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Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Aula 7 - Roteiro 1 1. Flutuações da Energia no Ensemble Canônico 2. Exemplo: “gás” de osciladores harmônicos quânticos 3. Ensemble Grão-canônico 4. Flutuações de Densidade no Ensemble Grão-canônico 5. Mecânica Estatística Quântica - conceitos básicos K. Huang, Statistical Mechanics, 2nd Ed. $ 7.4, $8.1 e $8.2 S. Salinas, Introdução à Física Estatística, $7.2 sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Flutuações da Energia no Ensemble Canônico 2 Por definic¸a˜o, a me´dia da energia U =< H > e´ dada por: U = 1 CnZn � Γ d�p d�qH e−βH → U − � Γ d�p d�qH e−βH� Γ d�p d�q e−βH = 0 ∴ � Γ d�p d�q(U −H) e−βH� Γ d�p d�q e−βH = 0 → < U −H >= 0 ou ainda � Γ d�p d�q(U −H) e−β(H−Fn) = 0 Diferenciando em relac¸a˜o a β = 1/kBT , teremos ∂U ∂β � Γ d�p d�q e−β(H−Fn)� �� � =1 + � Γ d�p d�q(U −H) [(Fn −H)− T (∂Fn/∂T )]� �� � [U−TS−H−T (−S)] e−β(H−Fn] = 0 lembrando que ∂/∂β = −kBT 2∂/∂T sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Flutuações da Energia no Ensemble Canônico 2 Por definic¸a˜o, a me´dia da energia U =< H > e´ dada por: U = 1 CnZn � Γ d�p d�qH e−βH → U − � Γ d�p d�qH e−βH� Γ d�p d�q e−βH = 0 ∴ � Γ d�p d�q(U −H) e−βH� Γ d�p d�q e−βH = 0 → < U −H >= 0 ou ainda � Γ d�p d�q(U −H) e−β(H−Fn) = 0 Diferenciando em relac¸a˜o a β = 1/kBT , teremos ∂U ∂β � Γ d�p d�q e−β(H−Fn)� �� � =1 + � Γ d�p d�q(U −H) [(Fn −H)− T (∂Fn/∂T )]� �� � [U−TS−H−T (−S)] e−β(H−Fn] = 0 lembrando que ∂/∂β = −kBT 2∂/∂T sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Flutuações da Energia no Ensemble Canônico 3 ∂U ∂β + � Γ d�p d�q(U−H) (U−H) e−β(H−Fn] = 0, → ∂U ∂β + < (U−H)2 >= 0 ∴ < H2 > − < H >2= −∂U ∂β = kBT 2 ∂U ∂T = kBT 2 CV Dividindo ambos os lados por < H >2, e tomando a raiz quadrada obtemos o desvio padra˜o relativo, i.e. √ < H2 > − < H >2 < H > = kBT 2 √ CV < H > Como CV ∼ n e < H >∼ n sa˜o grandezas extensivas resulta que √ < H2 > − < H >2 < H > ∼ 1√ n Comenta´rios • O desvio padra˜o relativo, a` me´dia, tende a zero no limite termodinaˆmico. Ou seja as flutuac¸o˜es da energia sera˜o infinitamente pequenas quando comparadas ao seu valor me´dio. • No limite termodinaˆmico, quase todos os elementos do ensemble tera˜o energia aproximadamente igual a U, e o ensemble canoˆnico se torna equivalente ao ensemble microcanoˆnico. sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Flutuações da Energia no Ensemble Canônico 3 ∂U ∂β + � Γ d�p d�q(U−H) (U−H) e−β(H−Fn] = 0, → ∂U ∂β + < (U−H)2 >= 0 ∴ < H2 > − < H >2= −∂U ∂β = kBT 2 ∂U ∂T = kBT 2 CV Dividindo ambos os lados por < H >2, e tomando a raiz quadrada obtemos o desvio padra˜o relativo, i.e. √ < H2 > − < H >2 < H > = kBT 2 √ CV < H > Como CV ∼ n e < H >∼ n sa˜o grandezas extensivas resulta que √ < H2 > − < H >2 < H > ∼ 1√ n Comenta´rios • O desvio padra˜o relativo, a` me´dia, tende a zero no limite termodinaˆmico. Ou seja as flutuac¸o˜es da energia sera˜o infinitamente pequenas quando comparadas ao seu valor me´dio. • No limite termodinaˆmico, quase todos os elementos do ensemble tera˜o energia aproximadamente igual a U, e o ensemble canoˆnico se torna equivalente ao ensemble microcanoˆnico. sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Flutuações da Energia no Ensemble Canônico 3 ∂U ∂β + � Γ d�p d�q(U−H) (U−H) e−β(H−Fn] = 0, → ∂U ∂β + < (U−H)2 >= 0 ∴ < H2 > − < H >2= −∂U ∂β = kBT 2 ∂U ∂T = kBT 2 CV Dividindo ambos os lados por < H >2, e tomando a raiz quadrada obtemos o desvio padra˜o relativo, i.e. √ < H2 > − < H >2 < H > = kBT 2 √ CV < H > Como CV ∼ n e < H >∼ n sa˜o grandezas extensivas resulta que √ < H2 > − < H >2 < H > ∼ 1√ n Comenta´rios • O desvio padra˜o relativo, a` me´dia, tende a zero no limite termodinaˆmico. Ou seja as flutuac¸o˜es da energia sera˜o infinitamente pequenas quando comparadas ao seu valor me´dio. • No limite termodinaˆmico, quase todos os elementos do ensemble tera˜o energia aproximadamente igual a U, e o ensemble canoˆnico se torna equivalente ao ensemble microcanoˆnico. sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Flutuações da Energia no Ensemble Canônico 3 ∂U ∂β + � Γ d�p d�q(U−H) (U−H) e−β(H−Fn] = 0, → ∂U ∂β + < (U−H)2 >= 0 ∴ < H2 > − < H >2= −∂U ∂β = kBT 2 ∂U ∂T = kBT 2 CV Dividindo ambos os lados por < H >2, e tomando a raiz quadrada obtemos o desvio padra˜o relativo, i.e. √ < H2 > − < H >2 < H > = kBT 2 √ CV < H > Como CV ∼ n e < H >∼ n sa˜o grandezas extensivas resulta que √ < H2 > − < H >2 < H > ∼ 1√ n Comenta´rios • O desvio padra˜o relativo, a` me´dia, tende a zero no limite termodinaˆmico. Ou seja as flutuac¸o˜es da energia sera˜o infinitamente pequenas quando comparadas ao seu valor me´dio. • No limite termodinaˆmico, quase todos os elementos do ensemble tera˜o energia aproximadamente igual a U, e o ensemble canoˆnico se torna equivalente ao ensemble microcanoˆnico. sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Flutuações da Energia no Ensemble Canônico 3 ∂U ∂β + � Γ d�p d�q(U−H) (U−H) e−β(H−Fn] = 0, → ∂U ∂β + < (U−H)2 >= 0 ∴ < H2 > − < H >2= −∂U ∂β = kBT 2 ∂U ∂T = kBT 2 CV Dividindo ambos os lados por < H >2, e tomando a raiz quadrada obtemos o desvio padra˜o relativo, i.e. √ < H2 > − < H >2 < H > = kBT 2 √ CV < H > Como CV ∼ n e < H >∼ n sa˜o grandezas extensivas resulta que √ < H2 > − < H >2 < H > ∼ 1√ n Comenta´rios • O desvio padra˜o relativo, a` me´dia, tende a zero no limite termodinaˆmico. Ou seja as flutuac¸o˜es da energia sera˜o infinitamente pequenas quando comparadas ao seu valor me´dio. • No limite termodinaˆmico, quase todos os elementos do ensemble tera˜o energia aproximadamente igual a U, e o ensemble canoˆnico se torna equivalente ao ensemble microcanoˆnico. sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Exemplo: “gás” de osciladores harmônicos quânticos 4 Sistema formado porN osciladores harmoˆnicos quaˆnticos e independentes, cujos espectros de energia sa˜o: Eni = � ni + 1 2 � �ω, ni = 0, 1, 2, . . . • ni ≥ 0 e´ um nu´mero quaˆntico do ie´simo oscilador i = 1, 2, . . . N . • ω e´ a frequeˆncia do oscilador. • Considerar que o sistema esta´ em equil´ıbrio te´rmico com um reservato´rio de calor a` temperatura absoluta T . sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Exemplo: “gás” de osciladores harmônicos quânticos 4 En1 En2 En3 EnNEn4 A func¸a˜o de partic¸a˜o dos sistema pode ser escrita como Z(T, V,N) = Z(T, V, 1)N porque os osciladores sa˜o independentes. Sistema formado porN osciladores harmoˆnicos quaˆnticos e independentes, cujos espectros de energia sa˜o: Eni = � ni + 1 2 � �ω, ni = 0, 1, 2, . . . • ni ≥ 0e´ um nu´mero quaˆntico do ie´simo oscilador i = 1, 2, . . . N . • ω e´ a frequeˆncia do oscilador. • Considerar que o sistema esta´ em equil´ıbrio te´rmico com um reservato´rio de calor a` temperatura absoluta T . sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Exemplo: “gás” de osciladores harmônicos quânticos 5 sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Exemplo: “gás” de osciladores harmônicos quânticos 5 Z = ∞� {n1,n2,...,nN} exp � −β � i Eni � = ∞� {n1,n2,...,nN} � i exp [−βEni ] = = ∞� n1=0 exp [−βEn1 ]× ∞� n2=0 exp [−βEn2 ]× · · · ∞� nN=0 exp [−βEnN ] = = � ∞� n=0 exp [−βEn] �N = [Z(T, V, 1)]N Z(T, V, 1) e´ a ”func¸a˜o de partic¸a˜o” para um oscilador isolado, i.e Z(T, V, 1) = ∞� n=0 exp[−βEn] = ∞� n=0 exp � −β�ω � n+ 1 2 �� = exp � −β�ω 2 � ∞� n=0 exp � −nβ�ω � A u´ltima soma corresponde a` soma de uma progressa˜o geome´trica infinita de raza˜o exp[−β�ω], i.e Z(T, V, 1) = exp � −β�ω 2 � 1 1− exp[−β�ω] = 1 exp � β�ω 2 � − exp � − β�ω2 � = �2 sinh�β�ω 2 ��−1 sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Exemplo: “gás” de osciladores harmônicos quânticos 5 Z = ∞� {n1,n2,...,nN} exp � −β � i Eni � = ∞� {n1,n2,...,nN} � i exp [−βEni ] = = ∞� n1=0 exp [−βEn1 ]× ∞� n2=0 exp [−βEn2 ]× · · · ∞� nN=0 exp [−βEnN ] = = � ∞� n=0 exp [−βEn] �N = [Z(T, V, 1)]N Z(T, V, 1) e´ a ”func¸a˜o de partic¸a˜o” para um oscilador isolado, i.e Z(T, V, 1) = ∞� n=0 exp[−βEn] = ∞� n=0 exp � −β�ω � n+ 1 2 �� = exp � −β�ω 2 � ∞� n=0 exp � −nβ�ω � A u´ltima soma corresponde a` soma de uma progressa˜o geome´trica infinita de raza˜o exp[−β�ω], i.e Z(T, V, 1) = exp � −β�ω 2 � 1 1− exp[−β�ω] = 1 exp � β�ω 2 � − exp � − β�ω2 � = �2 sinh�β�ω 2 ��−1 sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Exemplo: “gás” de osciladores harmônicos quânticos 5 Z = ∞� {n1,n2,...,nN} exp � −β � i Eni � = ∞� {n1,n2,...,nN} � i exp [−βEni ] = = ∞� n1=0 exp [−βEn1 ]× ∞� n2=0 exp [−βEn2 ]× · · · ∞� nN=0 exp [−βEnN ] = = � ∞� n=0 exp [−βEn] �N = [Z(T, V, 1)]N Z(T, V, 1) e´ a ”func¸a˜o de partic¸a˜o” para um oscilador isolado, i.e Z(T, V, 1) = ∞� n=0 exp[−βEn] = ∞� n=0 exp � −β�ω � n+ 1 2 �� = exp � −β�ω 2 � ∞� n=0 exp � −nβ�ω � A u´ltima soma corresponde a` soma de uma progressa˜o geome´trica infinita de raza˜o exp[−β�ω], i.e Z(T, V, 1) = exp � −β�ω 2 � 1 1− exp[−β�ω] = 1 exp � β�ω 2 � − exp � − β�ω2 � = �2 sinh�β�ω 2 ��−1 sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Exemplo: “gás” de osciladores harmônicos quânticos 6 Portanto, a func¸a˜o de partic¸a˜o do sistema sera´ Z(T, V,N) = � 2 sinh �β�ω 2 ��−N onde os osciladores foram considerados distingu´ıveis entre si. A energia livre de Helmholtz e´ obtida por F (T, V,N) = −kT ln[Z(T, V,N)] = NkT ln � 2 sinh �β�ω 2 �� ∴ F (T, V,N) = N 2 �ω +NkT ln[1− exp(−β�ω)] A entropia pode ser obtida diretamente de F (T, V,N) por derivac¸a˜o, i.e. S = − �∂F ∂T � V,N = −Nk ln[1− exp(−β�ω)]−NkT β�ω 1− exp(−β�ω) ∴ S = Nk � β�ω exp � β�ω �− 1 − ln[1− exp(−β�ω)] � sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Exemplo: “gás” de osciladores harmônicos quânticos 6 Portanto, a func¸a˜o de partic¸a˜o do sistema sera´ Z(T, V,N) = � 2 sinh �β�ω 2 ��−N onde os osciladores foram considerados distingu´ıveis entre si. A energia livre de Helmholtz e´ obtida por F (T, V,N) = −kT ln[Z(T, V,N)] = NkT ln � 2 sinh �β�ω 2 �� ∴ F (T, V,N) = N 2 �ω +NkT ln[1− exp(−β�ω)] A entropia pode ser obtida diretamente de F (T, V,N) por derivac¸a˜o, i.e. S = − �∂F ∂T � V,N = −Nk ln[1− exp(−β�ω)]−NkT β�ω 1− exp(−β�ω) ∴ S = Nk � β�ω exp � β�ω �− 1 − ln[1− exp(−β�ω)] � sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Exemplo: “gás” de osciladores harmônicos quânticos 6 Portanto, a func¸a˜o de partic¸a˜o do sistema sera´ Z(T, V,N) = � 2 sinh �β�ω 2 ��−N onde os osciladores foram considerados distingu´ıveis entre si. A energia livre de Helmholtz e´ obtida por F (T, V,N) = −kT ln[Z(T, V,N)] = NkT ln � 2 sinh �β�ω 2 �� ∴ F (T, V,N) = N 2 �ω +NkT ln[1− exp(−β�ω)] A entropia pode ser obtida diretamente de F (T, V,N) por derivac¸a˜o, i.e. S = − �∂F ∂T � V,N = −Nk ln[1− exp(−β�ω)]−NkT β�ω 1− exp(−β�ω) ∴ S = Nk � β�ω exp � β�ω �− 1 − ln[1− exp(−β�ω)] � sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Exemplo: “gás” de osciladores harmônicos quânticos 6 Portanto, a func¸a˜o de partic¸a˜o do sistema sera´ Z(T, V,N) = � 2 sinh �β�ω 2 ��−N onde os osciladores foram considerados distingu´ıveis entre si. A energia livre de Helmholtz e´ obtida por F (T, V,N) = −kT ln[Z(T, V,N)] = NkT ln � 2 sinh �β�ω 2 �� ∴ F (T, V,N) = N 2 �ω +NkT ln[1− exp(−β�ω)] A entropia pode ser obtida diretamente de F (T, V,N) por derivac¸a˜o, i.e. S = − �∂F ∂T � V,N = −Nk ln[1− exp(−β�ω)]−NkT β�ω 1− exp(−β�ω) ∴ S = Nk � β�ω exp � β�ω �− 1 − ln[1− exp(−β�ω)] � sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Exemplo: “gás” de osciladores harmônicos quânticos 6 Portanto, a func¸a˜o de partic¸a˜o do sistema sera´ Z(T, V,N) = � 2 sinh �β�ω 2 ��−N onde os osciladores foram considerados distingu´ıveis entre si. A energia livre de Helmholtz e´ obtida por F (T, V,N) = −kT ln[Z(T, V,N)] = NkT ln � 2 sinh �β�ω 2 �� ∴ F (T, V,N) = N 2 �ω +NkT ln[1− exp(−β�ω)] A entropia pode ser obtida diretamente de F (T, V,N) por derivac¸a˜o, i.e. S = − �∂F ∂T � V,N = −Nk ln[1− exp(−β�ω)]−NkT β�ω 1− exp(−β�ω) ∴ S = Nk � β�ω exp � β�ω �− 1 − ln[1− exp(−β�ω)] � sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Exemplo: “gás” de osciladores harmônicos quânticos 7 A energia interna pode ser obtida por U = F + TS, i.e. U = N 2 �ω+NkT ln[1−exp(−β�ω)]+NkT � β�ω exp � β�ω �− 1 − ln[1− exp(−β�ω)] � ∴ U = N�ω � 1 2 + 1 exp � β�ω �− 1 � No limite quando T → 0 ou β →∞ temos exp(β�ω)→∞ ∴ S → 0 e U → N�ω/2. A capacidade calor´ıfica a volume constante e´ dada por CV = ∂U ∂T ��� N,V , → CV = Nk(β�ω)2 exp � β�ω � (exp � β�ω �− 1)2 No limite de altas temperaturas β�ω → 0, donde CV → Nk(β�ω)2 [1 + (β�ω) + . . . ] [1 + (β�ω) + . . . )− 1]2 � Nk[1 + (β�ω) + . . . ] ∼ NK que corresponde ao valor obtido classicamente. No entanto, no limite de baixas temper- aturas β�ω →∞, donde CV � Nk(β�ω)2 exp �− β�ω�→ 0, sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduaçãoem Física da UFPE/ Aula 7 Exemplo: “gás” de osciladores harmônicos quânticos 7 A energia interna pode ser obtida por U = F + TS, i.e. U = N 2 �ω+NkT ln[1−exp(−β�ω)]+NkT � β�ω exp � β�ω �− 1 − ln[1− exp(−β�ω)] � ∴ U = N�ω � 1 2 + 1 exp � β�ω �− 1 � No limite quando T → 0 ou β →∞ temos exp(β�ω)→∞ ∴ S → 0 e U → N�ω/2. A capacidade calor´ıfica a volume constante e´ dada por CV = ∂U ∂T ��� N,V , → CV = Nk(β�ω)2 exp � β�ω � (exp � β�ω �− 1)2 No limite de altas temperaturas β�ω → 0, donde CV → Nk(β�ω)2 [1 + (β�ω) + . . . ] [1 + (β�ω) + . . . )− 1]2 � Nk[1 + (β�ω) + . . . ] ∼ NK que corresponde ao valor obtido classicamente. No entanto, no limite de baixas temper- aturas β�ω →∞, donde CV � Nk(β�ω)2 exp �− β�ω�→ 0, sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Exemplo: “gás” de osciladores harmônicos quânticos 7 A energia interna pode ser obtida por U = F + TS, i.e. U = N 2 �ω+NkT ln[1−exp(−β�ω)]+NkT � β�ω exp � β�ω �− 1 − ln[1− exp(−β�ω)] � ∴ U = N�ω � 1 2 + 1 exp � β�ω �− 1 � No limite quando T → 0 ou β →∞ temos exp(β�ω)→∞ ∴ S → 0 e U → N�ω/2. A capacidade calor´ıfica a volume constante e´ dada por CV = ∂U ∂T ��� N,V , → CV = Nk(β�ω)2 exp � β�ω � (exp � β�ω �− 1)2 No limite de altas temperaturas β�ω → 0, donde CV → Nk(β�ω)2 [1 + (β�ω) + . . . ] [1 + (β�ω) + . . . )− 1]2 � Nk[1 + (β�ω) + . . . ] ∼ NK que corresponde ao valor obtido classicamente. No entanto, no limite de baixas temper- aturas β�ω →∞, donde CV � Nk(β�ω)2 exp �− β�ω�→ 0, sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Exemplo: “gás” de osciladores harmônicos quânticos 8 O comportamento quando T → 0 pode ser entendido da seguinte maneira: Se kT << �ω um oscilador na˜o podera´ ser excitado para um n´ıvel de energia acima do estado fundamental, i.e o sistema na˜o podera´ absorver energia oferecida pelo banho te´rmico, exceto em uma baix´ıssima probabilidade. 2 ΠkT hΩ CV CV = Nk(β�ω)2 exp � β�ω � (exp � β�ω �− 1)2 sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 8 Considerar um sistema confinado por paredes condu- toras te´rmicas e qu´ımicas de tal maneira que sua en- ergia me´dia e nu´mero de constituintes me´dio sa˜o con- stantes, mas livres para sofrem flutuac¸o˜es em torno das respectivas me´dias. Ensemble Grão-canônico 9 T, µ ∆V = 0 ∆T = 0 ∆µ = 0 Considerar a entropia de Gibbs S = −KB � Γ d�p d�qρ (�p, �q) ln[Cn ρ(�p, �q)] sujeita a`s condic¸o˜es de v´ınculo ∞� N=0 � Γ d�p d�qρ N (�p, �q) = 1, ∞� N=0 � Γ d�p d�qHN (�p, �q) ρN (�p, �q) = U, ∞� N=0 � Γ d�p d�q Nρ N (�p, �q) =< N > Usar o me´todo dos multiplicadores de Lagrange, definindo S� = S+α0 � ∞� N=0 � Γ d�p d�qρ N − 1 � +αE � ∞� N=0 � Γ d�p d�qHN ρN − U � +αN � ∞� N=0 � Γ d�p d�q Nρ N (�p, �q)− < N > � Calcular δS� = 0, i.e. sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 8 Considerar um sistema confinado por paredes condu- toras te´rmicas e qu´ımicas de tal maneira que sua en- ergia me´dia e nu´mero de constituintes me´dio sa˜o con- stantes, mas livres para sofrem flutuac¸o˜es em torno das respectivas me´dias. Ensemble Grão-canônico 9 T, µ ∆V = 0 ∆T = 0 ∆µ = 0 Considerar a entropia de Gibbs S = −KB � Γ d�p d�qρ (�p, �q) ln[Cn ρ(�p, �q)] sujeita a`s condic¸o˜es de v´ınculo ∞� N=0 � Γ d�p d�qρ N (�p, �q) = 1, ∞� N=0 � Γ d�p d�qHN (�p, �q) ρN (�p, �q) = U, ∞� N=0 � Γ d�p d�q Nρ N (�p, �q) =< N > Usar o me´todo dos multiplicadores de Lagrange, definindo S� = S+α0 � ∞� N=0 � Γ d�p d�qρ N − 1 � +αE � ∞� N=0 � Γ d�p d�qHN ρN − U � +αN � ∞� N=0 � Γ d�p d�q Nρ N (�p, �q)− < N > � Calcular δS� = 0, i.e. sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 8 Ensemble Grão-canônico 10 ∞� N=0 � Γ d�p d�q � α0 + αEHN + αN N − kB ln[CnρN ] �− kB ] δρ = 0 Como δρ e´ arbitra´rio o integrando deve se anular identicamente, i.e α0+αEHN+αN N−kB ln[CnρN ]−kB = 0 → ρN = 1 Cn exp � α0 kB − 1 � exp � αE kB HN � exp � αN kB N � Substituindo na condic¸a˜o de normalizac¸a˜o de ρ e identificando o primeiro fator exponen- cial, resulta ρN (�p, �q) = exp � k−1B (αEHN (�p, �q) + αN N) � �∞ N=0 � Γ d�p d�qexp � k−1B (αEHN (�p, �q) + αN N) � Substituindo, agora, na expressa˜o da entropia de Gibbs e usando as condic¸o˜es de v´ınculo se obtem S = kB lnZ(αE ,αN , V )− αE < HN > −αN < N > onde Z(αE ,αN , V ) = ∞� N=0 � Γ d�p d�qexp � k−1B (αEHN (�p, �q) + αN N) � sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 8 Ensemble Grão-canônico 10 ∞� N=0 � Γ d�p d�q � α0 + αEHN + αN N − kB ln[CnρN ] �− kB ] δρ = 0 Como δρ e´ arbitra´rio o integrando deve se anular identicamente, i.e α0+αEHN+αN N−kB ln[CnρN ]−kB = 0 → ρN = 1 Cn exp � α0 kB − 1 � exp � αE kB HN � exp � αN kB N � Substituindo na condic¸a˜o de normalizac¸a˜o de ρ e identificando o primeiro fator exponen- cial, resulta ρN (�p, �q) = exp � k−1B (αEHN (�p, �q) + αN N) � �∞ N=0 � Γ d�p d�qexp � k−1B (αEHN (�p, �q) + αN N) � Substituindo, agora, na expressa˜o da entropia de Gibbs e usando as condic¸o˜es de v´ınculo se obtem S = kB lnZ(αE ,αN , V )− αE < HN > −αN < N > onde Z(αE ,αN , V ) = ∞� N=0 � Γ d�p d�qexp � k−1B (αEHN (�p, �q) + αN N) � sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 8 Ensemble Grão-canônico 10 ∞� N=0 � Γ d�p d�q � α0 + αEHN + αN N − kB ln[CnρN ] �− kB ] δρ = 0 Como δρ e´ arbitra´rio o integrando deve se anular identicamente, i.e α0+αEHN+αN N−kB ln[CnρN ]−kB = 0 → ρN = 1 Cn exp � α0 kB − 1 � exp � αE kB HN � exp � αN kB N � Substituindo na condic¸a˜o de normalizac¸a˜o de ρ e identificando o primeiro fator exponen- cial, resulta ρN (�p, �q) = exp � k−1B (αEHN (�p, �q) + αN N) � �∞ N=0 � Γ d�p d�qexp � k−1B (αEHN (�p, �q) + αN N) � Substituindo, agora, na expressa˜o da entropia de Gibbs e usando as condic¸o˜es de v´ınculo se obtem S = kB lnZ(αE ,αN , V )− αE < HN > −αN < N > onde Z(αE ,αN , V ) = ∞� N=0 � Γ d�p d�qexp � k−1B (αEHN (�p, �q) + αN N) � sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 8 Ensemble Grão-canônico 11 sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 8 Comparando com a expressa˜o do gra˜o potencial termodinaˆmico: Ω = U − TS − µ < N > identifica-se: αE = − 1 T , αN = µ T Retornando esses valores para a expressa˜o da entropia, identifica-se: −kBT lnZ(T, V, µ) = U − TS − µ < N > Ω = −kBT lnZ(T, V, µ) onde, a gran-func¸a˜o de partic¸a˜o (do ensemble gra˜o-canoˆnico) pode ser escrita por Z(T, V, µ) = ∞� N=0 1 CN � Γ d�p d�qexp{−β[HN − µN ]} Definindo a fugacidade z = eβµ pode-se reescrever a func¸a˜o densidade de probabilidades e a gran-func¸a˜o de partic¸a˜o por: ρN (�p, �q)= zN CN exp{β[Ω−HN (�p, �q)]}, Z(T, V, µ) = ∞� N=0 zN CN � Γ d�p d�qexp{−β[HN (�p, �q)]} Ensemble Grão-canônico 11 sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 8 Comparando com a expressa˜o do gra˜o potencial termodinaˆmico: Ω = U − TS − µ < N > identifica-se: αE = − 1 T , αN = µ T Retornando esses valores para a expressa˜o da entropia, identifica-se: −kBT lnZ(T, V, µ) = U − TS − µ < N > Ω = −kBT lnZ(T, V, µ) onde, a gran-func¸a˜o de partic¸a˜o (do ensemble gra˜o-canoˆnico) pode ser escrita por Z(T, V, µ) = ∞� N=0 1 CN � Γ d�p d�qexp{−β[HN − µN ]} Definindo a fugacidade z = eβµ pode-se reescrever a func¸a˜o densidade de probabilidades e a gran-func¸a˜o de partic¸a˜o por: ρN (�p, �q) = zN CN exp{β[Ω−HN (�p, �q)]}, Z(T, V, µ) = ∞� N=0 zN CN � Γ d�p d�qexp{−β[HN (�p, �q)]} Ensemble Grão-canônico 11 sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 8 Comparando com a expressa˜o do gra˜o potencial termodinaˆmico: Ω = U − TS − µ < N > identifica-se: αE = − 1 T , αN = µ T Retornando esses valores para a expressa˜o da entropia, identifica-se: −kBT lnZ(T, V, µ) = U − TS − µ < N > Ω = −kBT lnZ(T, V, µ) onde, a gran-func¸a˜o de partic¸a˜o (do ensemble gra˜o-canoˆnico) pode ser escrita por Z(T, V, µ) = ∞� N=0 1 CN � Γ d�p d�qexp{−β[HN − µN ]} Definindo a fugacidade z = eβµ pode-se reescrever a func¸a˜o densidade de probabilidades e a gran-func¸a˜o de partic¸a˜o por: ρN (�p, �q) = zN CN exp{β[Ω−HN (�p, �q)]}, Z(T, V, µ) = ∞� N=0 zN CN � Γ d�p d�qexp{−β[HN (�p, �q)]} Ensemble Grão-canônico 11 sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 8 Comparando com a expressa˜o do gra˜o potencial termodinaˆmico: Ω = U − TS − µ < N > identifica-se: αE = − 1 T , αN = µ T Retornando esses valores para a expressa˜o da entropia, identifica-se: −kBT lnZ(T, V, µ) = U − TS − µ < N > Ω = −kBT lnZ(T, V, µ) onde, a gran-func¸a˜o de partic¸a˜o (do ensemble gra˜o-canoˆnico) pode ser escrita por Z(T, V, µ) = ∞� N=0 1 CN � Γ d�p d�qexp{−β[HN − µN ]} Definindo a fugacidade z = eβµ pode-se reescrever a func¸a˜o densidade de probabilidades e a gran-func¸a˜o de partic¸a˜o por: ρN (�p, �q) = zN CN exp{β[Ω−HN (�p, �q)]}, Z(T, V, µ) = ∞� N=0 zN CN � Γ d�p d�qexp{−β[HN (�p, �q)]} Ensemble Grão-canônico 11 sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Flutuações de Densidade no Ensemble Grão-canônico 12 Deseja-se calcular as flutuac¸o˜es do nu´mero de part´ıculas em relac¸a˜o ao seu valor me´dio, i.e � (N− < N >)2 < N > Considerar < N >= − �∂Ω ∂µ � T,V = − ∂ ∂µ [−kBT lnZ(T, V, µ)] ∴ < N >= 1 β � ∂Z(T,V,µ) ∂µ � Z(T, V, µ) = 1 β Z � Z ∂ < N > ∂µ = 1 β �Z �� Z − (Z �)2 Z2 � Mas, Z �� Z = 1 Z ∞� N=0 β2N2 eβµN CN � Γ d�p d�q e−βH = β2 < N2 > Z � Z = 1 Z ∞� N=0 βN eβµN CN � Γ d�p d�q e−βH = β < N > Logo ∂ < N > ∂µ = β[< N2 > − < N >2] → < N2 > − < N >2= kBT ∂ < N > ∂µ sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Flutuações de Densidade no Ensemble Grão-canônico 13 Extraindo a raiz quadrada e dividindo por < N >, resulta √ < N2 > − < N >2 < N > = kBT � (∂ < N > /∂µ)) < N > ∼ √ < N > < N > ∼ 1√ < N > Conclusa˜o: O desvio padra˜o do nu´mero de part´ıculas, relativo ao valor me´dio, tende a zero quando N →∞. E´ poss´ıvel mostrar atrave´s de relac¸o˜es termodinaˆmicas (*) que < N2 > − < N >2=< N >2 kBT V κT,N ≥ 0 que ana´loga a` relac¸a˜o < H2 > − < H >2= kBT 2 CV ≥ 0 obtida para as flutuac¸o˜es da energia no ensemble canoˆnico. (*) [vide Huang, eq. 7.43, pag. 153] sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Flutuações de Densidade no Ensemble Grão-canônico 13 Extraindo a raiz quadrada e dividindo por < N >, resulta √ < N2 > − < N >2 < N > = kBT � (∂ < N > /∂µ)) < N > ∼ √ < N > < N > ∼ 1√ < N > Conclusa˜o: O desvio padra˜o do nu´mero de part´ıculas, relativo ao valor me´dio, tende a zero quando N →∞. E´ poss´ıvel mostrar atrave´s de relac¸o˜es termodinaˆmicas (*) que < N2 > − < N >2=< N >2 kBT V κT,N ≥ 0 que ana´loga a` relac¸a˜o < H2 > − < H >2= kBT 2 CV ≥ 0 obtida para as flutuac¸o˜es da energia no ensemble canoˆnico. (*) [vide Huang, eq. 7.43, pag. 153] sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Flutuações de Densidade no Ensemble Grão-canônico 13 Extraindo a raiz quadrada e dividindo por < N >, resulta √ < N2 > − < N >2 < N > = kBT � (∂ < N > /∂µ)) < N > ∼ √ < N > < N > ∼ 1√ < N > Conclusa˜o: O desvio padra˜o do nu´mero de part´ıculas, relativo ao valor me´dio, tende a zero quando N →∞. E´ poss´ıvel mostrar atrave´s de relac¸o˜es termodinaˆmicas (*) que < N2 > − < N >2=< N >2 kBT V κT,N ≥ 0 que ana´loga a` relac¸a˜o < H2 > − < H >2= kBT 2 CV ≥ 0 obtida para as flutuac¸o˜es da energia no ensemble canoˆnico. (*) [vide Huang, eq. 7.43, pag. 153] sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Mecânica Estatística Quântica 14 1. A mecaˆnica estat´ıstica de sistemas quaˆnticos com grande nu´mero de graus de liberdade e´ similar a` dos sistemas cla´sssicos, pore´m mais complicada para poder incluir certas caracter´ısticas da natureza quaˆntica do sistema: a discretizac¸a˜o do espectro de energia, o princ´ıpio da incerteza, efeitos de interfereˆncia quaˆntica etc. 2. Tal como na descric¸a˜o cla´ssica, um microestado pode ser caracterizado pela sua func¸a˜o de onda Ψ(q, t) cuja evoluc¸a˜o temporal, no caso de um sistema isolado, deve atender a` equac¸a˜o de Schro¨dinger. 3. A inexatida˜o na caracterizac¸a˜o de um microestado em um instante t0 e dificuldades na resoluc¸a˜o da equac¸a˜o de Schro¨dinger para um sistema de muitas part´ıculas leva tambe´m a` necessidade de se construir ensembles estat´ısticos de sistemas ideˆnticos, pore´m distribu´ıdos em um espac¸o de estados apropriado e com uma densidade de probabilidades compat´ıvel com os v´ınculos externos. 4. Um micro-estado quaˆntico e´ descrito pelo seu vetor de estado |Ψ >= � q < q|Ψ > |q >= � q Ψ(q, t)|Ψ > onde Ψ(q, t) = Ψ (q1, q2, . . . qn, t) sa˜o as func¸o˜es de onda na base {|qj >} escolhida. 5. O conjunto formado por todos os vetores de estado {|Ψ >} que descrevem os estados realiza´veis do sistema, i.e. compat´ıveis com os v´ınculos externos e que satisfazem a` equac¸a˜o de Schro¨dinger, e´ chamado de ensemble puro por ser formado pelos estados puros. sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Mecânica Estatística Quântica 14 1. A mecaˆnica estat´ıstica de sistemas quaˆnticos com grande nu´mero de graus de liberdade e´ similar a` dos sistemas cla´sssicos, pore´m mais complicada para poder incluir certas caracter´ısticas da natureza quaˆntica do sistema: a discretizac¸a˜o do espectro de energia, o princ´ıpio da incerteza, efeitos de interfereˆncia quaˆntica etc. 2. Tal como na descric¸a˜o cla´ssica, um microestado podeser caracterizado pela sua func¸a˜o de onda Ψ(q, t) cuja evoluc¸a˜o temporal, no caso de um sistema isolado, deve atender a` equac¸a˜o de Schro¨dinger. 3. A inexatida˜o na caracterizac¸a˜o de um microestado em um instante t0 e dificuldades na resoluc¸a˜o da equac¸a˜o de Schro¨dinger para um sistema de muitas part´ıculas leva tambe´m a` necessidade de se construir ensembles estat´ısticos de sistemas ideˆnticos, pore´m distribu´ıdos em um espac¸o de estados apropriado e com uma densidade de probabilidades compat´ıvel com os v´ınculos externos. 4. Um micro-estado quaˆntico e´ descrito pelo seu vetor de estado |Ψ >= � q < q|Ψ > |q >= � q Ψ(q, t)|Ψ > onde Ψ(q, t) = Ψ (q1, q2, . . . qn, t) sa˜o as func¸o˜es de onda na base {|qj >} escolhida. 5. O conjunto formado por todos os vetores de estado {|Ψ >} que descrevem os estados realiza´veis do sistema, i.e. compat´ıveis com os v´ınculos externos e que satisfazem a` equac¸a˜o de Schro¨dinger, e´ chamado de ensemble puro por ser formado pelos estados puros. sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Mecânica Estatística Quântica 14 1. A mecaˆnica estat´ıstica de sistemas quaˆnticos com grande nu´mero de graus de liberdade e´ similar a` dos sistemas cla´sssicos, pore´m mais complicada para poder incluir certas caracter´ısticas da natureza quaˆntica do sistema: a discretizac¸a˜o do espectro de energia, o princ´ıpio da incerteza, efeitos de interfereˆncia quaˆntica etc. 2. Tal como na descric¸a˜o cla´ssica, um microestado pode ser caracterizado pela sua func¸a˜o de onda Ψ(q, t) cuja evoluc¸a˜o temporal, no caso de um sistema isolado, deve atender a` equac¸a˜o de Schro¨dinger. 3. A inexatida˜o na caracterizac¸a˜o de um microestado em um instante t0 e dificuldades na resoluc¸a˜o da equac¸a˜o de Schro¨dinger para um sistema de muitas part´ıculas leva tambe´m a` necessidade de se construir ensembles estat´ısticos de sistemas ideˆnticos, pore´m distribu´ıdos em um espac¸o de estados apropriado e com uma densidade de probabilidades compat´ıvel com os v´ınculos externos. 4. Um micro-estado quaˆntico e´ descrito pelo seu vetor de estado |Ψ >= � q < q|Ψ > |q >= � q Ψ(q, t)|Ψ > onde Ψ(q, t) = Ψ (q1, q2, . . . qn, t) sa˜o as func¸o˜es de onda na base {|qj >} escolhida. 5. O conjunto formado por todos os vetores de estado {|Ψ >} que descrevem os estados realiza´veis do sistema, i.e. compat´ıveis com os v´ınculos externos e que satisfazem a` equac¸a˜o de Schro¨dinger, e´ chamado de ensemble puro por ser formado pelos estados puros. sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Mecânica Estatística Quântica 14 1. A mecaˆnica estat´ıstica de sistemas quaˆnticos com grande nu´mero de graus de liberdade e´ similar a` dos sistemas cla´sssicos, pore´m mais complicada para poder incluir certas caracter´ısticas da natureza quaˆntica do sistema: a discretizac¸a˜o do espectro de energia, o princ´ıpio da incerteza, efeitos de interfereˆncia quaˆntica etc. 2. Tal como na descric¸a˜o cla´ssica, um microestado pode ser caracterizado pela sua func¸a˜o de onda Ψ(q, t) cuja evoluc¸a˜o temporal, no caso de um sistema isolado, deve atender a` equac¸a˜o de Schro¨dinger. 3. A inexatida˜o na caracterizac¸a˜o de um microestado em um instante t0 e dificuldades na resoluc¸a˜o da equac¸a˜o de Schro¨dinger para um sistema de muitas part´ıculas leva tambe´m a` necessidade de se construir ensembles estat´ısticos de sistemas ideˆnticos, pore´m distribu´ıdos em um espac¸o de estados apropriado e com uma densidade de probabilidades compat´ıvel com os v´ınculos externos. 4. Um micro-estado quaˆntico e´ descrito pelo seu vetor de estado |Ψ >= � q < q|Ψ > |q >= � q Ψ(q, t)|Ψ > onde Ψ(q, t) = Ψ (q1, q2, . . . qn, t) sa˜o as func¸o˜es de onda na base {|qj >} escolhida. 5. O conjunto formado por todos os vetores de estado {|Ψ >} que descrevem os estados realiza´veis do sistema, i.e. compat´ıveis com os v´ınculos externos e que satisfazem a` equac¸a˜o de Schro¨dinger, e´ chamado de ensemble puro por ser formado pelos estados puros. sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Mecânica Estatística Quântica 14 1. A mecaˆnica estat´ıstica de sistemas quaˆnticos com grande nu´mero de graus de liberdade e´ similar a` dos sistemas cla´sssicos, pore´m mais complicada para poder incluir certas caracter´ısticas da natureza quaˆntica do sistema: a discretizac¸a˜o do espectro de energia, o princ´ıpio da incerteza, efeitos de interfereˆncia quaˆntica etc. 2. Tal como na descric¸a˜o cla´ssica, um microestado pode ser caracterizado pela sua func¸a˜o de onda Ψ(q, t) cuja evoluc¸a˜o temporal, no caso de um sistema isolado, deve atender a` equac¸a˜o de Schro¨dinger. 3. A inexatida˜o na caracterizac¸a˜o de um microestado em um instante t0 e dificuldades na resoluc¸a˜o da equac¸a˜o de Schro¨dinger para um sistema de muitas part´ıculas leva tambe´m a` necessidade de se construir ensembles estat´ısticos de sistemas ideˆnticos, pore´m distribu´ıdos em um espac¸o de estados apropriado e com uma densidade de probabilidades compat´ıvel com os v´ınculos externos. 4. Um micro-estado quaˆntico e´ descrito pelo seu vetor de estado |Ψ >= � q < q|Ψ > |q >= � q Ψ(q, t)|Ψ > onde Ψ(q, t) = Ψ (q1, q2, . . . qn, t) sa˜o as func¸o˜es de onda na base {|qj >} escolhida. 5. O conjunto formado por todos os vetores de estado {|Ψ >} que descrevem os estados realiza´veis do sistema, i.e. compat´ıveis com os v´ınculos externos e que satisfazem a` equac¸a˜o de Schro¨dinger, e´ chamado de ensemble puro por ser formado pelos estados puros. sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Mecânica Estatística Quântica 15 Na descric¸a˜o quaˆntica as grandezas f´ısicas observa´veis correspondem a operadores lineares hermitianos que atuam sobre os vetores do espac¸o de Hilbert. O valor esperado de certo observa´vel f´ısico, descrito por um operador Oˆ, corresponde ao resultado me´dio de um grande nu´mero de medic¸o˜es desse observa´vel quando o sistema esta´ no estado puro |Ψ >. Esse resultado e´ escrito por < Oˆ >≡< Ψ|Oˆ|Ψ >≡ � q,q� < Ψ|q� >< q�|Oˆ|q >< q|Ψ > → < Oˆ >≡ � Ψ�(q, t) OˆΨ(q, t)dq Obs: • Para que o valor esperado< Oˆ > seja um nu´mero real e´ necessa´rio que o operador seja hermitiano, i.e. que satisfac¸a a` propriedade: Oˆ† = Oˆ, ou seja < q�|Oˆ†|q >=< q|Oˆ|q� >� . onde Oˆ† e´ o operador adjunto de Oˆ. • A evoluc¸a˜o temporal de um micro-estado de um sistema governado por um operador hamiltoniano (operador de energia) Hˆ e´ ditada pela equac¸a˜o de Schro¨dinger i� d dt |Ψ(t) >= Hˆ|Ψ(t) > sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Mecânica Estatística Quântica 15 Na descric¸a˜o quaˆntica as grandezas f´ısicas observa´veis correspondem a operadores lineares hermitianos que atuam sobre os vetores do espac¸o de Hilbert. O valor esperado de certo observa´vel f´ısico, descrito por um operador Oˆ, corresponde ao resultado me´dio de um grande nu´mero de medic¸o˜es desse observa´vel quando o sistema esta´ no estado puro |Ψ >. Esse resultado e´ escrito por < Oˆ >≡< Ψ|Oˆ|Ψ >≡ � q,q� < Ψ|q� >< q�|Oˆ|q >< q|Ψ > → < Oˆ >≡ � Ψ�(q, t) OˆΨ(q, t)dq Obs: • Para que o valor esperado< Oˆ > seja um nu´mero real e´ necessa´rio que o operador seja hermitiano, i.e. que satisfac¸a a` propriedade: Oˆ† = Oˆ, ou seja < q�|Oˆ†|q >=< q|Oˆ|q� >� . onde Oˆ† e´ o operador adjunto de Oˆ. • A evoluc¸a˜o temporal de um micro-estado de um sistemagovernado por um operador hamiltoniano (operador de energia) Hˆ e´ ditada pela equac¸a˜o de Schro¨dinger i� d dt |Ψ(t) >= Hˆ|Ψ(t) > sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Mecânica Estatística Quântica 16 Considerar, agora, uma base ortonormalizada para o espac¸o dos vetores {|Ψ(t) >}, definida pelos vetores {|φj >}, j = 1, 2, . . .∞. Nessa base, teremos |Ψ >= � j cj |φj >, cj =< φj ||Ψ > ou na representac¸a˜o coordenada Ψ(q, t) = � j cj(t)φj(q), cj(t) = � dqφ�j (q)Ψ(q, t) O valor esperado de um observa´vel Oˆ escrito em termos dessa base fica < Oˆ >=< Ψ|Oˆ|Ψ >= � jk < Ψ|φj ><φ j |Oˆ|φk ><φ k|Ψ >= � j,k c�jck < φj |Oˆ|φk >= � j,k ck c � jOj k onde o nu´mero Oj k pode ser interpretado como sendo o elemento de matriz do operador Oˆ na base {|φj >}, i.e. Oj k =< φj |Oˆ|φk > → Oj k = � φ�j (q) Oˆ φk(q) dq Desta maneira, definida uma base, todos os operadores que representam observa´veis f´ısicos podem ser expressos por uma matriz hermitiana correspondente. sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Mecânica Estatística Quântica 16 Considerar, agora, uma base ortonormalizada para o espac¸o dos vetores {|Ψ(t) >}, definida pelos vetores {|φj >}, j = 1, 2, . . .∞. Nessa base, teremos |Ψ >= � j cj |φj >, cj =< φj ||Ψ > ou na representac¸a˜o coordenada Ψ(q, t) = � j cj(t)φj(q), cj(t) = � dqφ�j (q)Ψ(q, t) O valor esperado de um observa´vel Oˆ escrito em termos dessa base fica < Oˆ >=< Ψ|Oˆ|Ψ >= � jk < Ψ|φj ><φ j |Oˆ|φk ><φ k|Ψ >= � j,k c�jck < φj |Oˆ|φk >= � j,k ck c � jOj k onde o nu´mero Oj k pode ser interpretado como sendo o elemento de matriz do operador Oˆ na base {|φj >}, i.e. Oj k =< φj |Oˆ|φk > → Oj k = � φ�j (q) Oˆ φk(q) dq Desta maneira, definida uma base, todos os operadores que representam observa´veis f´ısicos podem ser expressos por uma matriz hermitiana correspondente. sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Mecânica Estatística Quântica 17 Me´dia sobre o ensemble puro - matriz densidade: Considerando todos os N estados que compo˜em o ensemble puro {|Ψn >} e´ poss´ıvel realizar uma me´dia de ensemble do valor esperado de certo observa´vel Oˆ, definida por < Oˆ > ≡ 1 N � n < Oˆ >n≡ 1 N � n < Ψn|Oˆ|Ψn > → < Oˆ > = 1 N � n � dqΨ�n(q, t) OˆΨn(q, t) Se uma base ortonormalizada {|φj >}, j = 1, 2, . . .∞ e´ considerada e cada |Ψn > e´ expandido nesta base, i.e. |Ψn >= � j c n j |φj > – ou Ψn(q, t) = � j c n j (t)φj(q) – a me´dia de ensemble pode ser escrita como < Oˆ > = 1 N � n � jk cnk c n� j Oj k = � jk Oj k � 1 N � n cnkc n� j � = � jk Oj kcnk cn�j ∴ < Oˆ > = � jk Oj kρkj → < Oˆ > = Tr[Oˆρˆ] onde ρˆ e´ o operador densidade associado a` matriz densidade ρjk = cnk c n� j = 1 N � n cnk c n� j = 1 N � n < φk|Ψn >< Ψn|φj > ∴ ρjk = 1 N � n < φk|ρˆn|φj >= < φk|ρˆn|φj > ρˆn = |Ψn >< Ψn| sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Mecânica Estatística Quântica 17 Me´dia sobre o ensemble puro - matriz densidade: Considerando todos os N estados que compo˜em o ensemble puro {|Ψn >} e´ poss´ıvel realizar uma me´dia de ensemble do valor esperado de certo observa´vel Oˆ, definida por < Oˆ > ≡ 1 N � n < Oˆ >n≡ 1 N � n < Ψn|Oˆ|Ψn > → < Oˆ > = 1 N � n � dqΨ�n(q, t) OˆΨn(q, t) Se uma base ortonormalizada {|φj >}, j = 1, 2, . . .∞ e´ considerada e cada |Ψn > e´ expandido nesta base, i.e. |Ψn >= � j c n j |φj > – ou Ψn(q, t) = � j c n j (t)φj(q) – a me´dia de ensemble pode ser escrita como < Oˆ > = 1 N � n � jk cnk c n� j Oj k = � jk Oj k � 1 N � n cnkc n� j � = � jk Oj kcnk cn�j ∴ < Oˆ > = � jk Oj kρkj → < Oˆ > = Tr[Oˆρˆ] onde ρˆ e´ o operador densidade associado a` matriz densidade ρjk = cnk c n� j = 1 N � n cnk c n� j = 1 N � n < φk|Ψn >< Ψn|φj > ∴ ρjk = 1 N � n < φk|ρˆn|φj >= < φk|ρˆn|φj > ρˆn = |Ψn >< Ψn| sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Mecânica Estatística Quântica 18 ou seja, ρjk e´ a me´dia de ensemble (puro) do elemento de matriz do operador densidade na base {|φj >}. O operador densidade ρˆn = |Ψn >< Ψn| pode ser tambe´m interpretado como o operador de projec¸a˜o sobre o estado puro |Ψn >. Propriedades do Operador Densidade: 1. Normalizac¸a˜o: Trρˆ = � j ρj j = � j � 1 N � n < φj |ρˆn|φj > � = 1 N � n � j < φj |Ψn >< Ψn|φj >= Trρˆ = 1 N � n � j < Ψn|φj ><φ j |Ψn >= 1 N � n < Ψn| �� j |φj ><φ j | � � �� � Iˆ |Ψn >= 1 N � n < Ψn|Ψn >� �� � 1 = 1 onde Iˆ e´ o operador identidade. 2. Hermiticidade: ρˆ e´ hermitiano por definic¸a˜o, i.e ρjk = ρ � kj sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Mecânica Estatística Quântica 18 ou seja, ρjk e´ a me´dia de ensemble (puro) do elemento de matriz do operador densidade na base {|φj >}. O operador densidade ρˆn = |Ψn >< Ψn| pode ser tambe´m interpretado como o operador de projec¸a˜o sobre o estado puro |Ψn >. Propriedades do Operador Densidade: 1. Normalizac¸a˜o: Trρˆ = � j ρj j = � j � 1 N � n < φj |ρˆn|φj > � = 1 N � n � j < φj |Ψn >< Ψn|φj >= Trρˆ = 1 N � n � j < Ψn|φj ><φ j |Ψn >= 1 N � n < Ψn| �� j |φj ><φ j | � � �� � Iˆ |Ψn >= 1 N � n < Ψn|Ψn >� �� � 1 = 1 onde Iˆ e´ o operador identidade. 2. Hermiticidade: ρˆ e´ hermitiano por definic¸a˜o, i.e ρjk = ρ � kj sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Mecânica Estatística Quântica 19 Propriedades do Operador Densidade: 3. Positividade: Para qualquer estado |Φ >, < Φ|ρˆ|Φ >= � α < Φ|Ψa >< Ψa|Φ >= � α �� < Φ|Ψa > ��2 ≥ 0 a igualdade ocorrendo apenas no caso trivial em que |Φ > e´ o vetor nulo. 4. Idempoteˆncia ρˆ e´ idempotente, i.e. ρˆ2 = ρˆρˆ = ρˆ Observac¸o˜es: • A definic¸a˜o do operador (matriz) densidade na˜o introduz elementos novos na teoria mas reu´ne, em uma notac¸a˜o condensada, toda a informac¸a˜o sobre o ensemble de von Neumann. • Os estados puros |Ψ > e eiθ|Ψ > diferem pelo produto por um complexo (θ ∈ R) e portanto correspondem ao mesmo operador densidade, i.e. ρˆ(t) = eiθ|Ψ >< Ψ|e−iθ = |Ψ >< |Ψ| eliminando a dicotomia devido a` existeˆncia de uma fase aleato´ria arbitra´ria global do sistema. sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Mecânica Estatística Quântica 19 Propriedades do Operador Densidade: 3. Positividade: Para qualquer estado |Φ >, < Φ|ρˆ|Φ >= � α < Φ|Ψa >< Ψa|Φ >= � α �� < Φ|Ψa > ��2 ≥ 0 a igualdade ocorrendo apenas no caso trivial em que |Φ > e´ o vetor nulo. 4. Idempoteˆncia ρˆ e´ idempotente, i.e. ρˆ2 = ρˆρˆ = ρˆ Observac¸o˜es: • A definic¸a˜o do operador (matriz) densidade na˜o introduz elementos novos na teoria mas reu´ne, em uma notac¸a˜o condensada, toda a informac¸a˜o sobre o ensemble de von Neumann. • Os estados puros |Ψ > e eiθ|Ψ > diferem pelo produto por um complexo (θ ∈ R) e portantocorrespondem ao mesmo operador densidade, i.e. ρˆ(t) = eiθ|Ψ >< Ψ|e−iθ = |Ψ >< |Ψ| eliminando a dicotomia devido a` existeˆncia de uma fase aleato´ria arbitra´ria global do sistema. sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012 Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE/ Aula 7 Mecânica Estatística Quântica 20 Equivaleˆncia entre a MEC e a MEQ: MEC MEQ Espac¸o de FaseΓ( q, p) Espac¸o de Hilbert Ponto representativo (q, p) Vetor de estado |Ψ > Trajeto´ria de fase Evoluc¸a˜o temporal de |Ψ > (t) Equac¸o˜es de Hamilton Equac¸a˜o de Schro¨dinger Func¸o˜es de Fase F (q, p, t) Operadores hermitianos Fˆ(q, p, t) Evoluc¸a˜o temporal das func¸o˜es de fase Equac¸a˜o de Heisenberg Teorema de Liouville Invariaˆncia do trac¸o e Evoluc¸a˜o temporal de ρˆ sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012
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