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Universidade Federal de Ouro Preto Instituto de Cieˆncias Exatas e Aplicadas Ca´lculo Diferencial e Integral III Engenharia Ele´trica 1a Prova - 21/12/2012 Professor E´den Amorim Arte integral dupla 1. (Ca´lculo de Integrais Duplas) Calcule as integrais duplas abaixo: (a) (4pts) ∫∫ D x+ y dA, onde D e´ a regia˜o limitada pelas curvas de equac¸a˜o y = √ x e y = x2. (b) (3pts) ∫∫ R cos y √ x+ sen y dA, onde R e´ o retaˆngulo [0, 1]× [0, pi]. (c) (4pts) ∫∫ T ey 2 dA, onde T e´ o triaˆngulo determinado pelas retas de equac¸a˜o x = 0, y = x e y = 1. 2. (Rosa´ceas) As func¸o˜es r = cosnθ, com n = 2, 3, 4, · · · , onde r, θ representam coordenadas polares, formam uma famı´lia de curvas conhecidas como rosa´ceas. Abaixo temos algumas dessas curvas. Sabemos que se n e´ par, o nu´mero de pe´talas (cada lac¸o da curva, ou seja, o trac¸o da curva entre dois zeros consecutivos) da rosa´cea e´ 2n; se n e´ ı´mpar, o nu´mero de pe´talas e´ n. (a) n = 2 (b) n = 3 (c) n = 4 (d) n = 5 Figura 1: Algumas rosa´ceas r = cosnθ (i) (3pts) Verifique que a a´rea de uma pe´tala da rosa´cea r = cosnθ e´ pi 4n . (ii) (1pts) Determine a a´rea total da rosa´cea r = cosnθ. 3. (Expressando volume de um so´lido de revoluc¸a˜o por integrais) Considere o so´lido de revoluc¸a˜o S obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o R, esboc¸ada abaixo, em torno do eixo vertical. (a) Regia˜o R, sob o gra´fico de y = cos(x2) (b) So´lido S, sob o gra´fico de z = cos(x2 + y2) Figura 2: Um so´lido de revoluc¸a˜o Expresse o volume desse so´lido atrave´s de: (a) (Extra) integral simples1; (b) (2pts) integral dupla; Calcule o volume de S usando a representac¸a˜o integral que achar mais conveniente (3pts). “I feel at home whenever the unknown surrounds me” (Wanderlust, Bjo¨rk) 1fo´rmulas de ca´lculo de volume por fatiamento ou cascas cil´ındricas
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