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Cálculo III 12-2-1

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Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Cieˆncias
Exatas e Aplicadas
Ca´lculo Diferencial e Integral III
Engenharia Ele´trica
1a Prova - 21/12/2012
Professor E´den Amorim
Arte integral dupla
1. (Ca´lculo de Integrais Duplas)
Calcule as integrais duplas abaixo:
(a) (4pts)
∫∫
D
x+ y dA, onde D e´ a regia˜o limitada pelas curvas de equac¸a˜o y =
√
x e y = x2.
(b) (3pts)
∫∫
R
cos y
√
x+ sen y dA, onde R e´ o retaˆngulo [0, 1]× [0, pi].
(c) (4pts)
∫∫
T
ey
2
dA, onde T e´ o triaˆngulo determinado pelas retas de equac¸a˜o x = 0, y = x e
y = 1.
2. (Rosa´ceas)
As func¸o˜es r = cosnθ, com n = 2, 3, 4, · · · , onde r, θ representam coordenadas polares, formam
uma famı´lia de curvas conhecidas como rosa´ceas. Abaixo temos algumas dessas curvas. Sabemos
que se n e´ par, o nu´mero de pe´talas (cada lac¸o da curva, ou seja, o trac¸o da curva entre dois zeros
consecutivos) da rosa´cea e´ 2n; se n e´ ı´mpar, o nu´mero de pe´talas e´ n.
(a) n = 2 (b) n = 3 (c) n = 4 (d) n = 5
Figura 1: Algumas rosa´ceas r = cosnθ
(i) (3pts) Verifique que a a´rea de uma pe´tala da rosa´cea r = cosnθ e´ pi
4n
.
(ii) (1pts) Determine a a´rea total da rosa´cea r = cosnθ.
3. (Expressando volume de um so´lido de revoluc¸a˜o por integrais)
Considere o so´lido de revoluc¸a˜o S obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o R, esboc¸ada abaixo, em torno do
eixo vertical.
(a) Regia˜o R, sob o gra´fico de
y = cos(x2)
(b) So´lido S, sob o gra´fico de z = cos(x2 + y2)
Figura 2: Um so´lido de revoluc¸a˜o
Expresse o volume desse so´lido atrave´s de:
(a) (Extra) integral simples1;
(b) (2pts) integral dupla;
Calcule o volume de S usando a representac¸a˜o integral que achar mais conveniente (3pts).
“I feel at home whenever the unknown surrounds me” (Wanderlust, Bjo¨rk)
1fo´rmulas de ca´lculo de volume por fatiamento ou cascas cil´ındricas

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