Relatório: Movimento de queda dos corpos.

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Experimento 1: Movimento de queda dos corpos. 
 
Nomes: Thiago Ribas Moncinhatto NºUSP: 8556721, 
 Verônica Cuencas Cardoso NºUSP: 8556811. 
e-mail: thiago.moncinhatto@usp.br, veronica.cardoso@usp.br 
Física Experimental 2 – 4300114 
Resumo. Estudamos o movimento de queda livre de um objeto aerodinâmico para determinar o 
valor do módulo da aceleração da gravidade. Com esse dado foi possível encontrar o valor da 
viscosidade (η) do óleo LUBRAX MB1 da Petrobrás e estabelecer o comportamento laminar ou 
turbulento de esferas submersas nesse óleo com o número de Reynolds. 
Introdução 
 
Entender o movimento realizado por corpos na superfície do planeta Terra sempre 
foi um dos assuntos mais importantes na historia da Física. A busca por entendimento de 
como os corpos reagem e se comportam em relação a grande rocha esférica que nos abriga 
resultou em grandes avanços científicos, levando a compreensão da própria Física e do 
funcionamento do Universo. 
Os estudos do movimento de queda dos corpos começaram com o filosofo grego 
Aristóteles, em 300 a. C. , como sendo uma particularização do Movimento Uniformemente 
Variado 
(MUV). Ele dizia que se dois corpos de massas diferentes caíssem de uma mesma altura o 
objeto mais massivo atingira o solo primeiro. Essa afirmação perdurou durante 1900 anos 
ate que Galileu Galilei incorporou o método experimental e enfim, descobriu que a 
afirmação aristotélica não era verídica. 
Porém o grande salto foi dado por um inglês, sir Isaac Newton. Reza a lenda que 
quando uma maça caiu em sua cabeça, Newton começou a raciocinar sobre o porquê da 
queda da fruta. A partir de então formulou modelos para explicar a queda do objeto. Esses 
trabalhos ficaram conhecidos como a Lei da Gravitação Universal. 
A partir deste momento varias formulas matemáticas passaram a ser formuladas 
incluindo a força g terrestre. Entre elas esta as leis que relacionam o espaço percorrido por 
um corpo qualquer, a sua velocidade, a sua aceleração e tempo para a execução do trajeto: 
 
 
 
 
 (1) 
 
 
 (2) 
 
Onde ΔS é o deslocamento, ΔA e a variação da aceleração em um intervalo de tempo 
Δt a partir de uma variação de velocidade ΔV. 
Lembrando, porém que no caso estudado, a aceleração terá o valor do módulo da 
gravidade local, o que possibilitará então a obtenção de um valor aproximado da mesma já 
que, a rigor, o valor exato da aceleração da gravidade só pode ser obtido num experimento 
realizado no vácuo para que não haja ação da resistência do ar. Ainda assim, dependendo 
das propriedades do objeto em queda livre, essa resistência pode ser desprezada. 
Desprezados também deverão ser alguns fatores tais como a variação da aceleração, da 
altura e do movimento de rotação da Terra. 
 
De todas as forças do universo, a gravidade é aquela que se estuda há mais tempo e, 
paradoxalmente, a menos conhecida. Qualquer aluno que tenha estudado um pouco de física 
lembra-se da história de Galileu soltando bolas de chumbo, madeira e papel do alto da torre 
de Pisa, na Itália, na tentativa de entender como agia essa força estranha que atrai as coisas 
em direção ao centro da Terra. Bem antes, Aristóteles havia proposto que isso ocorria por 
nosso planeta ser o centro do universo, o lugar onde, pela própria natureza, as coisas 
deveriam estar. Quando surgiu o heliocentrismo, com Copérnico, o enfoque mudou e 
tornou-se necessária a revisão das leis sobre a queda dos corpos. Mais tarde, novas 
observações e teorias levaram à lei da gravitação universal formulada por Isaac Newton. 
Tanto a cinemática de Galileu quanto a mecânica de Newton contribuíram 
inquestionavelmente para o avanço no estudo da queda dos corpos em diferentes meios e 
condições físicas, exemplo disso é a facilidade de expressar o valor do módulo da aceleração 
da gravidade por meio de leis que envolvem o movimento vertical dos corpos, g pode ser 
escrito então da seguinte forma: 
 
 
 
 (3) 
Onde dv/dt é a taxa de variação da velocidade em que um objeto cai verticalmente 
com o tempo deste movimento e g é a aceleração da gravidade. 
Mas apesar da gravidade inexorável reger o movimento dos corpos na superfície 
terrestre nossa atmosfera também tem importante influência no estudo desse fenômeno, pois 
sendo composta por gases e partículas diversas exerce certa resistência no movimento de 
queda dos corpos oriunda da viscosidade do meio gasoso, e qualquer objeto que se encontra 
em queda (exceto no vácuo) está sujeito a lei de Stokes que descreve a queda de objetos 
esféricos em fluidos viscosos: 
 
 = -6πηrv (4) 
Onde é a força de fricção, r é o raio do objeto esférico, v é a velocidade da 
partícula e η a viscosidade do fluido. 
Essa lei é válida quando o regime de fluxo é laminar Re ≤ 15 (não turbulento) 
segundo o número de Reynolds, que é descrito pela seguinte igualdade: 
 
 
 
 (5) 
Onde Re é o número de Reynolds, é a densidade do fluido, v é a velocidade do 
objeto no fluido, é o diâmetro do objeto e é a viscosidade do fluido. 
A lei de Stokes (2) descreve a força de atrito no movimento de uma esfera de raio r 
deslocando-se com uma velocidade baixa v em um meio infinito contendo um fluido de 
viscosidade , caso o movimento não ocorra em um meio infinito, a força de resistência 
precisa ser corrigida. Para uma esfera se deslocando longitudinalmente no centro de um 
cilindro de raio R, utilizamos a correção de Ladenburg. Neste caso, a força de resistência 
deve ser corrigida por um fator α, sendo então reescrita como sendo : 
 (6) 
Onde α é dado por: 
 (
 
 
) (
 
 
)
 
 (7) 
Com a aplicação da correção de Ladenburg, a relação entre a velocidade limite e o raio 
das esferas é dada por: 
 (
 
 
)
( ) 
 
 
 (8) 
Onde é a velocidade limite de um corpo com fluxo laminar em um cilindro de raio 
R. 
1. Objetivos 
 
Este experimento teve por objetivo obter o valor aproximado da aceleração da gravidade 
no laboratório, conhecendo esse valor verificar se é possível representar o movimento 
longitudinal de esferas de raio r em um tubo cilíndrico pela lei de Stokes, determinar a 
viscosidade do óleo LUBRAX MB1 da Petrobrás e, consequentemente, o valor crítico para o 
Número de Reynolds. 
2. Descrição do Experimento 
2.1 Materiais utilizados 
 1 elipsoide de revolução com anel de metal no centro; 
 1 haste de 2 metros com um eletroímã no topo; 
 2 fitas térmicas; 
 2 cronômetros; 
 1 tubo cilíndrico preenchido com óleo; 
 Várias esferas de diversos diâmetros; 
 1 Régua; 
 1 Paquímetro; 
 1 Micrômetro. 
 
2.2 Método 
 
Para determinar a aceleração da gravidade utilizamos uma haste de dois metros de 
altura onde se encontrava um eletroímã no topo, cujo objetivo era prender um elipsoide de 
revolução, até ser desligado por uma chave, deixando este se movimentar em queda livre, o 
acionamento contínuo desta chave provoca pulsos de alta tensão entre dois fios presos 
longitudinalmente na haste e, devido a um anel metálico em torno do elipsoide, ocorrem 
descargas elétricas entre os fios, originando faíscas que ficavam marcadas na fita térmica 
que é colocada de cima a baixo da haste e descreve a trajetória do elipsoide. Com as 
distâncias entre os pontos da fita e o tempo entre cada ponto conseguimos calcular o valor 
aproximado da gravidade no laboratório. 
Já para descobrir a viscosidade do óleo LUBRAX MB1 da Petrobrás o grupo recebeu 
um kit contendo esferas de tamanhos variados e um tubo com óleo, as esferas foram 
lançadas no tubo a partir do repouso e utilizando da escala milimétricado tubo e também de 
um cronômetro para obter o espaço e o tempo respectivamente, foi possível realizar o 
cálculo da velocidade limite, repetimos o experimento para 9 tipos de esfera, medimos a 
densidade do óleo com um densímetro e utilizando a fórmula (8) encontramos a viscosidade 
do óleo. 
 Com os valores da aceleração da gravidade e da viscosidade do óleo em mãos 
calculamos o número de Reynolds para cada tipo de esfera e determinamos de o fluxo de 
cada uma era laminar ou turbulento. 
 
3. Análise dos dados 
 
Para melhor compreensão subdividimos este tópico em três partes, a primeira refere-se a 
análise do valor encontrado para a gravidade no laboratório, a segunda ao cálculo da 
viscosidade do óleo e a terceira a estimativa do número de Reynolds para cada esfera. 
 
 
 
 
 
 
 
3.1 Valor da aceleração da gravidade no laboratório 
 
As tabelas abaixo representam os valores de velocidade para cada espaço entre os 
pontos da fita e sua respectiva incerteza, tais valores foram calculados por meio da formula 
(1): 
Δt (s) Δy (cm) Velocidade (cm/s) 
σV 
(cm/s) 
 
Δt (s) Δy (cm) Velocidade (cm/s) 
σV 
(cm/s) 
0,0417 0,60 36,00 3,00 
 
0,0417 0,65 39,00 3,00 
0,0750 1,12 67,20 3,00 
 
0,0750 1,12 67,20 3,00 
0,1083 1,70 102,00 3,00 
 
0,1083 1,70 102,00 3,00 
0,1417 2,20 132,00 3,00 
 
0,1417 2,20 132,00 3,00 
0,1750 2,80 168,00 3,00 
 
0,1750 2,50 164,00 3,00 
0,2083 3,30 198,00 3,00 
 
0,2083 3,35 201,00 3,00 
0,2417 3,85 231,00 3,00 
 
0,2417 3,85 231,00 3,00 
0,2750 4,40 264,00 3,00 
 
0,2750 4,40 264,00 3,00 
0,3083 5,00 300,00 3,00 
 
0,3083 4,95 297,00 3,00 
0,3417 5,55 333,00 3,00 
 
0,3417 5,50 330,00 3,00 
0,3750 6,10 366,00 3,00 
 
0,3750 6,00 360,00 3,00 
0,4083 6,55 393,00 3,00 
 
0,4083 6,55 393,00 3,00 
0,4417 7,20 432,00 3,00 
 
0,4417 7,15 429,00 3,00 
0,4750 7,70 462,00 3,00 
 
0,4750 7,65 459,00 3,00 
0,5083 8,25 495,00 3,00 
 
0,5083 8,30 498,00 3,00 
0,5417 8,80 528,00 3,00 
 
0,5417 8,75 525,00 3,00 
0,5750 9,30 558,00 3,00 
 
0,5750 9,30 558,00 3,00 
Tabela 1. Valores obtidos pelo aluno Thiago. 
 
Tabela 2. Valores obtidos pela aluna Verônica. 
A incerteza associada à velocidade foi calculada com a fórmula de propagação de 
incertezas da equação (1). 
Gráfico 1. Valor da aceleração obtido a partir da tabela 1 (Thiago). 
 
 
Gráfico 2. Valor da aceleração obtido a partir da tabela 2 (Verônica). 
Gráfico 1: (9,70 ± 0,02) m/s² 
Gráfico 2: (9,66 ± 0,02) m/s² 
Calculando a média dos dois valores acima obtemos: 
 
 
 
 (9) 
 ( ) 
A incerteza da média foi calculada com a fórmula de propagação de incertezas da equação 
(9). 
 
3.1.1 TESTE Z entre o valor de gravidade médio e o valor obtido pelo IAG 
 
Para realizar a comparação entre o valor e o valor obtido pelo IAG - = (9,7864 
± 0,0005) m/s² utilizaremos o TESTE-Z. Como sugerido em aula, adotaremos α = 0,3% 
como nível de significância do teste. Partindo da hipótese de que o valor esperado da 
gravidade média ( ), encontrada pelos integrantes do grupo, seja igual ao valor 
esperado da gravidade medida pelo iag ( ): 
 = 
Para um nível de significância 3σ, a hipótese será aceita se: 
| | 
Sendo Z calculado a partir da seguinte forma: 
 
 
 
 (10) 
Para um (valor obtido através da tabela de probabilidades para um nível de 
significância α = 0,003). 
Para comparar os resultados, usaremos as seguintes equações: 
g = - 
 = √ 
Então, temos que: 
 
 
( )
 
 
 = -7,59516 
:. | | 7,59516 
Verificamos então que a hipótese não foi aceita, pois obtivemos um resultado ruim, fora 
do intervalo de 98% de confiança. 
 
3.2 Valor da viscosidade do óleo LUBRAX MB1 da Petrobrás 
 
 As condições iniciais do experimento estão representadas na tabela abaixo: 
dx =(500,0 ± 0,5) mm 
Temperatura no lab. no inicio= 23,0 °C 
Densidade real do óleo = 886 mg/cm³ 
Temperatura no lab. no final= 24,4 °C 
Densidade do aço = 7,85 ± 0,02 g/cm³ 
Tabela 3. Condições iniciais do experimento. 
 
3.2.1 Diâmetro e raio 
Para o cálculo da viscosidade foi preciso medir várias vezes o valor do diâmetro de 
cada tipo de esfera, somando ao todo, nove tamanhos. Feito isso, obtivemos os resultados, 
dos quais calculamos a média das medições de cada diâmetro. Abaixo, os resultados obtidos: 
 
 
 
 Diâmetros das esferas (mm) Média do 
Diâmetro (mm) 
Incerteza do 
Diâmetro ( ) Medição 1º 2º 3º 4º 
Esfera 1 1,130 1,130 1,120 1,120 1,125 0,006 
Esfera 2 1,500 1,540 1,530 1,510 1,520 0,010 
Esfera 3 2,000 2,100 2,000 2,000 2,025 0,025 
Esfera 4 2,500 2,500 2,500 2,500 2,500 0,050 
Esfera 5 3,100 3,100 3,100 3,100 3,100 0,050 
Esfera 6 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 0,050 
Esfera 7 4,700 4,800 4,800 4,700 4,750 0,058 
Esfera 8 5,500 5,500 5,500 5,500 5,500 0,050 
Esfera 9 7,500 7,500 7,500 7,500 7,500 0,050 
Tabela 4. Diâmetro das esferas e suas respectivas incertezas. 
 
Obtivemos a incerteza do diâmetro a partir da propagação de incerteza. Utilizamos 
então a incerteza estatística (σa), sendo esta o desvio padrão da média, e a incerteza 
instrumental (σb), sendo esta a incerteza do instrumento utilizado. Como medimos as 
esferas 1, 2, e 3 com o micrometro, a incerteza instrumental para tais foi 0,005mm. As 
restante, foram medidas com o paquímetro, e então, a incerteza instrumental utilizada foi 
0,05mm. Para os cálculos fizemos uso das fórmulas: 
 (11) 
 
Analogamente obtivemos a incerteza do diâmetro do tubo. Os resultados estão 
na tabela 5: 
Diâmetro do tubo (mm) Incerteza do diâmetro 
do tubo (σD) (mm) Medições 1º 2º 3º 4º 5º 6º Média (mm) 
 50,00 50,04 50,03 50,05 50,02 50,02 50,03 0,05 
Tabela 5. Diâmetro do tubo e sua respectiva incerteza. 
Na tabela 6 está listado o valor do raio de cada esfera e sua incerteza, além do 
valor d raio ao quadrado que será utilizado adiante parra o cálculo da viscosidade: 
 
Raio 
(mm) Raio² (mm²) 
Incerteza do 
raio² (mm²) 
Esfera 1 0,563 0,316 0,003 
Esfera 2 0,760 0,578 0,005 
Esfera 3 1,013 1,025 0,013 
Esfera 4 1,250 1,563 0,025 
Esfera 5 1,550 2,403 0,025 
Esfera 6 2,000 4,000 0,025 
Esfera 7 2,375 5,641 0,029 
Esfera 8 2,750 7,563 0,025 
Esfera 9 3,750 14,063 0,025 
 Tabela 6. Raio e raio ao quadrado de cada esfera. 
 
3.2.2 Tempo e velocidade 
 
O tempo de queda de cada esfera foi medido com um cronômetro. A incerteza 
do tempo foi obtida utilizando a expressão (11), considerando a incerteza instrumental 
nula. Os resultados estão na tabela abaixo: 
 Tempo de queda (s) Média do tempo 
(s) 
Incerteza do 
tempo (σΔt) Medição 1º 2º 3º 4º 
Esfera 1 31,81 32,38 33,72 34,50 33,10 0,61 
Esfera 2 17,31 18,30 17,25 17,34 17,55 0,25 
Esfera 3 10,16 10,06 10,08 10,15 10,11 0,02 
Esfera 4 6,94 7,03 7,03 6,97 6,99 0,02 
Esfera 5 4,40 4,46 4,44 4,37 4,42 0,02 
Esfera 6 3,06 3,18 3,31 3,03 3,15 0,06 
Esfera 7 2,22 2,22 2,78 2,38 2,40 0,13 
Esfera 8 1,90 1,88 2,00 1,84 1,91 0,03 
Esfera 9 1,25 1,34 1,25 1,29 1,28 0,02 
 Tabela 7. Tempo de queda de cada esfera. 
 
A velocidade limite de queda de cada esfera e foi calculada a partir da distância 
percorrida (ΔS = (500,0 ± 0,5) mm) em cada intervalo de tempo (Δt), a partir da equação 
(1). A incerteza da velocidade foi obtida através da fórmula de propagação de incertezas, 
os resultados obtidos estão organizados na tabela 6 abaixo: 
Velocidade limite (mm/s) Média da velocidadelimite (mm/s) 
Incerteza da velocidade 
limite (σVl) (mm/s) Medição 1º 2º 3º 4º 
Esfera 1 15,72 15,44 14,83 14,49 15,12 0,02 
Esfera 2 28,89 27,32 28,99 28,84 28,51 0,03 
Esfera 3 49,21 49,70 49,60 49,26 49,44 0,05 
Esfera 4 72,05 71,12 71,12 71,74 71,51 0,07 
Esfera 5 113,64 112,11 112,61 114,42 113,19 0,11 
Esfera 6 163,40 157,23 151,06 165,02 159,18 0,16 
Esfera 7 225,23 225,23 179,86 210,08 210,10 0,21 
Esfera 8 263,16 265,96 250,00 271,74 262,71 0,26 
Esfera 9 400,00 373,13 400,00 387,60 390,18 0,39 
Tabela 8. Velocidade limite de queda. 
Com os dados das tabelas 6 e 8 plotamos um gráfico de Vl x r², onde Vl é a 
velocidade limite e r² é o raio de cada esfera ao quadrado: 
 
 
Gráfico 3. Velocidade limite em função do raio ao quadrado de cada esfera. 
 
Obtivemos o valor do coeficiente angular a = (336,0 ± 0,5) /cm.s. 
 
α=33,60/mm.s
σα=0,05 /mm.s 
X² = 17182.5 
Podemos avaliar o ajuste da reta pelo valor absurdo de qui quadrado e verificar 
que o ajuste tem uma representação muito ruim da reta. O ajuste ruim é notável pois a 
reta não aproxima bem todos os pontos. Concluímos então que, se dividirmos o gráfico 
em análise em dois, os cinco primeiros pontos correspondem bem a uma reta, enquanto 
os outros quatro parecem corresponder à uma parábola. Podemos atribuir a esse 
comportamento, o movimento que os corpos realizam na descida. Aqueles que formam 
uma reta sofrem um escoamento laminar e os que seguem uma parábola estão num 
regime de escoamento turbulento. 
 
 
3.2.3 Cálculo da Viscosidade 
A viscosidade do óleo pôde ser calculada a partir do coeficiente linear m do 
gráfico Vl x r² e da fórmula (8), sem levar em conta a correção de Ladenburg, a incerteza 
associada a η foi calculada a partir da fórmula de propagação de incertezas. Obtivemos, 
então, η em Poise: 
 
 
 ( ) 
 
 
Substituindo os valores obtivemos η =(4,45 ± 0,02) P [P] = *
 
 
+ 
Para a conversão da viscosidade usou-se a expressão: 
 
 ( ) 
 ( )
 
 
 ( )
 
 
Onde ρf é a densidade do fluído. 
 
Viscosidade 
(η) 
Incerteza da 
viscosidade (ση) 
P 4,450 0,020 
St 5,023 0,023 
c*St 502 2 
 Tabela 9. Conversão do valor de viscosidade. 
 
 
 
 
 
 
Para o fato de o escoamento não ser laminar precisamos aplicar o fator de 
correção α (7) na Lei de Stokes (4). Dessa maneira criou-se um novo gráfico a fim de 
determinar uma diferente viscosidade experimental. Verificou-se sua validade teórica 
pelo gráfico: Velocidade limite corrigida x tempo. 
 
Velocidade limite 
corrigida (mm/s) 
Incerteza da velocidade 
limite corrigida (mm/s) Alfa Incerteza de alfa 
15,50 0,045 1,026 0,003 
29,50 0,127 1,035 0,004 
51,79 0,474 1,047 0,010 
75,75 0,194 1,059 0,003 
121,63 0,313 1,075 0,003 
174,57 0,457 1,098 0,003 
233,02 2,910 1,118 0,014 
298,94 0,795 1,139 0,003 
466,70 1,265 1,197 0,003 
Tabela 10. Correção do valor da velocidade limite por um fator α. 
 
Com os dados da tabela 10 acima elaboramos um novo gráfico de Vl x r², mas 
agora com Vl acrescida da correção de Ladenburg: 
 
Gráfico 4. Correção de Vl com o fator de ladenburg. 
Sabendo que: 
 
 
 ( ) 
 
 
 Substituindo os valores obtivemos η =(3,85± 0,07) P = (4,34 ± 0,08) St. 
Obtido esse novo valor para a viscosidade pôde-se chegar a um número de 
Reynolds para cada esfera e determinar assim quais sofreram um escoamento laminar e 
quais sofreram um escoamento turbulento. 
Utilizando a equação (5), organizamos em uma tabela os valores do número de 
Reynolds para cada esfera: 
 
Nº de 
Reynolds 
Incerteza do Nº 
de Reynolds 
Esfera 1 0,402 0,012 
Esfera 2 1,032 0,012 
Esfera 3 2,415 0,012 
Esfera 4 4,358 0,012 
Esfera 5 8,677 0,012 
Esfera 6 16,070 0,012 
Esfera 7 25,472 0,012 
Esfera 8 37,837 0,012 
Esfera 9 171,467 0,001 
Tabela 11. Número de Reynolds Para cada esfera. 
Como esperado, de acordo com o gráfico 3, as cinco primeiras esferas se movem 
no óleo com fluxo laminar (Re ≤ 15), já as demais esferas têm regime de fluxo turbulento 
(Re > 15). 
4. Discussão dos Resultados 
 
O experimento 1, teve como principal objetivo o estudo da queda dos corpos em 
um meio viscoso e buscou esclarecer a que ponto essa viscosidade interfere no 
movimento, primeiramente com o exemplo do elipsoide de revolução, onde o empuxo 
realizado pelo ar sobre o objeto, influencia, ainda que sutilmente, na queda do corpo e 
depois com o exemplo de esferas caindo em óleo cuja viscosidade é consideravelmente 
maior que a da atmosfera. 
Após a tomada e o tratamento dos dados, verificamos, por meio de leis 
empíricas, as relações entre a resistência de um meio e as dimensões de um corpo em 
queda. 
A gravidade encontrada pelo grupo, ( ) mostrou-se 
inferior, em seu valor, ao da gravidade estabelecida pelo IAG, esse fato deve-se a 
diferença e a precisão dos instrumentos utilizados para realizar as medidas, bem como as 
condições experimentais na aquisição dos dados, mas sobretudo, obtivemos êxitos 
consideráveis no valor final da medida. 
Assim como na aquisição da aceleração da gravidade, a segunda parte do 
experimento também foi bastante proveitosa no que se refere a tratamento de dados, pois 
exigiu do grupo grande aprofundamento do assunto até chegarmos ao valor final de 
viscosidade do óleo LUBRAX MB1 da Petrobrás, η =(3,85± 0,07) P, e posteriormente, 
com os valores da aceleração da gravidade e da viscosidade do óleo em mãos foi possível 
calcular o Número de Reynolds, e por fim compreender o regime de fluxo que um objeto 
está sujeito em determinado meio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências 
 
 http://revistaplaneta.terra.com.br/secao/ciencia/um-misterio-chamado-forca-da-
gravidade 
 http://webroot.if.usp.br/TGraph/index.php?action=abrir&file=Velocidade+x+Tempo
+%28Thiago%29&dir=th%2Fthiagoiag%2FRelat%C3%B3rio+1 
 http://webroot.if.usp.br/TGraph/index.php?action=abrir&file=Velocidade+x+Tempo
+%28Ver%C3%B4nica%29&dir=th%2Fthiagoiag%2FRelat%C3%B3rio+1 
 “Fundamentos da Teoria de Erros”, J. H. Vuolo; 2a Edição, Editora Blücher.