolvendo: 
Dica: Neste exemplo os termos apresentam-se em forma de fração com denominadores 
diferentes. Assim, o primeiro procedimento será transformar as frações em frações 
equivalentes reduzindo-as a um denominador igual ao menor múltiplo comum (mmc). O 
mmc (2,3,4,6) = 12. 
⇔ 
3
1−x + 
2
)1(4 x− > 
4
x + 
6
2 x− 
⇔
12
)1(4 −x + 
12
)1(4.6 x− > 
12
3x + 
12
)2(2 x− 
⇔ 
12
)1(24)1(4 xx −+− > 
12
)2(23 xx −+
 
⇔ 4x – 4 + 24 –24x > 3x + 4 –2x 
⇔ -20x –x >-20 + 4 
⇔ -20x > -16 
⇔ x < 
21
16 
A solução da desigualdade é S = {x∈ IR | x<
21
16 } = (-∞, 
21
16 [ = (-∞, 
21
16 ) 
 
Inequação do 1o Grau 4 
Note que: A solução do sistema pode ser escrita de formas diferentes: S = {x∈ IR | x<
21
16 } 
ou S = (-∞, 
21
16 [ ou S = (-∞, 
21
16 ). 
 
3 Sistema de Inequações 
 
Os sistemas são conjuntos de inequações cuja solução satisfaz a todas, 
simultaneamente. 
Para resolver um sistema de inequações procedemos da seguinte maneira: 
• Resolvemos individualmente cada inequação; 
• O conjunto-solução do sistema é o conjunto resultado da intersecção das 
inequações resolvidas individualmente. 
Observe os exemplos desenvolvidos abaixo: 
Exemplo 1: Achar o conjunto-solução do sistema: ⎩⎨
⎧
<−−
≥−
03
512
x
x
 
Resolvendo: 
Inequação 1 2x – 1 ≥ 5 ⇒ 2x ≥ 6, logo x 3 ⇔ {x∈ IR | x ≥ 3} ≥
Inequação 2 -x – 3< 0 ⇒ -x < 3, multiplicando por (-1) a expressão, temos x > -3 ⇔ {x∈ IR | x > -
3} 
 
A solução do sistema é obtida fazendo a intersecção (∩) das soluções individuais, ou seja 
das soluções da Inequação 1 e 2: 
 
 
 
 
 
 
1 ∩ 2 = {x∈ IR | x ≥ 3} ∩ {x∈ IR | x > -3} = {x∈ IR | x ≥ 3} 
 
A solução da desigualdade é S = {x∈ IR /x ≥ 3} = [3, +∞) 
 
 
 
4 Inequação Simultânea 
 
 
As inequações simultâneas são sentenças matemáticas que tem mais de 
uma desigualdade. Veja o exemplo: -3 < x < 4 Nessa inequação - chamada de simultânea 
– os valores de x (incógnita) variam de –3 até 4. 
 
O processo de resolução das inequações simultâneas é semelhante ao do 
sistema de inequações. Inicialmente, separamos a inequação em duas desigualdades. 
Achamos as soluções individuais ou seja, de cada desigualdade. A solução procurada é 
determinada pela intersecção das respostas individuais. O processo de interseção 
garante que, na solução final, encontramos os valores de x que estão nas duas 
desigualdades ao mesmo tempo. 
Vamos verificar como isso fica nos exemplos abaixo: 
 
Inequação do 1o Grau 5 
Exemplo 1: Achar o conjunto solução da inequação simultânea -x + 3< x+ 1 < 2x 
 
Resolvendo: 
-x + 3 < x+ 1 < 2x ⇔ Separando as desigualdades, temos: ⎩⎨
⎧
→<+
→+<+
2 Inequação 2x 1 x
 1 Inequação 1 x 3 x -
Encontrando o conjunto solução de cada inequação, individualmente, temos: 
 
Inequação 1 ⇔ -x + 3 < x + 1 ⇔ -2x < -2 ⇔ x > 1 ⇔ {x∈ IR | x > 1} 
Inequação 2 ⇔ x + 1 < 2x ⇔ -x < -1 ⇔ x > 1 ⇔ {x∈ IR | x > 1} 
 
A solução do sistema é obtida fazendo a intersecção (∩) das soluções individuais, ou seja 
das soluções da Inequação 1 e 2: 
 1 ∩ 2 = {x∈ IR | x > 1} ∩ {x∈ IR | x > 1}= {x∈ IR | x > 1} 
Observe que nesse exemplo, as desigualdades são iguais. 
 
Assim, a solução da desigualdade é S = {x∈ IR | x >1} = ]1, +∞) 
 
 
Exemplo 2: Qual o intervalo real que satisfaz a desigualdade 5 < 3x + 2 ≤ 8 
representando a solução na forma algébrica e na forma gráfica. 
 
Resolvendo: 
5 < 3x + 2 ≤ 8 ⇔ Separando as desigualdades, temos: ⎩⎨
⎧
→<+
→+<
2 Inequação 8 2 3x
 1 Inequação 23x 5
Encontrando o conjunto solução de cada inequação, individualmente, temos: 
 
Inequação 1 ⇔ 5<3x + 2 ⇔ -3x < 2-5 ⇔ -3x < -3 ⇔ 3x > 3 ⇔ x >3/3 ⇔ x >1⇔ {x∈ IR| x>1} 
Inequação 2 ⇔ 3x + 2 ≤ 8 ⇔ 3x ≤ 8 -2 ⇔ 3x ≤ 6 ⇔ x ≤ 6/3 ⇔ x ≤ 2 ⇔ {x∈ IR | x ≤ 2} 
 
A solução do sistema é obtida fazendo a intersecção (∩) das soluções individuais, ou seja 
das soluções da Inequação 1 e 2: 
 1 ∩ 2 ={x∈ IR | x > 1} ∩ {x∈ IR | x ≤ 2} = { x ∈ IR | 1< x ≤ 2} ou ]1 , 2] 
 
Assim, a desigualdade 5 < 3x + 2 ≤ 8 está definida no intervalo real 
{ x ∈ IR | 1 < x ≤ 2} ou ]1 , 2] 
 
Podemos representar a solução da desigualdade no intervalo real: 
 
 
 
 
1 2
 
Agora, tente você: 
 
Atividade 1 
Resolva as inequações do 1º grau determinando o conjunto solução: 
 
a) 7x – 8 <4x + 1 b) 
2
)1(3 +x - 
4
1−x ≤
2
1 
Inequação do 1o Grau 6 
c) 
2
x - ≤
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+−++
22
32
4
11 xxx 0 
d) 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>−
<−−
0
4
)6(3
2
5
2
3
x
xx
 
e) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+−≥+−
<−−+
−−≤−−+
22
22
)92()3(5
8)1()1(
)1()13(2)1(
xxxx
xx
xxxxx f) – 2 < 3x + 1 < 2 
g)1 x + 1 2x ≤ ≤ h) 
4
125
2
1 −≤+<+ xxx 
 
 
 
5 Inequações Produto ou Quociente do 1º Grau 
 
 
 
As inequações produto ou quociente, são as sentenças matemáticas 
constituídas por desigualdades com produto ou quociente de funções. Essas inequações 
em geral, tem sua solução baseada no estudo da variação do sinal de uma função do 1o 
grau e nas propriedades dos sinais do produto e do quociente dos números reais. 
 
Vejamos como isso ocorre no exemplo abaixo: 
 
Exemplo 1: Encontre o conjunto solução da inequação produto do 1º grau (x-4) (x+2)>0 
 
 
Resolvendo: 
Cada termo do produto (x-4) (x+2) representa uma função do 1o grau. Assim, iniciamos pelo 
estudo dos sinais dessas funções que chamamos de f(x) e g(x), respectivamente. 
 
 Para f(x) = x-4 e g(x) = x+2 temos: 
 
(1) Se f(x) = x-4 então sua raiz é obtida 
fazendo x-4 = 0 ⇔ x = 4. 
 
 - + 
 4 
 
(2) Se g(x) = x+2 então sua raiz é obtida 
fazendo x+2 = 0 ⇔ x = -2. - + 
 -2 
 
 
A solução da inequação produto é obtida a partir da integração das análises das variações 
de sinais das funções f e g, representadas acima. Após, aplicamos a regra de sinais do 
produto dos números reais e analisamos o resultado final encontrado. Observe, abaixo: 
 
 - 2 4 
- - + 
- + + 
+ - + 
 - 2 4 
f(x) . g(x) 
g(x) 
f(x) 
Inequação do 1o Grau 7 
 solução procurada solução procurada 
 
Assim, a inequação produto (x-4) (x+2)>0 está definida no intervalo real 
{ x ∈ IR | x < -2 ou x > 4} 
 
 
 
Exemplo 2: Encontre o conjunto solução da inequação quociente do 1º grau 
5x
1x
+
− < 0 
 
 
Resolvendo: 
A resolução da inequação quociente é similar ao da inequação produto pois no conjunto dos 
números reais, a divisão ou multiplicação de dois números apresenta a mesma regra de 
sinais. Assim, cada termo do quociente 
5x
1x
+
−
 representa uma função do 1o grau. 
Iiniciamos pelo estudo dos sinais dessas funções que chamamos de f(x) e g(x), 
respectivamente. 
 
 Para f(x) = x-1 e g(x) = x+5 temos: 
 
(1) Se f(x) = x-1 então sua raiz é obtida 
fazendo x-1 = 0 ⇔ x = 1. 
 
 
 - + 
 1 
 
(2) Se g(x) = x+5 então sua raiz é obtida 
fazendo x+5 = 0 ⇔ x = -5. 
 
 - + 
 -5 
 
 
A solução da inequação quociente é obtida a partir da integração das análises das 
variações de sinais das funções f e g, representadas acima. Após, aplicamos a regra de 
sinais do quociente dos números reais e analisamos o resultado final encontrado. Observe, 
abaixo: 
 
 -5 1 
f(x) - - + 
g(x) - + + 
+ - f(x) +4 
 g(x) -5 1 
 solução procurada 
 
Assim, a inequação quociente 
5x
1x
+
− < 0 está definida no intervalo real 
{ x ∈ IR | -5 < x < 1} 
 
 
 
Agora, tente você: 
 
 
Inequação do 1o Grau 8 
Atividade 2: Resolva as inequações produto ou quociente do 1º grau determinando o 
conjunto solução. 
 
a) (x+2)(x-1)(-x+2)>0 b) (3x –2)(x+3) 0≤ c) (2x+1)(-x +2) 0≥
 d) 
3
1
−
−
x
x <0 e) 
1
3)1)(-2x -(x
+
+
x
>0 
 
Atividade 3: Resolva as seguintes inequações. 
 
a) 
2
12
−
+
x
x 1≥ b) 
1
13
+
−
x
x 2≥ c) 
2
32
−
−
x
x <1 d) 
5
3)4)(x -x(x 
−
+
x
0≥ 
 
 
Atividade 4: Determinar o domínio das funções. 
 
a) y = 
4
2
+
−
x
x b) y = 
2
)3)(1(
−
+−
x
xx 
 
 
 
Resposta da Atividade 1 
 
a) S={x∈IR / x<3} b) S={ x∈ IR / x≤ -1} c) S={x∈ IR /x -1/3} ≤
d) S={x∈ IR /6<x<12} e) S={x∈ IR /
2
1 ≤ x<2} f) S={x∈ IR /
2
1 ≤ x<2} 
h) S={ }g) S={x∈ IR /x } 1≥ 
 
Resposta da Atividade 2 
 
a) S ={x∈ IR /-2<x<1} b) S={x∈ IR /
3
2
2
1−≤ x≤ 3} c) S={x∈ IR / ≤ x 2} ≤
d) S={x∈ IR /1<x<3} e) S={x∈ IR / x< -1 ou 1< x <
2
3 } 
 
 
	5 Inequações Produto ou Quociente do 1º Grau