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Mecânica Estatística - Curso de Verão - 2012 1
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO
Lista de Exercícios 2
Prazo de entrega: 13 de fevereiro, durante a aula.
Problema 1: Energia em um gás ideal
Em um gás ideal de moléculas clássicas não-interagentes e em equilíbrio térmico, as compo-
nentes cartesianas das velocidades das moléculas são estatisticamente independentes. No es-
paço 3D, a função densidade de probabilidades obedece à distribuição gaussiana, i.e.
p (vx ,vy ,vz ) =
1p
(2πσ2)3
exp
–
−
(v 2
x
+ v 2
y
+ v 2
z
)
2σ2
™
ondeσ2 = k B T /m e a energia de umamolécula dada porE =
1
2
m |~v |2.
(a) Encontre a função densidade de probabilidades para a energia de uma molécula para um
gás em 3D, p (E ).
(b) É possível criar um gás bidimensional adsorvendo átomos de gases nobres em um subs-
trato microscopicamente plano, de tal maneira que os atómos podem se mover livre-
mente no planomantendo-se presos a ele com relação à direção perpendicular.
Neste caso, qual seria p (E ) para um gás ideal 2D?
Problema 2: Gás ideal de osciladores harmônicos quânticos
ConsidereumconjuntodeN osciladores quânticos independentes, todos commesma frequên-
cia ν . O espectro de energia do iés i mo oscilador é
Ei = (n i +
1
2
)hν , n i = 0,1,2, . . .
Considere que o sistema está em um estado cuja energia total é E , i.e
E =
1
2
N h ν +M h ν
onde M é um número inteiro.
Tal como mostrado em aula, o número de microestados com energia total E possíveis é dado
por
Σ(E ) =
(M +N −1)!
M ! (N −1)!
Prof. Sérgio Coutinho Departamento de Física – UFPE
Mecânica Estatística - Curso de Verão - 2012 2
(a) Encontre a entropiaS do gás no limite em que N ≫ 1 e M ≫ 1.
Lembre-se de usar a fórmula de Stirling para grandes números: lnN !≃N lnN −N .
(b) Encontre a temperaturano equilíbrio termodinâmico e o valor E¯ (T ) quemaximiza a entro-
pia neste estado.
(c) Obtenha a capacidade calorífica C (T,N ).
(d) Analise o comportamento de E¯ (T ) e de C (T,N ) nos regimes de altas e baixas temperaturas.
Questão 1: Polímero unidimensional - 3 pontos
Um polímero unidimensional pode ser idealizado como uma cadeia de N monômeros (N ≫ 1)
de comprimento a . Considere que as junções entre os monômeros são livres para girar de 180
graus, isto é, desde que os monômeros permaneçam paralelos entre si. Uma configuração de
um polímero típico de tamanho L = 14a e N = 44 monômeros está mostrada na figura abaixo.
bc bc bc bcbc bc bc
bc bc
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bc bc bc
bc bc
bc bc bc
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bc bc bc
bc bc bc bc bc
bc bc bc bc bc bc bc
bc bc bc
bc bc bc
bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc
L
a
θ = 0 θ =π
monômeros
(a) (1,5 pontos) Calcule a entropia do polímero em função do seu comprimento final L .
(b) (1 ponto)Considere que o polímero está em equilíbrio térmico comum reservatório à tem-
peratura T . Use a energia livre de Helmholtz A(T,L,N ) e encontre a força (tensão) τ ne-
cessária para manter o comprimento L quando o sistema está à temperatura T .
(c) (0,5 pontos) Mostre que, em primeira ordem em L/N a , a relação obtida no item (b) recu-
pera a Lei de Hooke τ≃ κ(T )L. Determine a constante de força κ(T ).
Prof. Sérgio Coutinho Departamento de Física – UFPE