Eletromagnetismo - Algebra vetorial - Prof Danilo Huanca

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Prof. Dr. Danilo Roque H.
e-mail: droqueh@unifei.edu.br
Física Geral III
 
Física geral III (Fis403)
● Conteúdo 
– Revisão de cálculo vetorial
– O campo eletrostático
– O potencial eletrostático
– Capacitores e dielétricos
– Corrente e resistência elétrica
– O campo magnetostático. 
– Lei de Ampére. 
– Indução Eletromagnética. 
– Campos elétricos e magnéticos variáveis no tempo.
● Bibliografia 
- Elementos de eletromagnetismo, 5a edição, 2012. Matthew N. O. Sadiku
- Electromagnetismo, 8a edição, 2013. William H. Hayt Jr, and John A. Buck
- Fundamentos de Física 3: eletromagnetismo, LTC: RESNICK, R; HALLIDAY, D.
- Física: Eletricidade, Magnetismo e Tópicos de Física Moderna, L.T.C: SEARS, F. W; ZEMANSKY, 
M. W. 
 
Prof. Dr. Danilo Roque H.
e-mail: droqueh@unifei.edu.br
Física Geral III
Recapitulation Algebra Vetorial
 
Álgebra vetorial
● Definição de vetor 
– Definição
– Elementos, representação matemática e gráfica, norma e direção 
– Vetor unitário
– Componentes de um vetor em função dos vetores unitários
● Operações com vetores
– Soma e substração de vetores
– Produto escalar produto vetorial
– Exercícios e aplicações
Bibliografia 
- Elementos e eletromagnetismo, 5a edição, 2012. Matthew N. O. Sadiku
- Electromagnetismo, 8a edição, 2013. William H. Hayt Jr, and John A. Buck
 
O que é um vetor?
Exemplos de vetores?
 
Velocidade ou aceleração
V⃗
Grandeza vectorialGrandeza escalar
 
Álgebra vetorial
● Definição de vetor 
– Podemos conceituar vetor como o ente 
matemático que representa o conjunto dos 
segmentos orientados de reta que têm o 
mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo 
sentido.
● Elementos, representação matemática 
e gráfica, norma e direção
– Norma: também conhecido como 
comprimento do vetor ou intensidade.
– Direção: determinada pela inclinação do 
vetor em relação a um sistema de referencia.
– Sentido: Para onde aponta a ponta do vetor. 
A⃗=Ax i^=A y j^+A z k^
|A⃗|=√ Ax2+A y2+A z2
(1.2)
(1.3)

A⃗
x
y
i^
j^
O
P
direção
A⃗=(A x , A y , A z) (1.1)
R
o
Q
 
Álgebra vetorial
● Definição de vetor 
– Podemos conceituar vetor como o ente 
matemático que representa o conjunto dos 
segmentos orientados de reta que têm o 
mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo 
sentido.
● Elementos, representação matemática 
e gráfica, norma e direção
– Norma: também conhecido como 
comprimento do vetor ou intensidade.
– Direção: determinada pela inclinação do 
vetor em relação a um sistema de referencia.
– Sentido: Para onde aponta a ponta do vetor. 
A⃗=(A x , A y , A z)
A⃗=Ax i^=A y j^+A z k^
|A⃗|=√ Ax2+A y2+A z2
(1.1)
(1.2)
(1.3)
A⃗
x
y
z


i^
j^
k^
 
Álgebra vetorial
● Propriedades
– O vetor pode se deslocar a outra região do plano ou espaço, desde que não mude sua 
magnitude, nem sua orientação ou a direção
● O deslocamento pode ser ao longo da mesma reta sobre a qual esta o vetor,
● Sobre outras retas paralelas 
A⃗
 
Álgebra vetorial
A⃗
● Propriedade
– O vetor pode se deslocar a outra região do plano ou espaço, desde que não mude sua 
magnitude, nem sua orientação ou a direção
● O deslocamento pode ser ao longo da mesma reta sobre a qual esta o vetor,
● Sobre outras retas paralelas 
 
Álgebra vetorial
A⃗
● Propriedade
– O vetor pode se deslocar a outra região do plano ou espaço, desde que não mude sua 
magnitude, nem sua orientação ou a direção
● O deslocamento pode ser ao longo da mesma reta sobre a qual esta o vetor,
● Sobre outras retas paralelas 
 
Álgebra vetorial
A⃗
● Propriedade
– O vetor pode se deslocar a outra região do plano ou espaço, desde que não mude sua 
magnitude, nem sua orientação ou a direção
● O deslocamento pode ser ao longo da mesma reta sobre a qual esta o vetor,
● Sobre outras retas paralelas 
 
Álgebra vetorial
A⃗
● Propriedade
– O vetor pode se deslocar a outra região do plano ou espaço, desde que não mude sua 
magnitude, nem sua orientação ou a direção
● O deslocamento pode ser ao longo da mesma reta sobre a qual esta o vetor,
● Sobre outras retas paralelas 
 
Álgebra vetorial
A⃗
● Propriedade
– O vetor pode se deslocar a outra região do plano ou espaço, desde que não mude sua 
magnitude, nem sua orientação ou a direção
● O deslocamento pode ser ao longo da mesma reta sobre a qual esta o vetor,
● Sobre outras retas paralelas 
 
Álgebra vetorial
● Soma de vetores
–
B⃗
A⃗
 
Álgebra vetorial
● Soma de vetores
–
A⃗
B⃗
 
Álgebra vetorial
● Soma de vetores
– Método poligonal
A⃗
B⃗
C⃗= A⃗+ B⃗
 
Álgebra vetorial
● Soma de vetores
– Método poligonal
A⃗B⃗
C⃗=B⃗+ A⃗
A⃗+ B⃗=B⃗+ A⃗● A soma de vetores é comutativa:
 
Álgebra vetorial
● Soma de vetores
– Método poligonal
A⃗
B⃗
C⃗
● A soma de vetores é associativa:
D⃗=A⃗+ B⃗+C⃗
E⃗= A⃗+ B⃗
F⃗=B⃗+C⃗
D⃗=A⃗+ F⃗
( A⃗+ B⃗)+C⃗= A⃗+( B⃗+C⃗)
D⃗=E⃗+C⃗
D⃗=( A⃗+ B⃗)+ C⃗
D⃗=A⃗+( B⃗+C⃗)
 
Álgebra vetorial
● Soma de vetores
Método poligonal
A⃗
B⃗
C⃗
D⃗
A⃗
E⃗
A⃗+ B⃗+ C⃗+D⃗+ E⃗=0⃗
∑
i=1
N
A⃗ i= 0⃗
A soma total de vetores que formam um 
polígono fechado é igual ao vetor zero. 
 
Álgebra vetorial
● Soma de vetores
Método poligonal
A⃗+ B⃗+ C⃗+D⃗+ E⃗=0⃗
∑
i=1
N
A⃗ i= 0⃗
A soma total de vetores que formam um 
polígono fechado é igual ao vetor zero. A⃗
B⃗
C⃗
D⃗
F⃗
E⃗
 
Álgebra vetorial
● Soma de vetores
– Método do paralelogramo
A⃗
B⃗
A⃗+ B⃗
 
Álgebra vetorial
● Substração de vetores
– Método do paralelogramo
A⃗
B⃗⃗B⃗B⃗B
−B⃗
A⃗
 
Álgebra vetorial
● Substração de vetores
– Inicio de um-final de outro
A⃗
B⃗
−B⃗
A⃗
 
Álgebra vetorial
● Multiplicação de um escalar por um vetor
Se temos um escalare um vetor A, a resultante é outro vetor na mesma 
direção e sentido do vetor origina, a menos que o escalar seja negativo. 
Em tal caso, o vetor resultante preserva sua direção, porém muda de 
sentido
A⃗
A⃗
λ>1
 
Álgebra vetorial
● Multiplicação de um escalar por um vetor
Se temos um escalare um vetor A, a resultante é outro vetor na mesma 
direção e sentido do vetor origina, a menos que o escalar seja negativo. 
Em tal caso, o vetor resultante preserva sua direção, porém muda de 
sentido
A⃗
A⃗
 
Álgebra vetorial
● Multiplicação de um escalar por um vetor
Se temos um escalare um vetor A, a resultante é outro vetor na mesma 
direção e sentido do vetor origina, a menos que o escalar seja negativo. 
Em tal caso, o vetor resultante preserva sua direção, porém muda de 
sentido
A⃗
A⃗
λ<−1
 
Álgebra vetorial
● Vetor unitário ou versor
– A todo vetor está associado um vetor com modulo 
igual à unidade e tem o mesmo sentido e a mesma 
orientação do vetor, ou seja é paralelo a esse vetor 
e é definido como:
 
e^ A=
A⃗
|⃗A|
=
A⃗
√ Ax2+A y2+A z2
A⃗=|⃗A|e^ A=A e^ A
A⃗
e^ A
– Todo vetor pode ser expresso em função do 
seu vetor unitário como
(1.4)
(1.5)
 
Álgebra vetorial
● Componentes de um vetor
A⃗= A⃗1+ A⃗2+ A⃗3
– Em um sistema de coordenadas 
perpendiculares, todo vetor pode ser expresso 
como uma combinação linear do seu sistema de 
referencia:
A⃗=A1 e^1+A2 e^2+A3 e^3=∑
i=1
Ai e^ i
e^ A=
A1 e^1+A2 e^2+A3 e^3
√A12+A22+A32
P(x1, x2, x3)
x1
x2
x3
e^1
e^2
e^3
A⃗
ϕ
θ
A⃗1
A⃗2
A⃗3
 
Álgebra vetorial
● Componentes de um vetor
Todo vetor pode ser representado como uma 
combinação linearde seus componentes:
P(x , y )
x
y
A⃗x
i^
j^
A⃗
ϕ
A⃗ y
A⃗= A⃗x+ A⃗ y
A⃗=Ax i^+A y j^
Ax=A cosϕ
A y=A senϕ
 
Álgebra vetorial
● Componentes de um vetor: sistema XYZ
Todo vetor pode ser representado como uma 
combinação linear de seus componentes:
A⃗= A⃗x+ A⃗ y+ A⃗ z
A⃗=Ax i^+A y j^+A z k^
Ax=A sen θcosϕ
A y=A senθ senϕ
A z=A cosθ
P(x , y , z)
x
y
z
i^
j^
k^
A⃗
ϕ
θ
ρ
ρ
 
Álgebra vetorial
● Componentes de um vetor: soma de vetores no plano
A vetor soma é determinado pela soma dos componentes dos vetores a 
somarem:
A⃗=Ax i^+A y j^
x
y
Ax
A⃗
ϕ
A y
B⃗
Bx
By
B⃗=Bx i^+B y j^
C⃗= A⃗+ B⃗=(Ax+Bx) i^+(A y+By ) j^
- No plano
ϕ=arctan (C yC x )=arctan(
A y+By
A x+Bx )
 
Álgebra vetorial
● Componentes de um vetor: soma de vetores no plano
A vetor soma é determinado pela soma dos componentes dos vetores a 
somarem:
- No espaço
A⃗=Ax i^+A y j^+A z k^
B⃗=Bx i^+B y j^+B z k^
C⃗= A⃗+ B⃗=(Ax+Bx) i^+(A y+By ) j^+(A z+B z) k^
x
x
z
i^
j^
k^
C⃗
ϕ
θ
ρ
C⃗ y
C⃗ x
C⃗ z
B⃗
A⃗
C x=C senθ cosϕ
C y=C senθ senϕ
C z=C cosθ
 
Álgebra vetorial
● Vetor posição 
O vetor posição de um ponto P (x,y,z) é um 
vetor que começa na origem O do sistema de 
coordenadas e termina no ponto P sentido. 
r⃗ p=O⃗P=x i^+ y j^+z k^
r⃗ P
x
y
z
i^
j^
k^
P(xp,yp,zp)
Q(xq,yq,zq)
⃗r Q
● Vetor distância 
Este vetor representa o deslocamento de um 
ponto a outro. Assim se dois pontos P e Q são 
dados por suas coordenadas P = (xp,yp,zp) e Q = 
(xq,yq,zq), o vetor distância será o deslocamento de 
P a Q 
R⃗=r⃗Q−r⃗ P=( xq−x p) i^+( y q− y p) j^+( zq−z p) k^
P(x , y , z)
x
y
z
i^
j^
k^
r⃗ P
ϕ
θ
 
Álgebra vetorial
● Produto escalar 
O produto escalar de dois vetores A e B é definido como produto das magnitudes 
desses dois vetores e do cosseno do menor ângulo  entre eles quando estiverem 
desenhados a partir do mesmo ponto de origem. 
A⃗⋅B⃗=AB cosθ
A⃗=Ax i^+A y j^+A z k^

A⃗
B⃗
O resultado de produto escalar é um número 
escalar e obedece às seguintes propriedades:
B⃗=B x i^+B y j^+B z k^
A⃗⋅B⃗=A x Bx+A yB y+A z Bz=∑
i=1
3
A iB i
A⃗⋅B⃗=B⃗⋅A⃗
A⃗⋅( B⃗+C⃗ )= A⃗⋅B⃗+ A⃗⋅C⃗
- Comutativa
- Associativa
- reflexiva: modulo A⃗⋅A⃗=|A⃗|2
 
Álgebra vetorial
● Produto escalar: Determinando a componente de um vetor
Determinação da componente do vetor B na direção do vetor A equivale a determinar a 
componente do vetor B na direção do vetor unitário associado ao vetor A.
 Multiplica-se o produtor escalar 
Exemplo: Determinar o componente do vetor B na 
direção de 
B⃗⋅a^x=B x
a^x
( B⃗⋅a^x) A⃗x=Bx a^x
Produto escalar
Componente do vetor

B⃗
a^
B⃗⋅a^
A⃗ 
B⃗
a^
( B⃗⋅a^) a^
A⃗
 
Álgebra vetorial
● Produto vetorial: definição
Se temos dois vetores e , podemos definir o produto vetorial como . O 
resultado é outro vetor e sua direção é perpendicular ao plano que contem os vetores e 
 . Já a direção dele é aquele relacionado ao avanço de um parafuso dextrogiro que é 
girado de para 
A⃗ B⃗ C⃗= A⃗×B⃗
A⃗
B⃗
A⃗ B⃗

A⃗
B⃗
C⃗= A⃗×B⃗
A⃗
B⃗
C⃗
C⃗= A⃗×B⃗C⃗= A⃗×B⃗
A⃗A⃗
B⃗B⃗
A⃗
B⃗
C⃗
 
Álgebra vetorial
● Produto vetorial: definição
O produto vetorial pode ser calculado pela expansão seguinte: C⃗= A⃗×B⃗
C⃗= A⃗×B⃗=(A yB z−B y A z)i^−(Ax B z−Bx A z) j^+(AxB y−Bx A y ) k^
C⃗= A⃗×B⃗=| i^ j^ k^Ax A y A zBx B y B z|
.
A y A z
B y B z
.| i^ j^ k^Ax A y A zBx By B z|.
. .
A x A y
B x B y
(-) (+)
C⃗= A⃗×B⃗
A⃗
B⃗

Área do paralelogramo definido pelos 
vetores e A⃗ B⃗
|C⃗|=|A⃗×B⃗|=ABSenθ
 
Álgebra vetorial
● Produto vetorial: propriedades
- Não comutativa 
C⃗= A⃗×B⃗
A⃗
B⃗

A⃗×B⃗≠B⃗× A⃗
A⃗×B⃗=−B⃗× A⃗- Antissimétrica
( A⃗+ B⃗)×C⃗= A⃗×C⃗+ B⃗×C⃗
A⃗×( B⃗+ C⃗)= A⃗×B⃗+ A⃗×C⃗
α( A⃗×B⃗)=α A⃗×B⃗= A⃗×(α C⃗ )
( A⃗×B⃗)×C⃗≠ A⃗×( B⃗×C⃗)
( A⃗⋅C⃗) B⃗−( B⃗⋅C⃗ ) A⃗≠( A⃗⋅C⃗) B⃗−( A⃗⋅B⃗)C⃗
- Distributiva 
- Não é associativa 
A⃗× A⃗=0⃗
- multiplicação por si mesmo 
 
Álgebra vetorial
● Triplo produto escalar: propriedades
- Dados os vetores A⃗ , B⃗ ,C⃗
A⃗⋅( B⃗×C⃗)
O triplo produto escalar é definido como:
A⃗⋅( B⃗×C⃗)=B⃗⋅(C⃗× A⃗)=C⃗⋅( A⃗×B⃗)
- é comutativa com relação ao produto escalar 
- pode se representado por uma matriz
A⃗
B⃗
C⃗
B⃗×C⃗
x
y
z
A⃗⋅( B⃗×C⃗)=( A⃗×B⃗)⋅C⃗
A⃗⋅( B⃗×C⃗)=|Ax A y A zBx B y B zC x C y C z|
 
Álgebra vetorial
● Exercícios 1.1
A⃗ e B⃗a) Determinar os vetores 
c) calcular o valor da área do triângulo definido por esses 
dois vetores
Mostrados na figura abaixo, onde A⃗−B⃗=−2 i^+4 j^+ k^
b) Calcular o ângulo entre esses vetores 
 
Álgebra vetorial
● Exercícios 1.2
a) Determinar a condição de equilíbrio do sistema mostrado na figura. 
b) Calcular os ângulos na qual o sistema encontra-se em equilíbrio se as três forças 
fossem iguais. 
O
m2
m3
m1
 
Álgebra vetorial
● Exercícios 1.2
a) Determinar a condição de equilíbrio do sistema mostrado na figura. 
b) Calcular os ângulos na qual o sistema encontra-se em equilíbrio se as três forças 
fossem iguais. 
O
F⃗1
F⃗2
F⃗3
m2
m3
m1
O
F⃗1
F⃗2
F⃗3
 
Álgebra vetorial
● Exercícios 1.2
a) Determinar a condição de equilíbrio do sistema mostrado na figura. 
b) Calcular os ângulos na qual o sistema encontra-se em equilíbrio se as três forças 
fossem iguais. 
x
y
O
F⃗1
F⃗2
F⃗3
 
Álgebra vetorial
● Exercícios 1.2
a) Determinar a condição de equilíbrio do sistema mostrado na figura. 
b) Calcular os ângulos na qual o sistema encontra-se em equilíbrio se as três forças 
fossem iguais. 
x
y
O
F⃗1 F⃗2
F⃗3
 
Álgebra vetorial
● Exercícios 1.3
Dados dois vetores A e B,deduzir a lei dos cossenos e a lei dos senos
A⃗
B⃗
 
Álgebra vetorial
● Exercícios 1.3
Dados dois vetores A e B,deduzir a lei dos cossenos e a lei dos senos
A⃗
B⃗
α
β
γ
 
Álgebra vetorial
● Exercícios 1.4
Dados os seguintes vetores:
P⃗=cosθ i^+senθ j^
Q⃗=cosϕ i^−senϕ j^
R⃗=cosϕ i^+senϕ j^
Prove as identidades trigonométricas familiares:
sen(θ+ϕ)=senθcosϕ+senϕ cosθ
cos (θ+ϕ)=cosθ cosϕ−senϕ senθ
sen (θ−ϕ)=senθcosϕ−senϕ cos θ
cos (θ−ϕ)=cos θcosϕ+senϕ senθ
x
y
θ
ϕ
ϕ
P⃗
R⃗
Q⃗
 
Álgebra vetorial
● Exercícios 1.5
Dados os pontos : , eP1=(5,2,4) P2=(1,1,2) P3=(−3,0,8)
a) Mostre que eles são pontos colineares, ou seja, 
estão localizados sobre uma mesma reta.
b)Determinar a mínima distância entre a reta e o ponto 
P4=(3,−1,0)
P1(5,2,−4 )
x
y
z
P2(1,1,2)
P3(−3,0,8)
P4 (3,−1,0)
 
Álgebra vetorial
● Exercícios 1.5
Dados os pontos : , eP1=(5,2,4) P2=(1,1,2) P3=(−3,0,8)
a) Mostre que eles são pontos colineares, ou seja, 
estão localizados sobre uma mesma reta.
b)Determinar a mínima distância entre a reta e o ponto 
P4=(3,−1,0)
P1(5,2,−4 )
x
y
z
θ
d
P2(1,1,2)
P3(−3,0,8)
P4 (3,−1,0)
r⃗ 1
r⃗ 2
r⃗ 3
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