DEFINIÇÕES ALGEBRA LINEAR

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G1
PARAMETRIZAÇÃO DA RETA EM R2
A parametrização da reta que passa por u e direção v≠0, onde t é chamado de parâmetro e v é o vetor velocidade. R={u+tv, t ϵ R} ou R= u +<v>
->o vetor velocidade nunca pertence a reta
->o vetor u pertence a reta
EQUAÇÃO CARTESIANA DO PLANO EM R3
Dados a, b, c, d ϵ R, com a≠0 ou b≠0 ou c ≠0, chamamos de equação cartesiana do plano a equação ax+by+cz=d.
->Matematicamente {(x,y,z) ϵR3| ax+by+cz=d}
PARAMETRIZAÇÃO DO PLANO
Dados u e v não nulos e não paralelos e w, chamamos de parametrização do plano paralelo ao gerado por v e u passando por w. Onde t e s são os parâmetros . Π={w+tv+su|s,t ϵR} ou Π=w+ <u,v>
->os vetores velocidade nunca pertencem ao plano
->o vetor w pertence ao plano
COMBINAÇÃO LINEAR
U ϵ Rn é combinação linear de u1,u2,...uk ϵ Rn se existem t1, t2,...tk ϵ R tais que
u= u1.t1+ u2.t2+....+uk.tk= Ʃ ti.ui
LINEARMENTE INDEPENDENTE
Os vetores u1, u2,..uk de Rn são LI’s se a única maneira de produzir o vetor nulo (0,0..0) como combinação linear de u1,u2,..uk é com t1,t2,...tk=0 
Ʃ ti.ui=0,só se t1=t2=..=tk=0
LINEARMENTE DEPENDENTE
Quando um dos vetores é múltiplo do outro, ou quando um dos vetores pode ser obtido como combinação linear. Os vetores u1, u2,..uk são ditos LD’s se existem t1, t2,...tk ϵ R com pelo menos um deles não nulo. Ʃ ti.ui=0
ESPAÇO GERADO
O espaço gerado pelos vetores u1,u2,..uk ϵ Rn é o conjunto de todas as possíveis combinações lineares desses vetores. 
<u1,u2,..uk> =span{u1,u2,..uk} = {Ʃ ti.ui, ti ϵ R }
CONJUNTO GERADOR 
O conjunto ordenado {u1,u2,..uk} gera W se W= <u1,u2,..uk>
-> O conjunto gerador os vetores tem que ser LI’s
DIMENSÃO
O espaço gerado H=<u1,...,uk> tem dimensão k se o conjunto gerador {u1,u2,...,uk} são LI’s. Para se determinar a dimensão do espaço gerado deve se eliminar os vetores dependentes (redundantes) do conjunto de vetores.
Matriz 
Uma matriz de m linhas e n colunas é uma tabela de coeficientes aij ϵR. Dados m,n ϵ N,o conjunto de todas as matrizes de m linhas e n colunas (mxn) é denotado por Mmxn
->Forma matricial [A].[x]=[ b]
-> Matriz Diagonal- se aij=0 , ɏ i≠j
->Matriz Inversa- A. A-1=A-1.A = I
->Matriz Simétrica - A= AT
->Matriz Ortogonal- AT.A= I
Sistema Homogeneo (Ax=0)
Sempre possui solução, solução única (apenas a trivial,( vetor nulo)), infinitas soluções
Ax=b 
->Solução particular S=v0
->solução do sistema homogêneo associado Ax=0
->solução geral S= v0 +S0
Hiperplano 
Um hiperplano em Rn é a translação de um espaço gerado de dimensão n-1
Espaço Vetorial
(V,+, .) Um espaço vetorial consiste de
1) um conjunto não vazio V (cujos os elementos são chamados de vetores)
2) uma soma u,v ϵ V →u+v ϵ V
3)multiplicação por escalar real u ϵV, λ ϵ R →λ.u ϵ V
SUBESPAÇO VETORIAL
Dado V um subconjunto W c V tal que V é um espaço vetorial, então W é um subespaço vetorial tal que
1)0 ϵ W
2) W é fechado para a soma vetorial u, v ϵ W→ u +v ϵW
3) W é fechado para a multiplicação por escalar u ϵ W e λ ϵ R→λ.u ϵW
Polinomio Seja Pn ={ a0 +a1x+a2x2 +...+anxn|ai ϵ R, i=0...n} o conjunto dos polinômios com coeficientes em R de grau até n.
G2
BASE
Um conjunto β é base de um subespaço vetorial H se todo e qualquer elemento desse subespaço pode ser reescrito como combinação linear conjunto β, ou seja, o conjunto ordenado β={v1,v2,v3,...vn} de elementos do espaço vetorial v é base do subespaço vetorial H c V se e só se:
1)β gera H, isto é H=span{v1,v2,v3,...vn}
2)β é LI
3)β é grande o suficiente para gerar todos os vetores
4)β é pequeno o suficiente para ser LI
DIMENSÃO
O espaço gerado H=<u1,...,uk> tem dimensão k se o conjunto gerador {u1,u2,...,uk} são LI’s. Para se determinar a dimensão do espaço gerado deve se eliminar os vetores dependentes (redundantes) do conjunto de vetores.
INTERSEÇÃO E SOMA DE SUBESPAÇOS
Seja (V,+, .) espaço vetorial, H,K c V subespaços. Então:
dim(H+K)= dim (H) + dim (K) – dim (HΠK)
SOMA DIRETA
Se V=H+K e HΠK ={0}, dizemos que V é soma direta de H e K.
COORDENADAS
Seja V um espaço vetorial com base β={b1,b2,b3,...bn}. As coordenadas do vetor v ϵ V na base β são coeficientes αi’s usados para combinar linearmente os vetores bi’s de forma a gerar v, isto é: v= Ʃ αi.bi
 [v] β =|α1|
 |α2|
 |....|
 |αn|
TRANSFORMAÇÃO LINEAR
Uma função T:U → V, U,V, espaços vetoriais ɏ u, v ϵ T e α ϵ R
1)T(v) ϵ V
2) T( u+v) = T(u) +T(v)
3) T(λu) = λT(u)
NÚCLEO
O núcleo de uma transformação linear T:U→V é o conjunto dos vetores do domínio cujo a imagem é o vetor nulo. Nuc(T)={ u ϵ U|T(u)=0}
IMAGEM
Imagem de uma transformação linear T:U→V é o conjunto dos vetores do contra- domínio que são imagem de algum vetor do domínio.
 Im (T)= {v ϵ V| V=T(u) para u ϵ U}
TEOREMA NUCLEO- IMAGEM
Seja T:U→V linear com U de dimensão finita então:
dim(U)= dim (Nuc(T)) + dim (Im(T))
INJETIVA
Uma transformação linear T:U→V é injetiva, quando o núcleo for somente o vetor 
SOBREJETIVA
Uma transformação linear T:U→V é sobrejetiva se, e somente se a dim (Im(t)) for igual a dim (V). Se a Im(T)= V, ou seja, o conjunto de vetores atingidos pela transformação linear for igual ao próprio subespaço vetorial V, significa que não tem nenhum elemento de U que não seja atingido pela TL.
BIJETIVA
Quando uma transformação T é injetiva e sobrejetiva
COMPOSIÇÃO DE TL’S
 T:U→V e S: V→W com U,V,W espaço vetoriais e S,T,TL’S. A composta de S o T é definida como ( S o T) (u) = S(T(u)), S o T : U→W.
-> Propriedades:
1) S o T é uma transformação linear
2) De forma geral S o T ≠ T o S (não é comutativo)
3) (S o T) o U = S o (T o U) ( Associatividade)
MATRIZ ASSOCIADA À TL
Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão finita com dim(U)=n e dim (V)=m e bases β={u1,...un} de U e ϒ de V. Dada T ϵ (U,V), denotamos por [T]ϒ←β ϵ Mmxn a matriz de que representa T. Ela é definida por: 
 | ↑ ↑ |
[T]ϒ←β=|[T(u1)].....[T(un)] |
 | ↓ ↓ |
RELAÇÃO ENTRE MATRIZ E TL
Seja T ϵ (U,V) e bases β de U e ϒ de V. Então para todo u ϵ U.
 [T(u)]ϒ= [T]ϒ←β .[u]β
MATRIZ MUDANÇA DE BASE
Considere U espaço vetorial β e ϒ bases de U Id U:→U a transformação Id (u)=u , ɏ u. A matriz [Id]ϒ←β é chamada matriz de mudança de base de β paraϒ.
 | ↑ ↑ |
[I]ϒ←β= |[I(u1)]ϒ.....[T(un)]ϒ |
 | ↓ ↓ |
Considere bases β eϒ do espaço de dimensão finita U e a TL identidade I em U como : [I]ϒ←β .[u]β = [I]ϒ = [u]ϒ
FUNÇÃO INVERSA
T:U →V linear. A TL S: V→U é inversa de T se
1) SoT = U→V
2) (SoT) (u) = u 
INVERSA DA MUDANÇA DE BASE
Considere basesβ e ϒ de U e a TL identidade I em U então amatriz mudança de base [I]ϒ←β =[I]-1 β←ϒ
MATRIZ INVERSA E SINGULAR
Diz se que uma matriz quadrada A ϵ Mnxn é invertível se existe B ϵ Mnxn tal que AB = BA = I. Neste caso dizemos que B é a inversa de A. Caso A ϵ Mnxn não seja invertível dizemos que A é singular
Propriedade da inversa
1) Inversa de A é única
2) AB = BA = I
3)A matriz é invertível se e somente se Nuc (A) =0
[T]β←β =[Id]β←ϒ. [T]ϒ←ϒ . [Id]ϒ←β 
G3
Produto Interno
Dados V=( v1, ...,vn) e u= (u1,...,um) vetores de Rn definisse o produto interno, o produto escalar de v e u por <v|u>=Ʃ vi.ui
Propriedades
1) simetria <v|w> = <w|v>
2)Linearidade < αu+v|w>= α <u|w> + <v|w> ɏ α ϵ R
3) Positividade <v|v> >0 ɏ v ≠0
4) <v|v> =0 se e só se u =0
Ortogonalidade/ Vetor Ortogonal
O vetor u, v ϵ R n são perpendiculares entre si se e somente se <u|v>=0
Ortonormalidade/ Vetor Ortonormal 
O vetor u, v ϵ R n são ortonormais se são entre si ortogonais <u|v>=0 e ambos são unitários. ||u||=||v||=1
Conjunto Ortogonal/ Base Ortogonal 
Diz se que o conjunto β{v1,v2,...,vp} é ortogonal se os vetores são dois a dois <vi|vj>=0 ɏ i≠j (ortogonais).
Conjunto Ortonornal/ Base Ortonormal 
Diz se que o conjunto {v1,v2,...,vp} é ortonormal, se além deser ortogonal , todos os seus vetores são unitários. 
<vi|vj>=∂ij , onde ∂ij =0 se i≠j 
 =1 se i=j
Complemento Ortogonal
Seja H um subespaço vetorial. O complemento ortogonal de H c Rn é o conjunto dos vetores ortogonais a todos os vetores de H
H perp ={v ϵ Rn|<v|u>=0 ɏ u ϵ H
Projeção Ortogonal
Seja H c Rn um subespaço vetorial e PH:H +H perp →H dada por
1)PH(v)=v ɏ v ϵ H
2) PH(v)=0 ɏ v ϵ Hperp
Reflexão Ortogonal
Seja H c Rn um subespaço vetorial e RH:H +H perp →H linear dada por
1)RH(v)=v ɏ v ϵ H
2) RH(v)=-v ɏ v ϵ Hperp
Determinante 
Seja Mmxn o conjunto das matrizes quadradas de ordem n, det(A) é uma função que associa a cada matriz desse conjunto um número real, satisfazendo três proposições fundamentais:
1)det(A)=0 → A possui colunas ou linhas LD’s
2)det(I)=1→ matriz identidade
3)det(A) é linear por linha
Autovetores
T:V→V, v ϵ V, não nulo é autovetor associado ao autovalor λ ϵ R, se T(v)= λ v. O conjunto de autovetores é chamado de espectro.
Autoespaços
T: U→U,VcU, subespaço é autoespaço associado ao autovalor λ, se T(v)= λv , ɏ v ϵ V.
Teorema Nuc(T) – λI.
Subespaço Invariante
T: U→U,VcU, T(v) c V. Vé chamado de subespaço invariante de T.
Diagonalização
Té diagonalizável se T possui uma base de autovetores.
Se a soma da dimensão dos autoespaços associados a cada autovalor λ é n.
Se a matriz A de dimensão nxn tem n autovalores distintos
Multiplicidade Algébrica
É o numero de vezes em que λ é raiz do polinômio característico.
Multiplicidade Geométrica
É a dimensão dos autoespaços associados a cada autovalor λ.
Polinomio Característico
T: Rn → Rn, é dito polinômio característico p(λ)= det(T –λI)
Teorema Espectral
Seja Mmxn uma matriz simétrica. Então:
1)A é diagonalizável
2)Existe uma escolha de autovetores que formam uma base ortonormal de Rn
Mínimos Quadrados
Uma quase solução do sistema Ax=b chamada de solução de mínimos quadrados, é um vetor z tal que d(Az,b) ≤ d(Ax,b) para todo x no domínio de A
AT A z= AT b