apostila_inequacao_segundo_grau

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Texto Complementar 
Veremos neste texto: 
� Inequação do 2º Grau 
� Sistema de inequações do 2º Grau 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 Introdução 
 
Como já vimos no Texto Complementar sobre as Inequações do 1o Grau, as 
inequações representam uma desigualdade matemática e se diferenciam a partir do 
modelo matemático da mesma. Assim, uma inequação é a representação de um 
pensamento matemático e é identificada pelos seguintes sinais: > (maior) ou < (menor) 
ou ≤ (menor ou igual) ou ≥ (maior ou igual). 
 
 
 
2 Conceituando a inequação do 2ºgrau 
 
 
São inequações do 2º grau ou quadrática, as inequações constituídas por uma lei 
matemática com a forma de 
 ax2 + bx + c , onde a, b e c são números reais e a 0, 
acompanhada do sinal de desigualdade. Assim, é uma inequação do 2o grau, por 
exemplo, 3x2 + 2x -5 > 0 onde a = 3, b = 2 e c = -5. 
 
 
3 Encontrando a solução de inequações do 2º Grau 
 
Para encontrar o conjunto solução de uma inequação do 2º grau, aplicamos as 
propriedades especificas das desigualdades ou trabalhamos na análise da representação 
gráfica de uma função quadrática. Como proceder! 
Vamos mostrar os procedimentos aplicando num exemplo: 
 
Exemplo 1: Considere a inequação do 2o grau x2-3x+2>0. Encontre o conjunto solução. 
 
 Inequações do 2o Grau 2 
Resolvendo: Observe que, neste exemplo, devemos encontrar os valores reais 
para x, que tornam os valores de y positivos da função quadrática, (maior que zero). Para 
isso, devemos: 
• Determinar as raízes das funções; 
• Representar graficamente a função a partir dos pontos determinados com 
o cálculo das raízes e com a análise do coeficiente angular a. 
• Aplicar os conceitos de estudo do sinal trabalhado nas funções 
quadráticas. 
• Analisar os resultados e obter a resposta da inequação. 
Mostrando em etapas: 
 
Etapa 1: Encontrar as raízes da função. As raízes da função são os valores reais 
de x que tornam y igual a zero. Fazemos isso, aplicando a Fórmula de Bhaskara, 
com 
a
b
x
.2
∆±
= sendo ∆ = b2-4.a .c 
Assim, para x2-3x+2>0, fazemos x2-3x+2=0 com a=1 b=-3 e c=2 
∆ = b2-4.a .c 
∆ =(-3)2-4.1.2 
∆ =9-8 
∆ =1 
Se ∆ =1, então x =
2
13
1.2
13 ±
=→
±
x . Resolvendo as operações matemáticas, 
obtemos duas raízes 2
2
4
2
13
' ==
+
=x e 1
2
2
2
13
" ==
−
=x . Portanto, as raízes 
encontradas são: x’=2 e x”=1. Representam os pares ordenados (2,0) e (1,0). 
 
Etapa 2: Representar graficamente a função a partir dos pontos determinados 
com o cálculo das raízes ou seja, os pontos (2,0) e (1,0). Esses pontos 
determinam onde a parábola corta o eixo x. Para o esboço do gráfico da mesma 
necessitamos de mais uma informação – a parábola tem a concavidade voltada 
para cima ou para baixo? Obtemos a resposta, observando o sinal do coeficiente 
angular a: 
• Se o valor de a é um número positivo, a parábola tem a concavidade voltada 
para cima. 
• Se o valor de a é um número negativo, a parábola tem a concavidade 
voltada para baixo. 
 
Note que, no nosso exemplo, o valor do coeficiente angular a é positivo, pois a = 
1, portanto a parábola deve ser construída com a concavidade voltada para cima. 
Veja a representação da função, no gráfico abaixo: 
 
 
 
 
 
 Inequações do 2o Grau 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A solução da inequação do 2º é obtida a partir da analise da parábola. 
Como devemos ter f(x) >0, ou seja,estamos buscando os valores de modo que f(x)=y seja 
positivo, na parábola, os valores são x<1 e x>2. 
 Assim a solução da inequação do 2º x2-2x+3>0 é }2 1/{ ><∈= xouxIRxS 
Exemplo 2:Resolver a inequação –x2+1 ≤ 0. 
Resolução: 
 
Observe que, neste exemplo, devemos encontrar os valores reais para x, que 
tornam os valores de y negativos da função quadrática, (menor que zero). Para isso, 
devemos: 
• Determinar as raízes das funções; 
• Representar graficamente a função a partir dos pontos determinados com 
o cálculo das raízes e com a análise do coeficiente angular a. 
• Aplicar os conceitos de estudo do sinal trabalhado nas funções 
quadráticas. 
• Analisar os resultados e obter a resposta da inequação. 
Mostrando em etapas: 
Etapa 1: Encontrar as raízes da função. As raízes da função são os valores reais de x 
que tornam y igual a zero. Nesta equação podemos achar os valores, isolando o x. 
-x2+1=0 (vamos multiplicar por –1) 
x2-1=0 (vamos isolar o x ) 
x2=1 (vamos passar a potência em forma de raiz) 
1 2 
 Inequações do 2o Grau 4 
-1 1 
 x = 1± 
 x = ± 1, portanto as raízes são 'x =+1 e 1" −=x , e representam os pares ordenados 
(+1,0) e (-1,0). 
 
Etapa 2: Representar graficamente a função a partir dos pontos determinados com o 
cálculo das raízes ou seja, os pontos (+1,0) e (-1,0). Esses pontos determinam onde a 
parábola corta o eixo x. Para o esboço do gráfico da mesma necessitamos de mais uma 
informação – a parábola tem a concavidade voltada para cima ou para baixo? Obtemos a 
resposta, observando o sinal do coeficiente angular a: 
• Se o valor de a é um número positivo, a parábola tem a concavidade voltada 
para cima. 
• Se o valor de a é um número negativo, a parábola tem a concavidade 
voltada para baixo. 
 
Note que, no nosso exemplo, o valor do coeficiente angular a negativo, pois a =- 1, 
portanto a parábola deve ser construída com a concavidade voltada para baixo. Veja a 
representação da função, no gráfico abaixo: 
 
Colocando os valores no gráfico. 
 
 y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Inequações do 2o Grau 5 
2 
 
 
 
 
Como f(x) 0≤ , devemos obter os valores de x de modo que f(x)=y seja positiva e nula 
nesse caso os valores procurados são x ≤ -1 e todos os x ≥ 1 
 
 Portanto a solução para essa inequação do 2º seria S={x∈ IR/x ≤ -1 ou ≥ 1} 
 
Exemplo 3: Determine o conjunto solução da inequação x2-4x+4 ≥ 0. 
 
Resolução: Observe que, neste exemplo, devemos encontrar os valores reais 
para x, que tornam os valores de y positivos da função quadrática, (maior que zero). Para 
isso, devemos determinar as raízes da função. Como encontraremos as raízes da 
função? Aplicando a fórmula de bhaskara: 
a
b
.2
∆±−
, portanto vamos primeiro achar o 
valor de ∆ , ∆ =b2-4.a.c 
Sendo a=1 b=-4 c=4 
∆ =(-4)2-4.1.4 
∆ =16-16 
∆ =0 
Colocando na formula de bhaskara = 2
2
4
2
04
1.2
04
==
±
=
±
,neste exemplo encontramos 
uma única raiz que é x=2, que representa o par ordenado (2,0). 
 
 *Agora devemos representar graficamente a função a partir dos pontos 
determinado com o cálculo das raízes que neste caso os pontos são (2,0), e com a 
análise do coeficiente angular, sendo que neste exemplo o coeficiente a=1, portando 
positivo, isso quer nos dizer que a parábola terá a concavidade para cima. 
 
 
 
 
 
 
*Portando agoradevemos aplicar o estudo do sinal, já trabalhado em função 
quadrática, e com isso analisar os resultados para obter a resposta da inequação. Como a 
 Inequações do 2o Grau 6 
nossa inequação é esta pedindo os valores maiores ou iguais a zero o conjunto solução 
serão todos os pontos positivos,ou seja : f(x) ≥ 0, ∈∀x IR. 
Portanto o conjunto solução: S={x/x∈IR} 
 
Exemplo 4: Considere a inequação do 2º grau x2-5x+8<0, vamos obter o seu conjunto 
solução seguindo esses passos: 
• Determinar as raízes das funções; 
• Representar graficamente a função a partir dos pontos determinados com 
o cálculo das raízes e com a análise do coeficiente angular a. 
• Aplicar os conceitos de estudo do sinal trabalhado nas funções 
quadráticas. Analisar os resultados e obter a resposta da inequação 
Observe que neste exemplo devemos encontrar valores reais para x de modo que tornam 
y negativo na função quadrática, (menor que zero). E para isso procederemos por etapas. 
Etapa 1: Encontrar as raízes da função. As raízes da função são os valores reais de x 
que tornam y igual a zero. Fazemos isso, aplicando a Fórmula de Bhaskara, com 
a
b
x
.2
∆±
= sendo ∆ = b2-4.a .c 
∆ =(-5)2-4.1.8· 
∆ =25-32 
∆ =-7 
Ao colocarmos na formula de bhaskara, vamos obter uma raiz quadrada negativa, logo 
ela não vai pertencer ao conjunto dos IR. 
x=
1.2
75 −±
. 
Etapa 2: Agora devemos representar graficamente a função a partir dos dados obtidos.Como os 
valores das raízes encontradas não iram pertencer ao conjunto dos reais, a parábola não ira cortar os 
eixos x e y. Analisando o nosso coeficiente angular a=1, portanto positivo, então a parábola terá a 
concavidade voltada para cima. 
 
Y 
 
Como f(x)<o,devemos obter os valores de x de modo que f(x)=y seja negativa, mas nesse 
caso nós não encontramos valores para x, pois a parábola não corta o eixo x. 
 Portanto o conjunto solução dessa inequação é { }. 
 Inequações do 2o Grau 7 
Etapa1 
 
Exercícios 
 
1) Solucione as seguintes inequações: 
a)x2+2x-3>0 o)(x-1)2 ≥ 3-x 
b)-4x2+11x-6 0≤ p)x(x+4)>-4(x+4) 
c)-9x2-6x>0 
d)x2-5x<0 
e)x2+4x+7>0 
f)-x2+10x-25>0 
g)-x2+9x-8 ≥ 0 
h)x2-3<0 
i)-x2-x-6<0 
 j)2x2>3x 
l)1 ≤ x2 
m)x<x2 
n)x2 ≤ 2x+3 
Obs: Encontre o conjunto solução de cada item acima com base no desenvolvimento da 
inequação 0162 ≤−x . 
 Resolução: nesta inequação devemos encontrar os valores reais para x, que tornam os 
valores de y negativo da função quadrática, (menor que zero). 
 : Encontrar as raízes da função, as raízes da função são os valores reais de x 
que tornam y igual a zero. Como nesse exemplo a inequação é uma inequação 
incompleta podemos apenas isolar o x. Aplicando as propriedades de desigualdade. 
0162 =−x 
4
16
162
±=
=
=
x
x
x
 
Portanto as raízes encontradas são -4 x"e 4' =+=x . Representam os pares ordenados 
(4,0) e (-4,0). 
Etapa 2 : Representar graficamente a função a partir dos pontos determinados com o 
cálculo das raízes, ou seja, os pontos (4,0) e (-4,0). Esses pontos determinam onde a 
parábola irá cortar o eixo x. Para o esboço do gráfico da mesma necessitamos de analisar 
se a parábola terá a concavidade voltada para baixo ou para cima, como o coeficiente 
 
Como f(x) 0≤ ,devemos obter os valores de x de modo que f(x)=y seja negativa,portanto o 
conjunto solução dessa inequação é S{ -4ou x 4 ≥−≤x }. 
 
 Inequações do 2o Grau 8 
+ + 
- 
 
2) Indique os valores reais de x em cada caso: 
a) 4x2+(x+2)2<1 b) 0
2
2
3
42 ≤−−− xx 
 
 SISTEMA DE INEQUAÇÃO DO 2ºGRAU 
 
 Os sistemas representam a integração de duas ou mais sentenças matemáticas. 
Para resolver um sistema de inequação procedemos da seguinte maneira: 
• Resolver individualmente cada inequação do 2ºgrau através da formula de 
bhaskara e fazer um estudo do sinal. 
• Fazer a intersecção das soluções das inequações. 
• O conjunto-solução do sistema é o conjunto resultado da intersecção das 
inequações resolvidas individualmente. 
 Observe os exemplos desenvolvidos abaixo: 
Exemplo 1: Resolver o sistema de inequação do 2ºgrau: 


<+
−≥+
05
682 22
x
xxx
 
Vamos enumerar as inequações: a inequação xxx 682 22 −≥+ ,será a inequação 1 e a 
inequação x+5<0 será a inequação numero 2 
Resolução da 1 : Inicialmente vamos agrupar os termos semelhantes de forma a obter 
uma inequação do 2ºgrau, para que possamos determinar as raízes da função, e para 
isso aplicaremos a fórmula de Bhaskara. 
2x2+8x xx 62 −≥ 
0862 22 ≥++− xxx 
0862 ≥++ xx 
Fazendo x2+6x+8=0, primeiro acharemos o ∆ . 
cab ..42 −=∆ 
∆ =62-4.1.8 
∆ =36-32 
∆ =4 
Colocando na formula de Bhaskara:x=
2
26
1.2
46 ±−
=
±−
 , temos 
2
2
4
2
26
' −=
−
=
+−
=x e 4
2
8
1.2
26
" −=
−
=
−−
=x , Encontramos as raízes x=-2 e x=-4, que 
representam os pares ordenados (-2,0) e (–4,0). Vamos representar a função a partir do 
ponto da função que acabamos de determinar, ou seja, os pontos (-2,0) e (-4,0). Esses 
pontos determinam onde a parábola corta o eixo x. Para o esboço do gráfico da mesma 
necessitamos de mais uma informação – a parábola tem a concavidade voltada para cima 
ou para baixo? Obtemos a resposta, observando o sinal do coeficiente angular a=2, 
portanto a concavidade da parábola será voltada para cima, pois o coeficiente a é 
positivo. 
 
 
 
 -2 -4 
 
 
 - 
 4 -2 
 Inequações do 2o Grau 9 
-4 -2 
-5 
Inequação I 
Inequação II 
III ∩ 
 
A solução da inequação é obtida através da análise da parábola. Como devemos ter f(x) 
0≥ , ou seja, todos os números onde a parábola está voltada para cima, que nesse caso 
será: os valores de x<-4 e x>-2. Então o conjunto solução da inequação é: 
 
 : { }2 4/ −>−<∈ xouxIRxS 
 
Resolução da inequação 2. 
Essa inequação é uma inequação do 1ºgrau, portanto para achar o valor da raiz da 
inequação precisamos apenas isolar o x. Ou seja, aplicamos propriedade de 
desigualdade 
X+5<0 vamos isolar o x 
X<-5 
Portanto o conjunto solução da inequação será }5/{ −<∈ xIRxS 
O que estamos resolvendo é um sistema de inequação, portanto teremos que 
analisar a intersecção dos conjuntos soluções. 
 
Quadro geral de resolução do sistema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como a solução do sistema é a intersecção das retas, temos que observar os pontos que 
elas se interceptam, que neste caso são os valores de x menores que –5. Então, nossa 
solução e´: 
 }5/{ −<∈= xIRxS 
 
Exemplo 2 : Resolva a inequação x-4<x 242 +≤− x . 
Obs: Esse tipo de inequação chama-se inequação simultânea, são sentenças 
matemáticas que tem mais de uma desigualdade. O processo de resolução das 
inequações simultâneas é semelhante ao sistemade inequações. Inicialmente separamos 
a inequação em duas desigualdades. Achamos as soluções individuais ou seja, de cada 
desigualdade. A solução procurada é determinada pela intersecção das respostas 
individuais. O processo de intersecção garante que, na solução final, encontramos os 
valores de x que estão nas duas ao mesmo tempo. Vamos verificar como isso fica no 
exemplo: x-4<x 242 +≤− x . 
 


+≤−
−<−
24
44
2
2
xx
xx
 
Vamos enumerar as inequações: a inequação x-4<x2-4 vai ser a inequação 1 e a 
inequação 242 +≤− xx será a inequação 2 
 
 Inequações do 2o Grau 10 
(+) (+) 
Resolução da 1: Inicialmente vamos agrupar os termos semelhantes para obter uma 
inequação do 2ºgrau, assim podemos determinar os valores das raízes da função. 
x-4-x2+4<0→ x2+x,agora podemos aplicar a fórmula de bhaskara, primeiro vamos 
encontrar o ∆ =b2-4.a .b 
∆ =(-1)2-4.1.0 
∆ =1-0 
∆ =1 
 
Colocando na formula de bhaskara : x=
2
11
1.2
11
.2
±
=
±
=
∆±−
a
b
 
 
1
2
2
2
11
' ==
+
=x e 0
2
0
2
11
" ==
−
=x , encontramos duas raízes que são x=1 e x=0, que 
representam os pares ordenados (1,0) e (0,0). 
Vamos representar a função a partir do ponto da função que acabamos de determinar, 
ou seja, os pontos (1,0) e (0,0). Esses pontos determinam onde a parábola corta o eixo x. 
Para o esboço do gráfico da mesma necessitamos de mais uma informação – a parábola 
tem a concavidade voltada para cima ou para baixo? Obtemos a resposta, observando o 
sinal do coeficiente angular a=1, portanto a concavidade da parábola será voltada para 
cima, pois o coeficiente a é positivo. 
 
 
 
 
 0 1 
 
 
 
 
 
 
conjunto solução será }10/{1 ><∈= ouxxIRxS 
 
Resolução da inequação 2 
 
 
242 +≤− xx vamos agrupar os termos semelhantes 
x2-4-x-2 0≤ vamos adicionar os termos 
x2-x-6 0≤ vamos achar as raízes da função, através da formula de bhaskara 
Achar o ∆ =b2-4.a .b, sendo a=1, b=-1 e c=-6 
∆ =(-1)2-4.1.(-6) 
∆ =1+24 
∆ =25 
x=
a
b
.2
∆±−
 x = 
2
51
1.2
251 ±
=
±
 
 
3
2
6
2
51
' ==
+
=x e 2
2
4
2
51
" −=
−
=
−
=x , as raízes determinadas são x=3 e x=-2, que 
representam os pares ordenados (3,0) e (-2,0). Representando esses pares ordenados no 
gráfico da função, eles iram determinar onde a parábola irá cortar o eixo x. Temos que 
 Inequações do 2o Grau 11 
0 
21 SS ∩ 
3 
-2 
observar também através do nosso coeficiente angular, se a parábola terá a concavidade 
voltada para cima ou para baixo, em nosso exemplo o valor de a= 1,que é um numero 
positivo portanto em nosso gráfico a concavidade da parábola será voltada para cima. 
 
 
 -2 3 
 
 
 
 
 
A solução da inequação é feita através da análise do gráfico da função, como devemos 
obter f(x)= 0≤ , ou seja todo os valores de x menores que zero, o conjunto solução será 
 }32/{2 ≤≤−∈ xIRxS 
 Mas para obter a solução das inequações simultâneas temos que analisar a intersecção 
entre as duas soluções : 
 
 
1S 
 
 
 
2S 
 
 
 
 -2 0 1 3 
 
 
O conjunto solução será os pontos que estão ao mesmo tempo nas duas retas do eixo x 
portanto a solução: 
 S= 02/{ <≤−∈ xIRx ou }31 ≤< x 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1) Determine o conjunto de valores de x que satisfazem o sistema de inequações 
 

<−
>+−
02
034
2
2
xx
xx
 
2)Resolva 


<−
≥−
02
01
2
2
xx
x
 
3) Indique o conjunto solução de 

>++−
≥−
032
02
2
2
xx
xx
 
 
 
+ - + 
 Inequações do 2o Grau 12 
4) Solucione o sistema de inequação 



≥+
<−−
>+
01
012
02
2
2
x
xx
xx
 
5)Resolva as seguintes inequações: 
a) xx 345 2 ≤−≤ 
b) 2345 2 +<+≤ xxx 
c) 311 2 ≤−< x 
 
 
� Observações importantes sobre o delta (discriminane). 
1. Se ∆∆ > 0 (positivo) a função do segundo grau terá duas raízes reais e desiguais 
e seu gráfico cortará o eixo dos x nesses dois valores, costumeiramente 
chamados de x’ e x”. 
2. Se ∆∆ = 0 a função do segundo grau terá duas raízes reais e iguais (zero real 
duplo) e seu gráfico cortará o eixo dos x em um único ponto que é esse valor de 
x., pois x’ = x”. 
3. Se ∆∆ < 0 a função do segundo grau não terá raízes reais, conseqüentemente o 
gráfico da função não tocará no eixo dos x.