Controle V2

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SUMÁRIO
1.	APRESENTAÇÃO	6
1.1.	DEFINIÇÕES	6
1.2.	EXEMPLOS DE SISTEMA DE CONTROLE	8
1.3.	APRESENTAÇÃO DOS SISTEMAS DE CONTROLE	9
1.4.	CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DE CONTROLE	10
1.5.	SISTEMA DE CONTROLE A MALHA ABERTA (SCMA) E MALHA FECHADA (SCMF)	11
1.6.	COMPARAÇÃO ENTRE O SISTEMA DE MALHA FECHADA E ABERTA	12
1.7.	EXEMPLO DE SISTEMAS CONTROLE DE MALHA ABERTA	13
1.8.	CONTROLE POR REALIMENTAÇÃO (RETROALIMENTAÇÃO) – FEEDBACK CONTROL	13
1.9.	CONTROLE POR PRÉ-ALIMENTAÇÃO - FEEDFOWARD CONTROL	14
1.10.	COMO RESOLVER UM PROBLEMA DE CONTROLE ?	16
1.11.	EXERCÍCIOS RESOLVIDOS	17
1.12.	EXERCÍCIOS PROPOSTOS	19
2.	TRANSFORMADA DE LAPLACE	21
2.1.	INTRODUÇÃO	21
2.2.	OBJETIVO	22
2.3.	O QUE É UMA TRANSFORMADA ?	22
2.4.	REVISÃO DAS VARIAVEIS COMPLEXAS E DAS FUNÇOES COMPLEXAS	23
2.5.	TRANSFORMADA DE LAPACE	23
2.6.	TRANSFORMADA DE LAPLACE DE ALGUMAS FUNÇÕES	24
2.7.	FUNÇÃO EXPONENCIAL	24
2.8.	FUNÇÃO DEGRAU	26
2.9.	FUNÇÃO RAMPA	28
2.10.	FUNÇÃO SENO	30
2.11.	FUNÇÃO COSENO	32
2.12.	TEOREMA DA TRANSLACÃO	34
2.13.	FUNÇÃO PULSO OU GATE	37
2.14.	FUNÇÃO IMPULSO	38
2.15.	ALGUMAS PROPIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE	40
2.16.	LINEARIDADE	40
2.17.	MULTIPLICAÇÃO DE UMA F(T) POR 	41
2.18.	MULTIPLICAÇÃO DE UMA F(T) POR tn	42
2.19.	TRANSFORMADA DE LAPLACE DE DERIVADAS	43
2.20.	TRANSFORMADA DE LAPLACE DE INTEGRAIS	44
2.21.	TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE	45
2.22.	MÉTODO PARA OBTER A TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE	45
2.23.	MÉTODO DE EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS	45
2.24.	F(S) ENVOLVE SOMENTE RAÍZES REAIS E DISTINTAS	48
2.25.	F(S) ENVOLVE PÓLOS COMPLEXOS CONJUGADOS	51
2.26.	F(S) ENVOLVE PÓLOS MÚLTIPLOS	56
2.27.	EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES E INVARTIANTES NO TEMPO	60
2.28.	TEOREMA DO VALOR INICIAL (TVI)	63
2.29.	TEOREMA DO VALOR FINAL (TVF)	63
3.	MODELAGEM MATEMÁTICA	65
3.1.	CONSIDERAÇOES GERAIS	65
3.2.	TIPOS DE SISTEMAS E OS MODELOS MATEMATICOS	65
3.3.	MODELAGEM MATEMÁTICA	68
3.4.	CONTROLE CLÁSSICO	68
3.5.	FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA	68
3.6.	PROPRIEDADES DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA	69
3.7.	REPRESENTAÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA	70
3.8.	FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA RACIONAL PRÓPRIA, TOTALMENTE PRÓPRIA, BIPRÓPRIA E IMPRÓPRIA	70
3.9.	SISTEMAS ELÉTRICOS	71
3.10.	COMPONETES DOS CIRCUITOS ELÉTRICOS	71
3.11.	EXEMPLOS: SISTEMAS ELÉTRICOS	72
3.12.	CIRCUITOS COMPLEXOS VIA MÉTODO DAS MALHAS	76
3.13.	CIRCUITOS COMPLEXOS VIA MÉTODO DAS MALHAS	79
3.14.	MOTOR DE CORRENTE CONTÍNUA	80
3.15.	SISTEMAS MECÂNICOS	81
3.16.	SISTEMAS MECÂNICOS TRANSLACIONAL	81
3.17.	COMPONETES DOS SISTEMAS MECÂNICOS	81
3.18.	MASSA	81
3.19.	MOLA	82
3.20.	AMORTECEDOR	82
3.21.	2 LEI DE NEWTON	83
3.22.	SISTEMAS MECÂNICOS TRANSLACIONAL	88
3.23.	SISTEMAS HIDRÁULICOS	90
4.	DIGRAMA DE BLOCOS	94
4.1.	INTRODUÇÃO: DIGRAMA DE BLOCOS	94
4.2.	COMPONENTES DOS DIGRAMA DE BLOCOS	94
4.3.	BLOCO FUNCIONAL	94
4.4.	PONTO DE SOMA OU DETECTOR DE ERRO	95
4.5.	PONTO DE JUNÇÃO OU DERIVAÇÃO	96
4.6.	DIAGRAMA DE BLOCOS DE UM SISTEMA DE MALHA FECHADA	96
4.7.	FUNÇÃO TRANSFERÊNCIA DE MALHA ABERTA	97
4.8.	FUNÇÃO TRANSFERÊNCIA DE ALIMENTAÇÃO DIRETA	98
4.9.	FUNÇÃO TRANSFERÊNCIA DE MALHA FECHADA (FORMA CANÔNICA)	98
4.10.	FUNÇÃO TRANSFERÊNCIA DE MALHA FECHADA COM REALIMENTAÇÃO UNITÁRIA	100
4.11.	FUNÇÃO TRANSFERÊNCIA DE MALHA FECHADA SUJEITA A PERTURBAÇÃO (DISTÚRBIO)	101
4.12.	REDUÇÃO DE DIGRAMAS DE BLOCOS	103
4.13.	COMBINAÇÃO DE BLOCOS EM SÉRIE	103
4.14.	COMBINAÇÃO DE BLOCOS EM PARALELO	104
4.15.	ELEMINAÇÃO DE UMA MALHA DE REALIMENTAÇÃO	105
4.16.	REMOVENDO UM BLOCO DE UM RAMO DIRETO	106
4.17.	REMOVENDO UM BLOCO DE UMA MALHA DE REALIMENTAÇÃO	107
4.18.	DESLOCANDO UM PONTO DE DERIVAÇÃO Á FRENTE DE UM BLOCO	108
4.19.	DESLOCANDO UM PONTO DE DERIVAÇÃO ATRÁS DE UM BLOCO	108
4.20.	DESLOCANDO UM PONTO DE SOMA Á FRENTE DE UM BLOCO	108
4.21.	DESLOCANDO UM PONTO DE SOMA ATRÁS DE UM BLOCO	109
4.22.	REDISPONDO PONTO DE SOMA (1)	110
4.23.	REDISPONDO PONTO DE SOMA (2)	111
4.24.	DESLOCANDO UM PONTO DE DERIVAÇÃO Á FRENTE DE UM PONTO DE SOMA	112
4.25.	DESLOCANDO UM PONTO DE DERIVAÇÃO ATRÁS DE UM PONTO DE SOMA	112
4.26.	REAGRUPAMENTO DE PONTOS DE SOMA	113
4.27.	RESUMO DA SIMPLIFICAÇÃO DOS DIAGRMAS DE BLOCOS	114
4.28.	REDUÇÃO DE DIGRAMAS DE BLOCOS COM O MATLAB	116
4.29.	BLOCOS EM SÉRIE COM MATLAB	116
4.30.	BLOCOS EM PARALELO COM MATLAB	117
4.31.	REALIMENTAÇÃO (FEEDBACK)	118
5.	RESPOSTA TRANSITÓRIA	127
5.1.	INTRODUÇÃO	127
5.2.	SINAIS DE TESTE TIPÍCOS	127
5.3.	RESPOSTA TRANSITÓRIA E RESPOSTA ESTACIONÁRIA	128
5.4.	PÓLOS, ZEROS E RESPOSTA DO SISTEMA	128
5.4.1.	PÓLOS DE UMA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA	128
5.4.2.	ZEROS DE UMA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA	129
5.4.3.	EXEMPLO DE PÓLOS E ZEROS DE UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM	129
5.5.	SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM	133
5.5.1.	EQUAÇÃO PADRÃO PARA UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM	133
5.5.2.	FUNÇAO DE TRANSFERÊNCIA DE PRIMEIRA ORDEM OBTIDA EXPERIMENTALMENTE	136
5.5.3.	EXEMPLO DE UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM	138
5.5.4.	RESPOSTAS DE SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM	139
5.5.4.1.	RESPOSTA AO DEGRAU UNITÁRIO	139
5.5.4.1.1.	MANEIRAS DE IDENTIFICAR EXPERIMENTALMENTE UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM	142
5.5.4.2.	RESPOSTA À RAMPA UNITÁRIA	143
5.5.4.3.	RESPOSTA AO IMPULSO UNITÁRIO	145
5.6.	SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM	147
5.7.	INTRODUÇÃO	147
5.8.	DIAGRAMA DE BLOCOS DE UM SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM	149
5.9.	ANALISE DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA DIFERENTES VALORES DO AMORTECIMENTO 	151
5.10.	RESPOSTAS DE SISTEMAS DE 2ª ORDEM	152
5.11.	RESPOSTAS AO DEGRAU UNITARIO	152
5.12.	DEFINIÇÕES E ESPECIFICAÇÕES DE REGIME TRANSITÓRIO	159
5.13.	ALGUNS COMENTÁRIOS SOBRE ESPECIFICAÇÕES DE RESPOSTAS TRANSITÓRIAS	161
5.14.	SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM E ESPECIFICAÇÕES DE RESPOSTA TRANSITÓRIA	161
6.	ERRO EM REGIME PERMANENTE	170
6.1.	INTRODUÇÃO	170
6.2.	ERRO EM REGIME PERMANENTE	170
6.3.	ERRO NOS SISTEMAS DE CONTROLE EM MALHA ABERTA	170
6.4.	ERRO NOS SISTEMAS DE CONTROLE EM MALHA FECHADA	171
6.5.	CLASSIFICAÇÃO	173
6.6.	ERRO EM REGIME PERMANETE PARA UMA ENTRADA DEGRAU	174
6.7.	ERRO EM REGIME PERMANETE PARA UMA ENTRADA RAMPA	175
6.8.	ERRO EM REGIME PERMANETE PARA UMA ENTRADA PARABÓLICA	177
6.9.	ERRO EM REGIME PERMANETE PARA UMA ENTRADAS DIFERENTES	179
6.10.	ERRO EM REGIME PERMANETE DEVIDO AO DISTURBIO	181
7.	ESTABILIDADE	185
7.1.	DEFINIÇÕES DE ESTABILIDADE	185
7.2.	TEOREMA DA ESTABILIDADE	185
7.3.	CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH-HURWTIZ	186
7.4.	ESTABILIDADE RELATIVA	188
8.	LUGAR DAS RAÍZES	189
8.1.	INTRODUÇÃO	189
8.2.	GRÁFICO DO LUGAR DAS RAÍZES PARA SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM	190
8.3.	GRÁFICO DO LUGAR DAS RAÍZES	191
8.4.	RESUMO DAS REGRAS GERAIS PARA CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES	193
8.5.	REGRAS GERAIS PARA CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES	194
8.6.	COMENTÁRIOS SOBRE OS GRÁFICOS DO LUGAR DAS RAÍZES	198
8.7.	CANCELAMENTO DOS PÓLOS DE G(S) COM ZEROS DE H(S)	199
8.8.	CONFIGURAÇÕES TÍPICAS DE PÓLOS E ZEROS E O LUGAR DAS RAÍZES CORRESPONDENTES	200
9.	CONTROLADORES	211
9.1.	INTRODUÇÃO	211
9.2.	AÇÕES DE CONTROLE BÁSICAS	211
9.3.	AÇÕES DE CONTROLE ON-OFF (LIGA-DESLIGA)	212
9.4.	AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL (P)	213
9.5.	AÇÃO DE CONTROLE INTEGRAL	215
9.6.	AÇÃO DE CONTROLE DERIVATIVA	217
9.7.	AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL MAIS INTEGRAL	219
9.8.	AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL MAIS DERIVATIVA	221
9.9.	AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL INTEGRAL DERIVATIVO	223
9.10.	REGRAS DE SINTONIA PARA CONTROLADORES PID	232
9.11.	REGRAS DE ZIGLER-NICHOLS PARA SINTONIA DE CONTROLADORES PID	232
10.	BIBLIOGRAFIA	242
10.1.	INTRODUÇÃO	242
11.	ANEXO 1	243
11.1.	SISTEMAS ELÉTRICOS	243
11.2.	COMPONETES DOS CIRCUITOS ELÉTRICOS	243
11.3.	RELAÇÃO DE TENSÃO E CORRENTE NO CAPACITOR	243
11.4.	RELAÇÃO DE TENSÃO E CORRENTE NO INDUTOR	245
11.5.	RELAÇÃO DE TENSÃO E CORRENTE NA RESISTÊNCIA ELÉTRICA	246
11.6.	LEIS DE KIRCHHOFF	246
i
iv
CAPÍTULO 1
APRESENTAÇÃO
DEFINIÇÕES
Sistema: é um conjunto de componentes que atuam conjuntamente e realizam um certo objetivo. Assim um sistema é um arranjo de partes ou componentes, sem limitações de quantidade ou qualidade. Um sistema pode ter qualquertamanho ou de quaisquer proporções dimensionais. Por exemplo: o sistema elétrico de uma casa tem dimensões completamente diferentes das de um sistema elétrico de um país. Além disso, um sistema não está limitado a algo físico. O conceito de sistema também pode ser aplicado para fenômenos dinâmicos abstratos como aqueles encontrados em economia.
Dinâmica: refere-se a uma situação ou estado que é dependente do tempo. Mesmo uma variável que não sofre mudanças em função do tempo é considerada dentro do estudo da dinâmica uma vez que uma constante é também uma função do tempo.
O estudo de um sistema dinâmico pode ser entendido como sendo o estudo do comportamento, em função do tempo, de grandezas relacionadas com uma parte do universo que foi imaginariamente separada para esse fim.
Controle: é o ato de comandar, dirigir, ordenar, manipular alguma coisa ou alguém.
Assim, um Sistema de controle: é uma disposição de componentes, conectados ou relacionados de maneira a comandar, dirigir ou regular a si mesmos ou a outros sistemas. A Figura 1.1 mostra um sistema de controle elementar onde um espelho controla o feixe de luz.
Figura 1.1 - Espelho controlando feixe de luz
Grandezas que cruzam a fronteira imaginária de um sistema podem ser chamadas de entradas ou saídas.
Entrada: é o estimulo ou excitação aplicados a um sistema de controle por meio de uma fonte de energia externa, geralmente a produzir uma resposta especifica do sistema de controle.
	ENTRADAS = SINAIS ATUANTES = EXCITAÇÕES
Saída: é a resposta, obtida de um sistema de controle. Ela pode ser ou não igual à resposta específica inferida da entrada.
	 SAÍDAS = VARIAVEIS CONTROLADAS
Variável controlada: é uma grandeza ou condição que é medida e controlada. Normalmente é a saída ou resposta do sistema.
Variável manipulada: é uma grandeza ou condição que é variada pelo controlador para que modifique o valor da variável controlada.
No controle pode-se medir o valor da variável controlada do sistema e aplicar uma ação ao sistema através da variável manipulada para corrigir ou limitar o desvio do valor medido em relação a um valor desejado.
Perturbações (ou distúrbios): Sinais indesejados (internos ou externos). São sinais que tendem a afetar adversamente o valor da saída do sistema. Se a perturbação for gerada dentro do sistema, ela é denominada perturbação interna, enquanto que uma perturbação (distúrbio) externa é gerada fora do sistema e constitui uma entrada.
Planta: é uma parte de um equipamento, eventualmente um conjunto de itens de uma máquina que funcionam juntos, cuja finalidade é desempenhar uma certa operação. No nosso caso é qualquer objeto físico a ser controlado. Exemplo: um forno, uma aeronave, etc.
Processo: é uma operação ou desenvolvimento natural, que evolui progressivamente, caracterizado por mudanças graduais que se sucedem, um em relação às outras, de um modo relativamente fixo (ordenado) e conduzindo a um resultado ou finalidade particular; - uma operação artificial ou voluntária, que evolui progressivamente e que consiste em uma série de ações controladas ou movimentos sistematicamente dirigidos objetivando um resultado ou finalidade particular. Processo é qualquer operação a ser controlada. Ex: processos químicos, econômicos biológicos.
Controle realimentado: refere-se a uma operação que, mesmo na presença de perturbações ou distúrbios, tende a reduzir a diferença entre a saída do sistema e alguma entrada de referência e que opera com base nessa diferença.
Sistema de controle realimentado: é um sistema que mantém uma determinada relação entre a saída e alguma entrada de referência comparando-as e utilizando a diferença como um meio de controle.
Sistema regulador automático: é um sistema de controle realimentado em que a entrada de referência ou a saída desejada ou é constante ou varia lentamente com o tempo e que tem como tarefa principal manter a saída real no valor desejado na presença de perturbações
EXEMPLOS DE SISTEMA DE CONTROLE
1) Controle da temperatura de um ambiente
Um aquecedor ou estufa, termostaticamente controlado, regulando automaticamente a temperatura de uma sala ou caixa, é um sistema de controle. A entrada para este sistema é uma temperatura de referência, geralmente especificada pelo ajuste apropriado de um termostato. A saída é a temperatura desejada da caixa. Quando o termostato detecta que a saída é menor que a entrada, a estufa proporciona calor até que a temperatura da caixa se torne igual à entrada de referência. Então a estufa é automaticamente desligada. A 
Figura 1.2 mostra o sistema de controle de temperatura de uma sala.
Figura 1.2 - Sistema de controle de temperatura de uma sala
2) Controle da temperatura do corpo humano
Uma parte do sistema de controle humano de temperatura é o sistema de perspiração. Quando a temperatura do ar exterior à pele torna-se muito elevada, as glândulas sudoríparas segregam fortemente, induzindo ao resfriamento da pele por evaporação. As secreções são reduzidas quando o efeito de resfriamento desejado é obtido ou quando a temperatura do ar cai suficientemente.
A entrada para este sistema é a temperatura “normal” ou confortável da pele. A saída é a temperatura presente da pele.
3) Comutador elétrico
Um comutador elétrico é um sistema de controle artificial, controlando o fluxo da eletricidade. Por definição, o aparelho ou a pessoa que aciona o comutador não é parte desse sistema de controle.
O acionamento do comutador para ligado ou desligado pode ser considerado como a entrada. A entrada pode ser um dos dois estados – ligado ou desligado. A saída é o fluxo ou não fluxo (dois estados) da eletricidade.
O comutador elétrico é provavelmente um dos sistemas de controle mais rudimentares.
4) Ato de apontar um objeto com o dedo
O ato de aparentemente de apontar para um objeto com o dedo requer um sistema de controle biológico, consistindo principalmente dos olhos, do braço, da mão, do dedo e do cérebro de um homem. A entrada é a direção precisa do objeto (deslocando-se ou não) com respeito a alguma referência e a saída é a direção apontada presentemente com respeito a alguma referência. 
5) Homem dirigindo um automóvel
O sistema de controle, consistindo num homem dirigindo um automóvel, tem componentes que são claramente artificiais e biológicos. O motorista deseja manter o automóvel na faixa apropriada da rodovia. Ele consegue isto observando constantemente o rumo do automóvel com respeito à direção da estrada. Neste caso, a direção da estrada, representada pela guias ou linhas de cada lado de sua faixa, pode ser considerada a entrada. A orientação do automóvel é à saída do sistema. O motorista controla esta saída medindo constantemente com os olhos e cérebro, corrigindo-a com as mãos sobre o volante. Os componentes principais desse sistema de controle são: as mãos, os olhos e o cérebro do motorista, e o veículo.
APRESENTAÇÃO DOS SISTEMAS DE CONTROLE
Servosistema (servomecanismo): é um sistema de controle realimentado em que a saída é alguma posição, velocidade ou aceleração mecânicas. O termo servosistema e sistema de controle de posição (ou velocidade ou aceleração) são sinônimos. São sistemas extensivamente usados na indústria moderna.
Sistema de controle de processos: é um sistema regulador automático no qual a saída é uma variável tal como temperatura, pressão, fluxo, nível de líquido ou pH. É exaustivamente usado na indústria.
Sistema de controle robusto: é um sistema de controle que é insensível a Variações de parâmetros.
Sistema de controle adaptativo: é aquele sistema que tem a habilidade de se auto-ajustar ou automodificar de acordo com variações imprevisíveis nas condições de ambiente ou de estrutura. O próprio sistema de controle detecta variações nos parâmetros da planta e faz os ajustes necessários no nos parâmetros do controlador a fim de manter um desempenho ótimo.
Sistema de controle com aprendizado: é aquele sistema decontrole que tem habilidade de aprender.
CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DE CONTROLE
	Sistema de controle não-linear
	Sistema de controle linear
	 A rigor, os sistemas físicos são não lineares em vários pontos;
 Não é valido o princípio da superposição dos efeitos;
 Elementos não-lineares, tipo on-off, são introduzidos intencionalmente no sistema para otimizar o desempenho. Exemplo: controle de mísseis.
	 Se a faixa de variações das variáveis do sistema não for ampla, então o sistema pode ser linearizado dentro de uma faixa de variação relativamente pequena das variáveis;
 É valido o princípio da superposição dos efeitos.
	Sistema de controle invariante no tempo
	Sistema de controle variante no tempo
	 Um SCIT é aquele cujos parâmetros não variam com o tempo (sistema de controle de coeficientes constantes);
 A sua resposta é independente do instante em que a entrada é aplicada;
	 Um SCVT é aquele em que um ou mais parâmetros variam com o tempo (sistema de controle de coeficientes variáveis);
 A sua resposta é dependente do instante em que a entrada é aplicada; 
Exemplo: sistema de controle de um veículo espacial. (a massa varia com o tempo conforme o combustível vai sendo consumido).
	Sistema de controle de tempo contínuo
	Sistema de controle de tempo discreto
	 Todas as variáveis do sistema são funções de um tempo contínuo t.
	 Envolve uma ou mais variáveis que são conhecidas somente em instantes de tempo discreto.
	Sistema de controle de entrada simples saída simples (SISO)
	Sistema de controle de múltiplas entradas múltiplas saídas (MIMO)
	 Exemplo: sistema de controle de posição, onde há uma entrada de comando (posição desejada) e uma saída controlada (posição final).
	 Exemplo: sistema de controle de processo, onde as entradas são pressão e temperatura e duas saída, também pressão e temperatura.
	Sistema de controle centralizado
	Sistema de controle distribuído
	 É controlado através de processador de central conectado a varias unidades I/O (de entrada e saída);
 Normalmente a comunicação entre o processador e as unidades I/O consiste somente em mensagens de dados. Outros tipos de mensagens não têm nenhum significado para um sistema centralizado;
 A comunicação entre o controlador e as unidades I/O é feita somente através de pedidos de dados e respostas pré-definidas.
	 Capacidade de processamento distribuída através de pontos ou nós. Os vários controladores de sistema são interconectados por um vinculo de comunicação;
 A comunicação entre os diferentes nós consiste então de mensagens de dados (medidas, etc.), mensagens de configuração, pedidos e respostas, estado, mensagens de erro, até mensagens de controle de diferentes tipos;
 Como conseqüência, a complexidade de um Sistema de Controle Distribuído pode ser bem mais alta do que aquela para o Sistema de Controle Centralizado.
	Sistema de controle de parâmetros Concentrados
	Sistema de controle de parâmetros distribuídos
	 Podem ser descritos por equações diferenciais ordinárias.
	 Podem ser descritos por equações diferenciais parciais.
	Sistema de controle determinístico
	Sistema de controle estocástico
	 Se sua resposta à uma entrada é prognosticável e é repetível.
	 Se sua resposta à uma entrada não é prognosticável e repetível.
	Sistema de controle de malha aberta 
	Sistema de controle de malha fechada
	 Sistema de controle não realimentado.
	 Sistema de controle realimentado.
SISTEMA DE CONTROLE A MALHA ABERTA (SCMA) E MALHA FECHADA (SCMF)
Sistema de controle a malha aberta (SCMA): é aquele sistema em que a saída não tem nenhum efeito sobre a ação de controle. Em outras palavras, em um SCMA a saída não é medida nem realimentada para comparação com a entrada. Exemplo: máquina de lavar roupas. A Figura 1.3 mostra um sistema de controle de malha aberta.
Figura 1.3 - Sistema de controle de malha aberta
Sistema de controle a malha fechada (SCMF): nome dado ao sistema de controle realimentado. Num SCMF a diferença entre a referência (sinal de entrada) e a medida da variável controlada (sinal realimentado), também chamada de sinal de erro atuante, é introduzido no controlador de modo a reduzir o erro e trazer a saída do sistema a um valor desejado. O termo controle a malha fechada sempre implica o uso de ação de controle realimentado a fim de reduzir o erro do sistema. A Figura 1.4 mostra um sistema de controle de malha fechada.
Figura 1.4 - Sistema de controle de malha fechada
COMPARAÇÃO ENTRE O SISTEMA DE MALHA FECHADA E ABERTA
	Sistema de controle a malha fechada
	Sistema de controle a malha aberta
	 Uso da realimentação torna a resposta do sistema relativamente insensível a distúrbios externos e variações internas nos parâmetros do sistema;
 Possuem vantagens somente quando os distúrbios e/ou variações imprevisíveis nos componentes estão presentes;
 A estabilidade é sempre um problema fundamental no SCMF, o qual pode tender a corrigir erros que podem causar oscilações de amplitude constante ou variável;
 É possível usar componentes baratos e sem muita precisão para obter o controle preciso de uma planta (processo);
 Maior número de componentes utilizados em relação ao SCMA;
 Geralmente resultam em sistemas cujo custo e potência são mais altos; 
	 Na presença de perturbações, um SCMA não desempenhará a tarefa desejada;
Uso aconselhável quando as entradas são conhecidas antecipadamente e nas quais não há distúrbio;
 É mais fácil construir porque a estabilidade não constitui um problema significativo;
 A precisão do sistema depende de uma calibração;
 São usados componentes mais precisos (mais caros);
 Onde aplicável, o SCMA pode ser usado para diminuir a potência requerida de um sistema;
EXEMPLO DE SISTEMAS CONTROLE DE MALHA ABERTA
O sistema mostrado na Figura 1.5 é normalmente classificado como “malha aberta”. Sistemas de controle de malha aberta são aqueles nos quais a informação sobre a variável controlada (nesse caso, a temperatura de saída do líquido) não é usada para ajustar nenhuma das entradas do sistema para compensar as variações nas variáveis do processo.
Figura 1.5 - Processo simples de troca de calor
Um sistema de controle malha fechada implica que a variável controlada é medida e o resultado dessa medida é usado para manipular uma das variáveis do processo, como o calor.
CONTROLE POR REALIMENTAÇÃO (RETROALIMENTAÇÃO) – FEEDBACK CONTROL
A realimentação ou feedback pode ser feita através de um operador humano (controle manual) ou pelo uso de instrumentos (controle automático).
Controle manual: um operador periodicamente mede a temperatura; se a temperatura, por exemplo, estiver abaixo do valor desejado, ele aumenta a vazão de vapor, pela abertura da válvula de vapor.
Controle automático: Um dispositivo sensor de temperatura é usado para produzir um sinal (elétrico, pneumático, mecânico,....) proporcional à temperatura medida. Esse sinal alimenta um controlador que a compara com um valor desejado pré-estabelecido, ou ponto de ajuste. Se existir alguma diferença, o controlador muda a abertura da válvula controladora de vapor para corrigir a temperatura. Ver Figura 1.6.
	Anotações
	
Figura 1.6 - Controle automático de um processo de troca de calor por realimentação
CONTROLE POR PRÉ-ALIMENTAÇÃO - FEEDFOWARD CONTROL
O controle por pré-alimentação está se empregando largamente. Distúrbios do processo são medidos e compensados sem se esperar que uma mudança na variável controlada indique que um distúrbio ocorreu. O controle pré-alimentado é também útil onde a variável de controle final não pode ser medida.
Figura 1.7 - Controle automático de um processo de troca de calor por pré-alimentação
No exemplo mostrado na Figura 1.7, o controlador Feedfoward possui habilidade computacional: usa a taxa de vazão e temperatura medidas na entrada do líquido para calculara taxa de vapor necessária para manter a temperatura desejada do líquido de saída.
A equação resolvida pelo controlador relaciona:
	a) o calor contido no líquido de entrada
	b) vazão de vapor
	c) temperatura do líquido de saída
é geralmente denominado modelo do processo.
Raros são os modelos e controladores perfeitos; assim, é preferível uma combinação de controle pré e realimentado. Ver Figura 1.8.
Figura 1.8 - Controle automático de um processo de troca de calor por pré e realimentação combinadas
	O arranjo de um controlador fornecendo o ponto de ajuste para outro controlador é conhecido como controle em cascata e é comumente usado no controle por realimentação.
	Anotações:
	
COMO RESOLVER UM PROBLEMA DE CONTROLE ? 
A seguir é mostrado um diagrama de blocos de como resolver problemas em sistemas de controle:
Figura 1.9 - Diagrama de blocos de como resolver problemas de controle
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01) Identifique as quantidades que são entradas e saídas para o espelho ajustável pivotante da Figura 1.10.
Figura 1.10 - Espelho controlando feixe de luz
A entrada é o ângulo de inclinação do espelho , regulado pela rotação do parafuso. A saída é a posição angular do feixe refletido + da superfície de referência.
02) Identifique uma entrada possível e uma saída possível para um gerador de eletricidade rotacional.
A entrada pode ser a velocidade rotacional de um motor primário (e.g. uma turbina a vapor), em revoluções por minuto. Supondo que o gerador não tenha carga aplicada a seus terminais de saída, a saída pode ser a tensão induzida, nos terminais de saída.
Alternativamente, a entrada pode ser expressa como momento angular do eixo do motor primário e a saída em unidades de potência elétrica (watts) com uma carga ligada ao gerador.
03) Identifique a entrada e a saída para uma máquina automática de lavar.
Muitas máquinas de lavar (mas nem todas) são operadas da seguinte maneira:
Depois que as roupas forem colocadas na máquina, o sabão ou detergente, o alvejante, e a Água dão entrada nas quantidades apropriadas. A programação para lavar e torcer é então fixada pelo regulador de tempo e a lavadeira é ligada. Quando o ciclo é completado a máquina se desliga por si própria. Se as quantidades apropriadas de detergente, alvejante e água e a temperatura desta são predeterminadas pelo fabricante da máquina, ou entram, automaticamente, então a entrada é o tempo em minutos para o cicio da lavagem e espremedura. O regulador de tempo é geralmente ajustado por um operador humano.
A saída de uma máquina de lavar é mais difícil de identificar. Definamos limpo como a ausência de todas as substancias estranhas dos itens a serem lavados. Então podemos identificar a saída como, a porcentagem de limpeza. Portanto, no inicio de um ciclo, a saída é menos do que 100 %, e, no fim de um ciclo, a saída ideal é igual a 100% (roupas limpas não são sempre obtidas).
Para muitas máquinas, operadas com moedas, o ciclo é fixado e a máquina começa a funcionar quando a moeda entra. Neste caso, a porcentagem de limpeza pode ser controlada, ajustando-se a quantidade de detergente, alvejante, água, e a temperatura desta. Podemos considerar todas as quantidades como entrada.
Outras combinações de entradas e saídas são também possíveis.
04) Identifique os componentes entrada e saída, e descreva a operação de um sistema de controle biológico, consistindo num ser humano que tenta apanhar um objeto.
Os componentes básicos desse sistema de controle são: o cérebro, o braço, a mão e os olhos.
O cérebro envia pelo sistema nervoso o sinal desejado para o braço e a mão, a fim de apanhar o objeto. Este sinal é amplificado nos músculos do braço e da mão, que servem como atuadores de potência para o sistema. Os olhos são empregados como um dispositivo sensível, continuamente “retroagindo" á posição das mãos para o cérebro.
A posição da mão é a saída para o sistema. A entrada é a posição do objeto.
O objetivo do sistema de controle é reduzir a zero a distância entre a posição da mão e a posição do objeto. 
05) Explique como uma máquina automática de lavar de malha fechada pode operar.
Suponha que todas as quantidades descritas como entradas possíveis no problema 03), a saber: ciclo, tempo, volume de água, temperatura da água, quantidade de detergente, quantidade de branqueador, podem ser ajustados por dispositivos tais como válvulas e aquecedores. Uma máquina de lavar de ciclo fechado mediria continuamente ou periodicamente a porcentagem de limpeza (saída) dos itens que estão sendo lavados, ajustaria as quantidades de entrada e desligar-se-ia quando 100% de limpeza fossem atingidos.
06) Como são calibrados os seguintes sistemas de ciclo aberto: (a) máquina automática de lavar (b) Torradeira automática (c) voltímetro?
(a) As máquinas automáticas de lavar são calibradas considerando-se qualquer combinação das seguintes quantidades de entrada: (1) quantidade de detergente, (2) quantidade de alvejante, (3) quantidade de água, (4) temperatura da água, (5) ciclo de tempo.
Em algumas máquinas de lavar uma ou mais dessas entradas são predeterminadas pelo fabricante.
As restantes quantidades devem ser fixadas pelo usuário c dependem de fatores tais como, grau de dureza da água, tipo de detergente e tipo ou eficácia do alvejante. Uma vez determinada esta calibração para um tipo especifico de lavagem (e.g. só roupas brancas, roupas muito sujas) em geral não terá que ser alterada durante a vida da máquina.
Se a máquina apresenta defeito e são instaladas pelas de reposição, provavelmente será necessária uma recalibração.
(b) Conquanto o mostrador do regulador de tempo em muitas torradeiras automáticas seja calibrado pelo fabricante (e.g. clara-média-escura), a quantidade de calor produzido pelo elemento aquecedor pode variar dentro de uma ampla faixa. Além disso, a eficiência do elemento aquecedor normalmente se reduz com o tempo. Em conseqüência, o prazo exigido para uma “boa torrada" deve ser fixado e periodicamente reajustado pelo usuário. Primeiramente, a torrada em geral muito clara ou escura. Depois de várias tentativas diferentes, sucessivas, o tempo de torração necessário para uma qualidade desejada de torrada é obtido.
(c) Em geral, um voltímetro, é calibrado pela comparação com uma fonte padrão de tensão conhecida, e apropriadamente marcada a escala de leitura a intervalos especificados.
07) Identifique a ação de controle nos sistemas dos problemas 01, 02 e 04.
Para o sistema de espelho do problema 01, a ação de controle é igual á entrada, isto é, o ângulo de inclinação do espelho . Para o gerador do problema 02 a ação de controle é igual à entrada, a velocidade de rotação ou momento angular do eixo do motor primário. A ação de controle, no sistema humano do problema 04, é igual á distância entre a mão e a posição, do objeto.
08) Quais dos sistemas de controle dos problemas 01, 02 e 04 são de malha aberta? De malha fechada?
Visto que ação de controle é igual à entrada para o sistema do problema 01 e 02, não existe realimentação e os sistemas são de malha aberta. O sistema humano do problema 04 é de malha fechada porque ação de controle é dependente da saída, posição da mão.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01) (a) Explique a operação dos sinais ordinários de tráfego, que controlam o fluxo automobilístico nas interseções das rodovias. (b) Por que são eles sistemas de controle em malha aberta? (c) Como pode o tráfego ser controlado mais eficientemente? (d) Porque é o sistema (c) de malha fechada?
02) (a) Indique os componentes e as variáveis do aparelho de controle biológico envolvido na marcha em uma direção determinada (b) Porque é a marcha uma operação de malha fechada ? (c) Sob quais condições o aparelho marcha humana se torna um sistema de malha aberta?
03) Desenvolva um sistema de controle simples que ligue automaticamente a lâmpada da sala ao anoitecer e desligue-a a luz do dia. Mostre um esboçodo seu sistema.
04) Desenvolva um sistema de controle para levantar ou abaixar automaticamente uma ponte levadiça a fim de permitir a passagem de navios. Não é permissível um operador humano contínuo. O sistema deve funcionar inteiramente automático.
127
CAPÍTULO 2
TRANSFORMADA DE LAPLACE
INTRODUÇÃO
A Transformada de Laplace é um método para resolver equações diferenciais lineares que surgem na matemática aplicada à Engenharia. Essa transformação reduz o problema de resolver a equação diferencial a um problema puramente algébrica.
Outra vantagem consiste no fato de que o método leva em conta as condições iniciais sem a necessidade de determinar em primeiro lugar a solução geral para dela então obter a solução particular. Particularmente, em Engenharia Elétrica esse método é aplicado em:
Circuitos Elétricos;
Conversão de Energia;
Sistemas de Controle e Servomecanismos.
Algumas vantagens da aplicação da Transformada de Lapace em controle são:
a) Permite o uso de técnicas gráficas para prever o desempenho do sistema de controle sem a necessidade de resolver as equações diferenciais que o descrevem.
b) Resolvendo a equação diferencial, obtém-se tanto a resposta transitória como a de regime permanente.
A Transformada de Laplace transforma uma função da variável tempo, digamos f(t), numa outra função F(s) onde s=+j é uma variável complexa. Em de terminadas condições, as funções f(t) e sua transformada F(s) estão relacionadas de forma biunívoca.
Transformada Inversa
Transformada Direta
F(S)
F(t)
Figura 2.1 - Relação das Transformadas diretas e inversas
O uso de Transformadas de Laplace nos permitirá agora aprofundar a análise das propriedades dos sistemas de controle. Encare a abordagem deste Capítulo como uma nova perspectiva, e não perca de vista um aspecto fundamental: muda a abordagem, mas o objeto de estudo se mantém!
OBJETIVO
Este não é um curso de Cálculo. Este Capítulo não tem a intenção de ensinar Transformadas de Laplace. Nos limitaremos a reunir aqui algumas definições e propriedades já conhecidas (e esquecidas?) necessárias ao curso de controle.
O QUE É UMA TRANSFORMADA ?
Exemplo:
A multiplicação de dois números romanos, VI XIV, com a resposta em número romano.
Procedimento:
Transformar estes números romanos em números arábicos: VI 6; XIV 14;
Problema transformado: multiplicar 6 por 14 = 84;
Converter a solução do problema transformado para a solução do problema original: 84 LXXXIV : Transformação Inversa.
Procedimento adotado:
Resolução
Transformada
Inversa
Transformada
Aplicação da 
PROBLEMA
ORIGINAL
VI
 x 
XIV
PROBLEMA
TRANSFORMADO
6
 x 
14
SOLUÇÃO DO
PROBLEMA ORIGINAL
LXXXIV
SOLUÇÃO DO
PROBLEMA TRANSFORMADO
6
 x 
14
	
	
Figura 2.2 – Procedimento adotado para se realizar uma transformada
REVISÃO DAS VARIAVEIS COMPLEXAS E DAS FUNÇOES COMPLEXAS
Variáveis complexas: Um número complexo tem uma parte real e uma parte imaginária, sendo ambas constantes. Se a parte real e/ou a parte imaginária forem variáveis, teremos então o que se denomina variável complexa. Na Transformada de Laplace, utiliza-se anotação “s”como variável complexa. Ou seja:
Onde é a parte real e é a parte imaginária.
	Funções complexas: uma função complexa G(s) é uma função de “s”que se tem uma parte real e uma parte imaginária ou 
	Onde Gx e Gy são quantidades reais. O módulo de G(s) é , e o argumento angular de G(s) é . O ângulo é medido no sentido anti-horário a partir do sentido positivo do eixo real. O complexo conjugado de G(s) é .
TRANSFORMADA DE LAPACE
Inicialmente, apresentaremos a definição de Transformada de Laplace e em seguida, daremos alguns exemplos para ilustrar a dedução da Transformada de Laplace de várias funções comumente utilizadas.
Vamos definir:
f(t)	 uma função do tempo tal que f(t) = 0 para t < 0;
S	 uma variável complexa;
L	 um símbolo operacional indicando que a quantidade que ele prefixa é para
ser transformada pela integral de Laplace 
F(s)	 Transformada de Laplace de f(t)
Então a Transformada de Laplace é de f(t) é definida por:
	Anotações
	
TRANSFORMADA DE LAPLACE DE ALGUMAS FUNÇÕES
FUNÇÃO EXPONENCIAL
A função exponencial é uma das funções mais importante porque as exponenciais aparecem sempre na solução das equações diferenciais. A função exponencial é definida como:
		
Onde A e α são constantes.
Por definição:
				onde: 
Temos:
Artifício:
				
Então:
Mas:
	
Logo:
Portanto:
					
Exercícios
01) Obter a transformada de Laplace das seguintes funções:
	
a) 
	
b) 
	
c) 
	
d) 
	
e) 
	
f) 
02) Obter a transformada de Inversa de Laplace das seguintes funções:
	
a) 
f(t) =
	
b) 
f(t) =
	
c) 
f(t) =
	
d) 
f(t) =
	
e) 
f(t) =
	
f) 
f(t) =
	Anotações
	
FUNÇÃO DEGRAU
A função degrau corresponde a uma ação que modifica instantaneamente uma determinada condição, ou variável, de um sistema, como a posição, ou a velocidade, ou a carga elétrica num capacitor, ou a vazão em uma tubulação, a ativação elétrica de um circuito, ou ainda o início da ação de uma força por exemplo. A função degrau é definida como:
		
Onde A é constante.
Por definição:
				onde: 
Temos:
Artifício:
					
Então:
			mas: 
Logo:
Portanto:
					 
Exercícios
01) Obter a transformada de Laplace das seguintes funções:
	
a) 
	
b) 
	
c) 
	
d) 
	
e) 
	
f) 
02) Obter a transformada de Inversa de Laplace das seguintes funções 
	
a) 
f(t) =
	
b) 
f(t) =
	
c) 
f(t) =
	
d) 
f(t) =
	
e) 
f(t) =
	
f) 
f(t) =
	Anotações
	
FUNÇÃO RAMPA
A função rampa corresponde a uma ação que cresce linearmente no tempo, a partir de uma ação nula. Ela é contínua no tempo, porém sua derivada é descontínua na origem. Quando o tempo tende a infinito, o valor da ação na função rampa também tende a infinito. Na prática isto não ocorre, uma vez que não se consegue gerar ações de intensidade infinita. A função rampa é definida por:
		
Onde A é constante.
Por definição:
				onde: 
Temos:
		
Artifício:									
			 					
Então:
Portanto:
					 
Exercícios
01) Obter a transformada de Laplace das seguintes funções:
	
a) 
	
b) 
	
b) 
	
d) 
	
e) 
	
f) 
02) Obter a transformada de Inversa de Laplace das seguintes funções 
	
a) 
f(t) =
	
b) 
f(t) =
	
c) 
f(t) =
	
d) 
f(t) =
	
e) 
f(t) =
	
f) 
f(t) =
	Anotações
	
FUNÇÃO SENO
Também muito importante, essa função de teste pode simular um sinal de natureza harmônica. Um exemplo bastante familiar é a tensão elétrica que existe em nossa residência. Ela é definida como:
Onde: A e ω são constantes.
A Amplitude da forma da onda.
ω Freqüência da forma da onda.
Por definição:
				onde: 
Temos:
Fórmula Euler:					
						
Então:
		
Portanto:
 					 
Exercícios
01) Obter a transformada de Laplace das seguintes funções:
	
a) 
	
b) 
	
b) 
	
d) 
	
e) 
	
f) 
02) Obter a transformada de Inversa de Laplace das seguintes funções 
	
a) 
f(t) =
	
b) 
f(t) =
	
c) 
f(t) =
	
d) 
f(t) =
	
e) 
f(t) =
	
f) 
f(t) =
	Anotações
	
FUNÇÃO COSENO
Essa função de teste também pode simular um sinal denatureza harmônica. Ela é definida como:
Onde: A e ω são constantes.
A Amplitude da forma da onda.
ω Freqüência da forma da onda.
Por definição:
				onde: 
Temos:
Fórmula Euler:					
						
Então:
				
Portanto:
 					 
Exercícios
01) Obter a transformada de Laplace das seguintes funções:
	
a) 
	
b) 
	
b) 
	
d) 
	
e) 
	
f) 
02) Obter a transformada de Inversa de Laplace das seguintes funções 
	
a) 
f(t) =
	
b) 
f(t) =
	
c) 
f(t) =
	
c) 
f(t) =
	
d) 
f(t) =
	
e) 
f(t) =
	Anotações
	
TEOREMA DA TRANSLACÃO
Vamos obter a Transformada de Laplace da função transladada , onde . Essa função é zero para . As funções e são mostradas a seguir:
	
	
Por definição, a Transformada de Laplace de é dada por:
Substituindo a variável independente por (letra grega Tal), em que , obtemos:
Como estamos considerando para , para para . Como conseqüência, podemos mudar o limite inferior da integração de para 0. Assim:
Onde:		
Então: 			para 
Esta ultima equação estabelece que a translação de uma função no tempo de (onde ) corresponde à multiplicação da transformada por .
Portanto:
Exemplo 01: Obter a Transformada de Laplace das funções f(t) mostradas abaixo:
	a) 
	
	Deste modo, a funçao dente de serra pode ser expressa por:
		
Utilizando as T.L. e considerando a propriedade de deslocamento no tempo, tem-se:
	b) 
	
	Deste modo, a funçao dente de serra pode ser expressa por:
		
Para utilizar diretamente a propriedade do deslocamento no tempo é necessário escrever a função no tempo, na forma: , logo:
Utilizando as T.L. e considerando a propriedade de deslocamento no tempo, tem-se:
		
Exercícios: 
01) Obter a Transformada de Laplace das funções f(t) mostradas abaixo:
	a) 
	b) 
FUNÇÃO PULSO OU GATE
Onde: A é uma constante.
Do teorema da translação temos:
		(função pulso no domínio do tempo)
Aplicando a Transformada de Laplace temos:
					
Portanto:
				 
	Anotações
	
FUNÇÃO IMPULSO
Considerando a seguinte função pulso com a área do pulso igual a 1:
Logo a função é dada por:
Se a largura do pulso for diminuída e a altura for aumentada, mantendo sempre unitária a área sobre o pulso, no limite, A0 resulta num pulso de largura zero, amplitude infinita e área unitária.
Neste limite, o pulso é chamado de Impulso Unitário. Veja afigura a seguir:
A função impulso unitário corresponde a uma ação que age sobre um sistema durante um intervalo infinitesimal de tempo, ou seja, ela atua por um pequeno intervalo de tempo e depois cessa a atuação. Esta função é também conhecida como função “delta de Dirac”.
Na função impulso unitário a potência e a energia despendidas na ação são limitados, porém a ação não é. Isto se deve ao fato de que o intervalo de tempo que dura o acionamento é muito pequeno, e tende a zero, fazendo com que a força neste intervalo tenda a infinito. Um bom exemplo da aplicação de um impulso unitário é no choque entre duas partes mecânicas. A função impulso unitário é definida como:
Portanto:
A entrada impulsiva fornece energia ao sistema em um tempo infinitesimal.
	Anotações
	
ALGUMAS PROPIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
A Transformada de Laplace (T.L.) possui várias propriedades gerais. Estas propriedades facilitam a obtenção da Transformada de muitas funções.
LINEARIDADE
A Transformada de Laplace (T.L.) é uma operação linear, isto é, para quaisquer funções f(t) e g(t) cujas T.L existam e quaisquer constantes C1 e C2 temos:
Exemplo 01:
a) 
Exercícios
01) Obter a T.L. das seguintes funções aplicando a propriedade de linearidade:
	
a) 
	
b) 
MULTIPLICAÇÃO DE UMA F(T) POR 
Se f(t) é transformável por Laplace, sendo F(s) sua Transformada de Laplace, então a T.L. de f(t) será obtida como:
Isto é, a substituição de “s” por “(s-)” na Transformada correspondente a multiplicação da função original por .
Exemplo 01:
		a) 
		b) 
Exercícios
01) Obter a T. L. das seguintes funções:
	
a) 
	
b) 
MULTIPLICAÇÃO DE UMA F(T) POR tn
Se f(t) é transformável por Laplace, sendo F(s) sua Transformada de Laplace, então a T.L. de f(t) será obtida como:
					Dica: 
Se , então:
					Onde : (n=1,2,3,......)
Exemplo 01:
=
Logo: n=2 e , então:
Exercícios
01) Obter a T. L. das seguintes funções:
	
a) 
	
b) 
TRANSFORMADA DE LAPLACE DE DERIVADAS
Se existe a Transformada de f(t) e de f’(t), então a T.L. de f’(t) será obtida como:
Artifício:
					
				
Então:
Similarmente para a derivada n-ésima de f(t):
Se as condições iniciais forem iguais a zero teremos:
	Anotações
	
TRANSFORMADA DE LAPLACE DE INTEGRAIS
Se existe a Transformada de f(t), então a T.L. da integral de f’(t) será obtida como:
Artifício:
					
						
Então:
Fazendo:
Teremos:
Se as condições iniciais forem iguais a zero teremos:
	Anotações
	
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
O processo inverso de determinação da função de tempo f(t) a partir da Transformada de Laplace F(s) é chamado de Transformada Inversa de Laplace e a notação utilizada para designá-la é . A Transformada Inversa de Laplace pode ser obtida a partir de F(s), com o auxilio da seguinte integral de inversão:
, para t > 0
onde “c”, abscissa de convergência, é uma constante real e é escolhida com valor superior à parte real de todos os pontos singulares de F(s). Assim o caminho de integração é paralelo ao eixo j e é deslocado do eixo de um valor de c. Esse caminho de integração fica à direita de todos os pontos singulares.
	O cálculo da integral de inversão é, aparentemente, complicado. Na prática, raramente utilizaremos essa integral para a obtenção de f(t). Existem métodos mais simples para encontrar f(t). Esses métodos são apresentados a seguir. 
MÉTODO PARA OBTER A TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
Conhecendo-se a Transformada de Laplace de uma função, pode-se obter a função no tempo que a originou aplicando-se as técnicas de transformação inversa. Em muitos casos, pode-se usar diretamente as tabelas de Transformadas de Laplace. Quando não possível, deve-se aplicar as técnicas de decomposição, como:
Integral de convolação;
Expansão em Frações Parciais.
No curso de Teoria de Controle, vamos utilizar o Método de Expansão em Frações Parciais que será apresentado a seguir.
MÉTODO DE EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS
	Em problemas de analise de sistemas de controle, F(s), a Transformada de Laplace de f(t), apresenta-se freqüentemente do seguinte modo:
onde A(s) e B(s) são polinômios em “s”. Na expansão de F(s)= B(s)/A(s) em frações parciais, é importante que a maior potência de “s” em A(s) seja maior do que a maior potência de “s” em B(s).
	Se não for esse o caso, o numerador B(s) deve ser dividido pelo denominador A(s) para resultar um polinômio em “s” mais um resto (uma relação de polinômio em “s” cujo numerador é de menor grau que o denominador). Ou seja:
Podemos escrever da seguinte forma:
Dividindo a expressão anterior por A(s), temos:
		
		
Logo: 
Exemplo 01: Obter a TransformadaInversa de Laplace de:
a) 
				Logo: 		
Aplicando a T.I.L. temos: 
Exercícios
01) Obter a Transformada Inversa de Laplace de:
	
a) 
Se a potência de “s” em A(s) é maior do que a maior potência de “s” em B(s) então, F(s), Transformada de Laplace de f(t), pode ser separada em componentes:
e se as Transformadas Inversas de F1(s), F2(s),....., Fn(s) são conhecidas de imediato, então:
Logo:
onde f1(t), f2(t),....., fn(t) são as Transformadas Inversas de F1(s), F2(s),....., Fn(s), respectivamente.
	Ao aplicar a técnica de expansão em frações parciais para achar a Transformada Inversa de Laplace de F(s)= B(s)/A(s), devem-se conhecer de antemão as raízes do polinômio do denominador A(s). [Em outras palavras, este método não é aplicável enquanto o polinômio do denominador não for fatorado.]
	A vantagem do método da expansão em frações parciais é que termos individuais de F(s), resultando da expansão na forma de frações parciais, são funções muito simples de “s”; portanto não necessitamos consultar uma tabela de Transformadas de Laplace se memorizarmos vários pares de Transformadas de Lapalce simples.
F(S) ENVOLVE SOMENTE PÓLOS REAIS E DISTINTOS
Consideremos a F(s) escrito na forma:
, 		para m < n
Onde , , ..., e , , ..., são quantidades reais. Se F(s) possuir somente pólos (raízes) distintos, ela então poderá ser expandida em uma soma de frações parciais simples, como está indicado a seguir:
 (2.1)
Onde (k= 1, 2, ..., n) são constantes. O coeficiente é chamado de resíduo do pólo em . O valor de pode ser encontrado ao multiplicar ambos os lados da eq.(2.1) pelo coeficiente genérico “” e ao fazer , que resulta em:
Vemos que todos os termos expandidos são eliminados, com exceção de . Assim o resíduo é determinado por:
Note que, como f(t) é uma função real de tempo. Como:
A função f(t) é obtido como:
	,			para t 0.
	Anotações
	
RESUMO:
	Onde: são reais
 Determinação do coeficiente bk qualquer:
Multiplica-se todos os numeradores pelo denominador ao coeficiente genérico “(s+pk)” e faz –se s=-pk, obtendo-se:
Exemplo: Determine a Transformada Inversa de Laplace de:
a) 
A expansão em frações parciais de F(s) é 
Onde b1 e b2 são determinados por meio de:
	
Assim: 
		para t 0
Exercícios
01) Obter a transformada Inversa de Laplace das seguintes funções:
	
a) 
	
b) 
F(S) ENVOLVE PÓLOS COMPLEXOS CONJUGADOS
A metodologia, neste caso, é semelhante à situação com raízes reais e distintas. Se p1 e p2 são pólos complexos conjugados, então a seguinte expressão pode ser usada:
 (2.2)
Os valores de β1 e β2 determinados multiplicando-se ambos os lados da eq.(2.2) por e fazendo s=-p1 ou s=-p2, obtendo-se:
Vemos que todos os termos expandidos são eliminados, com exceção de do termo . Portanto:
 (2.3)
Como é uma grandeza complexa, ambos os lados da eq.(2.3) são grandezas complexas. Igualando as partes reais de ambos os lados da eq.(2.3), obtemos uma equação. Da mesma forma, igualando as partes imaginarias de ambos os lados da eq.(2.3), obtemos uma outra equação. Dessas duas equações é possível determinar β1 e β2. Os outros coeficientes b3,....,bk,....,bn serão obtidos como no primeiro caso.
RESUMO:
	Onde: e são pólos conjugados complexos
 Determinação dos coeficientes “β1” e “β2”:
Multiplica-se todos os numeradores por “(s+p1) (s+p2)” e faz s=-p1 ou s=-p2, obtendo-se:
Iguala-se as partes reais e imaginarias de ambos lados da equação. Resolvendo-as obtém os coeficientes “β1” e “β2”. Os outros coeficientes “b3”, “bk” e “bn” são obtidos como no primeiro caso.
Exemplo 01: Determine a Transformada Inversa de Laplace de:
a) 
A F(s) pode ser expandida da seguinte forma:
 (2.4)
Para obter 
β
1
 e 
β
2
:
Multiplica-se ambos os lados da eq.(2.4) por e impõe obtendo:
 (multiplica-se pelo conjugado)
Logo:
Igualando as partes reais e imaginarias de ambos os lados desta equação, respectivamente obtemos:
Resolvendo o sistema de equações, resulta:
	 
Para obter 
b
3
:
Multiplica-se ambos os lados da eq.(2.4) por e faz , obtêm:
Portanto:
A equação: pode ser reescrita da seguinte forma: (s+R)2+I2, onde R é a parte real e I é a parte imaginaria das raízes complexas. Ou seja:
Logo:
A Transformada Inversa de Laplace F(s) é então dada por:
 para 
DICA:
A ocorrência de raízes complexas gera a presença de termos oscilatórios na resposta dinâmica e a possibilidade de uma formatação genérica para a solução final, usando funções trigonométricas. Portanto, o modo mais usual é fazer a expansão na soma de uma função senoidal amortecida e uma função cossenoidal amortecida.
					
Exemplo 02: Determine a Transformada Inversa de Laplace de:
a) 
A função F(s) pode ser expandida em uma função senoidal amortecida e uma função cossenoidal amortecida:
 para 
Exercícios
01) Obter a transformada Inversa de Laplace das seguintes funções:
	
a) 
	
b) 
F(S) ENVOLVE PÓLOS MÚLTIPLOS
Considere a F(s) =B(s)/A(s), onde A(s) =0 tem raízes P1 de multiplicidade “r”. [As outras raízes são supostas distintas]. A(s) pode ser escrita como: 
A expansão em frações parciais de F(s) é:
 (2.5)
Onde br, br-1,...., b1 são dados por:
 
 
	Estas relações para os valores de “b” podem ser obtidas: Multiplicando ambos os lados da eq.(2.5) por (s+p1)r e fazer s tender a –p1, temos:
	Se multiplicarmos ambos os lados da eq.(2.5) por (s+p1)r e então derivarmos com relação a “s”, 
O primeiro termo do lado direito desta ultima equação é igual a zero. O segundo termo é igual a br-1. Cada um dos outros termos contém alguma potência de (s+p1) como fator, resultando que quando “s” tende ao valor –p1, estes termos se anulam. Portanto, 
	Da mesma forma, fazendosucessivas diferenciações com relação a “s” e fazendo “s”tender a –p1, obtemos equações para os br-j. 
	Note que a Transformada Inversa de Laplace de 1/(s+p1)n é dada por:
	As constantes ar+1, ar+2, ...., na, na eq. (2.5) são determinadas a partir de:
			
	A Transformada Inverda de Laplace de F(s) é então obtida como visto a seguir:
 			(t ≥ 0)
RESUMO:
Onde: são os pólos múltiplos
 Determinação do coeficiente br ,.., br-1 ,.., br-j ,.., b1:
 
			Dica:
Exemplo 02: Determine a Transformada Inversa de Laplace de:
a) 
	A expansão em frações parciais dessa F(s) envolve três termos:
		
Onde b3, b2 e b1 são determinados como vistos a seguir:
	Portanto obtemos:
		
					para 
Exercícios
01) Obter a transformada Inversa de Laplace das seguintes funções:
	
a) 
	
b) 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES E INVARTIANTES NO TEMPO
Nesta seção vamos abordar o uso do método da Transformada de Laplace na solução de equações diferenciais lineares e invariantes no tempo.
O método da transformada de Laplace conduz à solução completa (solução complementar e solução específica) de equações diferenciais lineares e invariantesno tempo. Os métodos clássicos para a determinação da solução completa de equações diferenciais requerem o cálculo de constantes de integração a partir das condições iniciais. No caso do método da Transformada de Laplace, entretanto, esse requisito não é necessário porque as condições iniciais estão incluídas automaticamente na transformada de Laplace da equação diferencial.
Se todas as condições iniciais forem nulas, então a transformada de Laplace da equação diferencial será obtida simplesmente substituindo d/dt por s, d2/dt2 por s2 e assim por diante.
Na solução de equações diferenciais lineares e invariantes no tempo pelo método da Transformada Laplace, estão envolvidas duas etapas.
1. Aplicar a transformada de Laplace a cada termo de uma dada equação diferencial, converter a equação diferencial em uma equação algébrica em “s” e obter a expressão da Transformada de Laplace da variável dependente, reorganizando a equação algébrica assim obtida.
2. A solução da equação diferencial em função do tempo é obtida pela Transformada Inversa de Laplace da variável dependente.
Na discussão a seguir, utilizaremos dois exemplos para ilustrar a solução de equações diferenciais lineares invariantes no tempo, por meio do método da Transformada de Laplace.
Exemplo 01: Encontre a solução x(t) da equação diferencial:
, , 
Onde a e b são constantes.
Escrevendo a Transformada de Laplace de x(t) como X(s) ou
Obtemos:
E, assim, a equação diferencial dada torna-se:
		
Substituindo as condições iniciais dadas nessa última equação, obtemos:
Ou
Resolvendo em relação a X(s), temos:
	
A Transformada Inversa de Laplace de X(s) resulta em:
, para t ≥ 0
Que é a solução da equação diferencial dada. Note que as condições iniciais a e b aparecem na solução. Assim, x(t) não tem constantes indeterminadas.
Exemplo 01: Encontre a solução da equação diferencial:
, , 
Observando-se que , , , a transformada de Laplace da equação diferencial torna-se:
Resolvendo para X(s), encontramos:
Conseqüentemente, a Transformada Inversa de Laplace torna-se:
, para t ≥ 0
Que é a solução da equação diferencial.
Exercícios
01) Qual é a solução das seguintes equações diferenciais ?
	
a) , , 
	
b) , , 
TEOREMA DO VALOR INICIAL (TVI)
O teorema do valor inicial (TVI) permite que se descubra o valor inicial do sinal f(t) cuja Transformada de Laplace F(s) seja conhecida. O teorema do valor inicial estabelece que:
TEOREMA DO VALOR FINAL (TVF)
O teorema do valor final (TVF) permite que se descubra o valor final do sinal f(t) cuja Transformada de Laplace F(s) seja conhecida. O teorema do valor final estabelece que:
Restrições de aplicação :
 Os pólos de , após cancelamento dos termos comuns, têm que estar no semi-plano esquerdo (SPE);
 Só é permitido um único pólo em s=0 (é de esperar = cte como na função degrau);
 O valor de é indefinido se existirem pares de pólos conjugados no eixo , pois a f(t) conterá funções de tempo oscilante.
 O valor de é indefinido se existirem pares de pólos conjugados no eixo no semi-plano esquerdo (SPD), pois a f(t) conterá funções de tempo crescentes exponencialmente.
 Este teorema não se aplica quando f(t) for uma função senoidal sen(t), pois s F(s) tem pólos em s= j e o não existe.
Exemplos: Encontre valor inicial o valor final dos sinais abaixo:
a)
Valor inicial:
Valor final:
Indefinido, pois F(s) tem pólos conjugados s = ±j2 no eixo j
b)
Valor inicial: 
Como a ordem dos dois polinômios numerador e denominador são iguais efetua-se a divisão polinomial:
 e aplica-se o teorema do valor inicial a Y(s):
Valor final:
Podemos aplicar o teorema do valor final diretamente a F(s):
CAPÍTULO 3
MODELAGEM MATEMÁTICA
CONSIDERAÇOES GERAIS 
Modelos de sistemas são representações que permitem estabelecer relações entre causa e efeito de sistemas dinâmicos. Os modelos podem ser físicos ou matemáticos. Modelos físicos assemelham-se a sistemas reais, porém mais simples, embora representativos das características mais importantes. Os modelos matemáticos procuram representar o comportamento dinâmico dos sistemas por meio de equações matemáticas (equações de derivadas, equações de diferenças).
Pode-se prever o comportamento dinâmico de uma planta pela análise do seu modelo físico ou matemático. Por exemplo, seja o sistema dinâmico mostrado na Figura 3.1, composto por uma massa m, uma mola de coeficiente k e um amortecedor de amortecimento b. Este sistema, que se desloca na vertical, pode representar um sistema de suspensão de um veículo. A equação matemática que descreve o movimento do conjunto em função do deslocamento xo da massa e da extremidade do amortecedor e mola, xi, é também mostrada na figura.
Figura 3.1 - Um sistema composto por uma massa, mola e amortecedor pode representar a suspensão de um veículo.
TIPOS DE SISTEMAS E OS MODELOS MATEMATICOS 
O diagrama mostrado Figura 3.2 ilustra os diferentes tipos de sistemas e os modelos matemáticos utilizados na sua representação. Sistemas dinâmicos estocásticos possuem um comportamento imprevisível, e portanto não podem ser modelados. Um ruído é um exemplo de uma dinâmica estocástica. Sistemas determinísticos, ao contrário, possuem uma dinâmica previsível que pode ser modelada matematicamente. Se o sistema for determinístico, ele pode ser modelado por parâmetros concentrados ou distribuídos. Sistema a parâmetros concentrados significa que, dado as condições do sistema num instante, é possível prever a sua condição em qualquer instante. Já com parâmetros distribuídos, o estado é uma função de outros parâmetros. Um exemplo de um sistema com parâmetros concentrados é o sistema massa-mola-amortecedor mostrado na Figura 3.1. Este tipo de sistema é descrito por uma equação diferencial no tempo (df/dt). A distribuição de temperatura numa placa aquecida, por sua vez, é um sistema com parâmetros distribuídos, uma vez que a temperatura em cada ponto depende da posição do ponto e do tempo. Sistemas a parâmetros distribuídos são governados por equações diferenciais parciais (∂f/∂x). Quando o sistema possuir parâmetros concentrados, ele poderá ser modelado por funções contínuas ou discretas no tempo. Sistemas discretos são aqueles que assumem valores apenas em determinados instantes de tempo. Eles podem, eventualmente, ser modelados por funções contínuas. A propriedade discreta pode tanto estar no próprio sistema quanto na forma de se medir o sistema. Se a medição for discreta, a intervalos regulares no tempo, este sistema é considerado discreto. Exemplos de sistema discretos são: o número de habitantes contaminados a cada ano pelo vírus da gripe, a temperatura máxima do dia observada durante um ano num dado local, etc. Se um sistema dinâmico contínuo for simulado num computador, ele passa a ser discreto, uma vez que é impossível obter o valor do estado a cada instante de tempo, mas somente nos pontos calculados pelo computador. Na prática, porém, considera-se que o cálculo efetuado pelo computador é preciso o suficiente para que o sistema possa ser admitido como contínuo.
Figura 3.2 - Sistemas dinâmicos e sua representação por modelos matemáticos
Dentro de sistemas contínuos, o comportamento dinâmico pode ser linear ou não linear. Sistemas lineares são descritos por equações lineares (definidas logo a seguir) que se assemelham à equação de uma reta, ao passo que sistemas não lineares possuem termos com o quadrado, ou o cubo, ou o seno ou ainda a função exponencial das variáveis de estado. Se o sistema for linear, os coeficientes da equação linear podem ser constantesou então variar lentamente no tempo. Se os coeficientes variam rapidamente no tempo, é muito provável que este sistema não seja linear. Exemplos de sistemas com parâmetros variantes no tempo são aeronaves e foguetes. Neles, a massa do veículo varia conforme o combustível é consumido, e as características dinâmicas sofrem influência desta variação. Finalmente, os sistemas podem ainda depender de apenas uma ou de mais de uma variável de estado. No primeiro caso tem-se os sistemas monovariáveis e no segundo tem-se sistemas multivariáveis. A Figura 3.1 mostra um exemplo de sistema monovariável. Porém, o conjunto completo de suspensão de um veículo seria um sistema multivariável, já que dependeria do número de rodas presentes no veículo. Para cada roda, acrescenta-se uma equação a mais no modelo matemático e, portanto, mais uma variável de estado.
Serão utilizados aqui apenas modelos matemáticos, uma vez que eles permitem efetuar a análise do comportamento dinâmico dos sistemas, bem como sua controlabilidade, isto é, a verificação se estes sistemas podem ou não ser controlados e como deve ser este controle. Além disso, serão abordados sistemas lineares na quase totalidade do curso, principalmente em virtude de que a teoria de controle moderna deriva exclusivamente de sistemas lineares. Um sistema y = H(x) é linear se obedece à relação:
Seja, por exemplo, a equação diferencial ordinária de 2a ordem y.
Esta equação é linear, pois se x = x1 + x2, então:
De onde se conclui que:
y = y1 + y2
Nem todos os sistemas físicos reais são lineares. Na verdade, a grande maioria deles é não linear até um certo grau. Isto não significa que a teoria de controle de sistemas lineares não possa ser aplicada a sistemas não lineares, mas sim que se deve proceder a uma linearização (quando possível) do sistema a fim de tornar o controle menos suscetível às não linearidades. Infelizmente nem sempre esta prática resulta num sistema controlável.
MODELAGEM MATEMÁTICA
A maioria dos sistemas dinâmicos, independente de serem biológicos, elétricos, hidráulicos, etc, podem ser caracterizados por equações diferenciais utilizando as leis físicas. 
Modelos matemáticos é a descrição matemática das características dinâmicas de um sistema. Na obtenção de um modelo, devemos estabelecer um compromisso entre a simplicidade do modelo e precisão dos resultados da analise. Por exemplo:
O exemplo acima mostra um motor de indução com seu respectivo modelo matemático.
CONTROLE CLÁSSICO
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Em teoria de controle, funções chamadas Funções de Transferência são comumente usadas para caracterizar as relações de entrada-saída de componentes ou sistemas que podem ser descritos por equações diferencias lineares invariantes no tempo.
A Função de Transferência de um sistema de equações diferenciais lineares invariantes no tempo é definida como a relação da Transformada de Laplace da saída (função resposta) para a Transformada de Laplace da entrada (função de excitação) sob a hipótese de que todas as condições iniciais são nulas.
Considerando o sistema linear invariante no tempo definido pela seguinte equação diferencial:
	 (nm) (3.1)
Onde y é chamada de variável de saída e u é a variável de entrada. 
A Função de Transferência deste sistema é obtida tomando-se as Transformadas de Laplace de ambos os membros da eq.(3.1) e sob hipótese de que todas as condições iniciais são nulas, ou:
 (3.2)
 (3.3)
Usando o conceito de Função de Transferência, é possível representar a dinâmica do sistema pelas equações algébricas em s.
PROPRIEDADES DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
A Função de Transferência de um sistema tem várias propriedades úteis:
1) A Função de Transferência de um sistema é a Transformada de Laplace da sua resposta ao impulso. Isto é, se a entrada para um sistema com Função de Transferência F(s) é o impulso em todos os valores iniciais zero, a transformada da saída é F(s).
2) A Função de Transferência de um sistema pode ser determinada a partir da equação diferencial do sistema tomando-se a Transformada de Laplace e ignorando todos os termos que resultam dos valores iniciais. A Função de Transferência F(s) é então dada pela eq.(3.3).
3) A equação diferencial do sistema pode ser obtida da Função de Transferência substituindo-se a variável s pelo operador diferencial .
4) A estabilidade de um sistema linear, invariante com o tempo, pode ser determinada a partir da equação característica. O denominador da Função de Transferência de um sistema igualado a zero é a equação característica. Conseqüentemente, se todas as raízes do denominador tiverem partes reais negativas, o sistema é estável.
5) As raízes do denominador são os pólos do sistema e as raízes do numerador são os zeros do sistema. A Função de Transferência do sistema pode então ser especificada, a menos de uma constante, especificando-se os pólos e zeros do sistema. Esta constante, geralmente representada por K, é o fator-ganho do sistema. Os pólos e zeros do sistema podem ser representados esquematicamente por um mapa pólo-zero no plano-s.
REPRESENTAÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Considerando novamente a Função de Transferência dada pela equação a seguir:
 (3.4)
Fatorando o polinômio do numerador e do denominador esta mesma Função de Transferência pode ser expressa em termos do produto dos fatores como:
 (3.5)
Quando , s é referido para ser um zero da função transferência e quando , s é referido para ser um pólo da Função de Transferência.
Assumindo agora que os pólos são reais ou complexos mas distintos, podemos escrever a eq.(3.4) como uma fração parcial:
 (3.6)
Onde são chamados de resíduos e podem ser calculado pelo método frações parciais visto no capitulo 2.
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA RACIONAL PRÓPRIA, TOTALMENTE PRÓPRIA, BIPRÓPRIA E IMPRÓPRIA
Dada uma Função de Transferência F(s), diz-se que é uma Função de Transferência racional porque ambos (numerador e denominador) são polinômios.
As raízes do numerador são chamadas de zeros da Função de Transferência.
As raízes do denominador são conhecidas como os pólos da Função de Transferência.
Se m > n, F(s) é chamada uma Função de Transferência imprópria.
Se m n, F(s) é chamada uma Função de Transferência própria.
Se m < n, F(s) é chamada uma Função de Transferência estritamente própria.
Se m = n, F(s) é chamada uma Função de Transferência biprópria, porque sua inversa é também própria.
SISTEMAS ELÉTRICOS
COMPONETES DOS CIRCUITOS ELÉTRICOS
Os componentes dos circuitos elétricos são: o capacitor, o indutor e a resistência. Estes componentes, bem como a relação de tensão e corrente entre eles são descritos no anexo 1.
RESUMO:
Quando uma corrente elétrica flui através de cada um dos três componentes básicas de um sistema elétrico, nominalmente resistência, indutor e capacitor, ela flui de forma proporcional à diferença de potencial no caso da resistência, como uma integral no tempo para o indutor e como uma derivada no tempo para o capacitor.
Porém, a função de transferência a ser considerada em cada um destes casos, depende de qual é a fonte considerada, isto é, a diferença de potencial ou a corrente elétrica. Ou seja, qual das duas é suposta a variável de entrada e qual delas será a variável de saída. saída. Assim,
EXEMPLOS: SISTEMAS ELÉTRICOS
Exemplo 01: Obter a Função de Transferência do sistema elétrico mostrado na Figura Abaixo, considerando que a entrada é a tensão de alimentação vE(t) e a saída é a carga vS(t) nos terminais do capacitor.
Solução:
Como todos os elementos estão em série, a corrente i(t) que passa pelo circuito é única. A tensão ve(t)é então dividida entre os diversos elementos, ou seja, a soma das tensões nos terminais dos 3 elementos é igual à tensão de alimentação. Aplicando a segunda lei de Kirchhoff (Lei da tensão na malha) temos:
Malha 01
	 (I)
Malha 02
	 (II)
Aplicando Laplace na eqs.(I e II) temos:
 (III)
 (IV)
Função de Transferência é a relação da transformada de Laplace da saída pela entrada quando as condições iniciais são nula, logo dividindo a eq.(IV) pela eq.(III) temos:
						(Função de Transferência) 
Exemplo 02: Obter a Função de Transferência do sistema elétrico mostrado na Figura abaixo, considerando que a entrada é a tensão de alimentação VE(t) e a saída é a carga VS(t) nos terminais do capacitor C2.
Solução:
Malha 01
	 (I)
Malha 02
	 (II)
Malha 03
	 (III)
Aplicando Laplace na eqs.(I e II e III) temos:
 (IV)
 (V)
 (VI)
	Da equação (V), obtemos I1(s):
	Substituindo I1(s) na equação (IV)
 (VII)
Dividindo a equação (VI) pela (VII) temos:
 (Função de Transferência)
Exercícios
	01) Obter a Função de Transferência VS(s)/VE(s)
CIRCUITOS COMPLEXOS VIA MÉTODO DAS MALHAS
Para resolver circuitos elétricos complexos (os de múltiplas malhas e nós) usando o método das malhas, podemos executar os seguintes passos:
Substituir todos os valores dos elementos passivos por suas impedâncias.
Substituir todas as fontes e todas as variáveis no domínio do tempo pelas respectivas Transformadas de Laplace.
Arbitrar um sentido para a corrente do circuito transformado em cada malha.
Resolver a lei de Kirchhoff das tensões ao longo de cada malha.
Resolver o sistema de equações em termos da saída.
Elaborar a função de Transferência.
Exemplo 01:
Dado o circuito abaixo, obter a Função de Transferência I2(s)/V(s)
	O primeiro passo na solução consiste em converter o circuito em Transformada de Laplace das impedâncias e das variáveis de circuito, supondo condições iniciais nulas. O resultado está mostrado abaixo.
O circuito com qual estamos lidando requer duas equações simultâneas para se obter a Função de Transferência. Estas equações podem ser determinadas somando as tensões ao longo de cada malha através da quais se supõe que circulem as correntes I1(s) e I2(s). Ao longo da Malha 1, onde circula I1(s), 
ou
Ao longo da Malha 2, onde circula I2(s), 
ou
Combinando os termos, as equações anteriores se tornam equações simultâneas em I1(s) e I2(s):
 
Podemos usar a regra de Cramer (ou qualquer outro método para resolver sistemas de equações) para resolver a equação anterior em termos de I2(s). Assim:
	Elaborando a Função de Transferência, Resulta
	A seguir é mostrada uma forma geral para escrever rapidamente as equações das malhas do circuito elétrico.
Exercícios
	01) Obter a Função de Transferência I3(s)/V(s)
Resp:
CIRCUITOS COMPLEXOS VIA MÉTODO DAS MALHAS
MOTOR DE CORRENTE CONTÍNUA
O motor CC é um dispositivo atuador de potência que entrega energia a uma carga, como está mostrado na Fig. 2.15(a); um esboço de um motor CC está mostrado na Fig. 2.15(b). Uma vista em corte de um motor CC do tipo panqueca é fornecida na Fig. 2.16.
O motor CC converte energia elétrica de corrente contínua (CC) em energia mecânica rotativa. Uma grande parte do torque gerado no rotor (armadura) do motor está disponível para acionar uma carga externa. Devido a recursos tais como torque elevado, possibilidade de controle de velocidade sobre uma ampla faixa de valores, portabilidade, característica velocidade-torque bem comportada e adaptabilidade a vários tipos de métodos de controle, os motores CC ainda são usados largamente em numerosas aplicações de controle, incluindo manipuladores robóticos, mecanismos de transporte de fitas, acionadores de disco, máquinas-ferramentas e atuadores de servoválvulas.
A função de transferência do motor CC será deduzida por meio de uma aproximação linear do motor real, e os efeitos de segunda ordem, como histerese e queda de tensão nas escovas, serão desprezados. A tensão de entrada pode ser aplicada aos terminais de campo ou de armadura. O fluxo no entreferro do motor é proporcional à corrente de campo, desde que o campo não esteja saturado, ou seja:
SISTEMAS MECÂNICOS
SISTEMAS MECÂNICOS TRANSLACIONAL
Sistemas mecânicos translacionais são aqueles nos quais os deslocamentos seguem linhas retas.
COMPONETES DOS SISTEMAS MECÂNICOS
Existem 3 componentes lineares nos sistemas mecânicos translacionais: a massa, a mola e o amortecedor. Cada um deles possui uma equação que define seu comportamento dinâmico e serão vistos a seguir.
MASSA
Massa corresponde à idéia intuitiva de "quantidade de matéria existente em um corpo". Aplicando-se a lei de Newton numa massa m, por exemplo, tem-se que
’
Que pode ser interpretada na forma: a força aplicada à massa é igual ao produto da massa pela aceleração. Nota-se que a aceleração pode ser expressa por meio da derivada temporal da velocidade v ou então pela segunda derivada do deslocamento y. A massa pode estar submetida a mais de uma força, e neste caso a equação pode ser generalizada na forma:
Aplicando-se a Transformada de Laplace nesta relação, tem-se o resultado:
Onde A(s), V(s) e Y(s) representam a Transformada de Laplace da aceleração, velocidade e deslocamento, respectivamente. A figura a seguir mostra a representação esquemática de uma massa sujeito à ação de forças.
Figura 3.3 - Representação de uma massa m submetida a ação de forças
MOLA
Uma mola é um objeto elástico flexível usado para armazenar a energia mecânica . As molas são feitas geralmente de aço endurecido. A equação da mola é dada pela lei de Hook:
Onde k é a constante da mola. Nota-se que a força gerada pela mola é sempre contrária ao deslocamento, isto é, se o deslocamento for positivo a força é negativa e vice-versa. As extremidades da mola podem estar submetidas a deslocamentos distintos, como mostra a representação da mola na Figura 3.5, e portanto a equação fica:
Nota-se que a mola é admitida como ideal, o que significa que sua massa é nula e que a força nas suas extremidades são iguais e contrárias. A força na mola pode ser posta também em função da velocidade das suas extremidades:
Aplicando agora a transformada de Laplace a esta equação, tem-se
A figura a seguir mostra a representação esquemática de uma mola de coeficiente K sujeita à ação de forças.
Figura 3.4 - Representação de uma mola de coeficiente k submetida a ação de forças
AMORTECEDOR
Um amortecedor é um componente capaz de resistir ao movimento de seus terminais. Um amortecedor automotivo é um bom exemplo deste componente, e sua função é dissipar a energia de oscilação do veículo causada pela mola. A força no amortecedor é proporcional à velocidade com que as sua