Prova B 20141 Calculo II 42

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Universidade do Vale do Rio dos Sinos
Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas
97953 – Ca´lculo II: Estudo da Integral – Prova do Grau B – 2014/1– Hora´rio 42 – Prof. Roge´rio
Nome:
1. (a) Fac¸a um esboc¸o da regia˜o R delimitada pelas curvas y = lnx, y = 0, x = 1 e x = e.
(b) Encontre a a´rea da regia˜o R.
(c) Calcule o volume do so´lido de revoluc¸a˜o obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o R em torno do eixo x.
2. (a) Calcule a integral
∫
xe−2x dx
(b) Use o item (a) para calcular a integral impro´pria
∫ +∞
1
xe−2x dx
3. Calcule as integrais abaixo:
(a)
∫
2ex
3 + 5ex
dx . (b)
∫
11x + 17
2x2 + 7x− 4 dx . (c)
∫
(2x + 3) · sen 5x dx . (d)
∫ 4
−1
|2x− 3| dx .
4. Calcule o comprimento da curva y =
2
3
x3/2 no intervalo [0, 8].
5. Em cada item abaixo, fac¸a o que e´ pedido.
(a) Dada a func¸a˜o g(x) = x2e−3x, encontre g′(x) e g′′(x).
(b) Dada a func¸a˜o h(x) =
x lnx
x + 2 cosx
, encontre h′(x).
Valor de cada Questa˜o: 1. (a) 0,2. (b) 0,7. (c) 0,7. 2. 1,0 . 3. 2,8 . 4. 0,4 . 5. 1,2 .
Informac¸o˜es:
Fo´rmula para o ca´lculo do comprimento de y = f(x), a ≤ x ≤ b.
Se f for uma func¸a˜o deriva´vel com derivada cont´ınua no intervalo [a, b], enta˜o o comprimento
da curva(gra´fico) y = f(x), de x = a a x = b, e´ dado pela integral
L =
∫ b
a
√
1 + [f ′(x)]2 dx.